СОВМЕСТНЫЕ ОЦЕНКИ КОРНЕЙ И ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 1 (2021). С. 31-45.

УДК 517.537.3

СОВМЕСТНЫЕ ОЦЕНКИ КОРНЕЙ И ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Г.Г. БРАИЧЕВ

те

Аннотация. В статье для целой функции f(z) = ^ fnzn указаны асимптотические и

п=о

равномерные границы соизмеримости скорости роста корней и убывания тейлоровских коэффициентов относительно друг друга. Отправной точкой этим исследованиям послужило следующее утверждение Адамара: если коэффициенты ряда удовлетворяют неравенству |/n| ^ <р(п) с некоторой функцией ф(х), то модули корней растут быстрее, чем 1 / ^<р(п). В работе улучшены полученные в последнее время оценки снизу совместного роста корней и коэффициентов через максимальный член ряда Тейлора функции f(z) или считающую функцию ее корней. Привлечение спрямленных по Адамару коэффициентов ряда дало возможность установить соответствующие двусторонние оценки. Методами, развивающими классические идеи, найдена численная зависимость таких оценок от величин лакун степенного ряда, представляющего целую функцию. В частности, выделены случаи асимптотических равенств, связывающих корни и коэффициенты целой функции. Полученные оценки точны и усиливают известные результаты других авторов.

Ключевые слова: тейлоровские коэффициенты, корни целой функции, спрямленные по Адамару коэффициенты.

Mathematics Subjects Classifications: 30D20

1. Введение. Обзор известных результатов

В статье рассматриваются целые, т.е. аналитические во всей комплексной плоскости, трансцендентные (отличные от многочленов) функции. Такая функция представима рядом Тейлора

/(*) = £ fnzn, fn = L~jn), z e C, (1)

П!

n=0

содержащим бесконечно много ненулевых членов. Будем использовать обычные в теории целых функций характеристики:

Mf (г) = max If (z)| - максимум модуля функции, (r) = max |/га|гга - максимальный член ряда (1),

га€ N

uf (r) = max{n e N0 : |/п^ = (г)} - центральный индекс.

Пусть Е0 - класс целых функций, имеющих бесконечно много нулей. Не ограничивая общности, считаем, что в ряде (1) /(П) = П. Последовательность Лf = [\т}^=i нулей функции / e Е0 записываем с учетом кратностей в порядке возрастания модулей:

П < |Ai| = ... = |Ami| < |Ami+i| = ... = |Am21 < ..., (2)

G.G. Braichev, Joint estimates of zeros and Taylor coefficients of entire function. © брайчев г.г. 2021.

Работа поддержана РФФИ (грант 18-01-00236). Поступила 15 ноября 2020 г.

а считающую и усредненную считающую функции нулей обозначаем через

г

n¡(r)=max{m е N : |Am| ^ г} и Nf (г) = J dt

о

соответственно.

Имеется большое количество работ, в которых исследуется зависимость роста целой функции от скорости убывания ее тейлоровских коэффициентов или от роста и распределения ее нулей на комплексной плоскости, В одних работах (их большинство) такие характеристики роста ln Mf (г) как порядок, тип и другие вычисляются по коэффициентам ряда (1) (см, [1]-[9]), В других работах исследуется относительный рост ln Mf (г) и считающей функции корней n¡ (г) (обширную библиографию можно найти в работе Ва-лирона [10]), Однако изучению непосредственной связи между тейлоровскими коэффициентами и нулями целой функции уделялось гораздо меньше внимания, хотя такая связь востребована в специальных вопросах спектральной теории операторов и интерполяционных задачах, где зачастую спектр или узлы интерполяции являются нулями некоторой целой функции. Прямые формулы, выражающие нули через коэффициенты или наоборот, слишком громоздки и не дают представления о взаимном поведении этих последовательностей ([11], [12]), Трудность преодолел Адамар [13], [14, с, 81], установив, что модули корней Хп функции f (z) растут быстрее, чем Цп |-1/га, и указав метод, дающий возможность сравнивать относительное поведение тейлоровских коэффициентов и нулей. Возможности метода расширил Борель [15], а Валирон придал оценкам более точную форму. Приведем один из результатов Валирона (см, [6, с, 134]),

Если коэффициенты ряда, (1) удовлетворяют условию

fn-1fn+1 , n , /0\

-—--» 0, п ^ <Х), (3)

J п

то справедливы, следующие формулы, связывающие нули и коэффициенты:

f (-!)""/о

fn -7- , П ^ ^

МЛ2 • • • Лп

л fn— 1 /

К ~--—, п ^ <Х). (4)

Jn

Следует сказать, что функции, коэффициенты которых удовлетворяют условию (3), имеют медленный рост, точнее, удовлетворяют условию

ln Mf (г)

lim -^ = 0.

ln2 Т

В своей докторской дисертации Осколков [16] при исследовании интерполяционной задачи Ньютона для быстрорастущих узлов доказал такое утверждение.

