О ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННОЙ С ЭЙЛЕРОВЫМ ЧИСЛОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 3 (2022). С. 74-89.

УДК 517.547.3

О ТЕЙЛОРОВСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННОЙ С ЭЙЛЕРОВЫМ ЧИСЛОМ

A.B. КОСТИН, В.Б. ШЕРСТЮКОВ

Аннотация. Рассматривается классическая конструкция «второго замечательного предела». Ставится вопрос об асимптотически точном описании характера такой аппроксимации числа е. В связи с этим требуется информация о поведении коэффициентов степенного разложения функции f (х) = е-1 (1 + х)1/х, сходящегося в интервале —1 < х < 1. Выведено рекуррентное правило, регулирующее формирование означенных коэффициентов. Показано, что коэффициенты образуют знакочередующуюся последовательность рациональных чисел (—1)га ап, где п £ N U {0} и ао = 1, модули которых строго убывают. На основе формулы Фаа ди Бруно для производных сложной функции предложен комбинаторный способ вычисления чисел ап при п £ N. Исходная функция / (ж) есть сужение на вещественный луч х > — 1 функции f (z), имеющей те же тейлоровские коэффициенты и аналитической в комплексной плоскости C с разрезом (—те, —1]. Методами комплексного анализа получено интегральное представление для ап при любом значении параметра п £ N. Доказано, что ап — 1/е при п — те, и найден порядок стремления к нулю разности ап — 1/е. Затронут вопрос о выборе контура в интегральной формуле Коши для вычисления тейлоровских коэффициентов (—1)га ап функции f(z). Посчитаны точные значения возникающих по ходу дела специальных несобственных интегралов. Результаты проведенного исследования позволяют дать серию общих двусторонних оценок уклонения е — (1+ х)1/х, согласованных с асимптотикой /(ж) при х — 0. Обсуждаются возможности применения полученных утверждений.

Ключевые слова: число е, аналитическая функция, тейлоровские коэффициенты, формула Фаа ди Бруно, интегральное представление, асимптотическое поведение.

Mathematics Subject Classification: 30В10

1. Введение

В стандартном курсе математического анализа доказывается базовое соотношение

lim (1 + х) * = е, (1.1)

формирующее привычный облик теории пределов. Гораздо реже обсуждается скорость такого приближения (укажем на известные задачники [1, отдел первый, гл. 4, § 2, номера 170, 171], [2, номера 2.16, 2.17] и недавнюю публикацию [3]). По понятным причинам вопрос о характере аппроксимации числа е посредством (1.1) вызывает естественный интерес. В то же время, в литературе не удалось отыскать полного описания картины приближения, включающего, например, асимптотические формулы для уклонения е — (1 + х)1/х при х — 0, подкрепленные качественными двусторонними оценками. Проведенное авторами небольшое исследование показало, что ситуация весьма любопытна. В заметке мы коснемся некоторых возникающих здесь задач.

A.B. Kostin, V.B. Sherstyukov, On Taylor coefficients of analytic function related with Euler number.

@ Костин A.B., Шерстюков B.B. 2022.

Поступила 12 апреля 2022 г.

Формула (1.1) сохраняет свою силу при переходе к комплексным значениям переменной. В самом деле, используя стандартное обозначение для главной ветви логарифма

ln С = ln К| + г arg С, С е C \ (-те, -0], arg ( е получим, что функция

/И . expj1^ - l} , (1.2)

при вещественных г = х > — 1 очевидно совпадает с функцией е 1 (1 + х)1/х и выполнено предельное соотношение

Иш /(г) = 1. (1.3)

Формула (1.2) с соглашением f (0) = 1 задает аналитическую в области И = С \ (—те, —1] функцию, которая является суперпозицией целой функции

оо

exp w = V^ —г, w Е C,

п=0

и аналитической в области И функции

1п(1 + г) д(г) =----1.

Последняя допускает в единичном круге разложение

оо

^НЕ^ттг1^1 < 1. М

/I +1

га=1

Функция (1.2) также аналитична в единичном круге, и поэтому

/• (п)(о)

/(*) = Е ^^ ^ 1)" Л N < 1. С1-5)

га=0 га=0

С учетом (1.3) при вещественных значениях переменной имеем

те

f (ж) = е"1 (1+ х) * =1 + ^ (—1)га ап хп, —1 < х < 1, (1.6)

га=1

где ап Е М. для всех п Е N Как мы увидим ниже, все числа ап положительны. Этим объясняется форма записи коэффициентов в (1.5), (1.6), подчеркивающая их знакочередование.

Отметим, что степенной ряд в (1.4) сходится всюду на единичной окружности, кроме точки г = —1. Это свойство не наследуется степенным рядом (1.5): выясняется (см. §2), что для него множеством сходимости будет открытый круг |г| < 1.

Исследование тейлоровских коэффициентов функции (1.2) составляет основное содержание работы. В следующем параграфе предложен рекуррентный способ вычисления коэффициентов в (1.5) и с его помощью доказано убывание последовательности ап. Затем, в § 3, указано явное комбинаторное представление чисел ага, возникающее из формулы Фаа ди Бруно для производных сложной функции. Четвертый параграф посвящен обоснованию неочевидного свойства ап ^ 1/е при п ^ те. Для этого используется формула Коши вычисления тейлоровских коэффициентов аналитической функции со специально подобранным контуром интегрирования. Предлагаются другие варианты выбора контура, приводящие к различным интегральным представлениям чисел ап при всех п Е N. Возможные приложения полученных результатов обсуждаются в заключительном § 5.

