CC BY
27
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 1(9)
УДК 515.12
В.Р. Лазарев
О НЕКОТОРЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ В СрСр(Х)
В настоящей статье устанавливаются основные топологические свойства наименьшего подкольца в CРCР(X), содержащего пространство X, а также некоторые связи этих свойств со свойствами самого пространства X.
Ключевые слова: пространство непрерывных функций, топология поточечной сходимости, топологическое кольцо многочленов.
Под пространствами в данной статье понимаются тихоновские (то есть вполне регулярные Т1) топологические пространства. Для пространства X через СР(Х) обозначается пространство непрерывных вещественнозначных функций, определённых на X, снабжённое топологией поточечной сходимости. Через СРСР(Х) обозначается пространство С^С^Т)). Пространства вида С^^ являются топологическими кольцами относительно обычных алгебраических операций над функциями. В кольце СрСр(Г) бывает удобно выделять подкольцо С°рСр (X), состоящее из функций, обращающихся в ноль на нулевом элементе 0 пространства CР(X). Элементы С0Ср (X) мы называем функционалами (на СР^).
Как известно [1, глава 0], пространство X канонически вкладывается в СРСР(К) (а следовательно, и в СсрСр (X)) как замкнутое подпространство. При этом точки X образуют алгебраически независимую систему в С'РCР(X) (тем более, в С0СР (X)). Через ЯРГ) обозначим алгебраическую оболочку X в кольце
С0СР (X), то есть его наименьшее подкольцо, содержащее X. Кольцо Яможно
явно описать следующим образом.
Определение. Пусть ^ 6 X - упорядоченный набор (х^...,хп) точек пространства Х, а = (а1,.,ап) - мультииндекс, отличный от нуля, где ак 6 и {0},
к = 1,...,п. Обозначим через |а = •••• • хЩ" функционал, заданный правилом
|а(ф) = ф(х])а1 •••• -ф(хп)а" , где ф 6 СР(Ю. Многочленами будем называть всевозможные линейные комбинации функционалов вида |а (называемых мономами). Множество {х1,.хп} назовём носителем монома |а , а объединение носителей всех мономов, входящих в данный многочлен, - носителем этого многочлена. Многочлены образуют подкольцо в С 0рСр (X), обозначаемое Яр^К).
Замечание 1. Ясно, что если функция ф 6 СР(Ю равна нулю во всех точках носителя многочленар 6 ЯР(X), то р(ф) = 0.
Предложение 1. Число Суслина ЯР(X) счётно.
Доказательство. В силу предложения 0.3.7. из [1], число Суслина пространства СРСР(Ю счётно. Пространство С0СР (X) является непрерывным (и открытым)
образом пространства CpCp(X) при естественном отображении f ^f-fp), f e CpCp(X). Поэтому число Суслина пространства C°pCp (X) также счётно. Так как число Суслина не возрастает при переходе ко всюду плотному подпространству, то достаточно теперь показать, что Rp(X) всюду плотно в C 0pCp (X).
Пустьf e CpCp(X), фь ... ,фи e Cp(X), f (фА) = rk. Пусть
W = {g e C0pCp(X): \rk- я(фк)| < 5, k = 1, ... n}
- стандартная окрестность точки f Не теряя общности, можно считать, что Фп = 0X, и, следовательно, rn = 0. Существует линейный непрерывный функционал и на Cp(X), различающий точки множества (ф1, ... ,фп}, то есть и(фк) = tk Ф tj = м(ф,) при к Фj. Заметим, что и(фп) = 0. Найдется далее числовой многочлен p(t), такой, что p(tk) = rk. Положив теперь g = p°u, получим, что я(фк) = rk, и потому g e W. С другой стороны, напрямую легко проверяется, что g - многочлен, то есть
g e Rp(X). Итак, Rp(X) всюду плотно в C0pCp (X). ■
Лемма. Пусть f: X ^ Y - непрерывная сюръекция, т - (пре)калибр пространства X. Тогда т - (пре)калибр пространства Y.
