О НЕОБХОДИМОМ И ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ В ТЕОРИИ РЕГУЛЯРИЗОВАННВ1Х СЛЕДОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 4 (2020). С. 92-100.

УДК 517.984.4 + 517.547

О НЕОБХОДИМОМ И ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ В ТЕОРИИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ

Аннотация. Настоящая работа посвящена изучению формул регуляризованных следов симметрических Lo-компактных возмущений дискретного самосопряженного полуограниченного снизу оператора Lo в сепарабельном гильбертовом пространстве. Исследования формул регуляризованных следов возмущений абстрактных самосопряженных дискретных операторов до сих пор, в основном, были направлены на нахождение достаточного условия, при котором равна нулю регуляризованная сумма со скобками с вычетом первой или нескольких поправок теории возмущений. Это условие формулируется в терминах спектральных характеристик невозмущенного оператора Lo в зависимости от принадлежности определенному классу оператора возмущения V. В частности, в последнее время интенсивно изучаются формулы следов двумерных модельных операторов математической физики, возмущенных оператором умножения на функцию. Здесь мы исследуем необходимое и достаточное условие для двух случаев: равенства нулю и равенства конечному числу — суммы регуляризованного следа со скобками с вычетом первой поправки теории возмущений. При этом рассматривается конкретная скобка суммирования, которая, как правило, возникает при исследовании формул регуляризованных следов возмущений дифференциальных операторов в частных производных.

Ключевые слова: след оператора, резольвента, формула следов, теория возмущений, дискретный спектр.

Mathematics Subject Classification: 47А55, 47В02, 47В10, 47А10

1. Введение

Начало теории регуляризованных следов дискретных операторов было положено И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в работе [1], где они для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле па отрезке [0, ж\ с потенциалом V(х) получили формулу, названную впоследствии формулой следа Гельфанда-Левитана:

где с0 = ж 1 / V(x)dx. о

В равенстве (1.1) ßk собственные числа оператора Штурма-Лиувилля, а, к2 = А& - собственные числа этой же задачи при V (х) = 0.

Z.U. Fazullin, N.F. Abuzyarova, On necessary and sufficient condition in theory of

regularized traces.

© Фазуллин З.Ю., Абузярова Н.Ф. 2020.

Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-2020-0027) (Абузярова Н.Ф.) и в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, доп. согл. № 075-02-2020-1421/1 к согл. № 075-02-2020-1421 (Фазуллин З.Ю.). Поступила 21 августа 2020 г.

З.Ю. ФАЗУЛЛИН, Н.Ф. АБУЗЯРОВА

(1.1)

И почти сразу Л,А, Дикий в работе [2] показал, что формула (1.1) эквивалентна следующему тождеству

к=1

где fk (х) = ^р2 sin кх - ортонормированные собственные функции оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле, при V(х) = 0. А именно, из тождества (1.2), поскольку

главный член, образующий расходящийся ряд, оставляя в левой части тождества (1.2), а сходящуюся часть просуммировав и сумму записывая в правую часть получим (1.1).

Именно такой подход, при котором член {V¡к, ) первая поправка теории возмущений, обязательно исследуется, от него отделяется расходящая составляющая, а все остальное суммируется и заносится в правую часть, долгое время был центральным в многочисленных исследованиях формул следов возмущений как регулярных, так и сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов. Достаточно подробный обзор приведен в работе [3] . Причем авторы весьма успешно разрабатывали прямые методы получения формул следов вида (1.1), минуя равенство (1.2).

С конца 70-х годов на первый план выдвигается изучение следов возмущений операторов в частных производных. Однако, даже первую поправку теории возмущений {V¡к, /к) из-за сложной структуры спектра (например, кратности ^ собственных значений Ак неограниченно возрастают при к ^ го, отсутствуют растущие лакуны в спектре) операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. Поэтому прямые методы получения формул следов возмущений дифференциальных операторов в частных производных, основанные на асимптотических формулах (представлениях) для собственных чисел ^ возмущенных обыкновенных дифференциальных операторов, не работают. В связи с этим возобновились активные исследования формул вида (1.2) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений) в общем положении - для возмущений абстрактных дискретных самосопряженных операторов.

