CC BY
36
2015
Математика и механика
№ 1(33)
МАТЕМАТИКА
УДК 515.12 Б01 10.17223/19988621/33/1
В.Р. Лазарев
ЗАВИСИМЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В СрСр(Х) И НАСЛЕДСТВЕННЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Описан класс тихоновских топологических пространств Г, в рамках которого сохраняются неравенства ) < т , Ы(Г) < т , hd(Г) < т . Доказано, что
если этому классу принадлежит подпространство В пространства Ьр (X)
функционалов с конечным носителем, то ему принадлежит и объединение Х(В) всех носителей элементов из В. Установлено, что В допускает непрерывную факторизацию через множество Х(В) и, тем более, зависит от Х(В), что даёт частичный положительный ответ на один вопрос О.Г. Окунева. Доказано также, что в роли подпространства В может выступать любое открытое или канонически замкнутое подмножество в пространстве С°°Ср (X).
Ключевые слова: топология поточечной сходимости, наследственные кардинальные инварианты.
0. Обозначения и вводные замечания
В данной статье рассматриваются только тихоновские топологические пространства, называемые «пространствами». В топологической терминологии и обозначениях придерживаемся монографии [1]. Напомним, что записи Ы1(Х), hd(X) означают соответственно спрэд, наследственное число Линделёфа и наследственную плотность пространства X. Символами N, Ж. обозначаются множества натуральных и соответственно вещественных чисел.
Основные сведения о пространствах непрерывных вещественнозначных функций СР(Х), определённых на пространстве X, в топологии поточечной сходимости, а также об основных конструкциях и терминах, связанных с ними, можно найти в [2]. В частности, запись Ср^¡Л) означает пространство всех непрерывных
функций на подпространстве Л с X, допускающих непрерывное продолжение на всё X. Вместо С^С^Щ) пишем СРСР(X). Обозначаем С°рСр (X) подпространство
пространства CpCp(X), состоящее из функций, обращающихся в ноль в точке 0 е Ср^. Элементы пространства С°рСр (X) называем функционалами.
Если задано гомеоморфное вложение Ы : Ср (X) ^ Ср (Г), то, не уменьшая
общности рассуждений, можно считать, что Ы(0) = 0. Вместе с таким вложением задано непрерывное отображение Ы :Г^С^Ср(X) правилом Ы(у)(ф)=Ы(ф)(у).
(Заметим, что И* - гомеоморфизм, если h (Cp (X)) - регулярное семейство функций в Cp(Y)). Таким образом, h* (Y) - семейство функционалов на Cp(X), и, в силу непрерывности И*, выполняются неравенства s(h" (Y)) < s(Y), hl(h" (Y)) < hl(Y),
hd(h* (Y)) < hd(Y).
В [3], при наличии гомеоморфного вложения h : Cp (X) ^ Cp (Y), установлены
неравенства s(Yn) < s(Xn), hl(Yn) < hl(Xn), hd(Yn) < hd(Xn) для каждого n e N. Естественно спросить, можно ли отвлечься от вложения h и установить неравенства такого рода просто для подпространства Y с C0Cp (X) ? В [3] сформулирована следующая проблема (Problem 3.3 и Problem 3.4):
Проблема 0.1. Для каждого ли подпространства B с C0Cp (X) существует
подпространство A с X, такое, что s (A) < s(B), hl (A) < hl(B), hd (A) < hd(B) и B
либо зависит от A, либо допускает непрерывную факторизацию через A?
При этом понятия зависимости и непрерывной факторизуемости определяются следующим образом.
Определение 0.2. Говорят, что подпространство B с C0Cp (X) зависит от
подмножества A с X, если f (ф) = f (у) при всех f e B , ф, ye Cp (X), таких, что
ф| A = М A .
Определение 0.3. Скажем, что B допускает непрерывную факторизацию через A, если для каждого f e B найдётся непрерывное отображение f : Cp (X| A) ^ M, такое, что f = f0 о pA , где pA : Cp(X) ^ Cp (X| A) - отображение сужения.