Доказательство. Пусть {Ua : a e A} - система непустых открытых подмножеств в Y, {Va : a e A} - система их полных прообразов при отображенииf причём мощность индексного множества A равна т. Пользуясь тем, что т - прекалибр X, выберем центрированную подсистему {Va : a e B с A} той же мощности (если т - калибр X, то соответственно подсистему {Va : a e B с A} той же мощности, с непустым пересечением). Легко убедиться, что система {Ua : a e B} также центрированная (соответственно, имеет непустое пересечение), что означает, что лемма доказана. ■
Следствие 1. Если т - (пре)калибр CpCp(X), то т - (пре)калибр CpCp (X).
Предложение 2. Каждый несчётный регулярный кардинал является прекалиб-ром пространства Rp(X).
Доказательство. Пусть т - несчётный регулярный кардинал. Тогда, как известно [1, следствие 0.3.14], т является прекалибром пространства CpCp(X). По предыдущему следствию, т - прекалибр ClpCp (X). Но Rp(X) всюду плотно в
C°1JCp (X )(см. доказательство предложения 1). Согласно предложению 0.3.9 из
[1], некоторый кардинал является прекалибром для всюду плотного подпространства тогда и только тогда, когда он является таковым для всего пространства. Заключаем отсюда, что т - прекалибр Rp(X). ■
Предложение 3. Замыкание каждого открытого множества в Rp(X) является нуль-множеством некоторой непрерывной вещественной функции на Rp(X).
Доказательство. По предложению 0.3.15. в [1],каково бы ни было множество Z, замыкание каждого открытого множества в MZ является нуль-множеством некоторой непрерывной вещественной функции на Ж.Z , причём это свойство наследуется всюду плотными подпространствами. Обозначим через Z множество Cp(X) \ {0^ }. Рассмотрим отображение сужения nZ : C{)pCp(X) ^ KZ . Проверим,
что отображение nZ гомеоморфно вкладывает CcpCp (X) в MZ как всюду плотное
подмножество. Поскольку CР(X) \ {0А' } всюду плотно в Cp(X), то л2 непрерывно и инъективно. Непрерывность обратного к л2 отображения вытекает из того, что все функционалы обращаются в ноль в точке 0.
Рассмотрим теперь стандартное открытое множество V = К(фь...фт; /ь...,/т) в пространстве Ж.2 . Мы имеем фj Ф 0К при всех ] = 1,..., т. Поэтому существует g 6 СРСР(Ю такое, что g(0К) = 0, §(ф,-) 6 ^ при всех ] = 1,..., т. Но тогда g 6 С0рСР (X) и л2^) 6 V. Таким образом, п2 (с0рСр (X)) всюду плотно в К2 .
Учитывая ещё, что Яp(X) всюду плотно в С°рСр (X), получаем требуемое утверждение. ■
Предложение 4. Каждая непрерывная вещественная функция/: X ^ Ж однозначно продолжается до непрерывной линейной мультипликативной функции Е/: Я^ ^ Ж.
Доказательство. Пусть / 6 Cp(X). Рассмотрим каноническое отображение вычисления у : Ср^ ^ СССР^, у(/)(ф) = ф(/), где ф 6 СРСР(Ю. Отображение у непрерывно (0.5.2. в [1]) Известно (и легко проверить), что у(/) - непрерывное линейное мультипликативное отображение, определённое на CpCp(X). Пусть п : СССР^ ^ Cp(Яp(X)) - отображение сужения. Тогда п(у(/)) = Е/ - искомое продолжение. Его единственность следует из линейности и мультипликативности Е/и того, что каждый элемент из Яp(X) записывается в виде линейной комбинации
мономов вида |а = х^1 • • • х^п. ■
Замечание 2. Фактически, в предыдущем предложении определён оператор продолжения Е : С^^ ^ Cp(Яp(X)), Е = л°у, который непрерывен, как композиция непрерывных отображений (однако Е - не линеен и не мультипликативен).
