CC BY
8
2019 Математика и механика № 62
УДК 514.76 М8С 53С15, 53Б10, 53С25, 53С50
Б01 10.17223/19988621/62/3
Н.К. Смоленцев
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ ПАРА-САСАКИЕВЫ СТРУКТУРЫ НА ГРУППАХ ЛИ
Изучаются левоинвариантные параконтактные структуры Сасаки на группах Ли, которые получаются центральными расширениями из почти пара-кэлеровых структур на группах Ли. Есть несколько различных подходов к определению понятия параконтактных и пара-сасакиевых структур. В данной работе параконтактные структуры Сасаки определяются по той же схеме, что и обычные структуры Сасаки в случае контактных структур. В статье найдены условия пара-сасакиевости контактных структур. В случае групп Ли инвариантные пара-сасакиевые структуры могут быть получены из пара-кэлеровых структур при помощи процедуры центрального расширения. В этом случае найдены формулы, связывающие кривизну пара-кэлеровой группы Ли с кривизной соответствующей пара-сасакиевой группы Ли.
Ключевые слова: пара-комплексная структура, пара-сасакиевы многообразия; пара-кэлерова структура, левоинвариантная параконтактная структура.
Левоинвариантная почти комплексная структура на группе Ли Н - это левоин-вариантный эндоморфизм 3 касательного расслоения, удовлетворяющий условию 32 = -М. Почти комплексная структура 3 является интегрируемой (комплексной), если ее тензор Нейенхейса 3Х,У) = [3Х, ЗУ] - [X, У] - 3[Х, ЗУ] - 3[3Х, У] обращается в нуль. Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли Н - это тройка (И, ю, 3), состоящая из левоинвариантной римановой метрики И, левоинвариант-ной симплектической формы ю и ортогональной левоинвариантной комплексной структуры 3, причем И(Х,У) = ю(Х,3У) для любых левоинвариантных векторных полей X и У на Н. Поэтому такую структуру на группе Н можно задать парой (ю, 3), где ю - симплектическая форма, а 3 - комплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что ю(3Х,3У) = ю(Х,У). Если ю(Х,3Х) > 0, V X # 0, то получается кэле-рова метрика, а если условие положительности не выполняется, то И(Х,У) = ю(Х,3У) является псевдоримановой метрикой и тогда (И, ю, 3) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли Н. Из левоинвариантности рассматриваемых объектов следует, что псевдокэлерова структура (И, ю, 3) может быть задана значениями ю, 3 и И на алгебре Ли ^ группы Ли Н. Тогда ю, 3, И) называется (псевдо)кэлеровой алгеброй Ли. Условие существования левоинвариантной положительно определенной кэлеровой метрики на группе Ли Н накладывает серьезные ограничения на структуру ее алгебры Ли Такая алгебра Ли не может быть нильпотентной за исключением абелевого случая. Хотя нильпотентные группы Ли и нильмногообразия (за исключением тора) не допускают левоинвариантных кэлеровых метрик, но на таких многообразиях могут существовать левоинвари-антные псевдоримановы кэлеровы метрики.
Почти пара-комплексной структурой на 2и-мерном многообразии М называется поле Р эндоморфизмов касательного расслоения ТМ, таких, что Р2 = М, причем
ранги собственных распределений Т±Ы : = кег(1С + Р) равны. Почти пара-комплексная структура Р называется интегрируемой, если распределения Т±Ы инволютивны. В этом случае Р называется пара-комплексной структурой. Аналогом тензора Нейенхейса почти комплексной структуры для случая любого тензорного поля Т типа (1,1) является кручение Нейенхейса [5] [Т, Т](Х,У) = Т2[Х, У] + [ТХ, ТУ] - Т[Х, ТУ] - Т[ТХ, У]. В частности, тензор Нийенхейса ЫР почти пара-комплексной структуры Р определяется равенством
ЫР(Х,У ) = [Х,У ] + [РХ, РУ ] - Р[РХ,У ] - Р[Х, РУ ], для всех векторных полей Х, У на М. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура Р интегрируема тогда и только тогда, когда ЫР = 0. В работе [6] представлен обзор теории пара-комплексных структур и подробно рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на однородных многообразиях. Пара-кэлерово многообразие можно определить как псев-дориманово многообразие (М,ё) с кососимметрической пара-комплексной структурой Р, параллельной относительно связности Леви-Чивита. Если (ё,Р) - пара-кэлерова структура на М, то ю = ё'Р является симплектической структурой. В работе [7] изучались левоинвариантные почти пара-комплексные структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли, которые не допускают ни симплектиче-ских, ни комплексных структур.