Если нули {\п} функции f (z) подчинены требованию

lnп ч п

т—- \ 0, п ^ <х, (5)

|Ага|

то коэффициенты, ряда, Тейлора этой функции удовлетворяют условию

lim у|/гаА1А2••• хп| = 1. (6)

Приведем также (в наших обозначениях) результаты, полученные в последнее время украинскими математиками,

Пельчарська, Шеремета [17], Если, f

е Ео, то

lim |а„| ^ i. (7)

хп |

п—>оо

Существует f е Ес, для которой lim |Ага| Ц|/га| = 1. Андрусяк [18], Если f е Ес, то

ln ßf (г)

п^х

__lim , ч

lim |Ага| ^ v*(г) . (8)

Существует функция из класса Ес, доставляющая равенство в (8) Андрусяк, Филевич [19], Если f е Ес, 'то

Nf (г)

__,__lim , ч

lim |Ага| ^ е~+~ nf(г) . (9)

т

п—>оо

Существует функция из класса, Ес, доставляющая равенство в (9)1.

Сформулируем результат неасимптотического характера, полученный в 1938 году Островским [20] (обозначения см, ниже, в п, 2),

Пусть р е N Если целая, функция имеет по крайней мере р нулей, при чем, |АР| ^ Rp, то

п (i ) < 2, (i - (2)') ^

(второе неравенство следует из первого). Константы не могут быть улучшены ни для, какого р.

Целью настоящей работы является доказательство более точных оценок снизу, из которых вытекают все приведенные выше результаты. Кроме того, мы получим двусторонние оценки для нулей функции через ее тейлоровские коэффициенты, распространяя некоторые результаты Валирона [6] на лаку парные ряды. Возможность такого продвижения подсказана еще Адамаром [13], В частности, мы показываем, что для любой целой функции f е Ес спрямленные то Адамару коэффициенты Fn ряда (1) (см, определение ниже) удовлетворяют неравенству

lim Vх^n|AiA2••• Ага| ^ 1,

а также, что усиливает (9), - неравенству

Nf М

,--lim J, ,

lim Fn VW ^ e-^» W.

Перейдем к основной части работы,

2. Предварительные сведения Пусть функция f задана рядом (1), т.е.

х

f (Z) = ^ fnzn, f (0) = /с = 1, z е C,

I п

п=С

(значение f (0) = 1 выбрано для удобства). Пусть, далее, у = С(х) - уравнение ломаной Ньютона-Адамара, т.е. уравнение границы выпуклой оболочки точек (п, — 1п ^п1), п € N0 = N и {0}. Эта ломаная состоит из прямолинейных звеньев, соединяющих последовательно ее вершины (пк, — 1п ЦПк |), к € Абсциссы вершин ломаной Пк, к € N0, называют, согласно Валирону, центральными индексами f (точнее, ряда Тейлора функции /), Обозначим

Еп = е-с(п), п € N0 и До = 1, Яп = ес{п)-с(п-1), п € N.

1В работах [17]-[19] рассматривались не нули функции f (2), а ее а-точки, т.е. нули функции f (z) — а.

Имеем очевидно

Rn = ^ и Fn = 1 п е N.

^га Л1Л2 ■ ■ ■ Кп

Перечислим известные свойства ломаной Ньютона-Адамара (см., например, [7]), Справедливы соотношения

Ural ^ Fn, П е N0 и ЦПк| = Fnk, к е N0. (10)

те те

Функции f (z) = fnzn и F(z) = Fnzn имеют одинаковые максимальные члены и

га=0 га=0

центральные индексы:

(г) = max lfnlrn = max Fnrn = ßp(r),

raGNo raGNo

Uf(r) = max{n е N0 : lfn|rra = ßf(r)} = max{n е N0 : Fnrn = ßF(0} = uf(r), причем выполняются неравенства

lfnl ^ min = Fn, n е N0.

raGNo Гп

Коэффициенты Fn называются «спрямленными по Адамару» коэффициентами функции f (z). Кусочная линейность G(x) влечет выполнение соотношений

Uf (г) = 0, г е [0,Rm ) и Uf (r) = nk, г е [Rnk, Rnk+1), к е N, (11)

ßf (г) = 1, ге [0, Rm) п ßf (r) = Fnk , те [Rnk ,Rnk+i), к е N.

Пусть, как и ранее, Лf = {Ат}те= - последовательность нулей функции f, расположенных в порядке возрастания модулей с учетом кратностей (см, (2))

0 < |А11 = ... = |Ami| < |Ami+i| = ... = |Атз| < ....

