Аналоги теорем Такенса для обобщенных действий группы z∞ Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛОГИ ТЕОРЕМ ТАКЕНСА

ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ ГРУППЫ Жто

H. А. Бегун1, С. Ю. Пилюгин2

I. С.-Петербургский государственный университет, студент, matandmeh@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, sp@sp1196.spb.edu

1. Введение. Траектории и их предельные множества — стандартные понятия в классической теории динамических систем. Хорошо известно, что динамические системы с непрерывным временем можно рассматривать как действия группы М, а динамические системы с дискретным временем — как действия группы Ж [1].

В последнее время интенсивно изучаются динамические свойства действий конечномерных коммутативных групп (таких, например, как Жр с конечным р). Отметим, например, работы, связанные с дифференциальной жесткостью таких действий [2], существованием у них инвариантных мер [3], отслеживанием приближенных траекторий [4].

Теория действий бесконечномерных групп находится в начале своего развития, при этом изучаются в основном действия бесконечномерных групп Ли (см., например, [5]).

В данной заметке мы вводим понятие обобщенного действия группы Жто, порож-

денного произвольным счетным набором попарно коммутирующих гомеоморфизмов, изучаем свойства обобщенных орбит для таких действий и доказываем аналоги теорем Такенса [6] о типичности свойств максимальной и минимальной е-эквивалентности.

2. Обобщенные орбиты. Пусть X —топологическое пространство. Обозначим через Н(X) множество гомеоморфизмов пространства X.

Как обычно, действие Ф : О х X ^ X коммутативной группы О на пространстве X определяется следующими тремя условиями (мы считаем, что групповая операция является сложением):

(1) Ф(а, ■) € Н(X) для любого а € О;

(И) Ф(0, х) = х для любого х € X;

(111) Ф(а + Ь,х) = Ф(а, Ф(Ь, х)) для любых а,Ь € О и х € X.

Если О = ЖР ,р € М, то действие характеризуется «порождающими отображениями» /г() = Ф(е, ■),г = 1,... ,р, где = (п1,... ,пр) —такой элемент Жр, что щ = 1 и щ = 0 при ^ = г. В этом случае /1,...,/р — попарно коммутирующие гомеоморфизмы, и если и = (п1, . . . , Пр), то

Ф(п,х)= /1м ◦ ■■■◦/— (х). (1)

Ясно, что в случае группы О = Жр,р € М, существует эквивалентный способ задать действие О: мы можем фиксировать произвольный набор /1,...,/р попарно коммутирующих гомеоморфизмов пространства X и определить Ф равенствами (1).

Ситуация принципиально меняется при переходе от группы О = Жр с конечным р к группе Жто.

© Н.А.Бегун, С.Ю.Пилюгин, 2010

Конечно, если О = Жто, то мы можем определить отображения /(■) = Ф(в^, ■),г = 1,..., по аналогии со случаем Жр, задавая элемент в^ = (п1,...) теми же условиями щ = 1 и п2 =0 для ] = г и получая счетный набор попарно коммутирующих гомеоморфизмов.

В то же время, начиная с произвольного счетного набора попарно коммутирующих гомеоморфизмов, мы не всегда зададим соответствующее действие группы Жто, так как в этом случае бесконечный аналог соотношения (1) может не определять точку пространства X.

Наша цель — дать динамическую интерпретацию объектам, которые порождаются произвольным счетным семейством

Т = {/1,/2,...} (2)

попарно коммутирующих гомеоморфизмов топологического пространства X (мы будем называть элементы такого семейства {/1, /2,...} образующими обобщенного действия Т группы Жто).

Фиксируем точку х € X и элемент п = (п1, п2,...) € Жто. Введем обозначение

0(к,п,х, Т) = /— ◦■■■◦/- (х).

Пусть V(п, х, Т) — множество всех предельных точек последовательности 0(к, п, х, Т) при к ^ж.

Назовем обобщенной орбитой точки х в обобщенном действии Т множество

до(х, т) = а у V(п,х, т).

