О НУЛЯХ И ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО РОСТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 2 (2024). С. 16-26.

УДК 517.547.22

О НУЛЯХ И ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО РОСТА

Г.Г. БРАЙЧЕВ

Аннотация. В статье для важного класса целых функций нулевого порядка выявляются непосредственные, прямые связи между скоростью стремления к бесконечности последовательности нулей и скоростью стремления к нулю последовательности тейлоровских коэффициентов. Применяя коэффициентную характоризацию роста целых функций и некоторые тау-беровы теоремы из выпуклого анализа, мы получаем точные асимптотические оценки, связывающие нули А„ и спрямленные по Адамару тейлоровские коэффициенты /„ для целых функций логарифмического роста. В ситуациях, когда функция обладает той или иной регулярностью поведения, упомянутые оценки переходят в точные асимптотические формулы. Например, если целая функция имеет регулярный по Борелю рост и точка а = 0 не является ее борелевским исключительным значением, то при п ^ ж справедливо асимптотическое равенство ln |А„| ~ ln(fn-1/ fn)• Результат верен и для функций совершенно регулярного логарифмического роста, причем в последнем случае дополнительно можно утверждать, что ln |А1А2 ... Ап | ~ ln fn при п ^ ж.

Ключевые слова: целая функция, последовательность нулей, тейлоровские коэффициенты, спрямленные по Адамару тейлоровские коэффициенты, логарифмический порядок, логарифмический тип.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 30В10

1 Введение Предварите 1ънъ1е сведе! 1ин

Настоящая работа является продолжением серии статей [1], [2|, в которых изучалось совместное поведение нулей и тейлоровских коэффициентов целой функции. Здесь мы начинаем с рассмотрения целых функций положительного порядка, чтобы показать, что для изучения аналогичных вопросов в классе функций нулевого порядка требуется отдельное исследование. Как и в [1|, [2|, нас будет интересовать получение двусторонних оценок и асимптотических равенств, связывающих нули и тейлоровские коэффициенты рассматриваемых целых функций. Каждая целая функция представляется рядом Тейлора

/(г)^/пгп, к = , С, (1.1)

п=0 '

сходящимся всюду в комплексной плоскости.

Целую функцию конечного порядка р (определение порядка приводится ниже) с последовательностью нулей Л = Лf = (Ага}^=1 можно представить также и в виде произведения Адамара

^ / \ 2 р /(*) = гтер^ П (1 -у ) +^+"' +^, ¿е С, (1.2)

п=1 ^ п'

Где т — кратность нуля в точке г = 0, р ^ р, и Р(г) — многочлен степени ^ р (см. [3]).

0 = (0) = 1

G.G. Braiohev, On zeros and Taylor coefficients of entire function of logarithmic growth. © Врайчев Г.Г. 2024. Поступила 18 августа 2023 г.

Через Mf (г) обозначим максимум модуля функции f в круге |z| ^ г, т.е. величину

Mf (г) = max |/(z)| = max |/(z)|, г > 0.

Как известно, Mf (г) — возрастающая, выпуклая относительно ln г функция. Скорость ее стремления к бесконечности связана с асимптотическим поведением последовательности тейлоровских коэффициентов {fn}neN0 и последовательности пулей {Ara}ragN фупкц и и f.

Борель [4| ввел понятия порядка и нижнего порядка функции, предложив вычислять эти характеристики по формулам

р = Pf = um lnln (r), А = А, = lim lnln Mf (r).

J г^+те ln Г г^+те ln Г

Если величины порядков совпадают, т.е. pf = \f, то говорят, что f имеет регулярный по Борелю рост (порядка р). Порядок целой функции можно вычислить также через коэффициенты ее ряда Тейлора но известной формуле

-— п ln п

р = lim 1 \f Ii .