По теореме Ю. Нагаты [1, теорема 0.6.1], из изоморфизма топологических колец CpCp(X) и СРСР(У) следует гомеоморфизм пространств Ср(Ю, Ср(У). Оказывается, то же утверждение справедливо и по отношению к кольцам Яp(X), ЯР(У).
Предложение 5. Если топологические кольца Яp(X), ЯР(У) топологически изоморфны, то пространства Ср(Ю, СР(У) гомеоморфны.
Доказательство. Пусть Ф : ЯР(X) ^ ЯР(У) - изоморфизм топологических колец Яр(Ю, Яр(У), Е1 : Ср(Ю ^ Cp(Яp(К)), Е2 : Ср(У) ^ Ср(Яр(У)) - операторы продолжения, п1 : CР(ЯР(X)) ^ СР(Ю, п2 : СР(ЯР(У)) ^ СР(У) - операторы сужения. Положим И : СР(У) ^ СР(Ю, И(ф) = л1(Е2(ф)°Ф). Так как отображения Е2, а ^ а°Ф, п1 непрерывны, то и И непрерывно. Обратное к И отображение И-1 определяется равенством Ич(у) = л2(Е1(у)°Ф-1). Действительно,
И(Ич(у)) = П1(Е2(п2(Е1(у)-Ф-1))-Ф) = П1((Е1(у)°Ф-1)°Ф) =
= Л1(Е1(у)°Ф-1°Ф) = П1(Е1(у)) = у.
Аналогично проверяется, что Ич(И(ф)) = ф. Непрерывность И4 имеет место по той же причине, что и для И. Итак, пространства СР(X) и СР(У) гомеоморфны. ■
Вопрос. Можно ли обратить последнее предложение? Другими словами, следует ли из топологического изоморфизма колец ЯР(Ю, ЯР(У) топологический изоморфизм колец СРСР(Ю, СРСР(У)?
Ниже мы останавливаемся на том, какие свойства пространств X, У , имеющих гомеоморфные кольца ЯР(X), ЯР(У), обязаны быть для них общими.
Предложение 6. Пусть Р - класс топологических пространств, содержащий вещественную прямую Ж. и замкнутый относительно следующих операций:
1) переход к образу элемента класса Р при непрерывном отображении;
2) объединение счётного семейства элементов класса Р;
3) декартово произведение конечного семейства элементов класса Р.
Тогда, если X принадлежит Р , то и ЯР(Х) принадлежит Р.
Доказательство. Следующая конструкция почерпнута из [2]. Зафиксируем натуральное число п. Положим
( \
1(п) = { = (,...,{) —{0,1,...,п}п : 1 + ... + /2 >0}, } = П М} хХп,
V I-1 (п) )
где каждое Ж - есть экземпляр вещественной прямой Ж. Понятно, что Уп — Р. Далее, рассмотрим отображение Тп : Уп ^ СРСР (X),
Тп ((а-)-(п),х1,.,хп)= X а- • х11
ч-*
—(п)
и обозначим Яп = Тп(Уп). Отображение Тп непрерывно, поскольку сложение и умножение в топологическом кольце С°рСр (X) непрерывны. Стало быть, Яп — Р.
ад
Наконец, легко убедиться, что ЯР(Х) = ^ Яп , и поэтому ЯР(Х) — Р. ■
п=1
Следствие 2. Пусть пространство X обладает одним из следующих свойств:
1) X с-компактно;
2) X линделёфово Е-пространство;
3) X’1 линделёфово для каждого натурального п;
4)X сепарабельно.
Тогда и пространство ЯР(X) обладает тем же свойством.
Доказательство. Достаточно заметить, что перечисленные в формулировке классы топологических пространств содержат вещественную прямую Ж и удовлетворяют свойствам 1), 2), 3) предложения 6. ■
Замечание 3. Очевидно, свойство 4) в предыдущем следствии можно заменить на такое: плотность пространства X не превышает т , где т - некоторый бесконечный кардинал.