Непосредственно из определений 0.2 и 0.3 следует, что если B допускает непрерывную факторизацию через A, то B зависит от A.
Сформулированная выше проблема 0.1, как указано в конце [3], имеет положительное решение, если B содержится в пространстве Lp(X) линейных непрерывных функционалов на Cp(X). В данной статье даётся положительный ответ на поставленный вопрос в более общем случае, а именно в случае, когда B содержится в пространстве L (X) так называемых функционалов с конечным носителем (см.
определение 1.1).
В заключение этого вводного раздела установим один простой факт относительно свойства зависимости.
Лемма 0.4. Если B с C°pCp (X) и B зависит от A сX, то B также зависит от A.
Доказательство. Пусть f e B . Предположим, что нашлись такие функции ф,
М e Cp(X), совпадающие на A, что Дф) <fy). Положим 5 = 0,5(Дм) - У(ф)) и рассмотрим стандартную окрестность W = W(f, ф, у, 5) функционалаf в пространстве C0Cp (X). Ясно, что если g e W, то §(ф) < g(y), а значит, g i B. Следовательно, W n B = 0 в противоречие с f e B . ■
1. Функционалы с конечным носителем
Понятие функционала с конечным носителем можно рассматривать как обобщение понятия линейного непрерывного функционала, которое сохраняет некоторые существенные свойства последнего (см. ниже).
Определение 1.1. (см. [4]) Пусть для функционала / существует конечное подмножество К с X, такое, что выполнены два условия:
(1) Для любых е > 0 и фе Ср (X) найдётся 5 > 0, такое, что если
|ф(х) - у(х)| < 5 для всех х е К, то |/(ф) - /(у) < е ,
(И) Существует е > 0, такое, что для любого хеК и любой его окрестности О(х) найдётся функция уе Ср(X), такая, что у |хю(х) = 0, но \/(у) > е .
Тогда / называется функционалом с конечным носителем, а множество К называется носителем функционала /
Ниже без доказательств приводятся те факты о функционалах с конечным носителем, которые необходимы для дальнейшего изложения. Эти факты (леммы 1.2 - 1.5) установлены в статьях [4, 5].
Лемма 1.2. Функционал / = 0 » К = 0 .
Лемма 1.3. Если / - функционал с конечным носителем К , ф, у е Ср (X) и ф совпадает с у в точках К , то /(ф) = /(у).
Лемма 1.4. Каждый функционал с конечным носителем имеет единственный носитель.
Множество всех функционалов с конечным носителем, с топологией, индуцированной из С°рСр (X), обозначаем Ь (X). Лемма 1.4 означает, что правилом
/^ К(/) корректно определено конечнозначное отображение К : Ь (X) ^ X .
Различие между пространствами Ь (X) и Ьр (X) видно из следующей
леммы.
Лемма 1.5. Ь (X) есть всюду плотное в Ср°Ср (X) линейное подпространство, содержащее Ьр (X).
Как и Lp(X), пространство Ьр (X) можно «рассортировать» по количеству точек в носителях его элементов. А именно, обозначим Ь(п) ={/ е Ьр(X):|К(/)= п}. Кроме того, обозначим Еп (X) = {А с X :|А\ = п} для всякого п е N. Будем считать множество Еп (X) наделённым топологией Вьеториса. Напомним, что стандартную базу этой топологии образуют множества вида
и = = { А е Еп (X): А с и1 и... и Пп, А п Пг Ф0,1 = 1,..., п},
где множества и открыты в X и и п и^ =0 при I Ф ] . Справедлива следующая лемма, аналогичная предложению 2.5 из [6].
Лемма 1.6. Для каждого п е N отображение : Ь(п) ^ Еп (X), (/) = К(/) непрерывно.
