Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов с каноническими краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Narayan O. Exact asymptotic queue length distribution for fractional Brownian traffic // Adv. Performance Anal. 1998. 1. 39-63.

2. Dieker A.B. Extremes and fluid queues: Ph.D. Thesis. University of Amsterdam, The Netherlands, 2006.

3. Кобельков С.Г. О задаче разорения со степенными убытками для гауссовского стационарного процесса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 6. 23-29.

4. Kulkarni V., Rolski T. Fluid model driven by an Ornstein-Uhlenbeck process // Probab. Eng. Inf. Sci. 1994. 8. 403-417.

5. Norros I. A storage model with self-similar input // Queueing Systems. 1994. 16. 387-396.

6. Hiisler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes // Stochast. Process. and Appl. 1999. 83. 257-271.

7. Hiisler J., Piterbarg V. A limit theorem for the time of ruin in a Gaussian ruin problem // Stochast. Process. and Appl. 2008. 118. 2014-2021.

8. Boulongne P., Pierre-Loti-Viaud D, Piterbarg V. On average losses in the ruin problem with fractional Brownian motion as input // Extremes. 2008. 12, N 1. 77-91.

9. Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУ, 1988.

10. Питербарг В.И. Метод Райса для гауссовских случайных полей // Фунд. и прикл. матем. 1996. 2, № 1. 187-204.

11. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 25.11.2009

УДК 517.94

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СЛЕДЫ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КАНОНИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

А. И. Козко1, А. С. Печенцов2

В пространстве L2[0, ж) рассматривается самосопряженный дифференциальный оператор L порядка 2m с краевыми условиями y(kl)(0) = y(k2)(0) = у(кз)(0) = ... = y(km) (0) = 0, где 0 ^ к\ < к2 < ... < km ^ 2m — 1, с ограничением на самосопряженность: (МГ=1 ^ {2m — 1 — ks }m=i = {0,1, 2,...,2m — 1}. Оператор L возмущается оператором умножения на действительнозначную измеримую финитную ограниченную функцию: Pf (x) = q(x)f (x), f G L2[0, ж). Вычислен регуляризованный след оператора L + P.

Ключевые слова: регуляризованные следы, спектральная функция, собственные значения, самосопряженный дифференциальный оператор, сингулярные дифференциальные операторы.

A self-adjoint differential operator L of order 2m is considered in L2[0, ж) with classic boundary conditions y(kl)(0) = y(k2)(0) = y(fca)(0) = ... = y(km)(0) = 0, where 0 < k1 < k2 < ... <km < 2m — 1 and {ks }'IJ=1 U {2m — 1 — ks }'IJ=1 = {0,1, 2,...,2m — 1}. The operator L is perturbed by the operator of multiplication by a real measurable bounded function q(x) with a compact support: Pf (x) = q(x)f (x), f G L2[0, ж). The regularized trace of the operator L + P is calculated.

Key words: regularized traces, spectral function, eigenvalues, self-adjoint extension, singular differential operators.

1. Введение. В пространстве L2[0, ж) рассматривается самосопряженный оператор L, задаваемый

1 Козко Артем Иванович — канд. физ.-мат. наук, доц. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: prozerpi@yahoo.co.uk.

2Печенцов Александр Сергеевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pechentsov@ok.ru.

дифференциальным выражением

¿(у) = (-1)™ у(2т) (х)+р2т-2 (х)у(2т-2) (х) + ... + Р0 (х)у(х)

и краевыми условиями

у(к1)(0) = у(к2)(0) = у(кз)(0) = ... = у(кт)(0)=0, кр е N0, р = 1,...,т, (1)

0 ^ к\ < к2 < ... < кт ^ 2т — 1. Коэффициенты Рк(х), к = 0, 2т — 2, являются действительнозначными, локально суммируемыми на положительной полуоси функциями.