В нечетномерном случае аналогом симплектической структуры является контактная структура [5]. Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли изучались в работах [8, 9]. Известно, что контактные алгебры Ли (д, п) с нетривиальным центром являются центральными расширениями симплектических алгебр Ли (1), ю) при помощи невырожденного коцикла ю. Левоинвариантые контактные структуры с положительно определенной римановой метрикой существуют далеко не всегда [8]. Псевдоримановы структуры Сасаки на семимерных нильпотент-ных группах Ли изучались в работе [10].
В данной работе мы будем рассматривать левоинвариантные параконтактные структуры на группах Ли. Параконтактная метрическая структура на многообразии задается четырьмя объектами (п, 4, Ф, ё), П - контактная форма, - векторное поле Риба, ё - псевдориманова метрика и ф - аффинор, которые связаны определенными соотношениями (см. ниже). Псевдориманова контактная метрическая структура называется ^-контактной, если векторное поле Риба 4 является киллин-говым.
Пусть V - связность Леви-Чивита соответствующая (псевдо)римановой метрике ё. Она определяется из шестичленной формулы [11], которая для левоинвариантных векторных полей Х,У,2 на группе Ли принимает вид 2ё(УХТ, 2) = ё([Х,У],1) + + ё(№,Х],У) + ё(Х,[2,У]). Напомним, что тензор кривизны определяется формулой Я(Х,У) = [V-, V}-] - V[X,У] . Тензор Риччи - это свертка тензора кривизны по первому
и четвертому (верхнему) индексам, К1с^к = . Для псевдоримановой метрики ё тензор Риччи Шс(Х,У) может быть также определен по формуле
К1с(Х,У) = Е, 6, ё(К(еъУ)1, е,), где {е,} - ортонормированный репер и 6,- = ё(е, е,).
Мы предполагаем, что внешнее произведение и внешний дифференциал определяются без нормирующего множителя. Тогда, в частности, СхлСу = Сх®ёу -ёу®ёх и Сп(Х,У) = Хц(У) - Уц(Х) - п([Х,У]). Это обуславливает некоторые отличия формул от тех, что приведены в книге Блэра [5].
2. Контактные и параконтактные структуры
Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М класса С называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая что г1Л(^п)" Ф 0 всюду на М2и+1. Форма п называется контактной. Контактная форма определяет на многообразии М2и+1 распределение В = {X е ТМ2п+1 | П(Х) = 0} ранга 2п, которое называется контактным распределением. Контактное многообразие М2п+1 имеет всюду ненулевое векторное поле § , которое определяется свойствами п(§) = 1 и dn(§X = 0 для всех векторных полей X на М2п+1. Поле 4 называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры. Легко видеть, что Ь§п = 0.
Если М2п+1 контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четверка (п, 4, Ф, 8), где § - поле Риба, 8 -риманова метрика на М2п+1 и ф - аффинор на М2п+1, для которых имеют место следующие свойства [5]:
1) ф2 = -I +
2) dп(X,У) = g(X,фY);
3) 8(ф^ фУ) = g(X,У) - п^У),
где I - тождественный эндоморфизм касательного расслоения.
Риманова метрика 8 контактной метрической структуры называется ассоциированной с контактной структурой п. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором ф: = dп(фX,У) + п^^У). Если характеристическое векторное поле 4 порождает группу изометрий, т. е. 4 - векторное поле Киллинга, Ь§ 8 = 0, то такую контактную метрическую структуру называют К-контактной [5]. Это эквивалентно условию Ь§ф = 0.
Напомним [11], что почти контактной структурой на многообразии М2п+1 называется тройка (п, 4, ф), где п -1-форма, § - векторное поле и ф - аффинор на М2п+1, обладающие свойствами п(4) = 1 и ф2 = -I + ﮧ.
Пусть М2п+1 - почти контактное многообразие. Рассмотрим прямое произведение М2п+1хЯ. Векторное поле на М2п+1хЯ представим в виде (X, /д), где X - касательное к М2п+1, / - координата на Я, - координатное векторное поле на Я и / -функция класса Ск на М2п+1хЯ. Определим почти комплексную структуру 3 на прямом произведении М2п+1хЯ следующим образом [2]: 3(X,/д) = (фX - /4 , п® д(). Почти контактная структура (п, 4, ф) называется нормальной, если интегрируема определенная выше почти комплексная структура 3. На почти контактом многообразии определены четыре тензора [5] Л^, Л®, Л3 и следующими выражениями:
Л^У) = [ф^У + dn(X,Y)4, Л(2)(X,У) = (LфX п)(У) - (ЬфУ п)(X), Л(3)(X,У) = (Ь^, Л(4)(X,Y) = (L§n)(X).