п^те ln ЦпГ1

Аналогичная формула для вычисления нижнего порядка с заменой верхних) предела на нижний в общем случае не верна, поскольку последовательность тейлоровских коэффициентов /п может содержать бесконечную нулевую подпоследовательность, как, например, в рядах четных функций или в лакунарных рядах. Для преодоления этого обстоятельства и получения формул не только для нижних) порядка, но и для других нижних характеристик роста целых функций, рассматриваемых ниже, мы, как и в работе [2|, вводим спрямленные (сглаженные, регуляризованные) по Адамару коэффициенты степенных рядов.

Коротко опишем процедуру сглаживания коэффициентов /п. Нанесем на плоскость точки (п, — 1п |/га|), где п € N0 = N и {0} и обозначим через Г ломаную, являющуюся границей выпуклой оболочки множества этих точек. Эта ломаная называется ломаной Ньютона-Адамара целой функции /(г). Если у = С(х), х ^ 0, задает уравнение Г, то спрямленные по Адамару коэффициенты определяются равенствами

к = е-с(п), п € N0.

По определению точки (п, — 1п /п), п € N0, лежат та ломаной Г. Поэтому последовательность является логарифмически выпуклой. Если поеледовательность |1/|/га|}гаем0 является логарифмически выпуклой, то, очевидно, выполняются равенства /п = |/га|, п € N0- Так будет, например (см. [5, ТЬ. 2.11.8*]), если целая функция имеет порядок, не превосходящий единицы и только отрицательные нули. В общем случае для всех п € N0 выполняется неравенство |/га| ^ /п со знаком равенства в абсциссах вершин ломаной Ньютона Адамара.

Для целых функций конечного порядка

f (*) = £ fn Zn, f (*) = £ fn

/П '

n=0 n=0

справедливо соотношение

ln Mf (r) ~ ln Mj-(r), г ^

Поэтому классические характеристики роста у такой пары целых функций соответственно совпадают. В частности, f и f имеют одинаковые порядки и одинаковые нижние порядки. Таким образом, можем записать

-— пlnn -— пlnn л , пlnn

р = lim -т- = lim —7-—, л = lim —7-—. (1.3)

™ ln | /,-1| ™ ln f-1 п^те ln f-1 v '

Происхождение первой части формулы (1.3) для порядка функции ясно из предыдущего. Вторая часть формулы (1.3) для нижнего порядка доказывается обычными методами с учетом логарифмической выпуклости последовательности {1/fn}neN0 (см- f ])• Нам понадобятся менее известные формулы. Обозначим

Rn = fn-i/fn, п е N, Rq = 1.

Как мы убедимся позже, именно с последовательностью Rn ближе всего связана последовательность нулей (точнее, модулей нулей) целой функции, заданной рядом (1.1). Логарифмическая выпуклость последовательности {1/fn} влечет возрастание последовательности Rn. Применим к выпуклым последовательностям xn = n Inn и yn = — In fn уточнение теоремы Штольца, доказанное в работе [7, теорема 2.7]. Согласно этой теореме имеем

-— nInn -— (п + 1) ln(n + 1) — nInn -— Inn

р = lim —т—т = lim -----= lim --.

^те ln fn-1 п^те ln fn_i — ln fn п^те ln Rn

Такие же равенства верны и для нижнего предела. Таким образом, справедливы формулы1

-л— lnn л ,. lnn

Р = lim г~5~, Л = lim . L4

^те ln Rn n^^ ln Rn

Обратимся теперь к характеристикам роста последовательности нулей целой функции. Пусть

т

n(r)= £ 1 — считающая функция последовательности Л = {Лп}п€ № а N (г) = j dt — ее

|А„|<т 0

усредненная считающая функция (в прежнем предположении f(0) = 1). Показатель сходимости

T = inf{a>0: №< ■

Этот показатель может быть найден по формулам

т= um = üm . (1.5)

т^+те lnr n >-<те ln |Лп| Определим также нижнюю характеристику роста последовательности нулей

ß = lim lnn(r) = lim lnn . (1.6)

т^+те ln f n^-те ln |Лп|

Величины т и ß назовем верхней и нижней логарифмическими плотностями последовательности Л = { Лп} . Будем говорить, что Л логарифмически измерима, если т = ß. Заметим, что введенные логарифмические плотности последовательности не изменятся, если в их определени-

n( )

