О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННОЙ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 3 (2022). С. 17-22. УДК 517.547.2

О НАИМЕНЬШЕМ ТИПЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННОЙ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ НУЛЕЙ

Г.Г. БРАЙЧЕВ, О.В. ШЕРСТЮКОВА

Аннотация. Настоящая заметка написана по материалам доклада авторов на Международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа - 2021». Обсуждается следующая задача. Пусть заданы нецелое число р > 0 и последовательность комплексных чисел А, имеющая конечную верхнюю р-плотность. Тогда, как известно из классической теоремы Линделефа, существует (отличная от тождественного нуля) целая функция / конечного типа при порядке р, для которой Л является последовательностью (всех) нулей. Спрашивается, как сильно может измениться тип такой функции, если позволить ей помимо элементов из Л иметь другие нули, причем произвольной кратности. Показаны возможности применения одной общей теоремы, доказанной по означенной задаче Б.Н. Хабибуллиным в 2009 году. С этой целью привлекаются результаты последнего времени, содержащие точные формулы для вычисления экстремального типа в классах целых функций с различными ограничениями на распределение нулей. Случай целого р обладает своей спецификой и в данной работе практически не рассматривается.

Ключевые слова: целая функция, последовательность нулей, подпоследовательность нулей, тип целой функции, экстремальная задача.

Mathematics Subject Classification: 30D15

1. Постановка задачи. Типичные результаты

Напомним некоторые специальные определения и факты. Используем стандартные характеристики роста целых функций (см., например, [1]). Пусть заданы последовательность Л = (\п)пеN комплексных чисел, стремящаяся к бесконечности (среди точек \п могут быть и повторяющиеся), и число р > 0, Следуя [2], символом а(Л,р) (соответственно а*(Л,р)) обозначим точную нижнюю грань чисел а > 0, при которых Л — последовательность (соответственно подпоследовательность) всех нулей для какой-либо отличной от тождественного нуля целой функции /( А), имеющей тип а при порядке р. По определению считаем inf 0 = то в дальнейшем выбор порядка р > 0 и последовательности Л

производится так, чтобы данная вырожденная ситуация не реализовывалась.

В отправной для нас работе [2] (см., следствие 1 теоремы 1) показано, что

а*(Л, р) ^ а(Л, р) ^ (1 + 1р)а*(Л, р), (1.1)

где при целом р полагаем I р = а при нецелом р число I р определено формулой

/, = р2 2t /(-241 - 2icos^ + i2) - £ П cos пв \ d*) (1.2)

G.G. Braichev, O.V. Sherstyukova, On the least type of an entire function with a given

subsequence of zeros.

© Брайчев Г.Г., Шерстюкова О.В. 2022. Поступила 4 апреля 2022 г.

Здесь приняты стандартные обозначения р = [р] для целой части р и а+ = max {а, 0} для а € R.

Оценка снизу в (1.1) очевидна и точна при любом значении р > 0 (см, [2, доказательство предложения 2]), Оценка сверху в (1.1) — ключевой результат, доказанный в [2] новым, нетрадиционным методом выметания, с использованием субгармонической техники. Весьма вероятно (но пока не доказано), что и эта оценка точна.

Сформулированный результат Б.Н, Хабибуллина допускает различные варианты конкретизации, Суть предлагаемого подхода коротко можно описать так. Экстремальное значение а (Л, р) сильно зависит от индивидуальных свойств последовательности Л, и адекватные термины для его точного вычисления в общей ситуации пока не найдены. Поэтому можно попытаться очертить промежуток локализации для а (Л, р), если Л попадает в некоторый класс последовательностей, описываемый естественными классическими характеристиками роста или сгущаемости. Оказывается, что при специальных геометрических и плотноетных ограничениях на фиксированную последовательность Л величина а(Л,р), хотя и не может быть однозначно вычислена через заданные характеристики этой последовательности, но заключена в известных, точно выражаемых границах. Для многих ситуаций такие (неулучшаемые) границы найдены, в том числе — в серии работ последнего времени. Тем самым, возникает возможность в соответствующей части оценки (1.1) заменить величину экстремального типа а(Л,р) подходящей минорантой (или мажорантой). Сосредоточим внимание на оценке сверху в (1.1) и поясним сказанное, выбирая последо-Л

Здесь мы рассмотрим практически важный случай р € (0,1), хотя обширная теоретическая база имеется и в случае р > 1. Считаем сейчас, что Л — положительная последовательность конечной верхней р-плотности

п Ara

Д,(Л) = lim = 0.