Почти контактная структура (п, 4, ф) является нормальной, если эти тензоры обращаются в нуль. Однако из обращения в нуль тензора Л(1) следует, что и остальные тензоры Л(2), Л(3) и Л(4) также обращаются в нуль. Поэтому условие нормальности только следующее:
Л'^^У) = [ф^К^У) + dn(X,Y)4 = 0.
Псевдориманова контактная метрическая структура (п, 4, ф, 8) называется К-контактной, если векторное поле Риба 4 является киллинговым. Псевдоримано-ва контактная метрическая структура (п, 4, ф, ё) называется сасакиевой, если Л(1)(X,Y) = 0. Таким образом, многообразие Сасаки - это нормальное контактное метрическое многообразие. Многообразие Сасаки всегда является К-контактным.
Определение 1. Параконтактной структурой на контактном многообразии М2п+1 называется тройка (п, 4, ф), где п - контактная 1-форма, 4 - поле Риба и ф - аффинор на М2п+1, обладающий свойством
ф2 = I - п®4-
Кроме того, предполагается, что ранги ±1-собственных распределений Б± равны (аффинор ф действует на распределении Б = Кег(п) как пара-комплексная структура).
Определение 2. Если М2п+Х контактное многообразие с контактной формой п, то параконтактной метрической структурой называется четверка (п, 4, Ф, ё), где 4 - поле Риба, ё - псевдориманова метрика на М2п+Х и ф - аффинор на М2п+1, для которых имеют место следующие свойства:
ф2=I - п®4, Сп(Х,У) = ё(фХ,У), ё(фХ,фУ) = -ё(Х,У) + п(Х)п(У).
Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика ё для пара-контактной структуры полностью определяется аффинором ф:
ё(Х,У) = Сп(фХ,У) + п(Х)п(У).
Легко видеть, что Сп(фХ,фУ) = -Сп(Х,У).
Пусть М2п+1 - параконтактное многообразие. Рассмотрим прямое произведение М2п+1хК. Векторное поле на М2п+1хК представим в виде (Х,/д), где Х - касательный к М2п+1, t - координата на Я и /- функция на М2п+1хЯ. Следуя [5 (Блэр)], дадим
Определение 3. Параконтактная структура (п, 4, ф) называется нормальной, если интегрируема почти пара-комплексная структура 3 на М2п+1хЯ, определенная формулой
3(Х, /д) = (фХ - /4, -п(Х^).
Выразим условие интегрируемости пара-комплексной структуры 3 в терминах аффинора ф на М2п+1. Условием интегрируемости является обращение в нуль кручения Нейенхейса:
ЫАХ,У) = [Х, У] + [3Х, 3У] - 3[Х, 3У] - 3[3Х, У] = 0.
Вычислим это кручение сначала на векторных полях типа (Х,0), а затем для пар (Х, 0) и (0, д^:
[3, 3]((Х,0),(У,0)) = ([Х,У],0) + [(фХ,-п(Х)д),(фУ ,-п(Щ)] -- 3[(Х,0), (фУ, -n(У)дt)] - 3[(фХ , -п(Х) дt), (У,0)] = = (ф2[Х, У] + п([Х, У])4, 0) + ([фХ,фУ], (-фХ(п(У)) + фУ(п(Х))) дt) -- (ф[Х,фУ] + Х(п(У))4, - п([X,фУ])дt) - (ф[фХ,У] - У(п(Х))4, -п([фX,У])дt) = = ([ф,ф](Х, У) - Сп(Х,У)4, (-(1фХ п)(У) + (¿фУ п)(Х)) дt);
[3, 3]((Х,0), (0, дt)) = [(Х,0), (0, д)] + [(фХ, -п(Х)д), (-4 ,0)] -
- 3[(Х, 0), (-4, 0)] - з[(фХ , -п(Х) до, (0, дt)] = = (-[фХ, 4], -4(п(Х)) дt) - 3(-[Х, 4],0) = ((¿4ф)(Х), - (¿4п)(Х) д).
Таким образом, условие интегрируемости пара-комплексной структуры 3 выражается обращением в нуль четырех тензоров:
№)(Х,У) = [ф,ф](Х,У) - Сп(Х,У)4, N2)(Х,у = (¿фХ п)(У) - ¿у п)Х), ^3)(Х,У) = (¿4ф)Х, N(4)(X,У) = (¿4п)(Х).
Однако из обращения в нуль тензора Л(1) следует, что и остальные тензоры также обращаются в нуль (доказательство этого полностью повторяет аналогичное доказательство из [5]). Поэтому условие нормальности параконтактной структуры только следующее: Л^^У) = 0.
Определение 4. Нормальная параконтактная метрическая структура (п, 4, ф, 8) называется пара-сасакиевой.
Эквивалентное условие: Лf[)(X,У) = [ф,ф](ДУ) - dn(X,Y)4 = 0.