Итак, пусть Ь0 — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор в сепарабельпом гильбертовом пространстве Н, {Ак 1 - спектр оператора Ь0, пронумерованные в порядке возрастания с учетом их кратноетей {Ак ^ , к = 1, 2...), {¿'к~ ор-тонормированный базис из собственных функций оператора Ь0. Далее, пусть V симметрический Ь0 - компактный оператор в Н, тогда по хорошо известной теореме Като-Реллиха оператор Ь = Ь0 + V замкнут в области определения оператора Ь0 и имеет дискретный спектр. Пусть {^}£=1 - собственные числа оператора Ь, занумерованные в порядке роста с учетом кратноетей {^к ^ ^к+1, к =1, 2...).

Отметим, что поскольку как оператор Ь0, так и оператор Ь = Ь0 + V полуограничены снизу, то, без ограничения общности, можно считать, что для любого к Ак > 6 > 0, Vк > $ > 0.

Для дискретных операторов в общем положении ставится следующая задача.

При каких условиях па операторы Ь0ъ V существует подпоследовательность натуральных чисел {пт}с^= 1 такая, что

(эо

(1.2)

0

0

(1.3)

Равенство (1.3) принято называть формулой регуляризованного следа со скобками с вычетом первой поправки теории возмущений, которое является обобщением тождества

(1.2) для абстрактных дискретных операторов.

Пионерской в общей постановке задачи и доказательства соотношения (1.3) была работа В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, В.А. Любишкина [4]. Далее приведем лишь наиболее значимые достижения в этом направлении.

В работе [5] В.А. Садовничий и В.Е. Подольский для произвольных ограниченных возмущений V доказали справедливость равенства (1.3), если R0(z) = (L0 — zl)-1 — ядерный оператор, для возмущений V, являющихся оператором Гильберта-Шмидта, равенство

(1.3) в этой работе доказано, если в спектре оператора L0 существует расширяющиеся лакуны, т.е. существует подпоследовательность {\Пт}„=1 такая, что ХПт+1 — ХПт ^ ж при т ^ ж, Отметим, что метод доказательства в этой работе и предыдущих многочисленных работах В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского и других авторов был основан на применении оператора tr(—-1 f z(-)dz) к резольвентному тождеству

Гт

R(z) = Ra(z) — Ro(z)VRa(z) + (Ra(z)V)2 R(z),

где Гт = {z :\z \ = 2-1( A„m + A„m+i)}, R(z) = (L — zl)-1.

Следующее существенное продвижение в этой тематике было сделано в работе Мурта-зина Х.Х. и Фазуллина З.Ю. [6]. С целью формулировки результатов этой работы, касающихся равенства (1.3) и метода доказательства его, введём еще поточечную нумерацию спектра оператора L0:

<r(Lо) = {Afc}£=i, Afc < Afc+i, к =1, 2....

Обозначим через Pfc ортогональный проектор на собственное подпространство оператора L0, соответствующее собственному числу Ak, и пусть ufc = dim Ran Р^ - кратность собственного числа Afc, так что

Vк

рк О = ^2(■, fki) fki,

г=1

где {fki1 - базис го собственных функций оператора L0 в подпространстве РкН. Далее, пусть ^(fc\ i = 1, vfc группа собственных чисел оператора L, па которые расщепляется собственное число Ak оператора L0 при возмущении оператором V, пронумерованные в порядке их роста с учетом кратноетей.

Всюду далее будем предполагать выполненным следующее условие: оператор K0(A) = (R0(—A)V)2R0(—A) A> 0 — ядерный, т.е.

<х <х

trK0(A) = V V , , ,. < ж, (1.4)

fc=1 (Afc + A)2(A^ + A)

где атк = Ьт РкУРтУ.