Считающая функция нулей Л/ функции f, определяемая формулой

n(r) = nf (г) = max{m е N : |Ат| ^ г},

задается следующими равенствами

п(г) = 0, ге [0, |АШ1|) и n(r)=mk, ге [| Amfc |, |Amfc+i |), ке N.

Сравнивая с (11), видим, что п(г) - центральный индекс функции

ад = i + Ё

|А1 ■ ■ ■ Ат\

т=1

и, значит, обладает такими же свойствами, как и ff (г).

3. Основные результаты Следующая теорема усиливает неравенство (7),

те

Теорема 3.1. Пусть целая функция f(z)=Yl fnZn е Е0 и Fn - спрямленные по Ада-

га=0

( )

lim v^IÄVTörai ^ 1. (12)

zm

Доказательство. Согласно теореме Иенеена для всех г > 0 справедливо равенство

1п

Гп{г) 1 г

-— = Nf (г) = — / ln | f(rегв)| de.

|а1а2 ■ ■ ■ Ап(г)| ztv j

Отсюда при всех г > 0 и всех п £ N вытекает неравенство

ln

|А1А2 ' ' ' Ап1

^ Nf (г) ^ lnMf (г).

(13)

Поскольку при любом к > 1 выполняется условие Mf (г) = o(|lf (кг)), г ^ то для

Mf (г) ^ (кг), г > г0(к). Очевидным следствием неравенств (13) и (14) является оценка

Nf (г) ^ 1п^(кг), к > 1, г > г0(к). Из этой оценки последовательно получаем

(14)

1А1А2 ' ' ' Ап1 1

^ ßf (hr), ^ кп inf

1А1А2 ' ' ' Ап1 ßf (к)

ßf (кг)

= кп Рп, п>п0(к).

|А1А2 ■ ■ ■ Ага| г>го(Н) (кг)''

неравенство влечет соотношения

^п|А1А2 •••Ап| ^ к-п, п > по(к), lim у^А^ ■ ■ ■ Ап| ^ к-1

□

Пользуясь произвольностью к > 1, отсюда выводим требуемую оценку (12),

Отметим, что эта оценка точна. Равенство в ней в силу результата Осколкова (см, (6)) достигается, например, на функциях с логарифмически выпуклыми коэффициентами (тогда |/п| = Рп,п £ No), нули которых удовлетворяют условию (5),

В качестве следствия, учитывая возрастание последовательности |Ап|, получаем утверждение из теоремы Адамара [14, с, 81]:

lim |Ап|^п ^ 1.

п—

Кроме того, используя (10), выводим

lim |Ап| vl/Щ ^ lim I Апк | = lim I Апк | VF^ > lim |Ап| ^Fn > 1,

п—х к—х V к—х п—ьоо

т.е. выполняется оценка (7):

lim I и I ^¡аЩ ^ 1.

п—х

Наконец, используя (12) и тот факт, что верхний предел Даламбера не меньше, чем верх-1

ТГ737 |Ап\ ^ ТГ— п/\ А1А2 •••Ап\ _ тт—

lim

п—х R

^ lim

п—х у R1R2 ■ ■ ■ Кп

lim ^ЩАА^ЛпI ^ 1.

Таким образом, справедливо

1 Следует из неравенства Штольца.

п

п

1

п

те

Следствие 3.1. Пусть f (z) = fnzn е Е0, Fn - спрямленные по Адамару коэффи-

п=0

циенты f(z), Rn = ^f-1 и {Ага} - последовательность (всех) ее нулей, расположенных в порядке неубывания модулей. Тогда выполняется неравенство

lim JtM ^ 1. (15)

п^те Rn

Полученное неравенство является точным, равенство достигается на некотором классе целых функций с лакупарпыми тейлоровскими рядами. Это будет видно из результатов

„ | Ап |

следующего раздела, в котором устанавливаются двусторонние оценки отношении ——

Rn

(см., например, теорему 4,1),

Покажем сейчас, что из неравенства (15) вытекает оценка (8) работы [18], цитируемая во введении. Действительно, предположение, что оценка (8) не выполняется, влечет при некотором q е (0,1) неравенство

,--ln Fm Д™

|Ат| yFm <qe ™ , m > m0. После элементарных преобразований приходим к оценке

|Ат| < qRm, m > m0,

которая противоречит (15),

Следующим нашим шагом будет доказательство результата, уточняющего оценку (9), Предварительно введем следующие величины

V N (г) _ — Nf (г) Kf = lim / , Uf = lim

г^+те nf (r) ' г^+те nf (r) '

названные в работе [21] нижней и верхней относительными плотностями последовательности Л ^ соответственно,

