CC BY
1МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.55
О НЕКОТОРЫХ ВЛОЖЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВА Ap ,q (а) ФУНКЦИЙ ГОЛОМОРФНЫХ В ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ
О.Е. Антоненкова, Н.А. Часова
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В работе получено ограничение на весовые функции, при котором имеет место вложение пространства голоморфных в шаре функций Ap q (а) в пространство A(a) при всех 0 < p, q < 1. Ключевые слова: единичный шар, голоморфная функция, смешанная норма, теорема вложения.
Для изложения основных результатов, полученных в работе, введем следующие обозначения: пусть Ви =]2 = (г\ ):
^ z. < 1 > - открытый единичный шар в и-мерном
j=i
комплексном пространстве Cn, - граница шара Вя, 0 < p,q <+ю, —(t)eQ, где Q - класс правильно изменяющихся на интервале (0,1) функций —, для которых существуют
со(Лг)
положительные числа тю, Mш, qm, причем та, qm е (0,1), такие, что тю < —< Mт при всех
—(r )
r е (0,l), А е [qffl ,l]. Классы таких функций часто возникают в асимптотических оценках в теории вероятностей и математической статистике (см. [1]).
Пусть далее H(Вп) - множество всех голоморфных в шаре Bn функций. Обозначим
через Lp,q (—) пространство измеримых в Вп функцийf для которых
Lp'q (ш)
J ш(1 - г ) ¡\f(rC) pda(c)
dr
где йа(^) - нормированная мера Лебега на сфере . Подпространство ЬРЛ (<а), состоящее из голоморфных в В функций, обозначим через АРЛ(а), то есть ЛРЛ(а) = ЬРЛ(а)пН(Вп). Через А(а) (а > -1) обозначим пространство голоморфных в Ви функций, для которых
/1 2 )*| / .
Вп
На основе свойств функций а, а также некоторых оценок функций из классов ЛРл (а), в работе [2] авторами установлено вложение пространства АРл(а) в пространство А(а) при всех 1 < р, q < и соответствующем условии на весовые функции.
Выясним, при каких ограничениях на весовые функции соответствующее вложение имеет место при всех 0 < р, q < 1.
Лемма. ([3]) Пусть 0 < р,q < 1, / е Арл(а), тогда
q
p
о
S
J®(l - г)q(1 - г)q"1+Тp"'JJIf (rC)da(C)dr < С
j®(l -r) j|f(rC)pda(c)
dr
Справедливо следующее утверждение. Теорема. Пусть 0 < p, q < 1, , а >
а® +1 q
■ + и
1 - ,J
V p J
-1, тогда имеет место
следующее вложение ЛРЛ (^)с Л(а).
Доказательство. Известно, что любая функция представима в виде
Г 1 е(и) 1
о(х) = ехр^ ц(х)+I ([4]), где х е (0,1), ?](х), е(х) - измеримые ограниченные функции,
причем
ln mr
<s(u )<
ln M ®
in (V qJ
in (V qj
i](x) = 0, x e (0,l).
С учетом этого представления, имеем
V £(u)
u
u e(0,l). Не ограничивая общности, можно считать, что
®(l - p) = exp J J ^ du [ > expjaj du 1 = (l - p)a® , p e (0,l).
А также поскольку а >
ат +1
■ + п
q
U-p
'V - ,Л
V Р J
(l-р)а <(l-p)
а^+1+п| I q V p
-1, то можно записать lJ-1 <®(l -p)V (l -p)
1 +nf i-l|-l
поэтому
J(l - р)а J|f (pC)da(c)dp < J®(l - p)q(l - p)M P4J J|f (pc)da(c)dp.
Так как 0 < p, q < l, то, применяя лемму, будем иметь
J® (l - p)q (l - p)H p-J J| f (pC) da(c)dp < С
J®(l - r) Jf(rC)pda(C)
0 VSn
dr
Таким образом,
J(l -p)aJ f (pC) da(C)dp<\\f\\Ap,q
W
Откуда и получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Список литературы
1. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 141 с.
2. Антоненкова О.Е., Часова Н.А. Теоремы вложения в некоторых классах голоморфных в шаре функций // Ученые записки Брянского государственного университета.
- 2023. - №1(29). - С. 7-10.
3. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных функционалов и проекторы в весовых пространствах аналитических функций // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46.
- №6. - С. 1208-1234.
q
p
0
S
0
S
x
0
S
0
S
q
0
S
0
S
4. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. - 1990. - Т. 31. - № 2. -С. 197-215.
Сведения об авторах
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: [email protected].
ON SOME EMBEDDING FOR THE SPACE Ap ,q (a) OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS IN THE UNIT BALL
O.E. Antonenkova, N.A. Chasova
Bryansk State engineering-technological University
The paper obtained a restriction on weight functions by which there is an embedding the space of holomorphic functions in the ball Ap q (a) into space A(a) for all 0 < p, q < 1. Keywords: unit ball, holomorphic function, mixed norm, embedding theorem.
References
1. Seneta E. Correctly changing functions. - M.: Nauka, 1985. - 141 p.
2. Antonenkova O.E., Chasova N.A. Embedding theorems in some classes of holomorphic functions in a ball // Scientific notes of the Bryansk State University. Natural sciences 2023. - No. 1(29). - P. 7-10.
3. Antonenkova O.E., Shamoyan F.A. The Cauchy Transform of Continuous Linear Functionals and Projections on the Weighted Spaces of Analytic Functions // Sib. Math. J. - 2005. -Vol.46. - № 6. - P. 1208-1234.
4. Shamoyan F.A. Diagonal mapping and problems of representation in anisotropic spaces of holomorphic functions in the polydisk // Sib. Math. J. - 1990. - Vol.31. - № 2. - P. 197-215.
About authors
Antonenkova O.E. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
Chasova N.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematic, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: [email protected].