п

п

2. Рекуррентная формула для коэффициентов

Начнем с вывода полезного рекуррентного соотношения для чисел ап.

Предложение 2.1. Коэффициенты степенного ряда (1.5) образуют знакочередующуюся последовательность рациональных чисел, причем

1 п ^ + 1

ао = 1, ага+1 = т—^ ап-к, п е N0 = N и {0}. (2.1)

п + 1 к + 2 к=0

№ = / (^ - 1 ) , = С \ (-«>, -1]. (2.2)

Доказательство. Согласно (1.2) имеем

о'

Поскольку (ввиду (1.4), (1.5)) в круге |г| < 1 справедливы представления

те

№)= Е (-1)П+1ап+1 Л

п=0

(^ - IV=£

V / «=0

то связь (2.2) дает тождество

'1п(1 + *) - Л' = ^ (-1)«+1 п + 1 ^

* ' п=0 п + 2

£ (-1)га+1ага+1 ^ =( £ (-1)папгА (-1Г+1 П+2 А , N < 1.

п=0 \ п=0 / \ п=0 /

Произведение записанных степенных рядов есть снова степенной ряд вида

£ (Ё <-1>"+1 ш = £ ыг+1 (£ ша»-)1--1 <

п=0 \ к=0 + / п=0 \ к=0 + /

Таким образом, в единичном круге имеем

те те / п , \

£ (-1Г+1 ага+1 г™ = £ (-1Г+1 £ а— г™,

п=0 п=0 \ к=0 )

откуда, с учетом (1.3), извлекается рекуррентное правило (2.1) для нахождения коэффициентов разложения (1.5). Это правило показывает, что все числа ап являются рациональными. Предложение доказано. □

Вычисления по формуле (2.1) дают несколько первых коэффициентов

1 1 1/1 2 \ 1 /1 2\ 11

а1 =2 а0 = 2, а2 =2 2а1 + 3а^ =2 4 + 3 =24,

1/1 2 3 \ 1 /11 1

аз = 3 иа2 + 3а1 + 4а7 = 3 (у48 + 3

1 (1 2 3 4 \ 1 ( 7 11 3 4\ 2447

а4 =4 \2 аз + 3а2 + 4а1 + 5 «У =4 ^32 + 36 + 8 +^ = 5760

1 (1 2 3 4 5 \ 1 / 2447 7 11 2 5\ 959

«б = з - а4 + - аз + - а2 + - а1 + - а0

3Л \ = 7

4/ ) 16,

11 3 4 ^

+ — + - + -

36 8 5У

1 / 2447 7

_ + _

5 1 11520 24

1 / 2447 7 11 2 5\ ) = 5 V11520 + 24+32 + 5 + 67

5^ 2 4 3 3 4 2 5 1 6 ) 5 V 11520 24 32 5 6) 2304 Тем самым,

( 1п(1 + г) Л 1 1 11 2 7 3 2447 4 959 5 . . 1

/(г) = exp < —--- - П = 1 — + ¿2--¿3 + —— г4--- г5 + ... , Ы < 1.

ЗК ' \ г / 2 24 16 5760 2304 ' 1 1

На примере первых коэффициентов видим, что а0 > а1 > а2 > а3 > а4 > а5, поскольку

111 7

а0 = 1, а1 = - = 0, 5, а2 = — = 0, 458(3), а3 = — = 0,4375, 2 24 16

2447 959

а4 = 2447 = 0, 4248263(8), «5 = ^ = 0, 41623263(8). 5760 2304

Сохранится ли при дальнейшем увеличении номера явно наблюдаемая тенденция к медленному уменьшению возникающих чисел? Ответ заключен в следующем утверждении.

Предложение 2.2. Числа ап, заданные рекуррентным правилом (2,1), образуют убывающую последовательность, т.е.

(1п = — ап+1 > °

п Е М0.

(2.3)

Доказательство. Для накопления фактического материала вычислим несколько первых членов последовательности, определенной в (2.3). Получим

О

4

йо — <^1

0-3 — 0,4

1 — ^ = ^, ¿1 — 2 2 1

а1

7_ 16

2447

73

1 11

2= 2 " 24

¿4 = 4 — «5

1

24, 2447

=

959

аз

11 24

7_ 16

1

48,

11

5760 5760 4 4 5 5760 2304 1280

Начальные числа (2.3) — первые разности чисел (2.1) — положительны и убывают:

с10 > ^ > ¿2 > с13 > ¿4.

Действительно,

¿о = 1 = 0, 5, <11 = 24 = 0, 041(6)

73

4 = ^777 = 0,0126736(1), ¿4

11

¿2 = 1 = 0,0208(3), 48

= 0, 00859375.

