О полиномиальных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 515.12

В.Р. Лазарев О ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМАХ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Введены понятия полиномиального гомеоморфизма пространств непрерывных функций и р-эквивалентности топологических пространств. Показано, что в классе пространств со счетной базой отношение р-эквивалентности сохраняет размерность dim.

В настоящей статье рассматриваются только вполне регулярные топологические Т-пространства (иначе говоря - тихоновские пространства), поэтому в дальнейшем они называются просто пространствами.

Для каждого пространства X через Cp(X) будем обозначать пространство непрерывных вещественнозначных функций на Х, наделённое топологией поточечной сходимости. В пространстве Ср(Ср(Х)) мы выделяем подпространство CpCp (X), состоящее из непрерывных функций f обращающихся в ноль на нулевом элементе ОХ пространства Cp(X). Элементы пространства С0Cp (X) мы называем функционалами. Введём в рассмотрение специальный вид функционалов.

Определение 1. Пусть х е Xn - упорядоченный набор (xb..., xn) точек пространства Х, а = (аь..., ап) - мультииндекс. Обозначим через ха = xа •...• хап"

функционал, заданный правилом xа(ф) = ф(xv)“' •...-ф(xn)“”, где феСДХ). Полиномами будем называть функционалы вида

m __

р = ХХ{а *Ха; |а| = а + ... + ап = к} (все ba^R\{0>). к=1

При этом множество {xi,...,xn> будем называть носителем полиномар и обозначать через К(р).

Ясно, что все полиномы суть элементы пространства С0 Cp (X), так как, по

данному определению, в них отсутствуют члены нулевой степени. Для некоторого пространства Х множество всевозможных полиномов обозначим через Мр(Х). Итак, Mp (X) с C0 Cp (X) . Понятно также, что при m = 1 мы получаем обычные

линейные непрерывные функционалы (см. [1. С. 25]), так что Lp(X) с Mp(X). Множество Мр(Х) не замкнуто ни относительно сложения, ни относительно умножения в СрCp (X). Действительно, разность полиномов xj + хгх2 + х2 и

xj - xjx2 + х2, равная 2x1x2, уже не принадлежит Мр(Х), так как здесь m = 2, но коэффициенты при Xj2 и х2 равны нулю в противоречие с определением. То же можно сказать о произведении элементов x1, x2 из Мр(Х). Лишь операция умножения на скаляр не выводит за пределы Мр(Х). В [2] доказано, что Мр(Х) есть всюду

плотное подмножество в C0Cp (X). Очевидна следующая

Лемма 1. Если/еМр(Х), уеСр(Х) и ф(х) = 0 при всех хеК(/), то/(ф) = 0.

В дальнейшем мы отождествляем точки х пространства Х с функционалами

вычисления х' из С°Ср (X), х'(ф) = ф(х). Такие функционалы обозначаем просто

буквой х: х(ф) = ф(х), где ф<аСр(Х).

Рассмотрим теперь пространства Х, У , для которых существует гомеоморфизм И: Ср(Х ^ Ср(У). Не теряя общности, можно считать, что И(Ох) = Оу, и поэтому И порождает сопряженный гомеоморфизм И*: С°рСр(Г) ^ С0Ср (X), И*(/) = /◦ И.

Будем обозначать И*(у) через у*, а И*-1(х) через х*. Напомним, что такие простран-

t

ства X, У называются ¿-эквивалентными, это записывается как X ~ У. Если же И линеен (соответственно равномерно непрерывен вместе с И-1), то X, У называются

/

/-эквивалентными (это записывается как X ~ У) (соответственно и-эквивалент-

и

ными, X ~ У).

Определение 2. Гомеоморфизм И: Ср(Х) ^ Ср(У) назовем полиномиальным, а

р *

пространства Х и У - ^-эквивалентными ( пишем X ~ У), если у еМр(Х), а х еМр(У) при всех х из Х, у из У.

1 Р *

Замечание. Из вышеизложенного следует, что X ~ У ^ X ~ У ^ X ~ У, однако неизвестна связь между р- и и-эквивалентностью.

Следующий элементарный пример показывает, что полиномиальные гомеоморфизмы существуют и, за исключением тривиальных случаев, не являются равномерными. Однако автору не известно, могут ли пространства X, У быть _р-экви-валентными, не являясь при этом и- и даже /-эквивалентными.