N( )

т

N (г) = / n()dt <n(r)ln0 <с< | Л11, г>с, (1.7)

с

т

N (г) dt ^ n( ra )ln r1-a, 0 <a< 1, r> 1. (1.8)

Теперь, применив теорему Штольца, получим полезные формулы

-— lnN(r) ,— nlnn

т = lim v ; = lim ——-—, 1.9

т^+те lnr ln |Л1Л2 ■ ... ■ Лп|

ln N( ) n ln n ß = lim —-= lim - — --—. (1.10)

т^+те ln?" n^x, ln | Л1Л2 ' ... ' лп|

Пусть теперь задано число а £ C. Как обычно, а-точками целой функции f называем корни уравнения f (z) = а и обозначаем через та показатель сходимости последовательности ее а-точек.

хНа возможность применения первой из формул (1.4) для вычисления порядка р указано в задаче 52 классической книги [8].

При любом а € С справедливо неравенство та ^ р, где р — порядок f. Борель доказал, что за возможным исключением едпнственого значения а выполняется равенство та = р. Значение, для которого это равенство нарушается, называется исключительным по Борелю2. Отметим, что целые функции нецелого порядка не имеют исключительных но Борелю значений. Отметим также, что регулярный по Борелю рост целой функции не влечет логарифмической измеримости ее нулей, и наоборот. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть целую функцию, представленную бесконечным произведением (1.2), внешний экспоненциальный сомножитель которого содержит многочлен Р степени, большей показателя сходимости последовательности нулей.

Все подготовлено для доказательства основных результатов этого раздела.

Теорема 1.1. Пусть f — целая функция порядка р > 0 и нижнего порядка А, а т и р — верхняя, и нижняя, логарифмические плотности последовательности ее нулей. Тогда, спрямленные

А ^ 1п |АпК . /А р\ f, ллх

— ^ lim -- ^ min < —, — } , (1.11)

т п^ж lnRn [р т J

/А Р\ ^ т^- ln |Ап| . р п 10ч

ma^ —, — } ^ lim -- ^ — , (1.12)

[р т ) п^ж ln Rn р

где Rn = /n-i/fn при всех п € N.

Доказательство. Проверка заявленных неравенств основана на сравнении формул для логарифмических плотностей последовательности нулей функции с соответствующими формулами коэффициентного вычисления порядка и нижнего порядка этой функции. Так, применяя формулы (1.4) (1.6), получаем

lim

ln п

lim ^ = lim Ä > ^ Г = -.

- In R - In n 1: In n T-

пцж ln Rn пцж ^^—г lim т—гт—г i 1n |An| nmx ln lA«l

Оценка сверху нижнего предела дроби через нижние пределы числителя и знаменателя дает

lim

ln п

м < п—Х 1пД" = А

п-^ ЫКп < 11ш ^ р'

п—сх

Аналогичная оценка через верхние пределы приводит к соотношению

цш 1п |Ап1 < Пт Д = Р

п—Х 1пКп < йт Т '

п—х 1П |дп|

Этим доказаны неравенства (1.11). Точно так же

1:ш 1п п

у- 1п |Ап| п—X 1пДп Р

11т -- < -;- = — ,

п—х ЫПп Цт ^ V

п—х

Йт „ I 1™

ln п

lim ln |An| > Пцо 'пд- = P lim ln |An| > »ЦХ 1пД" = а

пцх ln Rn ^ lim T ' ln Rn, "" lim ß '

пцх 1n |A"1 ПЦХ 11

что доказывает неравенства (1.12). □

В качестве следствия получаем такое утверждение.

23начение а Е С называется для целой функции f исключительным по Борелю, если категория роста считающей функции последовательности ее а-точек ниже категории роста логарифма максимума модуля этой функции

(подробности см. в [3]).

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теорем,ы 1.1.

I. Если функция имеет регулярный по Борелю рост, то справедливы, равенства

lim !n!M = P, ^ In!^^ = P.