Краевые условия (1) обеспечивают самосопряженное расширение Ь минимального симметрического оператора, порождаемого операцией £(у), если множество {к1, к2,..., кт, 2т — 1 — к\, 2т — 1 — к2,..., 2т —

1 — кт} совпадает с множеством всех целых чисел от 0 до 2т — 1.

Предположим, что оператор Ь полуограничен снизу и имеет чисто дискретный спектр = {Х}^=1, где Хк, к = 1, 2,..., — собственные значения оператора Ь, занумерованные в порядке неубывания с учетом кратности:

Х1 < Х2 < ... < Хп < ....

Обозначим через Р оператор умножения в пространстве £2(0, ж) на действительнозначную измеримую финитную ограниченную функцию д(х):

Р/(х) = д(х)/(х), У/(х) е £2[0; +ж).

Оператор Ь+Р останется самосопряженным, полуограниченным снизу с дискретным спектром а(Ь + Р) = {/к}+Г1. Занумеруем собственные значения /лк, к = 1, 2,..., оператора Ь+Р в порядке неубывания: / ^ /2 ^ ... ^ /к ^ ... .

Пусть Е\ — совокупность проекционных операторов спектрального разложения оператора Ь:

Ь = J ХйЕх.

— <х

Л. Гординг [1] показал, что для каждого Х е М проекционный оператор Е\ является интегральным оператором с ядром Карлемана @^(х, у, Х): для любой функции / е £2(0, ж) и для почти всех у выполнено

Е\/(у)= J ®ь(х,у,Х)/(х)йх. 0

При фиксированном Х ядро <д^(х,у,Х) принадлежит £2(0, ж) по каждой переменной х, у и называется спектральной функцией оператора Ь. Для полуограниченного оператора Ь с дискретным спектром спектральная функция @^(х,у,Х) имеет вид

вф,у,Х) = ^ <^к(х)<Рк(у), а^А

где {^к(х)} — ортонормированная система собственных функций оператора Ь, отвечающая собственным значениям Хк, к = 1, 2,... .

Обозначим через (х,у, Х) спектральную функцию оператора Ьо в пространстве £2(0, +ж), порождаемого операцией ¿о(у) = (—1)ту(2т и краевыми условиями (1).

х

Пусть функция 1р(х) = ^ / имеет ограниченную вариацию в некоторой правой окрестности

х0

нуля. Тогда справедлива формула регуляризованного следа оператора Ь + Р (см. [2])

= Иш д(х) ■ (ви(х,х,\)--\1/{2тЛ (1х, (2)

Уо V П )

Е

к=1

/к — Хк —

Ск

П

д(г)йг

где

1 1

С1 = \2Г , Ск = - Х— , к = 2,3, 2. Спектральная функция (х,у,Х). Введем обозначения:

В к = п

к- 1

т

к — 1

кк = еш~^, к = 1,2,...,т,

1 1 1 .. . 1

Ж = Кк1 К2 к!2 к!3 . . К2

Кк1 Кк2 т Ккз т Ккт т

Жы =

кк1 кк2 Ккз

Лт ^т т

Лемма 1. Справедливо равенство

ЧЕт

Кк

, к , 1=1

г{кку + щх) IV

(3)

Доказательство. Обозначим Хк

I =

= = к\ + + ... + кт. Справедливы соотно-

шения

Хк,1 = Хт+1—к,т+1—1, ик,1 = ит+1—к,т+1—1.

Действительно,

А—От,—к)

е т К '

-к)

е т К '

к,т-\-1—I -_7г

Хк

=—=

+ е^-^у + е^-^х Щу + Щх

Умножая числитель и знаменатель дроби \¥к^/\¥ на е1™*-1-"1^ и используя равенство жкег™ (1_т) получаем

иы

У- ■ ■ (-1)с

,»2,

Е (-1)

»1 ,г2,...,гт

— 1)а(г1 ,г2,...,гт ) ( К1ег

(1 — т)п \ кг1

... к^ 1в

кгл К кч—1 ( К, КкЧ+1 1 К1+1 • к-К т . . Кт

)кк -. к. . К1—1 к11 К 1 к- К1+1 . . . к-т

.а-™ )тт \ ■ (1 — т)п \ К,

-Кке т ..л Кте т

. (1 — т)ж \

. (1 —т)7Г \ "-г^

. (1-т)тг \ 1 / . (1-т)тг \ Кг;

(1 —т)7г \

Ъгл ,г2,..,гт ( 1) Кт ... Кт-1+2 ( Кт—к+1) 1 Кт-1 ...