Определение 5. Параконтактная метрическая структура (п, 4, ф, 8) называется К-контактной, если векторное поле Риба 4 является киллинговым.
Многообразие Сасаки всегда является К-контактным.
3. Параконтактные структуры на центральных расширениях
Контактные алгебры Ли могут быть получены в результате центральных расширений симплектических алгебр Ли ,. Напомним эту процедуру. Если имеется симплектическая алгебра Ли (,, ю), то центральное расширение д = , хюЯ. есть алгебра Ли, в которой скобки Ли задаются следующим образом:
• [X, § ]д = 0;
• [X, У]д = [X, У], +ю(X, У)§ для любых X, У е ,, где § = дt - единичный вектор из Я.
На алгебре Ли д = , хюЯ. контактная форма задается формой п = § *, а § = дt -поле Риба. Если х = X + Х§ и у = У + ц§, где У, У е ,, X, ц е Я, тогда ^(х, у) = -п([х, у]) = -§ '([X, У],+ю(X,Y) § ) = -ю(X, У).
Как известно, классы изоморфизмов центральных расширений алгебры Ли ] находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами Н2(], Я). Невырожденные элементы ю из Н2(], Я) (симплектические алгебры Ли ) определяют контактные структуры на , хюИ.
Для задания аффинора ф на д = , хюЯ. можно использовать почти пара-комплексную структуру 3 на , следующим образом: если х = X + Х§, где X е ,, то ф(х) = 3X. Если эта почти пара-комплексная структура 3 на , будет еще и согласованной с ю, т. е. обладать свойством ю(3X, 3У) = -ю(X, У), то мы получим паракон-тактную (псевдориманову) метрическую структуру (п, 4, ф, 8) на д = , хюЯ, где
g(X,Y) = dn(X, фУ) + n(X)n(Y). Пусть И^ У) = ю(X, 3У) - ассоциированная (псевдо)риманова метрика на симплектической алгебре Ли (,,ю) . Тогда для х = X + Х§ и у = У + ц§, где У, У е ,, имеем
8&,У) = ^п^фУ) + n(X)n(Y);
8(х,у) = ю(X, 3У) + Хц = И(X,Y) + Хц; ю(X, У) = И(X,JY).
Предложение. Центральное расширение д = , хюЯ. почти пара-кэлеровой алгебры Ли , является К-контактной алгеброй Ли.
Доказательство. Как известно [5], контактное многообразие называется К-контактным, если Ь§ф = 0. Для левоинвариантных полей вида х = X + Х§ и у = У + ц§ и где У,У е , имеем
8((Ь§ ф)х,у) = 8(Ь§ (ф х) - ф(Ь§ х),у) = 0, поскольку Ь§ х = [§ , X + Х§ ] = 0. Поэтому Ь §ф = 0. ■
Теорема 1. Пусть (1,ю,,7) - почти пара-кэлерова алгебра Ли , и (п, 4, ф, ё) -соответствующая ей параконтактная метрическая структура на центральном расширении д = , хюЯ.. Тогда кручение Нейенхейса [ф, ф] на д следующим образом выражается через тензор Нейенхейса Ы3 почти пара-комплексной структуры 3 на 1 :
[ф,ф](х,у) = ВДУ) + Сп(х,у)4, где х = Х + Ц и у = У + д4 и где У,У е
Доказательство. Непосредственные вычисления:
[ф,ф](х,у) = [ф,ф](Х + Ц, У + ц4) = = ф2[Х + ц, у + Ц4] + [ф(Х + Ц), ф(У + м4)] -- ф[Х + ц, ф(У + м4)] - ф[ф(Х + Ц), у + Ц4] = = ф2([Х, У],) + [3(Х), 3(У)] - ф[Х + Ц, 3(У)] - ф[3(Х), у + Ц4] = = + [Х, У], + [3(Х), 3(У)], + ю(3Х, 3У)4 - ф[Х, 3(У)] - ф[3(Х), У] = = + [Х, У], + [3(Х), 3(У)], + ю(Х, У)4 - ф([Х, 3(У)], + + ю(Х, 3У)4) - ф([3(Х), У], +ю(3Х, У)4 ) = = [Х, У], + [3(Х), 3(У)], - 3([Х, 3(У)],) - /([/(X), У],) - ю(Х, У)4 = = Ж/(Х,У) - ю(Х, У)4 = Ж/(Х,У) + Сп(Х,У)4 = Ы^ХУ) + Сп(х,у)4. ■
Следствие 1. Тензор Ы\х,у) параконтактной метрической структуры (п, 4, ф, ё) на центральном расширении д = , хюЯ. выражается через тензор Нейенхейса Ы3 почти пара-комплексной структуры 3 на , по формуле
Ы(1)(х,у) = ЫАХ,У), где х = Х + Ц и у = У + д4 и где У,У е
Доказательство. Ы(1)(х,у) = [ф,ф](х,у) - Сп(х,у)4 = Ыт(Х,У) + Сп(х,у)4 - Сп(х,у)4 =
= ыах,у). ■
Следствие 2. Параконтактная метрическая структура (п, 4, ф, ё) на центральном расширении д = , хюЯ.. является пара-сасакиевой тогда и только тогда, когда симплектическая алгебра (,,ю,,/) является пара-кэлеровой.