п^ж lnRn т п^ж lnRn ^

венства

lim = A, nm = p,

п^ж lnRn г П^ж lnRn r

lim ^ = P. п^ж ln Rn r

Если к тому же а = 0 не является борелевским исключительным значением функции, то справедлива асимптотика

ln |An| ~ lnRn , п ^ то.

Доказательство. Достаточно применить теорему 1.1, учитывая, что p = A, когда функция имеет регулярный по Борелю рост; т = когда последовательность нулей функции логарифмически

p = а = 0

целой функции. □

Теорема 1.2 показывает, что оценки из теоремы 1.1 точны, с предъявлением классов функций, на которых эти оценки достигаются. Напомним, что целые функции любого нецелого, а также нулевого порядка не имеют исключительных борелевских значений. Обратим еще внимание на

p = 0

теряют смысл. Этот случай рассматривается в следующем разделе.

2. Целые функции логарифмического роста

Впервые асимптотику, связывающую нули целой функции с ее тейлоровскими коэффициентами, дал Валирон [9]. Он доказал, что если тейлоровские коэффициенты целой функции отличны от нуля и удовлетворяют условию

fn-1 fn+1 п ,1

-"2--> 0, п ^ то, (2.1)

n

то верна асимптотическая формула

\п--—,-1, п ^то. (2.2)

рп

Заметим, что весьма ограничительное условие (2.1) не является необходимым для выполнения асимптотического соотношения (2.2). Действительно, целая функция

/(*) = П (1 + ¿0, м > 1 (2-3)

п=1 ^ '

удовлетворяет уравнению

/(<?*) = (1+ *)/(*), ¿е С. Разлагая /(г) в степенной ряд и приравнивая тейлоровские коэффициенты, последовательно получаем, что

/ (0) = /о = 1, дпи = /п + /п-1, /п = ^Т-Х, п е N.

Отсюда вытекает, что

Ап = -<?п - "(<7п - 1) = -^, п ^ то,

п

и условие (2.2) выполняется, а условие (2.1) нет, поскольку

/п-1/п+1 Яп - 1 1 , п

-ЦТ = ^л-г ^ 1 = 0 П

Целые функции, коэффициенты которых подчинены требованию (2.1), имеют медленный роет, точнее, удовлетворяют условию

ln Mf (г) lim -= 0.

r^+x ln2 T

Функция, заданная произведением (2.3), удовлетворяет более слабому, чем (2.1), условию

I Л!2

I/„-1|I/„+1| >Л>n(м)

Ограничение (2.4) на тейлоровские коэффициенты целой функции эквивалентно «смягченному» (символ о заменен на символ О) ограничению

lnMf (г) = О(1п2 г), т —у

на рост самой функции.

Мы рассмотрим здесь более широкие классы целых функций логарифмического роста, выделяемые условием

ln Mf (r)=0(h(r)), г —

в котором функция h(r), называемая далее весом, определена, неограниченно возрастает, дифференцируема на (0, и такова, что

rh'(r)lnr

lim —— = q, 1 ^q < , 2.5

r^+x h(r)

как, например, «модельный» вес h(r) = ln9 г с q ^ 1 или веса Линделефа — конечные произведения вида h(r) = Ш г ■ ln s(lnr) ■ ..., содержащие степени итераций логарифма.

Введем характеристики роста целых функций (и последовательностей их нулей) из классов, определяемых весами со свойством (2.5). Вначале дадим вспомогательные определения. Лога-

ln

ln

- ln ln Mf (г) ln ln Mf (r)

7 = 7f = lim —:—т-1-, fl = Vf = lim —-—-.