5760 4 1280

Выведем рекуррентный закон формирования чисел с1п. Из (2.1) при п е N находим

1

(1п+1 = &П+1 — &п+2

/ J , , „ Огп-к

1 к+1

п + 1 ^ к + 2 к=о

Е

п + 2 ^ к + 2 к=о

&п+1-к

1

П + 1 1

П + 1 1

п + 1 1

п + 1 1

п + 1

Е

к=0 п

Е

к=0 п

Е

к=0 п

Е

к + 1 к + 2

к + 1 к + 2

к + 1 к + 2

к + 1

1

0"п—к

Е

к + 1

1

п + 2^ к + 2ап+1-к п + 3 к=0

( 0"п-к — 0>п+1-к) +

1

(га + 1)(га + 2) к + 2

А к + 1

/ у , , 0 О-п+1-к

1

$п—к +

(1п—к +

1 к + 1

Е

1

п + 1 \ п + 2 ^ к + 2 к=0

О-п+1-к

П + 3

)

п + 3 1

п + 3

1

к=0

к + 2

п

Ап-к — ^

^=0 к=0 Учтем очевидное равенство

п + 1 1

к + 2

0"п+2

п + 2

+

(п + 1)(п + 3) 1

п + 2

п + 1

0>п+2

(п + 1)(п + 3)'

^^ &п-к = ^0 — ап+1 = 1 — 0>п+1

к=0

2

1

и продолжим выкладку:

11 ^ 1 , \ 1 га + 2

-1'п+1 = " — | 1 — &п+1 — ^^ к + 2 ^п-к |

V й=0 + /

"Т <^га+2 —

га + 11 "+1 ^ к + 2 п-Ч ' га + 1 "+2 (га +1)(п + 3)

\ к=0 /

1 га + 2 1 ^ 1 .

га + 1 (га + 1)(га + 3) га + 1 ^ ^ га + 1 к + 2 °п-к

к=0

1 1 6 - — V 1 л

ап+1 га + 1 ¿^ к + 2 аП-к.

(га + 1)(га + 3) га +1 "+1 га +1^к + 2

к=0

В результате

га + 2 , 1 1 А 1 ,

—ГГ ^+1 = 7—ГТТ7—Г^Г--ГГ , га е ^о.

га +1 (га + 1)(га + 3) га + 1 ' к + 2

к=0

Итак, для числовой последовательности, заданной в (2,3), получено рекуррентное правило

1 1 / 1 п 1 * = 1 ■ ^ = га+2 га+3— ^ гагт<4> • гае^ м

(га + 3 — £ га + 2 — к

Например, согласно (2,4),

^=2 (3—3^)=3 (3—4)=24'

(3—34—=3 (3—6—48)

^=3 (4—34—3^)=3 (3—6—48)=48'

что подтверждается предыдущими прямыми вычислениями. Рекуррентную формулу (2,4) перепишем в эквивалентном виде

11 га + 1 1 п 1

^ = 1, ¿1 = ^, Лп+1 = ———+——--— V ———- 4, га е N. (2.5)

2 24 2(га + 2)2(га + 3) га + 2 ' га + 2 —к

Форма записи (2.5) лучше, чем (2.4), приспособлена к доказательству свойства (2.3). га = 1

4 =36 — 6 ^ = 36 — 144 = 48, что совпадает со значением, дважды вычисленным разными способами ранее. Докажем положительность разностей (2.3) индукцией по номеру га е М0. При га = 0 и га =1 имеем соответственно <10 = 1/2 > 0 и 4 = 1/24 > 0, Предположим, что

4 > 0, к = 2, ... , га, (2.6)

для какого-то га е N га ^ 2. Тогда, как показывает (2.5), выполнена оценка

<4 < 2(к + 1)(к+ 2)' к = 1'--га-

к = 1 1/24 < 1/12 = 2, . . . , га

к 1 М 1 к 1

4 = . ^ — , - > :-ат < ^ <

2(к + 1)2( к + 2) к + 1^к + 1 — т т 2(к + 1)2(к + 2) 2(к + 1)(к + 2)'

Нужно доказать, что д,п+1 > 0, Применив (2,7) в (2,5), получим

л > п +1___V _1__(9 Н)

"га+1 > 2(п + 2)2(п + 3) 2(п + 2)^(п + 2 - &)(А; + 1)(А; + 2)' 1 ;

Используем стандартное обозначение для гармонических чисел

1

Р

Нт = ^ 1, т е N. к=1

Разложение на простые дроби

1 1 11111

+

(п + 2 — к)(к + 1)(к + 2) (п + 3)(п + 4) п + 2 — к п + 3 к + 1 п + 4 к + 2 показывает, что

^ 1 2 Нга+1 п2 — п — 8

^ (п + 2 — к)(к + 1)(к + 2) = (п + 3)(п + 4) + 2(п + 2)(п + 3)(п + 4).

Подставив это соотношение в (2,8), запишем оценку

^га+1

cln+i >

п +1 Нп+1 п2 — п — 8

2(п + 2)2(п + 3) (п + 2)(п + 3)(п + 4) 4(п + 2)2(п + 3)(п + 4)' откуда

4(п + 2)2(п + 3)(п + 4) dn+i > п2 + 11п +16 — 4(п + 2)Нга+1.

Положительность правой части последнего неравенства при п ^ 2 следует из оценки сверху для гармонических чисел

т2 + 9т + 6

Нт < —Г(-т ^ 3.