Отметим вначале некоторые простые свойства обобщенных орбит.

Пусть Жр —подгруппа группы Жто, состоящая из тех п € Жто, для которых лишь конечное число координат отлично от 0. Ясно, что действие подгруппы Жр на X можно определить аналогично действию группы Жр: если п = (п1,...) € Жр и I = {*1,..., гр} — такое конечное подмножество М, что п = 0 лишь при г € I, то однозначно определен элемент

ф(n,x, Т) = ^ ◦ ■ ■ ■◦/'пргр (х).

Положим

Г0(х, Т) = {Ф(п, х, Т) : п € Жр}.

Лемма 1. Для любой точки х € X верно равенство

да(х, т ) = аг о(х, т ). (3)

Доказательство. Включение

да(х, т) с аго(х, т) следует из очевидных включений

0(к,п,х, т) с г0(х, т)

и

V(п,х, Т) С С1Р0(х, Т)

и из замкнутости множества С1Р0(х, Т).

Для доказательства обратного включения заметим, что для любого у € Р0(х, Т) найдутся такие п € Ъто и конечное к, что

у = 0(к, п, х, Т).

Поэтому

Р0(х, Т) С У 0(к, п, х, Т). (4)

к,п

Фиксируем п € Ъто и натуральное к; рассмотрим такое п' € Ър, что п[ = щ при г < к и п = 0 при г > к. Тогда

0(к, п, х, Т) = V(п', х, Т),

поэтому из (4) следует, что

Р0(х, Т) с[]Р(п,х, Т).

п

Переходя к замыканиям, мы получаем второе искомое включение

С1Ро(х, т) с до(х, т).

Лемма доказана.

Напомним, что в случае классических динамических систем множество называется инвариантным, если оно содержит траекторию любой своей точки. Покажем, что обобщенные орбиты обладают аналогом свойства инвариантности.

Лемма 2. Если у € д0(х, Т), то

до(у, т) с до(х,т). (5)

Доказательство. Рассмотрим точку у € дО(х, Т). Из леммы 1 следует, что у € С1Р0(х, Т); фиксируем такую последовательность точек ук € Р0(х, Т), что ук ^ у, к ^<х>.

Очевидно, Р0(ук, Т) С Р0(х, Т).

Если г € Р0(у, Т), то найдутся такие (п\,..., пр) и (*1,..., %р), что

* = .с ◦•••◦■С (у).

Но тогда последовательность

*к = .п ◦•••◦.п(ук),

лежащая в Р0(ук, Т) (а следовательно, и в Р0(х, Т)), сходится к *. Отсюда следует, что * € С1Р0(х, Т).

Переходя в установленном включении Р0(у, Т) С С1Р0(х, Т) к замыканиям и применяя лемму 1, мы получаем включение (5). Лемма доказана.

3. Аналоги теорем Такенса. Пусть (М, &б1;) —компактное метрическое пространство. Как и выше, будем обозначать через Н(М) пространство гомеоморфизмов этого пространства. Пусть С(М) — множество непустых замкнутых подмножеств пространства М.

Определим метрику на пространстве Н(М).

Пусть /,к € Н (М); введем число

р(/, Ь) = тахтах((^1;(/(х), Н(х)), &б1;(/-1(х), Н-1(х))).

хЕМ

Хорошо известно (см., например, [1]), что (Н(М),р) —полное метрическое пространство.

Будем рассматривать пространство обобщенных действий &(М) группы на пространстве М с топологией, определяемой следующим образом.

Пусть Т — обобщенное действие с образующими /1 ,/2,...

Фиксируем конечный набор различных натуральных чисел I = (г1, ...,%к) и набор положительных чисел а = (а1,...,ак); рассмотрим цилиндр Т (1,а, Т), состоящий из обобщенных действий Н € &(М) с образующими Л-1, Л-2,..., для которых выполнены неравенства

р(/г, Ь) < аг, г € I.

База окрестностей обобщенного действия Т в рассматриваемой топологии состоит из цилиндров Т(I, а, Т), соответствующих всем допустимым наборам I и а.