J r^+x ln ln r r^+x ln ln r

7f = f

рост. Из известной теоремы Лиувилля следует, что целая функция с нижним логарифмическим f<1

7f = 1

Логарифмический порядок и нижний логарифмический порядок целой функции, представленной рядом Тейлора (1.1), могут быть найдены по формулам (см. [6], [10])

1— lnn -— lnn 7 — 1 = lim -г = lim -г , (2-6)

n^x lnln I/га|-п n^x ln ln fn~ " ln n

Г] — 1 = lim -^ . (2.7)

n^x lnln fn "

Определим плотностные характеристики роста последовательности нулей |An} целой функции конечного логарифмического порядка. Верхней билогарифмической плотностью (коротко, верхней 1п2-плотностью) последовательности |An} назовем верхний предел

-х- -i- lnn -— lnn(r)

А1П2 = lim . . . = lim ^^, 2.8

n^x lnln |An| r^+x lnln Г

ln2

соответствующий нижний предел

А Г lnn у lnn(r) . .

n^x ln ln | An | r^+x ln ln r

Будем говорить, что последовательность билогарифмически измерима, если ее верхняя и нижняя билогарифмические плотности совпадают, т.е. А1П2 = А1П2.

Усредненные верхняя и нижняя билогарифмичеекие плотности последовательности определя-

П( )

ную считающую функцию N (г). Именно,

А;П2 = ^ ^, (2.10)

1п2 г—+ж 1п1пг

А1„2 = иш ^• C2.il)

2 г—+ж 1п 1п V

Величины (2.8) и (2.10), а также (2.9) и (2.11) попарно связаны простыми равенствами

А1П2 = А*п2 - 1, А1п2 =А*п2 - 1. (2.12)

Вывод формул (2.12) основан на оценках (1.7), (1.8) (см. также [10]). Для понимания сути происходящих) полезно сопоставить (2.8) (2.12) с (1.5) (1.10).

Применяя формулы (2.6) (2.9), приходим к следующему результату.

Теорема 2.1. Пусть / — целая функция логарифмического порядка 7 и нижнего логарифмического порядка г? > 1, а А1 и А1П2 — нижняя и верхняя билогарифмичеекие плотности последовательности ее нулей. Тогда спрямленные, тейлоровские коэффициенты, и нули этой функции связаны, нера.венствамл!,

V - 1 ^ 1п1п |Ап1.1> - 17 - 1\ ,01„ч

Ап—^ж 1 ^ ^ п (. А 1п2 А1П2 J

1п2 п—ж 1п1п/п " 1п2 А1П2

шаЛ ^,7-Л < ИШ 1п1п |Ап| < Х-1 . (2.14)

1А 1п2 А 1п^ п—ж 1п 1п " А1П2

I. Если функция, и,иеет регулярный логарифмический рост, то выполняются, равенства,

1п 1п |Ап| 7- 1 т^" 1п 1п |Ап| 7 - 1 ИШ -Г = ■=- , иш -г = —- •

п—ж 1п 1п /п" " А 1п2 п—ж 1п 1п /п" " А 1п2

II. Если последовательность нулей функции билогарифлтчески измерима, то справедливы равенства,

1п 1п |Ап| ?у- 1 т^- 1п 1п |Ап| 7 - 1 пш -г = =— , пш -г = ■=— •

п—ж 1п1п/п" " А 1п2 п—ж 1п 1п /п" " А 1п2

III. Если выполнены, условия пунктов I и II, то существует предел,

1п 1п |Ап| 7 - 1 пш -г = =— •

п—ж 1п1п /п" " А 1п2

Формулы (2.13), (2.14) являются подходящими аналогами формул (1.11), (1.12). Доказательство теоремы 2.1 повторяет рассуждения из доказательств теорем 1.1, 1.2, и поэтому мы его опускаем.

Введем более тонкие характеристики целой функции логарифмического роста и последовательности ее нулей. Пусть вес Л,( г) удовлетворяет условию ( ). Тип и нижний тип целой функции относительно Л,( г) (коротко, ^-тип и нижний ^-тип) определяются соответственно формулами

/ - 1пМ, (г) , ч 1пМ,(г) , ч

ТН = ВД)=,—+,ж -М^ , и = Ь(/)=_—и (2.15)

Следуя терминологии Валирона [9], говорим, что целая функция имеет совершенно регулярный логарифмический рост, или, точнее, совершенно регулярный ^-рост, если ее Л,-тип и нижний ^-тип совпадают, т.е. если Т^ =