те

Теорема 3.2. Пусть целая, функция /(г) = ^ ¡пхп € Е0, Рп - спрямленные по

п=0

Адамару коэффициенты, /(г), а, и ^ - нижняя, относительная, плотность последовательности, ее пулей. Тогда, выполняется, неравенство

Ит 1Хп1^Ё~п > &. (16)

п^-те

Доказательство. Последовательно преобразуем

„,= lim Щ=ш( Inf —тг! = lim —(AmJ)

f г-^+те nf (r) k-^те ^e[|Amfc UAmfc+11) nf (r) J k^ mk

= ta( Inf —(MUiim —

к^те \me(mk-i,mk] m J т^те m

Мы учли то, что |Ат| = |Amfc | для m G (mk-i, mk], Пусть теперь M — множество индексов, на которых достигается нижний предел в оценке (16), т.е.

lim | Am | r^Fm = lim | Am | V^m-

т^те т^м

Предположим, что неравенство (16) не выполняется. Тогда для некоторого q G (0,1) и всех m G M, m > m0 имеем

| Am | VFm < qe r ,

или, возводя в степень т,

I А \т

\А \mF < r,mpN(1л™1) = пт |Ат|

1 Ат1 Fm < q с — q . . . ..

|а1| ' ' ' I Ат I

После сокращения на \Ат\т имеем последовательно

т т

Fm < VT i TT р ^т|А1| ' ' ' \Ат I < ч ,

|А1\ ■ ■ ■ 1 Ат1

lim ^F^Ä^U ^ lim ^F^Ä^U ^ q< 1.

т—х т€М

Но это противоречит неравенству (12) теоремы 3,1, Теорема 3,2 доказана, □

В оценке (16) фигурируют нижние пределы. Относительно верхних пределов аналогичных величин справедлив следующий результат.

сэо

Теорема 3.3. Пусть целая функция f(z)=Yl fnzn Е Е0 и Fn - спрямленные по Ада

п=0

мару коэффициенты f(z), avf - верхняя относительная плотность последовательности ее нулей. Тогда выполняется неравенство

lim |An+i|VFn ^ ev*. (17)

п—

Доказательство. Действуем так же, как и при доказательстве неравенства (16), В этом случае имеем

- г- Nf(r) г- ( Nf(гЛ

Uf = ll— = lim sup

r—nf (r) к—с |,|Amfc+11) nf (r) )

г- N(|Ат |) 1. N(IАт |)

= 11— -+— =: 11—-+—.

Шк кеК Шк

Здесь К - множество индексов, на которых достигается верхний предел в последнем равенстве, Из определения верхней относительной плотности находим для малого е > 0 номер к0, такой, что при всех к > к0, к € К, выполняется неравенство

N'<|А™+'|) > V, -е. (18)

тк

Понадобится также связь

!^mfc+i1

nf (t) _.„ |Amfc+i1

|Amfc 1

Nf (|Amfc+i |) -Nf (IAmk |)= / dt = тк ln LA^, (19)

вытекающая из определения Nf (г), Предположим, что (17) не выполняется, т.е.

11— |Ага+1|^ < е^.

Тогда для некоторого q € (0,1) при всех достаточно больших п > п0 имеем

|Ап+1| ^ЁП <яе^ -. Полагая здесь п = шк., к € К, к > ко, с учетом (18) и (19) получим

- Nf(^к+1» |Ат,+11 ^^^

| Атк |

или, после сокращения и возведения в степень тк,

птк

Fmk <_-_.

|A1A2 • • • Amk 1

Как и при доказательстве предыдущей теоремы, отсюда получаем противоречие неравенству (12), Теорема 3,3 доказана, □

Принимая во внимание известные соотношения между порядками и относительными плотностями [22, теорема 2.6.1(d)]

1 1 _ Pi Ai

(здесь pf и Af - порядок и нижний порядок целой функции f соответственно), можем вывести из теоремы 3.3

Следствие 3.2. Пусть выполнены условия теоремы, 3.3. Тогда, справедлива, оценка

lim IAn+iI^Fn ^ .

п^-те

В частности, для, целых функций нулевого нижнего порядка имеем

lim |An+i| =

п^-те

те zpk

Рассмотрим пример. Пусть f(z) = ezP — 1p е N Имеем f(z) = ~rr, и простые

k=i k!