В работе [6] па основе того, что для любого Ь € К - компакт в М справедливо неравенство [6, Лемма 1.4]

0 ^ P(t) = [Afc + (VД, Д) — »к] =

Ak<t Afc<t

' vk

Y^CAfc — Vifc))+trPfcV

i=1

(1.5)

для симметрических, Ь0 - компактных возмущений V,

т.е. ||До(—А)V|| ^ 0 при А ^ доказано [6, Теорема 1.3] следующее асимптотическое

равенство

где

„т („т [1 + 0№(-a)vВ)1, (1.6)

J (t + Л)4 J (t + Л)4

о о

u(t) = 2j р(т)dr +J2(Xk - ßk)2

о ^к <t

V(г) = 2 у т(в^в + ^ акк, 0 Ак < Г (в) = атк (\т - \к )-1.

Ак< Ат>в

Причем, отметим, что если К0(\) ядерный, то [6, формула 1.47]

те

f (А) = Ко(\) = ^ ¿1. (1.7)

0

Используя равенства (1.6) и (1.7), доказано [6, Лемма 1.10], если при А ^ 1

f (Х) = о(А-2), (1.8)

то существует подпоследовательность {пт\сте==1 ^ N такая, что имеет место равенство

(1.з): * =

Следует отметить, что условие (1.8) изначально не связано конкретным классом возмущений V.

На основе этого утверждения, т. е. леммы 1.10 работы [6], получены достаточные условия справедливости равенства (1.3) для различных классов возмущений V. Для полноты изложения приведем теорему 1.5 работы [6].

Теорема А. Пусть Ь0 = Ь* - дискретный полуограниченны и снизу, а V - симметрический Ь0 - компактный опера торы в Н. И пусть выполнено одно из нижеследующих условий:

(1) Е < го; к=1 к

(2) V - ограниченный и N(¿) = о(Ь) при Ь ^ го;

(3) V - компактный и N(¿) = О(Ь) при Ь ^ го;

— Р

(4) V е ар, 2 <р е N и N (г) = о(г р-2) при, г ^ го;

(5) V е 02-

Тогда, существует подпоследовательность натуральных чисел, {nm}"=1 такая, что

lim V (Afc + (Vfk,fk) - ßk) = 0.

n.—von < *

m^-c

k=1

Здесь ар, р е N класс компактных операторов Шатена-фон Неймана, в частности а2 -класс операторов Гильберта-Шмидта.

Отметим, что утверждения теоремы А перекрывают все ранее известные результаты в случае симметрических Ь0 - компактных возмущений V.

В настоящей работе впервые изучается необходимое и достаточное условие равенства нулю и конечному числу отличного от нуля суммы ряда, в одном из способов расстановки

скобок суммирования, А именно рассматривается ряд

^ ак = ^ к=1 к=1

' Vк

-№) + 1г РкУ

(1.9)

=1

Как правило, такая расстановка скобок возникает при исследовании, например, формул следов возмущений модельных операторов в частных производных математической физики [см. работы [7], [9], [6], [11], [12], [13]].

2. Критерий для значения суммы регуляризованного следа

Преобразуем равенство (1.6). Вначале заметим, что если оператор ¿0-компактен и выполнено условие (1.4), то из теоремы 1.2 работы [6] получаем, что

о [ Р(№ < №(А) < го. (2.1)

5 (¿ + А)3

о

Справедлива

Лемма 1. Пусть оператор К0(А) ядерный, а V - симметрический Ь0 - компактный оператор. Тогда

^ ак _ 2 [ рЩг

(Ак + А)2 _Ч (1 + А)3. ^

к=1

Доказательство. Из определения р(£), поскольку р(Ь) > 0, для любого п € N имеем

п Ап _ Ап

^ ак Г (1р(г) _ р(Ап +0) + г р(г)

^ (Ак + А)2 _ У (I + А)2 _ (Лп + А)2 + У (¿ + А)3 ^

к=1 о о

Справедливость равенства (2.2) будет следовать из равенства (2.3), если покажем, что

цт ^(Ап + 0) _ 0.