4. Ковариантные производные и кривизна
В этом разделе мы установим формулы, связывающие свойства кривизны почти пара-кэлеровых алгебр Ли (11,ю,/) и полученных из них центральными расширениями параконтактных структур (д, п, 4, ф, ё). Пусть V и Б - ковариантные производные связностей Леви-Чивита на алгебрах Ли д и ,, соответственно.
Лемма. Пусть (ю, 3, И) - почти пара-кэлерова структура на алгебре Ли , и (п, 4, ф, ё) - соответствующая ей параконтактная метрическая структура на центральном расширении д = , хюЯ.. Тогда ковариантное производная V на д выражается через ковариантную производную Б на ,, форму ю и почти пара-комплексную структуру 3 на , следующим образом:
VxУ = (бхУ), + А ю(Х, У) 4;
Vx4 = V4X = У3Х и V44 = 0,
гдеХ,У е
Доказательство. Непосредственные вычисления проводятся с использованием шестичленной формулы [10], которая для левоинвариантных векторных полей х, у, г на группе Ли принимает вид: 2ё(Уху, г) = ё([х, у], г) + ё([г, х], у) + ё(х,[г, у]). Левоинвариантное векторное поле х на д мы представляем в виде х = X + ^4, где
X е ,. Тогда с учетом [X, У]д = [X, У], +ю(X, У)4, [X, 4]д = 0, и ортогональности , и 4, получаем для X,Y е ,:
2g(VxУ,Z) = И([X,У]„, 2) + И(^,X],, У) + И(X,[Z,Y],) = 2И(DxУ,Z); 2^У, § ) = g([X,У]g, § ) + 8[§ , X]g, У) + g(X,[§,У]д) = ю(X, У). Следовательно, VxУ = (DxY), + У ю^ У)4. Далее, с учетом И(^ У) = ю(X, 3У):
28^, 2) = g([X, § ]д, 2) + XV § ) + g(X,[Z, § ]д) =
= ю(ZX = ю(Z,JJX) = И(Z,3X) = g(3X, 2); 2g(V§4, ^ = 8([4,4]д, Z) + 8^, 4]д, 4) + 8(4,^, 4]д) = 0;
2^x4, 4) = 8(К4]д, 4) + 8([4, X]д, 4) + g(X,[ 4, 4]д) = 0; 2g(V§ 4, 4) = 8([4,4]д, 4) + 8[4, 4]д, 4) + 8(4,[ 4, 4]д) = 0.
Поэтому Vx§ = УъШ е ,. Аналогично,
2g((V § У, I) = 8([§ , У]д, Z) + g([Z, § ]д, У) + 8(§ ,[Z, У]д) =
= ю(^ У) = ю^^У) = И(Z,3Y) = 8(3У, Z);
2g(V§§ , Z) = 8([§ ,§ ]д, Z) + 8^, § ]д, § ) + 8(§ ,[Z, 4]д) = 0;
28(^§ У, § ) = 8([4, У]д, + 8([4, 4]д, У) + 8(4,[ 4, У]д) = 0;
28^§§ , § ) = 8([§ ,§ ]д, § ) + 8[§ , § ]д, § ) + 8(§ ,[§ , § ]д) = 0.
Следовательно, V§У = У3У е ,. ■
Теорема 2. Пусть (ю, 3, И) - почти пара-кэлерова структура на алгебре Ли , и (п, 4, ф, 8) - соответствующая ей параконтактная метрическая структура на центральном расширении д = , хюЯ.. Тогда тензор кривизны Я на д выражается через тензор кривизны Я, на ,, форму ю и почти пара-комплексную структуру 3 на , по формулам:
Я(X,У)Z = Я^У^ + У DZю(X,У)§ - % (ю^ 3- ю(У, Z)3X) - У ю(X, У)^; Я(X,Y)4 = у (^3)У -(Dy3)X); Я(X, 4) Z = У(Dx3)Z + %g(X, Щ , Я(X, §)§ = X,
где XУ е ,.