Следующие величины характеризуют рост последовательности Л нулей целой функции f. Верхняя и нижняя h-плотпости Л, а также усредненные верхняя и нижняя h-плотпости Л определяются соответственно формулами

-Л- -Л- / A4 т;--п(г) . . ... п(г)

Ah = ДЛ(Л)= lim -¿Д , Дh = Ал(Л)= lim

r^+x rh'(r)' ~h ~hyj rh'(r) '

Ah =Ah(Л)= lim ®, A*h = А;(Л)= lim ®.

h r^+x h( 0 ~h ~hyj h(r)

Пусть q > 1 — величина предела в ( ). При q > 1 введенные характеристики удовлетворяют неравенствам

ai Ah* < А h < A*h, Ah* < Ah Ah*,

где ai, a2 — корни уравнения

qa + (1 - q)aq/(q-1) = A*h / Ah*. (2.16)

= 1

A h =Ah , Ah = Ah

Если Ah (Л) = A ^Л), или, что равносильно, A/*^) = Ah (Л), то говорим, что последовательность Л является h-измеримой. Заметим, что желание измерять плотностные характеристики роста последовательности нулей, сравнивая считающую и усредненную считающую функции

h( )

логично усредненной верхней h-илотности Ah величину верхнего предела lim = ö, для

r^+x hvr)

целых функций нулевого порядка с конечным h-тппом будем иметь равенство ö = 0. Действительно, при любом к > 1 последовательно получаем (ср. с f ]) соотношения

кг

N {кг) > n(ädt>n(r)luk, Щк4 Ш > n4ln к.

h( к ) h( ) h( )

Поскольку h( к г) ~ h( г) при г ^ то переход к верхнему пределу дает Ah* > S lnk с произ-к > 1 = 0 Следующие неравенства, устанавливающие связь между ростом функции и ростом последовательности ее нулей, легко следуют из формулы Иенсена. Речь идет о соотношениях

Ah* < Th, Ah < th.

Как показано в диссертации [12, теоремы 2.11, 2.12], для функций нулевого порядка с конечным h

h( )

h Th h h

и нижнюю h-плотности A* и Ah соответственно. Тогда справедливы равенства

Ah* = Th, A*h = th. (2.17)

= 1

Ah = Th, A h = th. (2.18)

Равенства (2.17) и (2.18) играют ключевую роль при установлении результатов о совместном изменении нулей и тейлоровских коэффициентов целой функции. Нам понадобятся формулы для hh ровским коэффициентам (см., например, [6]).

h( ) > 1 к( )

ратная к h(eJ)/г функция. Пусть, далее, целая функция f , представимая рядом ( ); имеет

h-mun Th, = Т G (0, +то) и нижний h-mun th = t. Тогда ее спрямленные тейлоровские коэффициенты удовлетворяют равенствам

-— nfc(n) q lim -—т =-

п—ж ln fn 1 1

НЖ.^Г ) , (2.19)

М -^тПт = ^ • (2-20)

п—ж 1п /п 1 1

Следующие две теоремы являются основными результатами статьи.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы А. Если в ( ) величина д > 1; то справедливы, неравенства,

1 -Ч — 1 -Ч — 1 1

* Цш , , /п * ! * д^ ;п/п * (П^ , (2.21)

Т/ п—ж 1п | А1А2 • • • Ап| п—ж 1п | А1А2 ...Ап | )

^ * Иш ^ * пш ^ * (^ 5-1 , (2.22)

й2) п—ж 1пКп п—ж 1пКп \а1/

где Кп = /п_1/¿в а1, а2 (а1 * 1 * а2) суть корни уравнения (2.16), принимающего вид

да + (1 - д)ач/(ч-1) = ¿/Т.