4(т + 1)

т

В итоге выяснили, что предположение (2,6) влечет dn+1 > 0, Значит, выполнено (2,3),

Это показывает убывание последовательности ап при п е No- Доказательство завершено, " □

Предложение 2,2 указывает на наличие у последовательности (2,1) предела

lim ап = а ^ 0.

Несколько неожиданным выглядит то обстоятельство, что этот предел отличен от нуля. Терпеливый расчет приводит к двусторонней оценке

0, 3433 < а < 0, 3985. (2.9)

Действительно, ввиду убывания последовательности ага, на основании имеющихся данных можем сразу записать а < ага < а5 < 0, 4163, где п > 5. Попробуем снизить «верхнюю

0, 4

ложении 2.2, найденную верхнюю границу можно последовательно уточнять, продолжая вычисления значений ага то формуле (2.1) для номеров п ^ 6. Так, дойдя до номера п = 9, обнаружим, что

123377159

а9 =- < 0, 3985,

9 309657600 ' '

откуда следует правое неравенство в (2.9). С другой стороны, при всех п е N рекуррентное

соотношение (2.5) с учетом начального условия = 1/24 дает

п +1 1 11 п2 + 19п + 6

dn+1 ^

2(п + 2)2(п + 3) 24(п + 1)(п + 2) 24(п + 1)(п + 2)2(п + 3)'

Тем самым,

dm, ^

11m2 - 3т- 2

24т(т + 1)2(т + 2)' Но тогда для номеров п ^ 2 получим

т > 2.

&П+1

1 - ^ dm

11 1 2 + 24 +

п \

У, <^m I

m=2 /

11

^) > ^ - E

m=0 \ m=2 / m=2

Сумма ряда посчитана с помощью знаменитого результата Эйлера

11т2 - 3т - 2 _ 4к2 - 23 24т(т + 1)2(т + 2) = 48 .

Е

m=l

1

т2

'К

6 '

примененного после преобразования

11т2 — 3т- 2

24т(т + 1)2(т + 2) \т +1 т + 2

1

) - 1 (1 - —)

24 т т + 1

т + 1/ 2 (т + 1)2'

Найденная оценка

а,п >

4 К2 23

48

> 0, 3433,

п > 3,

(верная при всех п G N0) демонстрирует справедливость левого неравенства в (2,9),

Как будет показано ниже, истинное значение предела а есть число 1/ е = 0, 3678 ..., попадающее, конечно, в обозначенный диапазон (2,9), На наш взгляд, вывести заявленное точное утверждение из рекуррентной формулы (2,1) проблематично. По крайней мере, инструменты комплексного анализа оказываются более эффективными при решении данной задачи. Впрочем, и приближенный результат (2,9) весьма полезен для понимания ситуации в целом. Например, из него следует расходимость степенного ряда в (1.5) на окружности |z| = 1, несмотря на то, что f есть композиция двух аналитических (во всей плоскости С и в области C \ (-го, -1] соответственно) функций, степенные разложения которых заведомо сходятся в точках z = -1 указанной окружности.

В §4 мы вернемся к вопросу о вычислении величины а = lim ап7 а сейчас обсудим аль-

ап

3. Формула Фаа ли Бруно

Генезис функции (1.2) подсказывает идею применить для нахождения коэффициентов разложения (1.5) один общий результат, известный как формула Фаа ди Бруно (см., например, [4, гл. 2, §8]). Речь идет о правиле вычисления производных сложной функции. Воспользуемся следующим вариантом его записи

1 dn

п! dzr

ьШ) = Е

h(mi+ - +m" ){q(z

т\! т2!

тп

, , -Л (9ИМУ"'

п G N, (3.1)

где суммирование ведется по всевозможным наборам (т\, т2, ... , тп) чисел из N0, связанных при заданном, фиксированном значении п (порядок производной) условием

(3.2)

т + 2 т2 + . . . + п тп

п.

Много интересных сведений о формуле Фаа ди Бруно можно почерпнуть из ретроспективной подборки российских публикаций [5]-[7] и обстоятельного обзора [8]. В нашем случае

h(w) = exp w,

q(z) = In(1 + Z) - 1, f(z) = h(q(z)), h(mi+ - +m") (q(z)) = f(z).

1

1

1

1

Из (1.3), (1,4) имеем

Л0)=1, ^ = ^ N.

Учитывая эти простые соображения, подставим в (3,1) точку г = 0 и получим для коэффициентов тейлоровского разложения (1.5) формулу

(-1)"*. = ^ = £ _, II (^Г , п € N.

п! ' га1! т2! ... тп! А А \ 7 + 1 /

.7 = 1 4 7

Заметим, что соотношение (3.2) позволяет при любом п € N записать

(-1)Лт' -Л 1

/ ( 1V \ т

П (Ш =<-1)"0 (, + !)-

Следовательно, верен такой результат.

Предложение 3.1. Для, коэффициентов из тейлоровского разложения (1.5) справедливо представление

ап = V -;-;-;-1-;---, п € N, (3.3)

^ т1!т2! ... тп! 2т 3т2 ... (п + 1)™«' у у

с суммированием по правилу (3.2).