>г-1

Е

г1 ,%2,...,%7

( —1 )'7(,1.}2.->»т)хт1 . . . Г, , , . . . X

т—г+2л т—т—1 . " х 1

1^гл,г2,...,гт (-1) (1, 2, , т) Кт ... Кт-1+2 (-Кт—к+1) 1 Кт-1 - . К1

Ег1 г2... г (-1)ст(г1 ,»2,...,^^... 2кк11,,, х!^,1 ... Ккт

*,кн+1 Кк^ гт—1+2Кт—1+1Кт—1 ... К1

В силу равенства

/ . \ т(т —1) / . . \

1

т

а

т

т

имеем

Uk,l

I l) 2 _ ' ' ' m—l I ^m-fc+lj ' ' '

m(m-l) W(¿m,¿m_1,...,¿1) fcim ..4 + 1 ,.4 ,.4-1 fc¿l

^!l,)2,...,lml ^ ■ ■ ■ "m-l V T>im-l+2 ■ ■ ■ ^m

V ( 1)°(j1 ,j2,...,jm) Kkj1 Kkjm-l Kkjm-l + 1 Kkjm-l + 2 Kkj

^3l,32,...,jm (j1 K1 ■ ■ ■ Km—l Km-l+1 Km—1+2 ■ ■ ■ Km

-к+1,т-1+1 _

— — ит— к-\-1,т—1+1 •

Таким образом,

(4)

Следовательно,

1т(2к,1ик,1 + ¿т+1-к,т+1-1 ит+1-к,т+1-1) = 0 . (5)

Если т — четное число, то, в сумме леммы 1 группируя слагаемые с индексами (к, I) и (т + 1 — к,т + 1 — I), в силу (5) получаем утверждение леммы 1:

(т \ / т т/2 \

^ 2к,гик,1 I = 1т I ^ ^ &к,1Пк,1 + Хт+1-к,т+1-1ит+1-к,т+1-1) I = 0.

к, 1=1 у \к=1 1=1 У

Если т — нечетное число, то, согласно равенству (4), ¿(т+1)/2 , (т+1)/2и(т+1)/2,(т+1)/2 является действительным числом. Поэтому утверждение леммы 1 следует из (5):

(т \ / т (т-1)/2 \

У ¿к, 1ик,I I = 1т I ^ ^ (гк, 1ик,I + гт+1-к,т+1-1 ит+1-к,т+1-1) I +

к,1=1 ) \к=1 1=1 У

((т-1)/2 \

+1т I ^ {гк,(т+1)/2ик,(т+1)/2 + ¿т+1-к,(т+1)/2ит+1-к,(т+1)/2) I +

V к=1 )

+1т (¿(т+1)/2,(т+1)/2и(т+1)/2,(т+1)/2) = 0. П

В работе авторов [3] предъявлена формула для спектральной функции оператора втв(х, у, Х), порождаемого операцией ¿о(у) = (—1)ту(2т) и общими самосопряженными краевыми условиями. В частности, для краевых условий (1) в силу леммы 1 получаем следующий явный вид спектральной функции вьо(х, у, Х).

Лемма 2. Справедливо представление

{1 _ (^лт Жк>1 А(хку+щх)\1/(2тЛ \ > П-

х-у 1г(хкУ+щх) \У у Л ¿V,

0, Х < 0.