подсчеты дают рп

Rn = л —, и (г) = max {п : Rn ^ г} = [p rp] , lnp(r) ~ lnM (r) = rp,r ^ ro. V P

Нули функции находятся из условия zp = 2пki, где k е Z. Все нули простые, кроме z = 0 кратности p. На окружности радиуса Л2n|k|, k е Z \ {0}, с центром в начале расположены 2 p нулей. Для нетривиальных нулей, занумерованных индексом п е N в порядке неубывания модулей, запишем

| An | = Л 2п 1 +

п 1

пп p

~ Л-, п ^ ГО

2р

([ж] - целая часть числа х). Проведенные вычисления приводят к формулам

lim = и:= lim ^ = 1,

п^те Кп r^+те и(г) р

lim |Ап| V^П = lim |Ап+i| Л^П = lim IXprulOy^ = lim Л =

т^те т^-те у ml

Заметим, что ряд Тейлора рассмотренной функции является лакунарным с лакунами раз.

мулы из данного примера на множитель рж, стремящийся к единице при неограниченном .

рядам (см. ниже теорему 4). Точность полученных выше результатов подтверждает также рассмотренный в работе [23, теорема 3] пример функции f(z) = ezPg(z) + а, где р е N, а е С и g(z) - целая функция минимального типа при порядке р.

4. Оценки для лакунарных рядов Тейлора

В этом разделе, совершенствуя методы, восходящие к Адамару, Борелю, Валирону, мы находим асимптотические и равномерные оценки, связывающие нули и тейлоровские коэффициенты целых лакунарных степенных рядов

f(z) = ^ fn*n, U = 0, n Е Ni = [пг] С N. (20)

n€N1

Fn

Rn = ^f-1, тк - центральные индексы ряда (20), Положим также

Rmk + 1 ш

«к = R + , Ъ = пг -пг-i, пг Е Ni. Rmk

тк

ik = тк - пк, ih = пк -тк, % = mln{ik ,l'L},

где

п'к = max {п Е N1 : п < тк} , п'к = min {п Е N1 : п > тк} . Все готово для формулировки результата.

Теорема 4.1. Пусть ряд (20) имеет неограниченные центральные лакуны, точнее, выполняется условие

lim 7к = то. (21)

к —с

Пусть также выполнено следующее условие на коэффициенты,

:= «к ^ + 2 , к Е N. (22)

Rmk \ Ъ J

An, п Е N

тотическое соотношение

|An| ~ Rn, п ^ то. (23)

Доказательство. Зафиксируем к Е N Для значений г Е [ Rmk, Rmk+1) центральным индексом функции f служит ff (г) = тк., а максимальным членом будет ßf (г) = | fmk |rmk. Разобьем ряд в (20) на части следующим образом:

f(Z)= £ fnZn = £ fnZn + fmkZmk + £ fnZn. nGN1 n<mk,n£N1 n>mk,n£N1

Выберем числа рк, чк го интервала (0,1) так, чтобы РкЧк > а-1; и оценим суммы

Si(z) := ^ fnzn, S2(z) := ^ fnzn

n<mk,nGN1 n>mk ,nGN1

на окружностях | z| = г = aRmk, где а Е ^, дкак ), Имеем

JSM

ßf (г)

х ' n<mk ,n€N1

<

fn 1 < V"^

/ -> f rmk-n ^ / j

1 Fn 1

<

fmk

n< I * оk 1

mk - n mk - n

y- Rn+i ■ ■ ■ Rmk < I Rmk \ = V"^ I 1 \

rmk-n < \ r J \а)

r,, nCM. иСМ. V / иСМ. V /

mk - n F mk - n

n<mk ,nGN1 mk

n<mk ,nGN1 n<mk,n£N1 4 ' n<mk,n£N1

/ 1 \mk-n'k с f i )mk-nk mk-nk

< Ч У,«- = Y-i" < T-

\aj 1 -а 1 - рк

Таким образом, справедлива оценка

1ЗД| (0

Гк

Рк

1 - Рк'

и = г = аПтк е [рк Кшк,Яшк+1).

Далее, для тех же ге С : |г| = г = аЯШк имеем

П п—

П-Шк

ш

Шк

К

< ' П гп-шк

пк Шк

К

Шк

^Шк+1 ■ ■ ■ Яп

<

я

Шк + 1

П-Шк

V/(г)

< Е

п>Шк, пбМ пк к Шк

1п

п ^п-Шк

Шк

' (3кШк £(=)

(«к)

« Е

п>Шк, пбМ п'к' -Шк

а «к

П—Шк

1 _ а

«к

<

Пк к Шк _

1 - Як

Таким образом, выполняется оценка

\ак)

П—Шк

(24)

к

|^2(^)| ^ V/, к1 = Г = аЯШк е [ЯШк , ЧкЯШк+1). 1 - к

Объединяя оценки (24) и (25), заключаем

|5,1(г)| + |5,2(г)| ^ V/(г)Т(Рк, Як), к1 = г е [Р-к1я Шк, ЯкЯШк+1 )

(25)

(26)

где

гк Гк

к к

Т (Рк, Як ) = т^- + Як

1 - к 1 - к

Несколько огрубляя и считая для простоты рк ^ дк, к е N отсюда получаем

Т(рк, Як) ^ 2-

кГк

1 - к к

Я-2 < «к,

кГк

1 - к

^ 0, к ^ го.