Протестируем формулу (3.3), выбрав номер п = 4. В таком случае согласно предыдущим расчетам, основанным на рекуррентной формуле (2.1), мы должны получить для а4 значение 2447/5760. В самом деле, уравнение

т1 + 2т2 + 3т3 + 4т4 = 4

имеет ровно пять решений (т1, т2, т3, т4) с компонентами из множества N0, а именно,

(0, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 2, 0, 0), (2, 1, 0, 0), (4, 0, 0, 0).

Соответственно, сумма

1

£

т1! т2! т3! т4! 2т 3т2 4тз 5т4 состоит из пяти слагаемых, каждое из которых вычисляется по своему набору целочисленных компонент:

11

(0, 0, 0, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 2, 0, 0) (2, 1, 0, 0) (4, 0, 0, 0)

0! 0! 0! 1! 20 30 40 51 5'

1 1 1

1! 0! 1! 0! 21 30 41 50 2 ■ 4 8,

1 1 1

0! 2! 0! 0! 20 32 40 50 2 ■ 9 18,

1 1 1

2! 1! 0! 0! 22 31 40 50 2 ■ 4 ■ 3 24,

1 1 1

В результате

4! 0! 0! 0! 24 30 40 50 24 ■ 16 384' 1 1 1 1 1 2447

5 8 18 24 384 5760' что и требовалось подтвердить.

Как видим, практическое применение «явной» формулы (3.3) осложняется нетривиальным способом суммирования — по целым неотрицательным решениям диофантова урав-п п

количество таких решений растет, делая представление (3,3) труднообозримым. Безусловно, предложение 3,1 обладает своеобразной комбинаторной эстетикой, но не ясно, как извлекать из (3,3) информацию об асимптотическом поведении чисел ап. Именно поэтому будем искать «рабочую» формулу для ап, лишенную указанных недостатков, С этой целью используем аппарат контурного интегрирования, который часто бывает полезен в таких задачах [9, гл. I, §1.3].

4. Интегральные представления коэффициентов Ключевым результатом параграфа и всей работы является следующее утверждение.

ап

тегральпое представление

ап = 1 (1 + 1 ¡¿^ , п € N. (4Л,

Доказательство. Выберем числа г, Д так, чтобы 0 < г < 1 < 1 + г < Д. В плоскости С сделаем разрез по лучу (-то, —1] и построим контур Ггсостоящий из следующих четырех частей, выписанных в порядке их обхода:

- окружность (против часовой стрелки) 7д : г = Дегв, 9 € [—ж, ж];

- отрезок Iг, д от точки ^ = — Д до точки = —(1 + г), проходимый по верхнему берегу разреза;

- окружность (по часовой стрелке) 7-, где 7г : г = — 1 + гегв, в € [—ж, ж];

- отрезок I -д от точк и = — (1 + г) до точки = — Д, проходимый по нижнему берегу разреза.

Любой тейлоровский коэффициент разложения (1.5) выражается через контурный интеграл по формуле Коши

(—1)Пап = ^ = 2^ / ^ » € N. (4.2)

Гг, Л

Зафиксируем п € Ми вычислим интеграл в (4.2) как сумму

1 Г /(*)

2ж 7 гп+1

Гг, Л

^ = Л,п(Д) + Ь,п(Г, Д) + /з,п(0 + и,п(Г, Д), (4.3)

где

— / Щ <Ь, /2п(г,Д) = — [

2жг У гп+1 ' 2,п\ , ) 2ш У ¿п+1 '

ТВ. 1г, Л

[ Щ /4п(г,Д) = — [

2жг У гп+1 ' 4,п\ , ) 2ш У гп+1

т-- Сд

Интеграл по окружности 7д запишем в виде

к

п

7Л -к

Поскольку для функции (1.2) верна оценка

№гв)

{

1п(1 + Кегв)

^ Ке- ' - 1

| ^ ехр |

К

|1п(1 + Кегв )| ^ [1п(1 + К)+ж ^ ехр \ J---1 — 1 > ^ ехр <----1

I К

при всех 9 € [—ж, ж], то

}

2жКп

е-гпв ¡(Кегв) ¿в

<

2жКп

!{Кегв) ¿в^ — ек/Я (1 + К)1/Я.

Поэтому для произвольно заданного п € N имеем

Ь,п(К) = -к [ ^¿г — 0, К —

2жг 7 гп+1

1Е

(4.4)

Переходя ко второму интегралу в сумме (4.3), заметим, что в точках г = х отрезка 1Г,Я ( )

д(г) = 1п(1 + г) — 1 = 1 (1п(—1 — х)+ж.) — 1.

х

Поэтому

^ -К) = 2Й

уп+1

-(1+0 11

2ж ел

п+1

х

(—1 — х)1/х ет/х ¿х

^г, д

-Я

(—1)

п+1

1/(1+0

2жел

п+1 £ 1 — ^^кЛ ¿г = (—1)п+1

1/(1+0

т+п-1

1/ Я

2жег 7 (1 — т)'

1/Я

е-Ктг ¿т.