Доказательство. Заключается в непосредственных вычислениях по формуле Я^,^ = VX(VУZ) - VY(VXZ) - V[X,У]Z с использование формул ковариантных производных, полученных в Лемме 1. Например, возьмем сначала левоинвариантные векторные поля вида X,У,Z е ,. Тогда с учетом [X, У]д = [X, У], + ю^ У)§ , [X, 4]д = 0, ортогональности , и 4 и VXУ = (DXУ), + У ю^ У)§ , получаем Я(X,У)Z = Vx(VyZ) - Vy(VxZ) - V[x,y] Z = = Vx {DyZ + У ю^,^} - Vy{DxZ + У ю(^ Z)§} - V[x,Y]h+ю« У)§ Z = (Поскольку ю(У, Z) - это постоянная функция, то VX(ю(Y,Z)) = X(ю(У,Z)) = 0.) = DxDyZ + У ю^у^ + У ю(У, 1){ У/X) -- {DУDXZ + У юУ^^ + У юУ, Z)( У3У)} --{D[x,y] Z + Ую([X, У], г)§} - юУ У) V§Z = = Я+ У {ю(X,DyZ) -ю(У,DxZ) -ю([X,У], 2)}§ + + %{ю(У, Z) 3X - юУ Z)3У} - У ю(X, У)3Z. Для того чтобы упростить ю(X,DyZ) - ю(У,DXZ) - ю([X,У], 2) в последнем выражении, используем свойства DXZ = DZX + [X, I] и DУZ = DZY + [У, Z]. Тогда с учетом замкнутости формы ю, ю(X,[Y,Z]) + ю(Y,[Z,X]) + юУУУ]) = dю(X,У,Z) = 0 и равенства Zю(X, У) = ф^юХ^У) + ю(DZX,У) + ю(X,DZУ) = 0 получаем
юу, DУZ) - ю(У, DXZ) -ю([X, У], 2) = = ю(X, DZУ + [У, ^ - ю(У, DZX + [X, Z]) -ю([X, У], Z) = = ю(X, DZY) + ю(X, [У, Z]) - ю(У, DZX) - ю(У, [X, ^ - ю([X, У], 2) = = юу DZУ) - ю(У, DZX) + ю(X, [У, Z]) - ю(У, [X, ^ -ю([X, У], Z) = = ю^^ У) + ю(X, DZY) = - ф^уУ). Подставляя это полученное выражение, заканчиваем вычисления:
= Я^де + У DZю(X,У) 4 + % (ю(У, Z) 3X - юу Z) 3У ) - У юу У)3Z. Рассмотрим случай Яу У)4, где X,У е ,. Тогда с учетом равенств Vx§ = //X и V§ § = 0 получаем
ЯУУ)4 = Vx (Vy 4) - Vy (Vx 4) - V[x,y] 4 = = Vx (У/У) - Vy(У3X) - V{[x,y]h+ ю(x, У)4} 4 =
= VX(У3У) - VY(1/зX - У3[X, У] = = У {Dx 3У + У юу 3У)4} - У фу 3X + Ую(У, 3X)4 } - //[X, У] = = У ^ 3)У- У 3(РхУ) + % юу 3У)4 - У (DУ 3X-- У/(DyX) - % ю(У, 3X)4 - У/[X, У] = = У ^ 3)У - У (Dy /)X + У 3^У - DyX) + + % юу 3У)4 - % ю(У, 3X)4 - У/[X, У] = = У ^ 3)У - У (Dy /X + У 3([X, У]) + %ИУУ)4 -- %И(У,X)4 - У/[X, У] = У (^ 3)У - (Dy /)X). Теперь рассмотрим случай Яу 4)У, где X,Y е ,. Аналогично получаем Я(X, 4)г = VX(V§Z) - V § - V[x, 4] z = = Vx (У/Z) - V§ (DxZ + У юу Z)4) = У Vx ^ - У3(DxZ) = = У ^3 z + У юу 3Т)4} - У/(DxZ) = = У {ф/^ + 3(DXZ) + Ую(X,3Z)4} - У 3(DXZ) = = /(0x3)2 + %ю(X,3Z)4 = /(0x3)2 + %g(X, Щ. Аналогично устанавливается последняя формула:
Я(X, 4) 4 = Vx<V4§) - V§(Vx§) - V[x, 4]§ = -У'(/X) = -УУ/(3Х) = -/X. ■ В случае пара-кэлеровой структуры на алгебре Ли , имеем, Dю = 0 и DJ = 0. Поэтому формулы для кривизны будут более простого вида. Если дополнительно учесть формулу ю(Y,Z)JУ - ю(X,Z)3У = И(У,3Z)3X - И(X,3Z)3У, то получаем
Следствие 3. Пусть (ю, 3, И) - пара-кэлерова структура на алгебре Ли , и (п, 4, ф, 8) - соответствующая ей контактная пара-сасакиева структура на центральном расширении д = , хюЯ. Тогда тензор кривизны Я на д выражается через тензор кривизны Я, на ,, форму ю и почти пара-комплексную структуру 3 на , следующим образом:
Я(XУ)Z = Я,(XУ)Z - %Иу/г)/У + %И(У,3Z)/X- У И(X, 3У)3Z; Я(ХУ)4 = 0;
Я(X, 4) z = %8У Z)4; Я(x, 4)4 = -уу
гдеX,У е ,.