Если функция имеет совершенно регулярный И рост,, или, что равносильно, последовательность ее нулей И-измерима, то справедливы асимптотические равенства

-1

1п |А1А2 ...Ап| — 1п /п , п ^ то, 1п |Ап| — 1пДп, п ^ то,

Доказательство. В работе автора [ ] показано, что верхняя и нижняя усредненные Н-плотности А* = А и А* = А* последовательности пулей функции / совпадают соответственно с верхним

" " ж £п

и нижним Н-типом вспомогательной функции ^(г) = ^ -—--—, построенной по нулям ис-

п=0 А1А2.. . Ап

( )

Д — 1

ные ( ), ( ), с заменой /п на логарифмически выпуклую последовательность | А1 А2 ... Ап|. Именно,

1

iim таА:(та) = g ы*л —

n—ж ln |ATA2 ... An| q — 1

(A *q У-1 . (2.23)

М , ..П^ А , =^(4*,)^ . (2.24)

п—ж 1п | А1А2 . . . Ап| - 1

Оценим обычным образом верхний и нижний пределы частного в (2.21), используя формулы (2.19), (2.20), (2.23), (2.24) и равенства (2.17) нз предложения 2.1. Получим

- —1 пк(п) щш пк(п) .

1п /п = 1п 1Л1Д2 ...Л"1 * п—ж 1п |Л1Л2 ...А«1 _ (Т\ I-1

n—ж ln | Al A2 ...An| n—ж nk(n)^ iim nk(n)

ln fn n—>-Ж ln fn

(!)

-i lim

nk(n)

1- ln fn n^o ln |Л1Л2 -An| t

llm -—- > n—Ж- = - = 1

n—ж ln IA1A2 ...An| lim nk(ra)1 t

n—Ж ln fn

Работа с нижним пределом в (2.21) привлекает те же соображения. Выкладки мы опустим. Для вывода (2.22) применим доказанные в [6] оценки

(A *') «n—ж « («2A *») - . Р.»)

fai A ^ « lim « (A*(?)^ . (2.26)

V ' -п^ж ln An

Согласно формуле Валнрона [ ] логарифм максимального члена р(г) ряда Тейлора целой функции имеет такое же представление через центральный индекс V(г), как и усредненная считающая функция последовательности нулей N (г) через считающую функцию п(г). Точнее,

lnp(r) = У

"(i) dt.

Поскольку центральный индекс v(г) является считающей функцией последовательности Rn, то для него имеют место аналоги формул ( ), ( ) с заменой усредненных Л,-плотностей последовательности нулей целой функции на величины ее Л-типов. Тем самым

(Tq)^ < HS < (d2Tq)^ , (2.27)

n^x ln Rn

(aiTq)^ < Hm -^т < (tq)^ . (2.28)

n^-x ln Rn

Теперь результат (2.22) легко получить, используя оценки (2.25) (2.28). В самом деле, правое неравенство в (2.22) выводится по схеме

lim fc(n) i . .

— ln |Л„1 ЛХ ln Rn (d2Tq) <?-1 _(аЛ 4-1

lim ^^ < < 1

n^x lnRn lim JgU („ n=i

n^x 1 n 1

(aiA

©

Для вывода левой оценки в (2.22) запишем

lim Mnl

ln |Лп1 n^X lnRn ^ (aiTq) «-1 /аЛ «-1

| n| n

lim -- — -— , , — 1

n^x ln Rn lim ( X* ^

n^x ln lAnl (a2 A q)

(at)

- *

Мы учли предложение 2.1, согласно которому выполнено равнетво T = A

Последнее утверждение теоремы получим, если примем во внимание, что в указанных условиях справедливы равенства T = t = A* = A . При этом корпи уравнения (2.16) совпадают и равны единице. Отметим, наконец, что последнее асимптотическое равенство в утверждении теоремы влечет предыдущее равенство в силу теоремы Штольца [7]. □

Осталось рассмотреть случай очень медленного роста целой функции, когда ее логарифмический порядок равен единице. Здесь требуется отдельное исследование, поскольку предыдущие рассуждения теряют силу. В этом случае вес имеет вид h(r) = lnr ■ hi(г), где для функции hi(ет) предел из (2.5) больше нуля. Выберем для наглядности модельный вес h( г) = lnr ■ lns(lnr) с показателем s > 0.