Тогда величина а (Л, р), определенная выше, будет равна типу (при порядке р) конкретного канонического произведения

f (А) = П - у), Х е С, (1.3)

га=1 ^ п '

а коэффициент 1 + 1р из формулы (1.2) упрощается к виду (см. [2, теорема 1])

Г(1/2 - р/2) _ ^ 2р Г(1 - р/2)

где Г — гамма-функция. Привлекая теперь точное неравенство из работы А.Ю. Попова [3

1+1, = ¿(r ~ ^ -в о), м

а(Л,р) ^ /3 max ^ = ¡3 С(р), р е (0,1), (1.5)

извлекаем из (1.1), (1-2), (1.4) следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть р е (0, 1) u D(p) = С(р)/В (р) с величинами В(р), С(р), определенными в соотношениях (1.4), (1.5) соответственно. Тогда справедлива оценка

а*(Л,р) > PD(p),

действующая для, любой последовательности положительных чисел, Л с фиксированным значением верхней р-пло'тности ДДЛ) = ¡3 > 0.

Такой комбинированный результат является простейшим на указанном пути. Рассмотрим более сложную ситуацию, когда при фиксированном р е (0, 1) выбранная последовательность положительных чисел Л имеет заданные верхнюю и нижнюю р-плотностн

___ (п (п

ДДЛ) = lim — = ß > 0, ДДЛ) = lim — = а е [0, ß]. (1.6)

Тогда, как показано В.Б. Шеретюковым [4], справедливо точное неравенство

а(Л, р) ^ ßC (к, р), где для компактности записи введено обозначение

а

кк f — к х-р

C(к, р) =- + max -dx, к = а/ß. (1.7)

sm к р а>0 J х + 1 v

ак1/Р

Отсюда по изложенной схеме выводим следующий результат.

Теорема 1.2. Пусть р е (0, 1) u D(k, р) = C(к, р)/В(р) с величинами В(р), C(к, р), определенными в соотношениях (1.4), (1.7) соответственно. Тогда справедлива оценка

а*(Л, р) ^ ßD(k, р),

действующая при к = а/ß для любой последовательности положительных чисел, Л с фиксированными значениями верхней и нижней р-плотностей ДДЛ) = ß > 0 и Д(Л) = а е [0, ß].

Завершим начатую серию утверждений наиболее общим фактом подобного рода. Для этого потребуется напомнить понятие р-шага положительной последовательности

МЛ) = lim (К+1 - К)

и учесть неравенство ДДЛ) h р (Л) ^ 1.

Пусть, по-прежнему, р е (0, 1), и известны как плотноетные характеристики (1.6) последовательности положительных чисел Л, так и ее р-шаг hp(Л) = h е [0, 1/ß]. Сохраним обозначение к = а/ß и дополнительно введем новые вспомогательные параметры

п 1 — ah 1 — (1 — s)k Г1 , _

s = 1 — ßh е [0, 1], v=-—— =-^-— е [1, 1.8

1 — ßh

В данном случае, сочетая цитированный результат Б.Н. Хабибуллина с точной оценкой из работ О.В. Шерстюковой (см. [5], [6]), а именно,

а(Л, р) ^ ßC(к, s, р),

где

{а аи1/Р 1

С — к х—р s f v х—р — I

-dx + - -dx > , (1.9)

J х + 1 1 — s J x + 1 I

ak1/P « )

приходим к такому утверждению.

Теорема 1.3. Пусть р е (0, 1) и D(k, s, р) = C(к, s, р)/В(р) с величинами В(р), C( , , ) лива оценка

а*(Л, р) ^ ß D(k, s, p),

Л

ми значениями верхней и нижней р-плотностей ДДЛ) = ß > 0 и ДДЛ) = а е [0, ß],

а также р-шага КДЛ) = К £ [0, 1/Д]. Здесь к = а/[3, а параметры в и и определяются по формуле (1.8).

За дополнительными подробностями, связанными с интерпретацией величины (1.9) в «предельных» случаях в = 0 и в = 1, мы отсылаем к [6].

2. Дополнительные комментарии

Теоремы 1.1-1.3, очевидно, сохранят силу, если требование положительности Л заменить более общим: Л расположена на одном луче. Кроме того, результаты подобного характера можно получать как для р > 1, так и для других ситуаций локализации поеледователь-Л

плотноетей последовательности. Так, привлекая один из результатов работы [7], получим для р £ (0, 1) и Л С R+ оценку

а(Л,р) ^ ß * реС (р).

Множитель С(р) тот же, что и в (1.5), a ß* — значение усредненной верхней р-плотности

Л

г

д» = lim i- í dt = ß*}

' г^+ж r- J t 0

где ид (í) — считающая функция Л (количество элементов \п, попавших в промежуток (0, t]).

Это открывает новые возможности по применению оценки (1.1), в том числе — к известной задаче о радиусе круга полноты системы экспонент с показателями, расположенными на заданном множестве. Теоретическая основа для подобных приложений заложена в большом цикле работ (см., например, [7]-[9]).