В известных теоремах Такенса (доказанных им при изучении так называемой гипотезы Зимана о толерантной устойчивости, см. [1, 6]) установлена типичность ослабленной непрерывной зависимости траекторий классических динамических систем с дискретным временем (действий группы Ъ) от малых возмущений систем.

Дадим соответствующие определения для случая обобщенных действий группы (так как в этом случае для нас будут несущественны начальные точки обобщенных орбит, мы будем использовать обозначение д0(Т) для любой обобщенной орбиты обобщенного действия Т).

Будем обозначать через N (а, А) а-окрестность множества А С М.

Фиксируем е > 0.

Пусть Т, Н€ &(М). Будем говорить что Т и Н е-орбитально эквивалентны, если выполнены следующие условия:

(1) для любой обобщенной орбиты д0(Т) найдется такая обобщенная орбита

до(н), что

(1.1) д0(т) С N(е, д0(н)),

(1.2) д0(Н) С N(е, д0(Т));

(2) для любой обобщенной орбиты д0(Н) найдется такая обобщенная орбита д0(т), что

(2.1) д0(н) с N(е, д0(т)),

(2.2) д0(т) с N(е, д0(н)).

Будем говорить что обобщенные действия Т и Н минимально е-эквивалентны (максимально е-эквивалентны), если в приведенном выше определении орбитальной е-эк-вивалентности опущены условия (1.1) и (2.1) (соответственно, условия (1.2) и (2.2)).

Пусть Б — подмножество &(М). Мы будем рассматривать на Б топологию, которая не грубее, чем топология, индуцированная введенной выше топологией на &(М).

Обозначим через Dmax подмножество D, состоящее из обобщенных действий F со следующим свойством: по любому е > 0 можно указать такую окрестность W обобщенного действия F в D, что любые два обобщенных действия H, GeW максимально е-эквивалентны. Аналогично определяется множество Dmin.

Теорема. Каждое из множеств Dmax и Dmln является множеством второй категории по Бэру в D.

Доказательство. Мы приведем подробное доказательство для множества Dmax (и прокомментируем, как следует его изменить в случае множества Dmin).

Фиксируем е > 0 и рассмотрим подмножество Qe множества D, состоящее из обобщенных действий F, для каждого из которых можно указать такую окрестность W в D, что любые два обобщенных действия H, GeW максимально е-эквивалентны. Ясно, что каждое такое множество Qe открыто и верно равенство

Dmax = р| Qe.

е>0

Таким образом, достаточно показать, что каждое Qe плотно в D.

Так как пространство M компактно, существует такое его конечное покрытие открытыми множествами U\,...,Uk, что

diamUj < е, i = l,...,k. (6)

Рассмотрим множество K = {l,...,k}; обозначим через K* множество подмножеств пространства K, а через K** — множество подмножеств пространства K* (будем при этом рассматривать K, K*, K** как топологические пространства с дискретной топологией).

Рассмотрим отображение

Fmax . D ___► K**

определяемое так: подмножество L С K является элементом множества Fmax(F) тогда и только тогда, когда существует такая обобщенная орбита GO(F) обобщенного действия F, что

GO(F) n Ui = $, i e L.

Покажем, что отображение Fmax полунепрерывно снизу. Пусть F Е D и

L = {h,...,lm}EF max(F).

Из леммы 1 и из конечности набора окрестностей U\,...,Uk следует, что существуют такая точка х Е M и элементы n\,..., nm подгруппы Zp, что

Ф(щ,х,Т) Е Uii, i =1,...,m.

Мы предполагали, что топология на множестве D не грубее, чем топология, индуцированная топологией, в которой база окрестностей обобщенного действия F состоит из цилиндров вида T (I, a, F).

Отсюда следует, что существует такая окрестность W обобщенного действия F в D, что если G Е W, то

&(n,i,x,G) Е Uii, i = 1,...,m.

Но тогда существует такая обобщенная орбита 00(0) обобщенного действия 0, что

00(0) П ии = 9, г = 1,...,т.