Для этого обозначим ^ = ^ и положим ^ = 1 + ^ Действительно,

7к

к2

(1 + £ к )2 ^ ак,

(27)

и первое условие в (27) выполняется. Далее, поскольку ек ^ 0 при к ^ го, то як ^ 1й мы получаем

кГк

= 1/4

(1А?кГГк 1

1

т -г (1 + ^ )—7к — (1 + £к)

1 - к 1/ к - 1 к к

-1+1 ^к

-1к

1

1 1 7к 2

< —е ^+1 < —е~Гк£к -

£к £ к 1п7к

2'Ук к е ~~'к

2

1п 7к

^ 0, к ^ го,

и второе условие в (27) также выполняется. Учитывая оценки (26) и (27), заключаем

+ |^2(^)| <V/(r), к1 =г е [Рк ЯШк, ЯкRшк+l), к>к0.

(28)

Согласно теореме Руше функция /(г) = ¿1(2:) + + ¡тк^тк при к > к0 в круге

N < Рк1Втк имеет столько же нулей, сколько и функция ¡ткгтк, т.е. тк, а в круге N < д-\Ятк жмеет нулей. Отсюда следует, что для достаточно больших к в кольце

0-\Ктк < к1 < Р~к"тк, к > ко, (29)

находятся тк — тк-1 нулей функции /(г). Значит, для нулей \п этой функции с индексами п € (тк-1,тк] выполняются неравенства

< <Р-1> п € (тк-1,тк], к>ко.

"тк

Однако, для таких индексов п имеем "п = Ятк, и в итоге получаем

_1 ^ |Ап1 _1

qk-i << Рк , п е (тк-\,тк], к>ко.

Кп

Отсюда выводим, что

п

1 = lim q-ll ^ lim — ^ lim J—^ lim р-1 = 1,

к^х п^х Кп п^х Кп к^х

и соотношение (23) выполняется. Теорема доказана. □

Отметим, что асимптотика (23) доказывает точность оценки (15) следствия 3.1 теоремы 3.1. Сделаем еще ряд замечаний.

о

но также и для, всех а-точек функции f, т.е. для, пулей функции f — а, а е C.

Замечание 4.2. Условие (21) теоремы, очевидным образом, выполняется, если все, а не только центральные лакуны ряда (20) неограничены, т.е. если

lim 7г = lim (пг — пг-l) = то.

i^x i^x

Это условие легче проверяется, так как не требует нахождения значений центрального индекса ряда. Такой проверки не требуется и если последовательность {|/п|}, где п е Nl; строго логарифмически выпукла, так как тогда множество Nl = {тк}, т.е. состоит из всех центральных индексов ряда (20). В этом случае можно уточнить положение нулей.

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теорем,ы, 4-1 и, кроме того, последовательность {| f^}, где п е Nl; строго логарифмически выпукла. Тогда для, нулей {Ап} функции (20) справедлива, асимптотическая формула

1

f fm \ mk — rak — 1

Ап = I — ™k—1) (1 + о(1)), п е (тк^,тк], к ^ то, (30)

V Jmk J

п

Доказательство. Действительно, в этом случае множество, по которому суммируется ряд (20), состоит из значений центральных индексов: Nl = {тк}, Поэтому выполняются равенства

| fmk | = Fmk, ^к = тк — тк-l, К

mk

mk-1

m

mk

1

k , N.

Ряд в (20) представим в следующем виде

^ ] fnZ ^ ] fnZ + fmk-! Z к 1 + fmk Z k + ^^ fnZ

raGNx n<mk—i,nGNi n>mk ,nGNi

=: (z) + U-1 zmk-1 + fmkzmk + S2(z).

Очевидно, сумма имеет ту же оценку (24), что и SI; сумм а S2 и ее оценка (25) не изменились. Поэтому сохранится и оценка (26):

\ S'i (z)1 + I(z)| ^ ßf (r)T(рк,qk), \z\ = г е [p-lR mk , Qk Rmk+i ). Учитывая эту оценку, для z, удовлетворяющих неравенству

\fmk-i Z k 1 + fmk Z k 1 ^ \fmkZ k |,

получаем

\f (z)\ = № (z) + fmk-1 Zmk-1 + fmk Zmk + S2(Z)\

> \fmk-i Zmk-1 + fmk Zmk \ - (\S[(Z )\ + \ЭД\) > ßf (f)(l - T (Pk, Qk)) > 0 при к > k0. Следовательно, нули функции f лежат в пересечении колец (29) и множеств

fmk-i

+ Z"