Напомним еще, что для любого целого р > 0 возможна ситуация, когда а(Л,р) = но при этом величина а* (Л, р) конечна. Как указано в [2, §2], последние соотношения выполнены для последовательности Л положительных чисел Хп = (п/Д^1/-, где п £ N, с произвольными параметрами Д > 0 Р £ N. В этом примере последовательность Л измерима, т.е. имеет обычную р-плотноеть

Д-(Л) = lim — = Д,

п^ж Лп

а ее усредненная р-плотноеть, как несложно проверить, равна

г

Д-(Л) = lim I f ^ dt =Д(Л)=Д.

- r^+ж г- J t р р

0

С другой стороны, для любого нецелого р > 0 и измеримой (при данном показателе р) положительной последовательности Л с р-плотноетью Д (усредненной р-плотностью Д*) справедливо равенство

, жД жр Д*

°(Л,Р) = ^-1 = г^-1.

| sin npl | sin npl

Именно по такой формуле однозначно вычисляется тип канонического произведения (1.3) как функции вполне регулярного роста нецелого порядка р. Но даже в такой «правильной»

ситуации мы не можем точно выразить через р-плотность Д (усредненную р-плотность Д*) величину ст*(Л,р), заключенную согласно (1.1), (1.2) в границах

"Д* - пД «.*(Л,„> < пД - "Д*

(1 + Ip) | sin^pj (1 + Ip) | sin^pj ' | sin^pj | sin^pj

При p G (0, 1) эти границы принимают вид

*p Д. _ ^ в ,Д Д*

В(р) пр В(р) пр ' пр пр

с коэффициентом В (р) из формулы (1.4).

Обсудим, наконец, коротко одну ситуацию, когда

а(Л, р) = а* (Л, р), (2.1)

т. е. когда левая часть (1.1) превращается в равенство. Для любого р > 0 соотношение (2.1)

Л

ного роста при порядке р с постоянным индикатором (см. доказательство предложения 2 в работе [2]). Такая последовательность заведомо не может располагаться на одном луче. Однако, как показано недавно одним из авторов (работа готовится к печати), имеется общий подход к построению порождающей функции, нулевое множество которой образует

Л

/( А) = £ и\п, А е С,

п=0

обладает измеримой (при показателе р > 0) последовательностью нулей Л = (Ап)пеМ и логарифмически выпуклой последовательностью модулей тейлоровских коэффициентов (I /п|)пе№ причем

VI ¡пАх А2 ... Ап | ^ 1, п ^ <х>.

деетвенно равным а(Л, р), что и обеспечивает выполнение равенства (2.1). Подобные функции играют заметную роль в теории и приложениях (см. по этому поводу недавний обзор [8, раздел 2] и указанные там библиографические ссылки).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R.P. Boas. Entire Functions. Academic Press Inc., New York, 1954.

2. Б.Н. Хабибуллин. Последовательность пулей голоморфных функций, представление меро-морфных функций. II. Целые функции // Матем. сб. 200:2, 129-158 (2009).

3. А.Ю. Попов. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительным,и нулями заданной верхней р-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1, 31-36 (2005).

4. Г.Г. Брайчев, В.Б. Шерстюков. О наименьшем возможном типе целых функций порядка, р g (0, 1) с положительным,и нулями // Изв. РАН. Сер. матем. 75:1, 3-28 (2011).

5. О.В. Шерстюкова. Об экстремальном типе целой функции порядка, меньше единицы, с нулям,и, фиксированных плотностей и, шага // Уфимск. матем. журн. 4:1, 161-165 (2012).

6. О.В. Шерстюкова. Задача, о наименьшем типе целых функций порядка, р g (0, 1) с положительными нулями заданных плотностей и, шага // Уфимск. матем. журн. 7:4, 146-154 (2015).

7. Г.Г. Брайчев. Наименьший тип целой функции порядка, р g (0, 1) с положительным,и корнями заданных усредненных плотностей // Матем. сб. 203:7, 31-56 (2012).

8. Г.Г. Брайчев, В.Б. Шерстюков. Точные оценки асимптотических характеристик роста целых функций с нулями на заданных множествах // Фундамент, и прикл. матем. 22:1, 51-97 (2018).

9. G.G. Braichev, V.B. Sherstvukov. On Indicator and Type of an Entire Function with Roots Lying on a Ray // Lobachevskii Journal of Math. 43:3, 1288-1298 (2022).

Георгий Генрихович Брайчев,

Московский педагогический государственный университет (МПГУ), ул. Краснопрудная, 14, 107140, г. Москва, Россия E-mail: braichev@mail.ru

Ольга Владимировна Шерстюкова, ГБОУ Школа № 1579, Каширское шоссе, 55, корп. 7, 115211, г. Москва, Россия E-mail: sherov73@mail.ru