Поэтому Ь € Гтах(0).

Так как множество К * конечно, отсюда следует, что отображение Гтах полунепрерывно снизу.

Множество К** дискретно, поэтому из известной леммы Такенса (см., например, лемму 11.1 в книге [1]) вытекает теперь, что существует открытое и плотное подмножество П' в П, на котором отображение Гтах локально постоянно. Докажем, что П' С Qe.

Для этого достаточно показать, что если Гтах(0) = Гтах(Н), то обобщенные действия 0 и Н максимально е-эквивалентны.

Рассмотрим обобщенную орбиту 00(0) и найдем такой элемент Ь € К*, что

00(0) П и = 9, г € Ь,

и

00(0) С и

Так как Ь € Гтах(0), верно Ь € Гтах(Н), поэтому существует такая обобщенная орбита 00 (Н), что

00(Н) П и = 9, г € Ь.

Из условия (6) следует, что в этом случае 00(0) С N(е, 00(Н)).

Это рассуждение завершает доказательство теоремы для случая множества Птах. В случае множества Пт1П рассматривается покрытие М замкнутыми множествами, удовлетворяющими условию (6), и вводится отображение

Гт1п . П __^ К**

определяемое так: подмножество Ь С К является элементом множества Гт1П(Т) тогда и только тогда, когда существует такая обобщенная орбита 00 (Т) обобщенного действия Т, что

00(Т) С и иг.

Покажем, что отображение Гт1П полунепрерывно сверху. Пусть Т € П; рассмотрим множество Ь С К, не лежащее в Гтт(Т), и обозначим

и (Ь)= у 1А.

ъЕ L

Для любой точки х € М найдется такое п(х) € Ър, что

Ф(п(х),х,Т) € и(Ь). (7)

Действительно, если бы это утверждение не выполнялось, то из леммы 1 и из замкнутости множества и(Ь) вытекало бы включение

00(х, Т) С и(Ь),

противоречащее нашему предположению о множестве Ь С К.

Так как множество U(L) компактно, у каждой точки х Е M есть такая окрестность

V(х), что аналог соотношения (7) (с заменой х на у, но с сохранением первого аргумента n(x)) выполнен для любой точки у Е V(х).

Из компактности M следует, что покрытие M окрестностями V (х) содержит конечное подпокрытие. Таким образом, существует такой конечный набор v элементов Zp, что для любой точки х Е M можно найти такое n Е v, что

Ф(п,х, F) Е U (L).

Функция

г(х) = maxdist^(n, х, F), U(L))

nEv

непрерывна на M, поэтому существует такое d > 0, что г(х) > 2d для х Е M.

Из нашего определения топологии на пространстве обобщенных действий следует, что существует такая окрестность W обобщенного действия F в D, что

max dist^(n, х, G),U(L)) > d

nEv

для любых х Е M и GC W.

Отсюда следует, что L Е Fmm(G) для G С W, а это и означает искомую полуне-прерывность отображения Fmin снизу. После этого доказательство теоремы сводится к лемме Такенса так же, как в первом случае.

Литература

1. Пилюгин С. Ю. Пространства динамических систем. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 270 с.

2. Katok A., Spatzier R. J. Differential rigidity of Anosov actions of higher rank abelian groups and algebraic lattice actions // Proc. Steklov Math. Inst. 1997. Vol. 216. P. 292-319.

3. Kalinin B, Katok A. Invariant measures for actions of higher rank abelian groups // Proc. Symp. Pure Math. 2001. Vol. 69. P. 593-637.

4. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Shadowing in actions of some Abelian groups // Fund. Math. 2003. Vol. 179. P. 83-96.

5. Omori H. Infinite-dimensional Lie groups. Providence: Amer. Math. Soc. 1997.

6. Takens F. On Zeeman’s tolerance stability conjecture // Manifolds—Amsterdam, 1970, Lect. Notes Math. Vol. 197. Springer, 1971. P. 209-219.

Статья поступила в редакцию 15 июня 2010 г.