Доказательство. Пусть / е Ь(п), 5п (/) = {л^,___, хп} е Еп (X), и - окрестность
точки &"„(/). Можем считать, что и = (П\,_,ип) и х, е и,- при , = 1,...,п. Укажем окрестность V элемента / е Ь(п), для которой (V) с и . В силу (И) существуют функции ф, е Ср (X), тождественно равные 0 вне и, и такие, что / (ф,) Ф 0 при каждом - = 1,...,п. Рассмотрим образы ф, : СрСр(X) ^ Ж. этих функций при каноническом отображении вычисления Л: Ср (X) ^ СрСрСр (X) (см., например, [2]).
п
Положим V = (ф-1 (Ж \ (0}))п Ь(п), V = .
г=1
Ясно, что множество V открыто в Ь(п). Включение / е V следует из того, что ф, (/) = / (ф, 0 при всех I = 1,...,п.
Наконец, убедимся, что (V) с и. Пусть gе Ь(п) таково, что sn (g) = (_у1, _, уп }е и . Это означает, что для некоторого к, 1 < к < п , имеем ик пsn(g) = 0 . Следовательно, фк (у) = 0 для всех , = 1,...,п. По лемме 1.3, g (фк) = фк ^) = 0 , а значит, g еУк и, тем более, g е V . ■
Лемма 1.7. Пусть / е Ь (X), К = К(/ - (конечный) носитель/ Тогда найдётся непрерывное отображение /': Ж.К ^ Ж, такое, что / = /' о рК , где рК : Ср (X) ^ ЖК - отображение сужения.
Доказательство. Из леммы 1.3 следует, что формулой /'(г) = / (рК1(г)),
г е ЖК , корректно определено отображение /': ЖК ^ Ж , причём, очевидно, выполнено равенство / = /' ° рК . Осталось показать, что отображение /' непрерывно. Так как отображение / непрерывно, а рК - открыто, то достаточно установить равенство /,_1(и) = рК (/ 1(и)) для произвольного открытого множества
и с Ж . Но оно элементарно выводится из того, что / = /' ° рК . ■
Условимся для каждого подпространства В с Ьр (X) обозначать символом
X(B) объединение носителей всех функционалов из В.
Лемма 1.8. Пусть В с Ь (X). Тогда В допускает непрерывную факторизацию
через X(B) (следовательно, зависит от X(B)).
Доказательство. Пусть / е В . По лемме 1.7, / = /' ° рК . Обозначим символом рК(В) отображение сужения функций с X(B) на подмножество К с X(B). Определим отображение /0 : Ср (XIX(В)) ^ Ж формулой /0 = /' о рК(В). Тогда /0 непрерывно, будучи композицией непрерывных отображений. Кроме того, имеем /0 ° Px(В) = /' ° рК:(В) ° Px(В) = /' ° рк = / . ■
2. Основные результаты
В этом разделе докажем основную теорему этой статьи (см. теорему 2.3 ниже), а также её приложения к наследственным кардинальным инвариантам (следствия 2.4 - 2.6). Предварительно установим некоторые вспомогательные факты.
Зафиксируем число п е N и рассмотрим произвольное У с Еп (X). Для каждого у = {х1,...,хп}е Еп(X) положим ип(у) = {х1,^,хп}с X , а также г = ип (У) = и{и„ (у): у е У }с X .
Лемма 2.1. Многозначное отображение ип : У ^ 2 обладает свойствами:
(а) Отображение ип ровно п-значно и биективно;
(б) Отображение ип полунепрерывно сверху и полунепрерывно снизу.
Доказательство. Пункт (а) очевиден. Справедливость (б) проверяется легко.