Напомним, что тензор Риччи Ric в псевдоримановом случае определяется формулой
Ric(X,Y) = Ei Sig(R(e,Y)Z, e), где {ei} - ортонормированный базис на д и si = g(ei, ei). Мы будем выбирать базис алгебры д вида {eb ..., e2„, e2„+i} = {Eb ..., E2n, 4}, где Et e h и 4 - поле Риба. В следующих вычислениях считаем, что индекс i меняется от 1 до 2n + 1, а индекс j - от 1 до 2n. Кроме того, мы считаем, что почти пара-комплексная структура на h является интегрируемой, так что h - это пара-кэлерова алгебра Ли.
Теорема 3. Пусть (ю, J, h) - пара-кэлерова структура на алгебре Ли h и (П, 4, ф, g) - соответствующая ей параконтактная структура Сасаки на центральном расширении д = h xMR. Тогда тензор Риччи Ric на д выражается через тензор Риччи Ric-ц на h, форму ю и почти пара-комплексную структуру J на h следующим образом:
Ric(Y,Z) = Rich(Y,Z) + V h(Y, Z); Ric(Y, 4) = 0, Ric(4, 4) = -n/2,
гдеX,Y e h.
Доказательство. В ортонормированном базисе {e1, ..., e2n, e2n+1} = {E1, ..., E2n, 4} алгебры д, где Ej e h, для Y,Z e h получаем
Ric(Y,Z) = Ei Si g(R(e,Y)Z, e) = = Ei Si g(R„(ebY)Z +1/4 rn(Y,Z)Je, - 1/4 ®(e„ Z)JY- 1/2 ®(e„ Y)JZ, e) = = EjSjh(Rh(Ej,Y)Z, Ej) - %siffl(Y,Z h(JEj, Ej) -- ^Siffl(Ej, Z) h(JY, Ej) - ^Sjffl(Ej,Y)h(JZ,Ej) + g(R(4,Y)Z, 4) = = Rich(Y,Z) - %Ejs, ra(Ej, Z) h(JY, Ej) - Visjm(Ej,Y)h(JZ,Ej) - %g(Y, Z) = = Rich(Y,Z) - %Ej s, h(Ej,JZ)h(Ej,JY) - Vs, h(Ep JY)h(Ej, JZ) - %h(Y,Z) = = Rich(Y,Z) - % h(JY, JZ) - V h(JY, JZ) - % h(Y, Z) = = Ric,(Y,Z) + % h(Y,Z) + V h(Y, Z) - % h(Y, Z) = = Rich(Y,Z) + Vh(Y, Z).
Далее,
Ric(Y, 4) = Ei g(R(e,Y)4, e) = = E, s, g(R(E,,Y)4, Ej) + g(R(4,Y)4, 4) = -% g(Y, 4) = 0. Ric(4, 4) = Ej Sj g(R(e, 4)4, ei) = E, s, g(R(Ej, 4)4, Ej) + g(R(4, 4)4, 4) =
= -% Ejsj g(E,, Ej) = -% Ejs,£j = -n/2. ■ ЛИТЕРАТУРА
1. Bejan C.L., Eken S., Kiliq E. Legendre Curves on Generalized Paracontact Metric Manifolds // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2019. V. 42. P. 185-199. DOI 10.1007/s40840-017-0475-y.
2. Prakasha D.G., Veeresha P. Para-Sasakian manifolds and *-Ricci solitons // Afrika Matematika. V. 30. Iss. 7-8. P. 989-998. DOI: https://doi.org/10.1007/s13370-019-00698-9.
3. De U.C., Han Y., Mandal K. On Para-Sasakian Manifolds Satisfying Certain Curvature Conditions // Filomat. 2017. V. 31. No. 7. P. 1941-1947. DOI 10.2298/FIL1707941D.
4. Alekseevsky D. V., Cortes V., Galaev A. and Leistner T. Cones over pseudo-Riemannian manifolds and their holonomy // J. Reine Angew. Math. 2009. V. 635. P. 23-69. DOI: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2009.075.
5. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry // Lecture Notes in Mathematics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976.
6. Алексеевский Д.В., Медори К., Томассини А. Однородные пара-кэлеровы многообразия Эйнштейна // Успехи математических наук. 2009. Т. 64. Вып. 1(385). C. 3-50. https://doi.org/10.4213/rm9262.