<rmk-mk-1, \z\ = k>ko. f

fmk

Каждое такое множество есть прообраз полуплоскости

Jmk ( fm -

функцией t = zmk-mk-1 = zlk. Обозначая tpk = arg ( — mk-1

mk-1 + t

< \i| при отображении

\ fmk

имеем argt е (<fk — ж/2, tpk + ^/2). Возвращаясь в плоскость переменной z, для нулей \г, получаем при некоторых целых sn е [0, ryk)

ar д ^ / + 2-nSn__Pk + 2-nSn + -к \

arg n v lk 27k, 7k 2^kJ

Здесь для каждого п выбирается свое значение зп € [0,7&), фиксирующее значение корня,

ж "

Это завершает доказательство, поскольку--> 0 к ^ го, □

" 27к

Отметим, что формула (30) является аналогом формулы Валирона (4), полученной для ряда (1) без лакун.

Замечание 4.3. Возможно, условие (22) не является необходимым, для, справедливости теорем,ы, 4-1- Однако автору не удалось исключить его из формулировки. Тем, не менее, это условие можно нем,ного облегчить, потребовав, чтобы, при некотором, а € (0,1) им,ело место неравенство

=а1! г ^ЧЬ/р) )2, к € N к>к1.

Rmk

Замечание 4.4. Из доказательства, теорем,ы, 4-1 видно, что если выполняются условие (22) и условие

lim min {7k, 7k_i} = +ro,

k—^^o

причем, верхий предел достигается, на, множестве индексов к е K С N, то асимптотика, (23) сохраняет сил,у на, множестве K.-

\An\ ~ Rn, п е (mk,mk+1], K э k ^ ro.

Рассмотрим теперь случай, когда лакуны ряда (20) (точнее, центральные лакуны) вместо (21) удовлетворяют условию

Пш Тк = р < (31)

к^х

Очевидно, р € N. Введем функцию

^(т) = ^(т) = --, т € [0, 1)

1—

и обозначим через тр корень уравнения <р(т) = 1/2, т.е. корень на (0,1) уравнения

2 тр + т — 1 = 0. (32)

Нетрудно проверить, что т^ = 1/3, т2 = 1/2, т3 = 0.5897..., и, вообще, тр ^ 1 при неограниченном возрастании р € N.

Теорема 4.3. Пусть лакуны ряда (20) удовлетворяют условию (31), а, его коэффициенты, - следующему условию

"

^ /> т~2, к € N к> ко, (33)

" тк

в котором, тр - корень уравнения (32). Тогда, нули Хп функции (20) удовлетворяют неравенствам,

<Г !Лп1 / 1 ^

Хр ^ -— ^ —, п ^ по,

"п Хр

Хр

(1 ^ хр Шх)1-р . ^

Доказательство. Обозначим через С область, ограниченную кривыми, определяемыми уравнениями ух = 1//3 и ^(х) + <р(у) = 1, х € (0,1), Условие (33) обеспечивает непустоту этой области. Будем использовать оценки, полученные при доказательстве теоремы 4,1,

полагая в них рк = р, = у с конетантами р, у, подчиненными условию — < Поскольку в рассматриваемом случае Тк ^ р, то оценка (26) примет вид

|^1(^)| + |^2(^)| ^ V/(г)Т(р, q), ^ = г € \р-1КткЛ"тк+1), р р

где Т(р, д) =--1--, Оценка (28) также сохранится и примет вид

1 — р 1 — у

| ¿1 | + Ь^Ш < V/(Г), N = Г € [р-1"тк ,я"тк+! ), к> ко, если потребовать, чтобы точка (р, у) € С, т.е. чтобы выполнялось условие

Т&, Я) = т~ + ~Г~ = V(Р) + ^(0) < 1. 1 — 1 —

Отсюда, как и ранее, основываясь на теореме Руше, получаем неравенства

д< ЛМ < р-1, п € (тк-1,тк], к> ко.

" п

Для завершения доказательства осталось устремить точку (р, у) € С поочередно к точкам пересечения кривых, ограничивающих область С. □

С

р < хр

не требующий нахождения корня уравнения (34),

Следствие 4.1. Пусть выполнены условия теоремы, 4-3- Тогда, нули Хп функции (20) удовлетворяют неравенствам

UJ 1

Тр < -— < —, П ^ По, Rn Тр

где тр G (0,1) есть корень уравнения 2тр + т — 1 = 0.