Теорема 2.3. Пусть вес h(г) = lnr ■ lns(lnг), где s > 0, а целая функция f имеет конечный h-mun Th, = T и нижний h-mun th = t > 0. Тогда, ее спрямленные тейлоровские коэффициенты и нули удовлетворяют неравенствам

(-) ' < lim 1ln^lnRn) < 1 < lim 1ln(lnRn) < (-) ' . (2.29)

\TJ " n^X ln(ln |Лп|) n^x ln(ln |Лп|) \tj K J

h

h-измерима, то спрямленные тейлоровские коэффициенты { fn} и нули {Лп} связаны асимптотической формулой

ln(ln |Л n|) ~ ln(lnRn), п —У то.

Здесь, как и прежде, обозначено Rn = fn-1/fn.

h( ) = 1

предложению 2.1 выполнены равенства T = A, t = A, которые в рассматриваемом случае, когда

rh'(r) ~ тптт ПРИ r ^ можно записать в виде

™ т-— lnMf (г) -— n(f) г-— П -5-

T = lim -f = lim -—- = lim -= A .

г—+ж lnrlnS(lnr) г—+ж ln S(lnr) n—ж lnS(ln |An|)

lnMf (r) n(r) n

í = lim _f _= lim _—_= lim _= A.

r—+ж ln Г lnS(lnr) г—+ж ln S (ln r) n—ж lns(ln |An|) _ '

h

T = lim , „ ,П „ N . í = lim П

ra—o îns(în Rra) ' ra—o îns(înRra)'

Теперь нетрудно оценить

Т = lim , ..." ,, > îim , îim iniínM = (¡im

ra—o înS(în ^raQ ra—o înS(înRra) ra—o înS(în II) ra—o înS(în IЛ^^I )

Следовательно,

îim în S(în Rra) < Т.

ra—o îns(în II) t

Оценка сверху дает

т =îim . ..." .. < îim . nm Ж4 = Tnm înS<înR«>

ra—o înS(în ЛI) ra—o în^înR^ ra—o înS(în ^raI) ra—o înS(în ЛI) '

откуда получаем

* * ^ în *(înRra)

îim v , ^ 1.

ra—o ШДШ ^raI)

Поменяв местами в приведенных рассуждениях последовательности Rra и I Лп I, получим оценки

в левой части (2.29). Наконец, последнее утверждение теоремы следует из ее основной части при

t = Т. Доказательство завершено. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г.Г. Брайчов. Совместные оценки корней и тейлоровских коэффициентов целой функции /'/' Уфимск. матом, жури., 13:1, 31 45 (2021).

2. Г.Г. Брайчов. О связи между ростом нулей и убыванием, тейлоровских коэффициентов целой функции /'/' Матом, заметки, 113:1, 32 45 (2023).

3. Б.Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

4. Е. Borel. Leçons sur lea fonctions entières. Paris: Gauthier-Villars, 2e édition. 1921.

5. R.P. Boas, Jr. Entire functions. New York: Acad. Press. 1954.

6. Г.Г. Брайчов. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей. 2005.

7. G.G. Braiclicv. On Stolz's theorem and its conversion // Eurasian Math. J., 10:3, 8 19 (2019).

8. Г. Полна, Г. Сего. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука. 1978.

9. G. Valirori. Sur les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance reguliere // Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3e série, 5, 117 257 (1913).

10. S. Shah, M. Ishaq. Maximum modulus and the coefficients of an entire series ¡/ J. Indian Math. Soc., XVI:4, 177 183 (1952).

11. A.A. Гольдберг, H.B. Заболоцкий. Индекс концентрации субгармонической функции нулевого порядка // Матом, заметки, 34:2, 227 236 (1983).

12. Г.Г. Брайчов. Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций. Дисс. ... д.ф.-м.н. М.: РУДН, 2018.

Георгий Генрихов«ч Брайчев,

Московский педагоги чеекий государственный университет,

Краснопрудная, 14,

107140, г. Москва, Россия

Российский университет дружбы народов,

Математический институт имени С.М. Никольских),

Миклухо-Маклая, 6,

117198, i\ Москва, Россия

E-mail: braichev@mail.ru