Следовательно, при фиксированном п € N справедливо соотношение

Ьп(г, Я) = -

/( ^ЫГ1

г+п-1

7п+1

2ж ег 7 (1 — т)7 0

'¿т, т —у 0+, К — (4.5)

Интеграл по окружности тг запишем в виде

/э,п(г)

2ж г 7 гп+1 2ж 7 (—1 + ге г0)п+1

1т

Поскольку

/(—1 + ге г0) ге гв

1п( г е )

— 1 + г егв

1п +

ехр <--

е I — 1 + г егУ

ехр

{

+ 1п +

1 ге (1пг + г 6

- ехр-—

е — 1 + г е гУ

для всех 9 € [—ж, ж], то при г — 0+ подынтегральное выражение

/(- 1 + ге гв) ге г0

(_ 1 + Г ег0 )п+1

К

К

1

1

1

стремится к (—1)п+1 (1/е) равномерно по б1 € [—ж, ж]. Применив известный результат относительно интеграла, зависящего от параметра (см., например, [10, гл. I, §6]), для любого п € N получим, что

/ ^ иг• 0 +. <«)

Т-

Наконец, учтем, что в точках г = х отрезка 1-к функцня (/(г) определена по закону

д{г) = 1П(1 + г) — 1 = 1 (1п(—1 — х) — ж.)

Поэтому

- ( 1+г)

= — Ш / Х^(—1 — х)"1 е-"" ^

1- -К

1 г, Л

1/( 1+г) 1/( 1+г)

п

(—Ш / (1 — 1)-' в'" % = (—Г Г ^ е,Тг/1т

2 ж 2 2 ж (1 — )

1/К 1/К

Следовательно, при фиксированном п € N имеем

1

1 ( ) ( 1) п + п- 1

/4 п(г, Д) =--^ (-- 7--ектгйт, г^ 0+, Д ^ (4.7)

4,п1 ' ; 2жг У гп+1 2жег У (1 — т)г ' ' 1 ;

/- о

1 г, Л

Применив в (4.3) предельные соотношения (4,4)-(4,7), получим, что для произвольно заданного номера п € N интеграл

1 Г /(*)

I ,

2 ж п+1

Гг, Л

стремится к величине

1 1 ( 1)п+1 р _Г+п-1 ( 1)п ( 1)п р _г+п-1

(-Т— ;-- е— ¿Т + Ь1- + (-Т- 1-

2 ж (1 — ) 2 ж (1 — )

оо

очевидно равной

если г ^ 0+ и Д ^ Осуществив указанный предельный переход в (4.2), убедимся в справедливости формулы (4.1). Предложение доказано. □

п а1

из (4.1) серию «изысканных» равенств

1 1

Г тТ • / \ 7 ж(е — 2) [ г1+- . , ж(11е — 24)

вш(жт) ат =---, / —-— 81п(жт) а—

(1 — ) 2 (1 — ) 24

оо 1 1

Г г2+т . . , ж(7е — 16) Г г3+т . . , ж(2447е — 5760)

У (Т—7г 81п(ж т) ат = 16 , у (Т—7г 81п(жт) ат =-576—-:

оо

которую при необходимости можно продолжить. Но основное предназначение предложения 4,1 в другом: теперь уже несложно получить общее представление об асимптотическом поведении тейлоровских коэффициентов функции (1.2).

Предложение 4.2. Справедлива двусторонняя оценка

1 -г+й) <ап <1 (1+4г), пен (48)

е \ -(п + 1)/ е \ п + 1/

влекущая порядковое соотношение

11 / ч

ап--х —, п ^ то. (4,9)

п

Доказательство. Запишем интегральное представление (4,1) в компактной форме

ап = 1 I 1 + [ <р(т) тп(1т I , п Е Н, (4.10)

е

о

где

- ^ ' )т, те (0, 1). (4.11)

ж т1 т (1 — ту

Функция (4.11) при естественном соглашении

= lim ф) = 1, ^(1) = lim ф) = 1

непрерывна на [0, 1] и обладает свойствами:

1)р(т) = р(1 — г), те [0, 1],

2) ^(т) убывает на [0, 1/2] и возрастает на [1/2, 1],

3) min, V(r) = ^(1/2) = 2/тт, max р(т) = р(0) = р(1) = 1.

Первое свойство очевидно, третье вытекает из второго. Поэтому достаточно проверить убывание функции <^(т) при 0 ^ т ^ 1/2. Это делается стандартными средствами анализа на основе соотношений

г](т) - lnp(r) = lnsin(^ г) — 1пж — (1 — r)lnr — rln(1 — г), те (0, 1/2], /7(0) = 0,

1

//(т)=жctg(^r)+lnr---ln(1 — т) + --, те (0, 1/2], //(0+) = —то,

1 —

rf'(r) = — + 1 + -2 + т^- + ТГ^, т е (0, 1/2], »/'(0+) = +то.

Sin2 (ж т) г г2 1 — г (1 — г)2 Точнее говоря, с помощью оценки

g 3

sin s > s--, s > 0,

6

доказывается неравенство rq"(г) > 0 при всех т е (0, 1/2], влекущее возрастание r¡ на промежутке (0, 1/2] от т/(0+) = —то до 77'(1/2) = 0 а значит — убывание // на [0, 1/2] от 77(0) = 0 до /7(1/2) = — 1п(ж/2).