(Лп + А)2

( )>0

V р(Ап + 0)

11т ;а , л ^2 _а >

(Ап + А)2

Тогда для всех п > п0 (е)

рСАп + 0) > (а - е)(Ап + А)2, е_ ^

п( )

г

( )

11т —-гг^М _ +го,

г^^ (¿ + А)3 о

что противоречит неравенству (2.1).

Лемма 1 доказана. □

Совершенно аналогично, интегрированием по частям, доказывается равенство

ОО £

оо

Теперь из равенства (1.6), (2.2), (2.4), при этом учитывая лемму 1.7 работы [6], выводим, что при А ^ 1

—

ак

( /\ и ^^ а ^ 2

к

где

£ а * 2 = h(А)[1 + O(\\R0(—X)VII)], (2.5)

(/к + А)2

+—2 Ц Г( 8 )ds + E-Xk<t Ы - E / - ßf)2]

h(/) = 3 -7-ЛЧ, t=1-dt.

J1y J J (t + А)4

о

Справедлива

Теорема 1. Пусть ряд (1.9) сходится. Тогда для равенства нулю суммы ряда (1.9) необходимо и достаточно, чтобы,

¡г(А) = о(А-2) щи А ^ (2.6)

Доказательство. Необходимость. Пусть Е ак = 0.

к=1

Покажем, что ряд

^ А2

¿1 Л+А2 *

сходится равномерно для всех А > 0. Действительно, так как функциональная последовательность

А2

Ьк(Х) = А I \

(Ак + А)2

<х

монотонна и равномерно ограничена на множестве А > 0 а РЯД Е ак сходится, то исследу-

к=1

А > 0

Абеля. Следовательно,

оо

lim \2Y —=———— = V lim _ /2 ч0 а* У а* = 0. (2.7)

к=1 (Хк + Х)2 tt (Хк + Х)2 *

Поскольку оператор V — L0 компактный, т. е. \|Ro(—А)V\\ ^ 0 при А ^ из равенств (2.5) и (2.7) вытекает справедливость соотношения (2.6).

Достаточность. Пусть выполнено условие (2.6). Поскольку, как отметили выше

\\R0(—A)V\\ ^ 0 при А ^ го равенства (2.5) вытекает, что при А ^ 1

—

£ ъЬ ^ (2'8)

—

Допустим противное, что ак = с0 > 0 (постоянная с0 > 0, в силу неравенства (1.5)).

к=1

— Л2

Поскольку, как отметили выше, ряд Е (Л +Л)2ак сходится равномерно при всех А > 0,

к=1

имеем, что

ОО ОО л о оо

lim А2 У _ ак = У lim А ак = Уа* = со. (2.9)

к=1 (хк + А)2 (Ак + А)2

Откуда, вытекает равенство

, - _ т 1

к=1 (Ак +А)2

которое противоречит (2,8), □

£ ет , А - +го

Теорема 2. Пусть ряд (1.9) сходится. Тогда для справедливости соотношения,

оо

^ ак _ Со > 0 (2.10)

к=1

необходимо и достаточно, чтобы,

2

Л( А) - с^А при А — +го. (2.11)

Доказательство. Необходимость. Пусть выполнено (2.10). Так как оператор V Ьо-компактен, имеем || Ло(—А)V|| — 0 при А — +го. Следовательно,

Л(А)[1 + || VДо(—А)||] - Л(А) при А — +го. (2.12)

Теперь, умножив обе части равенства (2.5) на А2 • с-1 и переходя в полученном равенстве А — +го,

1_ 11т А( А)[1 + ||УДР(—А)||],

л^+те со • А-2 '

т. е.

А2 - Л(А)[1 + ||УДо(—А)||]. Отсюда, с учетом соотношения (2.12), выводим справедливость (2.11).

Достаточность. Пусть /1 ( А) — со•А-2 при А — +го, где со — положительная постоянная.

А2

оо

А 2

_А2

^ (Ак + А)2

ак _ А2Л(А)[1 + 0|До(—А)У||] (2.13)

I Л! + А I"

к=1

А > 0

ящего в левой части равенства (2.13). Учитывая этот факт и эквивалентности (2.11) и

А — +го

оо

У^к _ Со.