Пример. Пусть X = {х1, х2}, У = {у1,у2} - дискретные двоеточия. Стало быть, Ср(Х = Ср(У) = И2. Определим отображение И: ^ Ср(У) правилом

И(ф)(у1) = ф3(х0 - ф(х2), И(ф)(у2) = ф(х0. Тогда формулы И-1(у)(х0 = у(У2),

И-1(у)(х2) = у3(у2) - ¥(у1), как легко видеть, определяют обратное к И отображение. Значит, И взаимно однозначно и, очевидно, непрерывно вместе с И-1. Далее,

(У) (ф) = у1 (ф) = У (й(ф)) = й(ф) (У) =

= Ф3 (Х1) -Ф (х2 ) = Х1 (ф) - Х2 (ф)> откуда у = х1 - х2. Аналогично,

Ъ* (У2 ) (Ф) = Уг (Ф) = У2 (А(Ф)) = А(Ф) (У2) = Ф (х1) = х1 (Ф),

*

откуда у2 = X.

Таким же образом

Ь*1 (Х1 ) (V) = ХГ (V) = Х1 (^ (V)) = (^ (V)) (Х1) = V (у2 ) = У (V) , откуда хг = У2 , и

(х2 ) (V) = х2 (V) = Х2 (^ (V)) = А-1 (V) (Х2 ) =

= V3 (У2)-У(л) = У2(V)-У (¥),

откуда хГ = у2 - У1.

Заключаем, что гомеоморфизм к - полиномиальный. Нетрудно также показать, что он не является равномерно непрерывным. Действительно, выберем две последовательности (ф„)„^, (Уя)я^ из СР(Х), положив ф„(хО = п, ф„(х2) = 0, у(х^ = п+п-1, уп(х2) = 0 при всех п. Легко вычислить, что тах |уи -фи| = п— —> 0 , в то

время как тах|к (у п) - к (фи )| > 3п, откуда и следует наше утверждение. ■

Всякий полиномиальный гомеоморфизм к: СР(Х) ^ СР(У) определяет конечнозначные отображения 5: У ^ X, Б(у) = К(у ) и 5 ': X ^ У, Б '(х) = К(х ), которые, конечно, играют равноправную роль. Поэтому в дальнейшем рассуждения, не требующие рассмотрения обоих отображений, будут проводиться относительно отображения Б.

Лемма 2. Пусть уеУ, |Б(у)| = к(у), {иь..., Цвд} - произвольная дизъюнктная система (открытых) окрестностей точек хь..., хед из Б(у). Тогда у точки у найдется окрестность Уу, целиком состоящая из точек х, для которых Б(х)пЦ,- Ф 0 для всех г = 1,., к( у).

Доказательство. Рассмотрим семейство функций {фь..., фад} с СР(Х), такое,

к (у) ^

что ф/(хг) = ^ ф;|Х\и,=0. Положим Уу = р (Ь(ф;))-1 (К\{0}). ТогдауеУу. Дей-

/=1

ствительно, зафиксируем у, 1 <у <к(у). Имеем к(ф/)(у) = (уок)(фу) = у*(фу). Так как ф,(х;) = 0 при всех гф/, то выражение у (фу) содержит лишь многочлен от фу(хг) = у Поэтому надлежащим выбором чисел гу можно добиться, чтобы у (фу) Ф 0, что и означает уе Уу. Далее, если хе Уу и при этом S(z)n,Ui = К(г ')n^Ui = 0 для некоторого г, то по лемме 1 г (фг) = к(фг)(г) = 0. Значит, хг Уу. Противоречие. Лемма 2 доказана. ■

Положим теперь Уйп = {{ ё У; |£(у)\ < п} и Уп = Уйп \ 7й”-1. Непосредственно из леммы 2 легко вытекает

Следствие 1. Пусть уеУ, окрестность Уу - как в лемме 2, хеУу. Тогда №)| > |Б(у)|.и

Напомним, что многозначное отображение М: X ^ У называется полунепрерывным снизу (соответственно сверху), если для каждого открытого в У множества G множество {хеХ; М(х)г^ Ф 0} (соответственно {хеХ; М(х) с G }) открыто в Х. Из этого определения и из леммы 2 легко вывести

Следствие 2. Отображение Б полунепрерывно снизу. ■

Комбинируя лемму 2 и следствие 1, получаем

Следствие 3. Отображение Б: У ^ Х полунепрерывно сверху при любом пе^ ■

Следствие 4. Уйп замкнуто в У при любом пе^

Доказательство. Следствие 1 немедленно влечет открытость множества

У\У-п . ■

Следствие 5. Если уеУ, то уеи{Б'(х); хеБ(у)}.