Поскольку X является замкнутым подпространством в CpCp(X) [1, предложение 0.5.9], а следовательно и в Яp(X), следующее утверждение непосредственно вытекает из предложения 6 и следствия 2.
Предложение 7. Пусть Р - класс топологических пространств как в предложении 6, обладающий ещё тем свойством, что замкнутое подпространство элемента класса Р само принадлежит Р. Пусть, далее, X — Р и Яp(X) гомеоморфно ЯР(У). Тогда У — Р.
Следствие 3. Пусть пространство X обладает одним из свойств 1), 2), 3), перечисленных в следствии 2, и пусть Яp(X) гомеоморфно ЯР(У). Тогда У обладает тем же свойством.
Замечание 4. Равенство плотностей d(X) и ё(У) пространств X и У, имеющих гомеоморфные Яp(X), ЯР(У) нельзя вывести из предложения 7, поскольку при переходе к замкнутому подпространству плотность может увеличиваться. Тем не менее, справедливо
Предложение 8. Если d(Rp(X)) < т, то и d(X) < т.
Доказательство. Возьмём всюду плотное в Rp(X) подмножество B, мощность которого не превосходит т. Образуем подмножество A в X как объединение носителей всех элементов b e B. Так как все эти носители конечны, то мощность A также не превосходит т. Если замыкание A множества A не совпадает с X, то, выбрав точку х в непустом открытом множестве X \ A , можем найти функцию Ф e Cp(X), тождественно равную 0 на A и 1 в точке х. Тогда единственное линейное мультипликативное непрерывное продолжение ф функции ф ( предложение 4) на всё Rp(X) обязано равняться 1 в точке х и 0 на всюду плотном в Rp(X) множестве B. Противоречие. ■
Следствие 4. Если Rp(X) гомеоморфно Rp(Y), то d(X) = d(Y).
Предложение 9. nw(X) = nw(Rp(X)), iw(X) = iw(Rp(X)).
Доказательство. Как следует из предложений 1.1.3., 1.1.4., 1.1.5. в [1], nw(X) = nw(CpCp(X)), iw(X) = iw(CpCp(X)). Учитывая, что сетевой вес и i-вес не возрастают при переходе к произвольному подпространству, и принимая во внимание включения X с Rp(X) с CpCp(X), получаем требуемый вывод. ■
Следствие 5. Если Rp(X) гомеоморфно Rp(Y), то nw(X) = nw(Y), iw(X) = iw(Y). Замечание 5. Следствие 5 можно обобщить. А именно, если некоторые топологические пространства TX, TY гомеоморфны и при этом X с TX с CpCp(X),
Y с TY с CpCp(Y), то nw(X) = nw(Y), iw(X) = iw(Y).
Аналогичные соображения можно высказать относительно каждого топологического свойства, общего для данного пространства X и его «двукратного» пространства функций CpCp(X) и наследуемого произвольными подпространствами. В качестве примера можно сформулировать
Предложение 10. Пространство X т-монолитно тогда и только тогда, когда т-монолитно кольцо Rp(X).
Доказательство. Теоремы II.6.8., II.6.9. из [1] устанавливают, что наличие каждого из свойств т-монолитности и т-устойчивости у пространства X равносильно наличию другого из них у Cp(X). Отсюда следует, что пространство X т-монолитно одновременно с пространством CpCp(X). Далее, по предложению П.6.5.(а) из [1], свойство т-монолитности наследуется произвольными подпространствами. Так как X с Rp(X) с CpCp(X), то X т-монолитно одновременно с кольцом Rp(X). ■
Следствие 6. Если Rp(X) гомеоморфно Rp(Y) и X т-монолитно, то и Y т-монолитно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М. Изд-во МГУ, 1989.
2. ТкачукВ.В. Наименьшее подкольцо кольца Cp(Cp(X)), содержащееXи {1}, всюду плотно в Cp(Cp(X)) // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1987. № 1. С. 2о - 22.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ЛАЗАРЕВ Вадим Ремирович - старший преподаватель кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: lazarev@ math.tsu.ru
Статья принята в печать 16.02.2010 г.