3. Регуляризованный след оператора Ь + Р. Лемма 3. Пусть д(х) е £(0; +ж), ф(х) е Уаг (0; 6)

для некоторого 6 > 0. Тогда

Иш [+00№) Кк

Jо X

Re V , "fc , ■ ■ Re ^

»(**+*) W V J

Доказательство. Отметим, что

Re [ei(Kk+*)хХ1/(2—) j = cos ^(cosBk + CosBi)x\1/(2m)) e-(sinBk+sinb-)xX1/(2—

П ( п \ п

cos5m+i_fc = cos —(m + 1 — к — 1) = cos 7г--к = — cos —к = — cos Вк+\,

m V m ) m

sinBm+i_k = sin —im — к) = cos (ir — —к] = sin —к = sin£>fc+1. m \ m ) m

Введем обозначения:

Из (4) получаем izk,iuk,i = -izm+i-k,m+i-ium+i-k,m+i-l, откуда вытекает равенство

Vk,l = —Vm+1-k,m+1-l■ (6)

Докажем равенство

fq(x)

lim /--{Vk,lVk,l + ym+l-k,m+l-lVm+l-k,m+l-l) dx = 0. (7)

J0 x

Из равенства (6) получаем

Vk,lvk,l + Vm+1-k,m+1-lvm+1-k,m+1-l = Vk,l (vk,l — vm+1-k,m+1-l) ■

Далее,

lim f ■ (vk,i - vm+i-k,m+i-i) dx =

lim / mi.f cos ((cos Bk + cos Bt)x\V(^)) e"(sin *0*А1/(2т) _ —+<x,J0 x V V /

- cos ((cos Bk+1 +cos£¿+i}xA1/(2m)) e"(sin Bk+1+sin вт)хЛ1/(2т) j dx =

1, / (cos^fc+i +cos^+i)2 + (sin£fc+i + sin^+i)2s. , пч _ 2 П V (cos Bk + cos Bi)2 + (sin Bk + sin Бг)2 1 П+ } ~

2 V 1+co&{Вк-Вг) 2 Vl+cos

Таким образом, равенство (7) доказано.

Если m — четное число, то, в сумме леммы 3 группируя слагаемые с индексами (к, l) и (m + 1 — k,m + 1 — l), в силу (7) получаем утверждение леммы 3:

fq(X) I m i

lim /--V yktivkti dx

0 x ^ ¿=1 ' ' I

fq(x) I m m/2 l

= lim /--У] y~] (yk,lVk,l + ym+l-k,m+l-lVm+l-k,m+l-l) dx = 0.

x \t=1 f=t )

Если m — нечетное число, то из равенства (6) получаем V(m+1)/2,(m+1)/2 = 0, откуда на основании (7) приходим к утверждению леммы 3:

fq(x) I m i

lim /--V yktivkti dx

x I

fq(x) I m (m-1)/2

= lim /--У] (yk,lVk,l + ym+l-k,m+l-lVm+l-k,m+l-l) I dx+

+ lim

q(x)

'(m-1)/2

Л^+ж Jo X

У {Vk,(m+1)/2vk,(m+1)/2 + ym+1-k,(m+1)/2vm+1-k,(m+1)/2) ) dx+

k=1

q(x)

+ iim / - • y(m+l)/2,(m+l)/2V(m+l)/2,(m+l)/2 dx = 0.

□

А^+ж Jо х

х

Теорема. Пусть функция ф(х) = ^ / имеет ограниченную вариацию в некоторой правой

о

окрестности нуля. Тогда

Е

k=1

Лк ~ Afc - ^ J q(t)dt

1Ч £77^i ■</'(+(>),

2m"~ \ kf¡=1 (Kk + ki) W

где коэффициенты Ck определены равенством (3).