В результате для каждого п е N имеем двустороннюю оценку

i i i 2 2 í rradr< / р(т) тга4< / rradr = 1

ж(п +1)^7 J J п +1

0 0 0

Применив ее в (4.10), получим (4.8), (4.9). Предложение доказано. □

Качество общей оценки (4,8) проиллюстрируем численным расчетом. Последовательно подставим в (4,8) значения п = 1, 2, 3, 4 и запишем

0, 4849 ... =1(1 + 1) <а1 = 1 < — = 0, 5518 ..., ' е V к) 1 2 2е ' '

1 2 11 4

0, 4459 ... = - 1 + — < а2 = — = 0, 458(3) < — = 0, 4905 ..., е \ 3к) 24 3е

0, 4264 ... = 1 ( 1 + — ) < аз = — = 0, 4375 < 5 = 0, 4598 ..., е \ 2к) 16 4 е

0, 4147 ... =2 (1 + ^ ) < а4 е V 5к)

2447 6

-= 0, 4248263(8) < — = 0, 4414 ...

5760 5е

с неплохим приближением, особенно снизу.

Отметим также, что из (4,10), (4,11) легко извлекается рекуррентная связь

ага+1 = ап — ф(т) тпа!т,

п е М,

(4.12)

где положительная функция ф определена по формуле

1

1 - г вт(кг) ф(т) =-=

ке

г е (0, 1).

(4.13)

Тем самым, найден другой способ для обоснования предложения 2.2.

Укажем еще, что выбор контура в доказательстве предложения 4.1 представляется в определенном смысле оптимальным, хотя изначально имеется большой экспериментальный запас. Опуская подробности, приведем для сравнения результат, возникающий в случае, когда при подходящем сочетании параметров г, Д контур Гг, д в области И составляется из следующих четырех частей:

- дуга окружности (против часовой стрелки)

7д : г = Дег9, 9 е [—к + агсс°в(1/Д), к — агсс°в(1/Д)] ;

- вертикальный отрезок от точки — 1 + г л/Д2 — 1 до точк и — 1 + гг;

- полуокружность (по часовой стрелке) 7", где : г = —1 + гегв, 9 е [—к/2, к/2];

- вертикальный отрезок от точки —1 — г г до точки —1 — г л/Д2 — 1 ■

Такой подход выглядит перспективным, но это иллюзия: формула

1)Пап =2^

Л£)

■уП+1

п е М,

(4.14)

- г, К

после соответствующих преобразований контурного интеграла, венчающихся предельным переходом г^ 0+ Д ^ приводится к виду

1 / 1 1

е 2 + к

/ае{

1

ехр —

1п(г ж)

(1 — гж)п+1 гж — 1

}

^ж

п е М,

(4.15)

со сходящимся несобственным интегралом. Подынтегральная функция в (4.15) записывается выражением

1

(1 + ж2) 2

(\ ж — 1пж\ /2

^ ехЧ ^г^) с°Ч

£ + ж 1п ж 1 + ж2

— (п +1) агС^ж

.

1

а

п

Вряд ли простой анализ позволит вывести отсюда предложение 4,2, Сравнение (4,15) с (4,1) весьма показательно. Однако, в качестве своеобразной компенсации получаем возможность точного вычисления для счетного набора экзотических несобственных интегралов наподобие

[ 1 /-ж - 1пжЧ + ж 1пж Ч -(е - 1) ехр —-— сое —----2 arctg ж аж —

/ 2х — 1пхЧ + х 1пх Ч

1+х^ (,-ттх^J co4"T+х^ — 2 arctg ^ 2

0

[ 1 /fx — 1пхЧ /f +х ln х Ч , ж(11е — 12)

J (1+х2)3/2 ехч"ГГ^^ j СОЧ— 3 arCtg V = -24-■

0

Завершая параграф, предлагаем при малых г и больших R выбрать в интегральной формуле Коши (4,14) вместо Гг,д модифицированный контур, составленный так:

- дуга окружности (против часовой стрелки)

ryr,R : z = Reie, 9 Е — ж + arccos((1 + r)/R), ж — arccos((1 + r)/R)

- вертикальный отрезок от точки —(1 + г) + г\JR? — (1 + г)2 до точки —(1 + г);

- окружность (по часовой стрелке) 7", где 7r : z = — 1 + гегб, б1 Е [—ж, ж];

- вертикальный отрезок от точки —(1 + г) до точк и —(1 + г) — г y/R2—(ГГг)2.

Было бы любопытно затем повторить mutatis mutandis схему доказательства предложения 4,1 и сравнить возникающее на этом пути интегральное представление для чисел ап с формулой (4,15),

5. Заключительные замечания

Полученные результаты находят применение в исходной задаче об асимптотическом поведении уклонения е — (1 + х)1/ж при х ^ 0, Действительно, на основе степенного разложения

i с 11 с 7 с

(1 + х) - = е--х Г--х2--х3 + ... = е > (—1)гаагахга, —1 < х < 1,

v J 2 24 16 > п ' '

п=0

эквивалентного (1.6), и известного свойства рядов типа Лейбница (учтено предложение 2,2) имеем серию двусторонних оценок

2N 2N+1

е^ (—1)™"1 а„хга < е— (1+х)£ <е ^ (—1)га-1 агахга, (5.1)

п=1 п=1

действующих для всех х Е (0, 1) при любом N Е N Например, выбрав х = 1/т и первое значение N = 1, из (5.1) получим, что

е /_1___ч < е _ Л +1 < е (_i___1L + ^

\2т 24т2 j \ т) \2т 24m2 16т3 у

для всех т Е N т ^ 2. Отдельно проверяется, что и при m =1 выписанное неравенство верно. Следовательно,

12т— 11 / 1 \т 24т2 — 22т + 21 _ . ,

-:—о— е < е — 1 + — <---г-е, т Е N. (5.2)

24т2 V т) 48т3 ' 1 ;

х = 1/ т N

угодно большой запас двойных неравенств, последовательно уточняющих (5.2).