Доказательство. Предположим противное и рассмотрим уеСДУ), такое, что у(у) = 1 , у(г) = 0 при всех геи{Б'(х); хеБ(у)}. Тогда по лемме 1 х (у) = к -1(х)(у) = к-1(у)(х) = 0 при любом хеБ(у). Это, в свою очередь, означает, что у (к-1(у)) = к (у)(к-1(у)) = к(к-1(у))(у) = у(у) = 0. Противоречие. ■

Ниже мы предполагаем, что пространства X и Y имеют счетную базу и h: Cp(X) ^ Cp(Y) - полиномиальный гомеоморфизм. Тогда при каждом neN подмножество У" пространства Y , будучи, в силу следствия 4, пересечением открытого Y \ Yйп~1 и замкнутого Yйп множеств, имеет тип F„ в Y. Именно, пусть Yn =u{Fa”; a е A} , где все множества Fa" являются замыканиями элементов счетной базы в У". Такие же соображения можно высказать и относительно подмножеств Х в Х: Xп =и{с"; a е A}. При доказательстве следующей теоремы

нами используется техника, почерпнутая из [3].

Теорема. Если пространства X и Y имеют счетную базу и h: Cp(X) ^ СДУ) -полиномиальный гомеоморфизм, то dim X = dim Y.

Доказательство. Мы покажем, что пространство Y представимо в виде объединения счетного семейства своих замкнутых подмножеств, каждое из которых можно гомеоморфно отобразить в Х. Такое же утверждение, в силу равноправного положения Х и Y, будет верно и для Х. Это будет означать, что выполнены условия теоремы суммы для размерности dim, ссылка на которую и завершит доказательство. Используя введенные выше обозначения, мы можем записать, что

ГО ГО

Y=uuFT и X=UUСП.

n=laeA n=laeA

Пусть yeY произвольно. Тогда при некотором neN мы имеем ye У" и S(y) = K(y*) = {xb...,xn}. Далее, при всяком i, 1 < i < n, xieXm(,) и

S'(■X) = K(■) = {yy'm(,)}. Фиксируем произвольные дизъюнктные замкнутые окрестности Fy/) ) с Yn(lJ ), 1 < i < n, 1 < j < m(i), точек множества

n

uw - , угт(¡)}. Так как по следствиям 2 и 3 отображение S' полунепрерывно

/-1

снизу и сверху (то есть непрерывно относительно топологии Вьеториса на Fin(Y)) на каждом Xm(i), то найдутся дизъюнктные замкнутые окрестности С”^, 1 < i < n,

точек хь.. .,Х", такие, что при каждом i и при всех £ е С^ , |S'(£)nj)^ = 1 для

любого j, 1 < j < m(i). Поэтому корректно заданы однозначные непрерывные отображения Sj : C™ -+ >.

Аналогично, так как S непрерывно на У", существует окрестность Fa” точки у, такая, что при всех n е F” будет |s(п) о С”(^| = 1. Поэтому корректно определены однозначные и непрерывные отображения S; : F" ^ С”(^ .

По следствию 5 из леммы 2 для каждого n е F” найдутся индексы i, j, такие, что Sj (St (n)) = П . Таким образом, множество Fa” представимо в виде объединения конечного семейства множеств Фгу неподвижных точек непрерывных отображений Sg о Si. Ясно, что все множества Фгу замкнуты, а отображения S, гомеоморфно отображают их в пространство Х. ■

Замечание. Как видно, доказательство леммы 2 и предыдущей теоремы опирается на свойство полиномиального функционала иметь конечный носитель, благодаря чему можно определить конечнозначные полунепрерывные снизу отображения 5: У ^ X, 5(у) = К(у ) и 5': X^ У, £'(х) = К(х ). Поэтому лемма 2 и предыдущая теорема могут быть обобщены на формально более широкий, чем класс всех полиномиальных, класс функционалов с конечным носителем. При этом мы

говорим, что функционал f е С0 Ср (X) имеет конечный носитель К с X, если пара / К) удовлетворяет условиям:

(а) УфеСр(Х), Уе > 0 38 > 0, такое, что |ф(х)-у(х)| < 8 УхеК ^ |/ (ф)-/ (у)| < е;

(б) для каждого непустого собственного подмножества М с К пара (/ М) отвечает некоторому условию (с), влекущему отрицание (а) для пары / М).

Вообще говоря, изменяя условие (с), мы можем образовывать разные классы функционалов с конечным носителем. Чтобы полученный класс содержал все полиномы, можно, например, наложить условие

(с) УхеК, У8 > 0 ЗА > 0, такое, что ф(К\{х}) с (-8, 8), |ф(х)| > А ^ | / (ф)| > 1.

Условие (б) обеспечивает единственность подмножества К с X, для которого пара (/ К) удовлетворяет условию (а), что делает определение отображений 5, 5' корректным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

2. Лазарев В.Р. Один пример всюду плотного множества многочленов в СрСр(Х) // Меж-дунар. конф. по математике и механике: Избр. докл. Томск, 2003. С. 55 - 59.

3. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды Матем. инст. Стеклова. 1992. Т. 193. С. 82 - 88.

Принята в печать 07.12.07.