к=1

□

В дальнейшем мы планируем установить справедливость оценок (2.6) и (2.11) для функции f1( А) в случае конкретных классов возмущений V. При этом поскольку мы не будем требовать существования расширяющихся лакун в спектре оператора Ьо (это связано с конкретным выбором расстановки скобок суммирования), мы будем вынуждены накладывать условие на собственные числа г_ 1, ик оператора Ь при к ^ 1 лежат в окрестности собственного числа Ак, т. е, | — Ак |< гк, г _ 1, ик, где

Гк _ тт{(Ак — Ак-1) • 2-1, (Ак+1 — Ак) • 2-1}.

Пусть R0k (z) = Ro(z) — (z — Хк) 1 Рк - приведенная резольвента оператора L0 в окрестности собственного числа Хк. Тогда, если

lim sup \\Rok (z)V II =0, то не сложно доказать, что при t ^ 1

Vk

1(1) = САк -№)2] = т.

Хк < г=1

Следовательно,

те

А2)(А) = 3 / а = о(А--2), А ^

о

Поэтому справедливость оценок (2,6) и (2,11) для различных классов возмущений V нужно установить для функции

LL £

0

так как

fi( А) = А1]( А) + f(2)( А).

В заключение сформулируем следующую задачу;

доказать, что существует подпоследовательность натуральных чисел {пт}—=1 такая, что

lim V[ А* + ( V f к, f к) — ß*] = 0 к=1

тоща и только тогда, когда

f1 (А) = о(А-2) при А ^

Отметим, что доказательство достаточности не представляет трудности и нам известно, Обоснование необходимости в настоящий момент не завершено и требует дальнейших исследований,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан. Об одном, простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, // ДАН СССР. 88, 593-596 (1953).

2. Л. А. Дикий. Об одной формуле Гельфанда-Левитана // УМН. 8:2 119-123 (1953).

3. В.А. Садовничий, В.Е. Подольский. Следы, операторов // УМН. 61:5, 89-156 (2006).

4. В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.А. Любишкин. Следы, дискретных операторов // Докл. АН СССР. 264:4, 830-832 (1982).

5. В.А. Садовничий, В.Е. Подольский. Следы, операторов с относительно компактным возмущением // Матем. сб. 193:2, 129-152 (2002).

6. Х.Х. Муртазин, З.Ю. Фазуллин. Неядерны,е возмущения дискретных операторов и формулы следов // Матем. сб. 196:12, 123-156 (2005).

7. В.А. Садовничий, В.В. Дубровский. Классическая, формула регуляризованного следа, для, собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере в2 // Докл. АН СССР. 319:1, 61-62 (1991).

8. В. А. Садовничий, З.Ю. Фазуллин. Формула первого регуляризованного следа, для, возмущения оператора Лапласа-Бельтрами // Дифф. уравнения. 37:3, 402-409 (2001).

9. З.Ю. Фазуллин, Х.Х. Муртазин. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора // Матем. сб. 192:5, 87-124 (2001).

10. Х.Х. Муртазин, З.Ю. Фазуллин. Спектр и формула следов для двумерного оператора, Шре-дингера, в однородном, магнитном поле // Доклады РАН. 390: 6, 743-745 (2003).

11. Е. Korotvaev, A. Pushniski. A trace formula and high-energy spectral asymptotics for the perturbed Landau, hamiltonian // Func. Anal. 217:1, 221-248 (2004).

12. А.И. Атнагулов, В.А. Садовничий, З.Ю. Фазуллин. Свойства резольвенты оператора Лапласа на двумерной сфере и формула следов // Уфимск. матем. журн. 8:3, 22-40 (2016).

13. З.Ю. Фазуллин, И.Г. Нугаева. Спектр и формула следов финитного возмущения двумерного гармонического осциллятора в полосе // Дифф. уравнения. 55:5, 691-701 (2019).

Зиганур Юеупович Фазуллин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Наталья Фаирбаховна Лбу ¡ярог,а. Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: abnatf @gmail. com