В частности, для, четных (нечетных) целых функций с логарифмически выпуклыми тейлоровскими коэффициентам,и, удовлетворяющими при достаточно больших k G N условию

^ 4, (^±1 4

R2k \R2fc-1

можно утверждать, что выполняется, двусторонняя оценка

1/2 < 1М < 2, п Rn

Отметим, что в случае р = 1 (например, когда лакуны в ряде (20) отсутствуют), из теоремы 4,3 получаем результат Адамара [13], улучшенный затем Валироном [6, с, 132], который ослабил требование 3 > 9 в условии (33) на требование 3 > 4.8, В этом случае,

как и для рядов (20) с неограниченными лакунами, теорему 4,3 можно было бы уточнить,

( )

если коэффициенты ряда (20) положительны и логарифмически выпуклы, то при выпол-

( )

уточнения теоремы 4,3, полученные другими методами для полиномов и целых функций, удовлетворяющих условию R^k+1 ^ 3 при различных 3, можно найти в работе [24], Однако, желаемой точности в общем случае здесь достичь пока не удалось, и такая задача еще ждет своего решения,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Hadamard. Sur la croissance des fonctions entières // Bull. Soc. math. 24, 186-187 (1896).

2. E. Borel. Leçons sur les fonctions entières. Paris: Gauthier-Villars, 2e édition. 1921.

3. E. Lindelôf. Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini // Acta Societatis Scientiarum Fennicœ. XXXI:1 (1903).

4. E. Lindelôf. Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor // Bull. Sciences math, deuxieme serie. XXVII, 213-232 (1903).

5. A. Pringsheim. Elementare Theorie der ganzen transzendenten Funktionen von endlicher Ordnung // Mathematische Annalen. 58, 257-342 (1904).

6. G. Valiron. Sur les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance règulière // Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3e série, 5, 117-257 (1913).

7. G. Valiron. Lectures on the général Theory of intégral functions. Toulouse: Private. 1923.

8. B.A. Осколков. О некоторых вопросах теории целых функций // Матем. сб. 184:1, 129-148 (1993).

9. M. 11. Шеремета. О связи между рост,ом максимум,а модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Изв. вузов. Математика. 2, 100-108 (1967)

10. G. Valiron. Fonctions entières et mèromorphes d'une varable. Mémorial des sciences mathématiques. Paris: Gauthier-Villars, fascicule 2. 1925.

11. M.E. Iaggi. Relations entre les zéro et les coefficients d'une fonction entière // Nouvelles Annales de mathématiques. Série 4, 1, 16-19 (1901).

12. M.E. Iaggi. Sur les zéros des fonctions entières // Nouvelles annales de mathématiques. Série 4, 2, 218-226 (1902).

13. J. Hadamard. Sur les fonctions entières // C.R. Acad. Science Fr. séance du 29 décembre, 13091311 (1902).

14. J. Hadamard.Etude sur les propriétées des fonctions entières et en particulier, une fonction, étudié par Riemann. Selecta. Paris: Gauthier-Villaxs. 1935.

15. E. Borel. Sur les Zéros des fonctions entières // Acta Math. 20, 357-396 (1897).

16. B.A. Осколков. Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов // Дисс. ... д.ф.-м.н. М.: МГУ. 1994.

17. I.B. Пельчарська, М.М. Шеремета. Про розподгл значень г коефщгенти степеневого розви-нення цглог функцгг // Доп. НАН Украши. 5, 21-25 (2005).

18. I.B. Андрусяк. Нулг г коефщгенти аналгтичних функцгй // Вшник нац. ун-ту "Льв1вська иолиехшка, Ф1зико-математичш науки". 625, 43-47 (2008).

19. I.B. Андрусяк, П.В. Филевич. Коефщгенти степеневого розвинення а-точки цыой функцгг // Вкник нац. ун-ту "Льв1вська полиехшка, Ф1зико-математичш науки". 804, 70-74 (2014).

20. A. Ostrovski. Sur les modules des zéros des fonctions entières // C.R. Acad. Sci. 206, 1541 (1938).

21. Г.Г. Брайчев. Точные соотношения между некоторыми характеристиками роста последовательностей ¡j Уфимск. матем. журн. 5:4, 17-30 (2013).

22. N.H. Bingham, С.M. Goldie, J.L. Teugels. Regular variation. Encvclopedia of mathematics and its applications. Cambridge: Cambridge universitv Press. 27. 1989.

23. I.B. Андрусяк, П.В. Филевич. Коефщгенти степеневого розвинення г а-точки цыой функцгг, яка масБорелеве виняткове значения // Укр. матем. журн. 68: 2, 147-155 (2016).

24. D.M. Simeunovic. Sur la répartition des zéros d'une class de polynômes // Publication de l'institut Mathématique, Nouvelle série. 28(42), 187-194 (1980).

Георгий Генрихович Брайчев

Московский педагогический государственный университет, ул. Малая Пироговская, 1, строение 1, 119991, г. Москва, Россия E-mail: braichev@mail.ru