Сравним (5,2) с известной двусторонней оценкой

т

1

- < е— 1 + — <-, т е М, (5.3)

2т + 2 V т) 2т + 1 ' 1 ;

взятой из [1, отдел первый, гл. 4, §2, номер 170], В силу очевидных неравенств

12т — 11 1

-^^ >-, т ^ 12,

24 т2 2 т+ 2

24 т2 — 22 т+ 21 1

-<-, т > 2,

48 тз 2 т+ 1

новая оценка (5,2) лучше классической оценки (5,3) при т ^ 12, причем оценка сверху в (5,2) лучше оценки сверху в (5,3) для всех натуральных значений переменной, начиная т = 2

Л 1\т е 11е / 1 \

е— 1+--=---^ + 0 —г , т ^ то,

т 2 т 24 т2 тз

в то время как (5,3) дает только более слабый результат

е— (1 + —) =77- + °( А) , т ^то. т 2 т т2

В недавней заметке [3] указано справедливое для всех т е N неравенство

- МУ" (1 + —) < 1

т 2 т+ 1

т) V 2т + 1/ 2(2т +1)2' Перепишем его в форме

Л 1 \т 2 е(2т + 1) + 1 ^ .

е— 1 + — -ттт^-тт, т е N. (5.4)

V т) 4(2т + 1)(т + 1)

Нетрудно проверить, что оценка (5,4) сильнее оценки сверху в (5,3) при любом т е М, но слабее оценки сверху в (5,2) при т ^ 11, Мы не будем продолжать разбор подобных примеров, демонстрирующих эффективность результата (5,1),

Разумеется, справедливо общее асимптотическое разложение

р

е — (1 + ж) - = е ^ (—1)п-1 ап жп + 0 (жр+1) , ж ^ 0+, ре М,

п=1

для вычисления коэффициентов которого можно использовать на выбор как рекуррентное правило (2,1), так и представления (3,3), (4,1), Кстати, порядковое соотношение (4,9) было бы полезно конкретизировать, указав точный закон стремления к нулю величины

1

1 / 1 [ й1п(кт) п ,

ап = ап — 1/е = — ——;-— т ат, п —> оо.

' ке У т1-т (1 — т)г ' о

Определенный интерес представляет также задача об асимптотическом поведении первых разностей (2,3), которые, согласно (4,12), могут быть записаны как моменты

1

= / п е N.

о

(0, 1)

Есть основания полагать, что свойство обвертывания (5,1) распространяется с интервала x g (0, 1) на луч x > 0, Простейшим аргументом в пользу такой гипотезы выступает тот факт, что двойное неравенство

е . . i е — - x < (1 + x)* <е

x > О

онными эффектами, обсуждаемыми в [11], [12].

Благодарности

Выражаем благодарность С,Р. Насырову за интерес к нашему сообщению на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казань, август 2021 г.), что послужило одним из стимулов для написания данной статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Г. Полна, Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа,. Часть первая. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций. М.: Наука. 1978.

Б.М. Макаров, М.Г. Голузина, A.A. Лодкин, А.Н. Подкорытов. Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Наука. 1992.

В.М. Федосеев. Способы, вычисления, числа, «е». Тема учебного исследования, // Матем. обр. 2:98, 50-53 (2021).

4. Дж. Риордан. Введение в комбинаторный анализ. М.: Иностр. лит. 1963.

5. А.П. Поляков. О выражент производной любого порядка, фунщги отп фунщги // Матем. сб. 5:2, 180-202 (1909).

B.А. Кудрявцев. Общая формула для производной п-го порядка, степени некоторой функции //Матем. сб. 1, 24-27 (1934).

C.B. Дворянинов, M.II. Сильванович. О формуле Фаа ди Бруно для производных сложной функции // Матем. обр. 1:49, 22-26 (2009).

W.P. Johnson. The curious history of Faà di Bruno's formula // Amer. Math. Monthly. 109, 217-234 (2002).

9. M.А. Евграфов. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979.

10. М.А. Евграфов. Аналитические функции. М.: Наука. 1968.

11. A.B. Костин, В.Б. Шерстюков, Д.Г. Цветкович. Об аппроксимации числа ж2 // Системы компьютерной математики и их приложения. Смоленск. 22, 261-264 (2021).

12. A.B. Kostin, V.B. Sherstvukov, D.G. Tsvetkovich. Enveloping of Riemann's zeta function values and curious approximation // Lobachevskii Math. J. 43:3, 1376-1381 (2022).

Андрей Борисович Костин,

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское шоссе, 31, 115409, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Владимир Борисович Шерстюков,

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Ленинские горы, 1, 119991, г. Москва, Россия E-mail: shervb73@gmail. com