Докажем, например, полунепрерывность снизу. Возьмём открытое множество О с 2 и рассмотрим V = {у е У : ип (у) п О ^ 0}. Пусть V е V. Тогда найдутся
дизъюнктные окрестности их всех точек х е ип(у) с 2, такие, что их с О при х е О. Значит, стандартная окрестность и = (Пх : х е ип (V)) точки V е 2 в топологии Вьеториса содержится в V, то есть множество V открыто в У. ■
Определение 2.2. Будем называть ровно п-значные, полунепрерывные сверху и полунепрерывные снизу отображения п-бинепрерывными.
Заметим, что каждое непрерывное отображение, очевидно, является 1-бинепрерывным.
Теорема 2.3. Пусть Р - некоторое свойство топологических пространств, сохраняющееся при следующих операциях:
1. Переход к подпространству.
2. Переход к образу при непрерывном отображении.
3. Переход к образу при биективном п-бинепрерывном отображении для любого п е N.
4. Взятие объединения не более чем счётного семейства пространств, обладающих свойством Р.
Тогда, если В с Ьр (X), В обладает свойством Р, то и X(B) обладает свойством Р.
Доказательство. Пусть В с Ь (X). Зафиксируем п е N произвольно и рассмотрим Вп = В п Ь(п). Если В обладает свойством Р, то по п. 1, Вп с В также обладает свойством Р. По лемме 1.6, отображение носителя : Вп ^ Еп (X) непрерывно, поэтому, в силу п. 2, Уп = sn (Вп) также обладает свойством Р. Далее, по лемме 2.1, отображение ип : Уп ^ Ап = ип(Уп) биективно и п-бинепрерывно. Значит, по п. 3, подпространство Ап с X обладает свойством Р. Наконец, ясно, что X(В) = и {Ап : п еМ}, и потому X(B), в силу п. 4, обладает свойством Р. ■
Следствие 2.4. Пусть т - некоторый кардинал, В - произвольное подпространство в Ь (X), обладающее одним из свойств М(В) <т, Нй (В) <т, 5(В) <т.
Тогда и X(B) обладает соответствующим свойством.
Доказательство. Убедимся, что все три упомянутых свойства удовлетворяют условиям 1 - 4 теоремы 2.3. Выполнение условия 1 очевидно, так как все три кардинальных инварианта являются наследственными.
Поскольку сужение непрерывного отображения на произвольное подпространство непрерывно и непрерывные отображения не увеличивают ни числа Линделёфа, ни плотности, ни числа Суслина, заключаем, что выполнено условие 2.
Далее, в [3] показано (propositions 1.7 - 1.9 при n = 1), что кардинальные инварианты hl, hd, s не возрастают при переходе к образам при конечнозначных почти полунепрерывных снизу отображениях [3, definition 1.4]. Из определения 1.4 в [3] и определения 2.2 выше следует, что каждое n-бинепрерывное отображение является конечнозначным почти полунепрерывным снизу. Отсюда вытекает выполнение условия 3.
Наконец, взятие не более чем счётного объединения пространств не увеличивает наследственных кардинальных инвариантов, что означает выполнение условия 4. ■
Таким образом, следствие 2.4 вместе с леммой 1.8 даёт положительное решение проблемы 0.1 для всех подпространств B с L (X).
Следствие 2.5. Пусть т - некоторый кардинал, подпространство Z с C0p Cp (X) представимо в виде Z = B , где B с L (X). Пусть выполнено какое-либо из неравенств hl(Z) < т, hd(Z) <т, s(Z) <т . Тогда соответствующее неравенство выполнено и для X(B).
Доказательство. Пусть, например, hl(Z) < т. По лемме 0.4, Z зависит от X(B). Так как B с Z, то hl(B) < т. По следствию 2.4, hl(X(B)) < т. Ясно, что те же рассуждения верны и для кардиналов hd и s. ■
Следствие 2.6. Каждое открытое или канонически замкнутое подпространство G в C°pCp (X ), отвечающее одному из неравенств hl (G) < т, hd (G) < т, s(G) < т,
зависит от некоторого A с X, для которого также выполнено соответствующее неравенство.
Доказательство. По лемме 1.5 найдётся B с L (X), такое, что G с B .