Доказательство. Положим Ckim = cos Bi +cos Bk, Skim = sin Bi + sin Bk. Из равенства (2) и лемм 2, 3 находим

Е

k=1

Лк ~ Afc - — í q(t)dt = lim í q{x) ■ (втВ*(х,х, А) - ^А1^2"1)) dx = П J Л^+ttJo V П )

= _IRe [ . V Kk • • e^+^Al/(2m) dx | =

TT \ Jo X ¿(>ífc + >q) И^ I

1 Re í V Xfc ■ ■ Г°° ^ • Im "l dx 1 -

* l ¿X + **) W Ж ^ ' '

V(+0)-Rel ¿ • % • arctg

п

i=1 (Kk + Ki) W

(C-k,l,m \ sk,i,m J

Справедливо равенство

Cklm\ / Ufc + Bi

arctg ( ) = arctg M = arctg ctg

sk,i,;

2 sin • COS -2"

7Г £fc + Bi IT fi _ k + l-2

2

2 2 2

m

Введем обозначение г^ = (т + 1 — к — I) ■ 11е (^(^Р^ч) ' "Т^)' Тогда из равенства (4) вытекает равенство

Тк ь = —гт+1-к,т+1-1, из которого, проведя группировки слагаемых в случае четного и нечетного т (как и в лемме 1), находим

= (Kk + Ki) W

Поэтому

Е

k=1

Ck

Мк ~ Afc--/ q(t)dt

п

2m

Re

m

Kk Wk,i

=1 (Kk + Ki) W

(m + 2 - к - l) ) • ^(+0) =

2m

Re (E

Kk Wk,i

k,i=1

(Kk + Ki) W

□

1

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 10-01-004420а, и программы "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-7322.2010.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Garding L. Eigenfunction expansions connected with elliptic defferential operators // Twelfth Congress Math. Scandinaves. Lunds Univ. Math. Inst. Lund, 1954. 44-55.

2. Садовничий В.А., Печенцов А.С., Козко А.И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2009. 427, № 4. 461-465.

3. Козко А.И., Печенцов А.С. Спектральная функция сингулярного дифференциального оператора порядка 2m // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. 74, № 6. 107-126.

Поступила в редакцию 15.10.2010

УДК 519.21

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ ЭКСЦЕДЕНТА УБЫТКА

А. Н. Громов1

В работе описывается поиск оптимальной стратегии перестрахования эксцедента убытка методами динамического программирования. Страховая компания моделируется с помощью составного пуассоновского процесса, а договор эксцедента убытка определяется уровнем собственного удержания и шириной лейера. Оптимальная вероятность неразорения находится из соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и доказывается существование оптимальной стратегии перестрахования. Приводятся примеры для убытков, распределенных экспоненциально, логнормально и по Парето.

Ключевые слова: перестрахование, динамическое программирование, уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана, теорема об измеримом выборе.

Dynamic programming technique is applied to find the optimal strategy for the dynamic XL reinsurance. We consider a risk process modelled by a compound Poisson process and the excess of loss reinsurance determined by the retention level and layer. We find the optimal survival probability as a solution to corresponding HJB equation and show the existence of the optimal reinsurance strategy. Numerical examples in the case of exponentially, log-normally, and Pareto distributed claims are presented.

Key words: reinsurance, dynamic programming, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, measurable selection theorem.

1. Введение. Рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга страховой компании: моменты (Ti) поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности А, размеры выплат Wi — независимые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины с абсолютно непрерывной функцией распределения F(ж); Nt — число требований на отрезке [0,t]. Пусть скорость поступления страховых премий равна с, причем она содержит нагрузку безопасности, т.е. с > АЕ[Wi]. Тогда капитал Rt страховой компании в момент t при отсутствии перестрахования равен

Nt

Rt = s + ct Wi, i=1

где Ro = s — начальный капитал. Пусть перестраховочная премия рассчитывается по принципу среднего с положительной нагрузкой в > 0. При этом предполагается, что нагрузка в такова, что (1 + 9)AE[Wi] > с, так как в противном случае цедент мог бы перестраховать весь свой риск и при этом получить прибыль.

1 Громов Александр Николаевич — асп. каф. теории вероятности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gromovaleksandr@gmail.com.