CC BY
37
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012 Математика и механика № 1(17)
УДК 515.12
С.П. Гулько, В.Р. Лазарев, Т.Е. Хмылева
О ВЗАИМНОЙ «ОРТОГОНАЛЬНОСТИ» КЛАССОВ ПРОСТРАНСТВ
Ср(Х) И Ьр(¥)
В статье доказывается, что для бесконечномерных пространств СР(Х), ЬР(У) или нормированного пространства Е никакое из этих трех пространств нельзя линейно гомеоморфно вложить в другое в качестве дополняемого подпространства.
Ключевые слова: пространство непрерывных функций, линейное гомео-морфное вложение, дополняемое подпространство.
Для вполне регулярного топологического пространства X символом СР(Х) обозначаем пространство непрерывных функций из X в Ж. с топологией поточечной сходимости. Через ЬР(Х обозначается топологическое сопряжённое к СР(Х), т.е. совокупность всех линейных непрерывных функционалов, также наделенная топологией поточечной сходимости. Известно [1], что сопряженным к ЬР(Х является СР(Х). В данной статье мы даем отрицательный ответ на следующие вопросы (в случае бесконечности пространства Х):
1. Можно ли пространство вида СР(Х) вложить в ЬР(У) для некоторого У в качестве дополняемого подпространства?
2. Можно ли пространство вида ЬР(Х) вложить в СР(У)для некоторого У в качестве дополняемого подпространства?
Напомним, что для топологического векторного пространства Е подпространство Ь называется дополняемым, если существует линейная непрерывная проекция Е на Ь.
Очевидна следующая лемма.
Лемма 1. Пусть X - вполне регулярно и бесконечно. Тогда существует последовательность ненулевых функций еп , п е N, в пространстве СР(Х) с дизъюнктными носителями.
Лемма 2. Пусть {/п : п е М) - линейно независимая система в ЬР(У). Тогда найдётся подсистема К : к е м) и функция х0 е Ср (У), для которой /»к (х0) Ф 0 при всех к е N .
Доказательство. Введём вначале некоторые обозначения. Носитель функционала /п обозначим через Ап . Для {п : к е М) обозначим Вт =иК: к < т)и Бт = Вт \ Вт_. Наконец, для конечного множества Е с У и точки у е Е, пусть х(у, Е) е Ср (У, [0,1]), х(у, Е)(у) = 1, х(у, Е)(у') = 0 при всех у'е Е, у'ф у .
В силу линейной независимости системы {к : п е М), найдётся подсистема К :к е М), для которой все разности Бк не пусты. Методом математической
индукции построим последовательности функций (х* \еП с Ср (У),
(Бк )кеМ С СР (У) , 5к = х1 + 82 + • • • + 8к 2к_Т , где все 8к е К0, 1) , со следующими
^ 2
свойствами:
(а) (Бк )ф 0,
(б) !пк (хт ) = 0 при т > к .
Выберем произвольную точку у1 е В1 и положим = х1 = х (у1, В1). Далее, выберем произвольную точку у2 е Б2 и положим х2 = х (у2, В2), х
£2 = х1 +82 -2. Здесь 82 = 0, если /п2 (х1) Ф 0 , и 82 = 1, если /п2 (х1) = 0 . Тогда
/п1 (х1 ) = /п1 (5 ) Ф 0 . Так как /п2 (х2 ) Ф 0 , по постPоению, /п2 (^2 ) Ф 0 . Кр°ме
того, /^ (х2 ) = 0 . Таким образом, для х1, х2, ^1, ^2 выполнены условия (а) и (б).
Предположим, что уже выбраны х^...,хк и построены 51,...,Sk так, что выполнены условия (а) и (б).
Выберем какую-нибудь точку ук+1 е Вк+1 и положим хк+1 = х (ук+1, Вк+1) , а
также ^+! = ^ +8к+1 • ~+Г , где 8к+1 = 0, если /пк+1 (5к )ф ^ и 8к+1 = ^ если /„к+1 (5к) = 0 . Тогда получим, что Д (хк+1 ) = 0 при I < к, и /„к+1 (к+1)Ф 0 . То
есть условия (а) и (б) выполнены для х1, ..., хк+1, 51, ..., 5к+1.
Итак, требуемые последовательности построены.
ш х
Положим теперь х0 = х +^8к • кк1 . Очевидно, данный ряд состоит из не-
прерывных функций и сходится равномерно на У. Поэтому функция х0 непрерывна. Заметим, что х0 = Иш 5к .
к
Пусть теперь т е N произвольно, к > т . Тогда /п (5к ) = /п (5т) в
силу условия (б). Так как функционал /п непрерывен, то
•4» (х0 ) = кит /пт (5к ) = Лт (^ ) Ф 0 по пункту (а). ■
т к т т
Теорема 3. Если X вполне регулярно и бесконечно, то не существует линейной непрерывной инъекции Ср (X) в Ьр (У).