7. Smolentsev N.K. Left-invariant almost para-complex structures on six-dimensional nilpotent Lie groups // Cornell University Library: arXiv:1801.07991v2 math.DG. 15 p.
8. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // Diff. Geom. and its Appl. 2008. V. 26. Iss. 5. P. 544-552. DOI: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2008.04.001.
9. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups. Differential Geom. Appl. 2004. V. 21. No. 1. P. 41-54. DOI: 10,1016 /j.difgeo.2003.12.006.
10. Smolentsev N.K. Invariant pseudo-Sasakian and K-contact structures on seven-dimensional nilpotent Lie groups // Science Evolution. 2017. V. 2. No. 1. P. 91-99.
11. Kobayashi S. and Nomizu K. Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 and 2. New York; London: Interscience Publ., 1963.
Статья поступила 20.08.2019 г.
Smolentsev N. K. (2019) LEFT-INVARIANT PARA-SASAKIAN STRUCTURES ON LIE GROUPS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 62. pp. 27-37
DOI 10.17223/19988621/62/3
Keywords: para-complex structures; para-Sasakian structures; para-Sasakian manifold; paraKahler structures; left-invariant paracontact structures.
Paracontact structures on manifolds are currently being studied quite actively; there are several different approaches to the definition of the concepts of paracontact and para-Sasakian structures. In this paper, the paracontact structure on a contact manifold (M2n+1, \) is determined by an affinor ф which has the property ф2 = I - n®, where E, is the Reeb field and I is the identity automorphism. In addition, it is assumed that С\(фХ, фY) = - d\(X,Y). This allows us to define a pseudo-Riemannian metric by the equality g(X,Y) = d\^X,Y) + \(X)\(Y). In this paper, Sasaki paracontact structures are determined in the same way as conventional Sasaki structures in the case of contact structures. A paracontact metric structure (\, Ф, g) on M2n+1 is called para-Sasakian if the almost para-complex structure J on M2n+1xR defined by the formula J(X, fd) = (фХ -Д, -\(X)dt), is integrable. In this paper, we obtain tensors whose vanishing means that the manifold is para-Sasakian. In the case of Lie groups, it is shown that left-invariant para-Sasakian structures can be obtained as central extensions of para-Kahler Lie groups. In this case, the relations between the curvature of the para-Kahler Lie group and the curvature of the corresponding para-Sasakian Lie group are found.
AMS Mathematical Subject Classification: 53C15, 53D10, 53C25, 53C50
Nikolay K. SMOLENTSEV (Dr. Sci. of Physics and Mathematics, professor of Fundamental Mathematics department of Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Bejan C.L., Eken S., Kiliç E. (2019) Legendre Curves on Generalized Paracontact Metric Manifolds. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 42. pp. 185-199. DOI 10.1007/s40840-017-0475-y.
2. Prakasha D.G., Veeresha P. (2019) Para-Sasakian manifolds and *-Ricci solitons. Afrika Matematika. 30(7-8). pp. 989-998. DOI: https://doi.org/10.1007/s13370-019-00698-9.
3. De U.C., Han Y., Mandal K. (2017) On Para-Sasakian Manifolds Satisfying Certain Curvature Conditions. Filomat. 31(7). pp. 1941-1947. DOI: 10.2298/FIL1707941D.
4. Alekseevsky D.V., Cortes V., Galaev A., Leistner T. (2009) Cones over pseudo-Riemannian manifolds and their holonomy. J. Reine Angew. Math. 635. pp. 23-69. DOI: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2009.075.
5. Blair D.E. (1976) Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lecture Notes in Mathematics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag.
6. Alekseevsky D.V., Medori C., Tomassini A. (2009) Homogeneous para-Kähler Einstein manifolds. Russ. Math. Surv. 64(1). pp. 1-43. DOI: https://doi.org/10.4213/rm9262.
7. Smolentsev N.K. (2018) Left-invariant almost para-complex structures on six-dimensional nilpotent Lie groups. arXiv:1801.07991v2 math.DG. 15 p.
8. Diatta A. (2008) Left invariant contact structures on Lie groups. Diff. Geom. and its Appl. 26(5). pp. 544-552. DOI: https://doi.org/10.1016Zj.difgeo.2008.04.001.
9. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. (2004) Symplectic or contact structures on Lie groups. Differential Geom. Appl. 21(1). pp. 41-54. DOI: 10,1016 / j.difgeo.2003.12.006.
10. Smolentsev N.K. (2017) Invariant pseudo-Sasakian and K-contact structures on seven-dimensional nilpotent Lie groups. Science Evolution. 2(1). pp. 91-99.
11. Kobayashi S., Nomizu K. (1963) Foundations of Differential Geometry. Vol. 1, 2. New York; London: Interscience Publ.
Received: August 20, 2019