В случае канонически замкнутого G имеем G = B . Поэтому, достаточно положить A = X(B) и применить следствие 2.5.
Пусть G открыто. Поскольку B зависит от X(B) (лемма 0.4), то G - тем более. Так как В с G, то hl(B) < т (hd(B) < т, s(B) < т). Попадаем в условия следствия 2.4. ■
В связи со следствием 2.6 представляется естественным следующий (открытый) вопрос.
Вопрос 2.7. Пусть подмножество M с C°pCp (X) имеет тип Gs. Верно ли, что
M зависит (или допускает непрерывную факторизацию) от некоторого A с X, такого, что выполнено какое-либо из трех неравенств hl(A) < hl(M), hd(A) < hd(M), s(A) < s(M))?
ЛИТЕРАТУРА
1. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986.
2. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.
3. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and it's Appl. 1997. V. 80 P. 177-188.
4. Лазарев В.Р. О модификации понятия функционала с конечным носителем // Вестник Томского государственного университета. 2007. № 298. С. 119-120.
5. Лазарев В.Р. О пространстве функционалов с конечным носителем // Вестн. ТГУ. Бюлл. оперативной научной информации «Актуальные проблемы алгебры и анализа». 2005. № 54. Декабрь. С. 80-87.
6. Tkachuk V.V. Some non-multiplicative properties are l-invariant // Comment. Math. Univ. Carolin. 1997. V. 38. No. 1. P. 169-175.
Статья поступила 05.11.2014 г.
Lazarev V.R. DEPENDENT SUBSPACES IN CpCp{X) AND HEREDITARY CARDINAL INVARIANTS. DOI 10.17223/19988621/33/1
In this paper, for a given arbitrary subset B с CpCp(X) consisting of finite support functionals (see Definition 1.1), we prove its continuous factorizability (see Definition 0.3) through some subset A с X satisfying the conditions hl(A) < hl(B), hd(A) < hd(B), and s(A) < s(B).
Finite support functionals have some essential properties of linear continuous functionals. In particular, the set B above may be "ranked" by subsets Bn according to the number n of points in the supports of functionals. In addition, the support mapping sn : Bn ^ En (X) is continuous (see Lemma 1.6). It permit us to formulate conditions on a topological property that are sufficient for the union X(B) с X of the supports of the functionals from B to have this topological property together with B (see Theorem 2.3). Since B admits continuous factorization through X(B) (see Lemma 1.8) and inequalities hl(B) < т, hd(B) < т, s(B) <т keep true under any operations from the formulation of Theorem 2.3 (see Corollary 2.4), we get a partially positive answer to the Problem 3.3 and Problem 3.4 from [3].
In addition, we extend Corollary 2.4 to all open and all canonical closed subsets of the space C°pCp (X) (see Corollary 2.6).
Keywords: pointwise convergence topology, hereditary cardinal invariants.
LAZAREV Vadim Remirovich (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Engel'king R. Obshchaya topologiya. Moskow, Mir Publ., 1986. (in Russian)
2. Arkhangel'skiy A.V. Topologicheskie prostranstva funktsiy. Moskow, Moskow St. Univ. Publ., 1989. (in Russian)
3. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants. Topol. and it's Appl, 1997, vol. 80, pp. 177-188.
4. Lazarev V.R. O modifikatsii ponyatiya funktsionala s konechnym nositelem. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta, 2007, no. 298, pp. 119-120. (in Russian)
5. Lazarev V.R. O prostranstve funktsionalov s konechnym nositelem. Vestn. TGU. Byull. operativnoy nauchnoy informatsii «Aktual'nye problemy algebry i analiza», 2005, no. 54, pp. 80-87. (in Russian)
6. Tkachuk V.V. Some non-multiplicative properties are l-invariant. Comment. Math. Univ. Carolin, 1997, vol. 38, no. 1, pp. 169-175.