Доказательство. Пусть, напротив, существует линейная непрерывная инъекция Т : Ср (X) ^ Ьр (У). Обозначим /п = Т (еп), где функции еп имеют дизъюнктные носители, как в лемме 1. Тогда система {/п : п е М) линейно независима. По лемме 2, выберем в ней подсистему : к е м), а также функцию х0 е Ср (У),
для которой /^ (х0) Ф 0 при всех к е N . Тогда найдутся скаляры ак, такие, что ак • /пк (х0) = 1 для каждого к. Но тогда последовательность (аке„к ) с Ср (X)
18
С.П. Гулько, В.Р. Лазарев, Т.Е. Хмылева
сходится к нулю, а её образ (ак/^ )к ^ с Ьр (У) при операторе Т к нулю не сходится, что противоречит непрерывности отображения Т. ■
Следствие 4. Если X вполне регулярно и бесконечно, то пространство Ср^ нельзя линейно гомеоморфно вложить в Ьр(У) ни для какого пространства У.
Следствие 5. Если Х вполне регулярно и бесконечно, то пространство Ьр(К) не является линейно гомеоморфным дополняемому подпространству какого-либо пространства Ср(У).
Доказательство. Пусть, напротив, Т : Ьр (X) ^ Ср (У) - линейное гомео-морфное вложение, Р: Ср (У) ^ Т (Ьр (X))с Ср (У) - проектор. Тогда композиция Т-1 о Р: Ср (У) ^ Ьр (X) - линейная непрерывная сюръекция. Тогда, как хорошо известно, сопряжённое отображение (Т-1 о Р) : (Ьр (X)) ^ (Ср (У))* - линейная непрерывная инъекция. Но (Ьр (X)) канонически изоморфно СрЩ, а
(Ср (У)) канонически изоморфно Ьр(У). Получили противоречие с теоремой 3. ■
Хорошо известно, что пространство Ьр(К) естественным образом вкладывается линейно гомеоморфно в пространство СрСр (X) (см. [1]).
Следствие 6. Для бесконечного вполне регулярного пространства Х пространство Ьр^) не дополняемо в пространстве СрСр (X).
Для любого Х определим следующий естественный линейный непрерывный оператор: 5: Ьр (Ср (X)) ^ Ср (X) по формуле
5 (а1 • у + ... + ап • уп )(х) = а1 • у1(х) + ... + ап • уп (х).
«Дуальной формулировкой» следствия 6 является следующее утверждение.
Следствие 7. Не существует линейного непрерывного сечения для оператора 5, то есть такого оператора Т : Ср (X) ^ Ьр (Ср (X)), что 5 о Т является тождественным оператором на CР(X).
Доказательство. Если 5 о Т является тождественным оператором на CР(X), то оператор Т - линейная непрерывная инъекция CР(X) в Ьр (У) при У = Ср (X). Это
противоречит теореме 3. ■
Для случая банаховых пространств хорошо известна следующая нерешенная проблема: верно ли, что всякое дополняемое подпространство пространства вида С (К) линейно гомеоморфно некоторому пространству С (Ь) ? Для случая Ср -
теории можно сформулировать аналогичную проблему.
Проблема 1. Верно ли, что дополняемое подпространство в Ср(^ изоморфно некоторому Ср(У)?
Поскольку пространства CР(X) и ЬР(X) взаимно сопряжены друг с другом, то эта проблема является эквивалентной следующей проблеме.
Проблема 2. Верно ли, что дополняемое подпространство в ЬР(X) изоморфно некоторому Ьр(У)?
Наконец, рассмотрим вопрос об «ортогональности» класса бесконечномерных нормированных пространств и пространств вида Ср(^ или ЬР(X).
Ясно, что для бесконечного вполне регулярного пространства X, пространства Cp(X) или Lp(X) не могут быть линейно гомеоморфно вложены ни в какое нормированное пространство. В самом деле, любая окрестность нуля в Cp(X) или Lp (X) содержит нетривиальное одномерное векторное подпространство. С другой стороны, в нормированном пространстве шары не содержат таких подпространств.
Теорема 8. Бесконечномерное нормированное пространство Е нельзя линейно гомеоморфно вложить ни в какое Cp(X) или Lp(X).
Доказательство. Любая окрестность нуля в Cp(X) или Lp(X) содержит векторное подпространство конечной коразмерности. Следовательно, Е тоже должно иметь такие окрестности, что невозможно.
ЛИТЕРАТУРА
1. АрхангельскийА.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.
Статья поступила 25.12.2011 г.
Gul’ko S.P., Lazarev V.R., Khmyleva T.E.ON MUTUAL "ORTHOGONALITY” OF CLASSES OF THE SPACES CP(X) AND LP(Y). In this article, it is proved that none of the infinitedimensional spaces Cp(X), Lp(Y), or a normed space E can be embedded as a complementable subspace into another by a linear homeomorphism.
Keywords: space of continuous functions, linear homeomorphic embedding, complementable subspace.
GULKO Sergey Porfiryevich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
LAZAREV Vadim Remirovich (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
KHMYLEVA Tatyana Evgenievna (Tomsk State University)
