О БАЗИСНОЙ СТРУКТУРЕ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КёТЕ ВТОРОГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.8

О БАЗИСНОМ СТРУКТУРЕ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КЁТЕ ВТОРОГО РОДА

© 2007 г. В.П. Захарюта, П.А. Чалов

It is proved that Montel power Kothe spaces of the second type [2,3] have the structure of basis subspaces of the finite or infinite type invariant under isomorphisms. The main tools, as in [1], are special compound linear topological invariants, which evaluate classical geometric characteristic (namely inverse Bernstein diameters) of certain invariant multi-parameter constructions built from given bases of neighborhoods or bounded sets.

Для монтелевских степенных пространств Кёте второго рода доказана инвариантность базисных подпространств, изоморфных степенным пространствам Кёте конечного и бесконечного типов.

1. Данная статья является продолжением [1], где приведены определения не объяснённых здесь терминов и обозначений. Степенным пространством Кёте второго рода называют пространство вида:

F(Л,a):= K(ai p ), ai,p ■= exp^ (Äi )ai), (1)

где a = (ai), ai > 0, Л = (Äi), Äi > 0,

p (g) := min<! p,g —1L g > 0, p e N. Без ограничения

l p

общности можно считать, что параметры пространств (1) удовлетворяют условию

ai > 1, 1 <Ä < ж, i e N.

Будем предполагать, что F(Л, a) - монтелевское пространство, т.е. ai ^ж. Через F0(ä,a) и Fx(ä,a) обозначим классы базисных подпространств пространства F(Л, a), изоморфных степенным пространствам Кёте конечного и бесконечного типов соответственно; эти классы являются направленными решётками относительно упорядочения по вложению.

Предложение 1 [2, 3]. Пусть X = F(Л, a) и

Xj := span {et: i e I} подпространство, определяемое

подпоследовательностью I с N. Пространство XI e a) (XI e F0(ä,a)) тогда и только тогда, когда lim Äi = да (sup{{ : i e I} < ж соответственно).

ieI

2. В данной работе исследуется инвариантность структуры классов F0 и F^ при изоморфизмах пространств (1).

Теорема 1. Пусть X = F (ä, a) изоморфно

X = F ~). Тогда

За > 1 VS,e (l<S <e <ж)Зг0 = t0(e)> 1, так что для каждого XI e F0 (ä, a) с I таким, что

S < Äi < e, ai >t0, i e I, найдётся Xj e F0 ~) изоморфное творяющим условию

S< ~ < ae, i e J.

(2)

с J, удовле-(3)

В частности, для каждого Ь е Р0 (Л, а) найдётся М е Р0 ~) изоморфное Ь .

Структура класса Рад сложнее: если класс Р0 описывается счётным набором подпространств, соответствующих отрезкам (2) с натуральными 8 и е, то классу Рад соответствует несчётное семейство «отрезков между парами возрастающих последовательностей натуральных чисел» (см. ниже, теорема 3). С другой стороны, инвариантность Рад как множества удаётся доказать лишь при добавочном требовании ядерности пространств.

Теорема 2. Пусть X = F(Л,а) и X = Fа) -изоморфные ядерные пространства. Тогда для каждого Ь е Рад (Л, а) найдётся М е Рад а) изоморфное Ь . Теорема 3. Пусть X = F (Л, а) изоморфно X = F а ). Тогда

V (г/1)) е д 3 е д V (я(2)) е д 3 (г()) е д,

Т =Т0( (if)) > 1 XI e F00(ä, a) такого,

такие что

что

#< ä < q

для

(1)

F^l, ~) изоморфное

каждого

ai > Т0 , X, и та-

I е I, найдётся Х: е I кое, что г/2) < Лг < г/1), г е J.

При доказательстве этих результатов, как и в [1], конструируются специальные составные линейные топологические инварианты, построенные по фиксированным базисам окрестностей или ограниченных множеств в пространстве (1). Каждое из этих множеств будет реализоваться в форме весового 11 -шара относительно данного абсолютного базиса / = (^)геЫ в пространстве Кёте X :

[ ад ад |

В М = Б{ (0 := [ х = ^г1г е X : £< 1 к

[ г =1 г =1

где ^ = ) - положительная последовательность.

3. Прежде чем приступить к доказательству теоремы 1 докажем инвариантность прямоугольной характеристики пары последовательностей (Л, а).

Лемма 1. Пусть F(Л,а) изоморфно Fа). Тогда 3а > 1 V8,е (1 <8<е<ж)3г0 =т0(е)> 1 такие, что неравенство

а

{ :S<A <e, т < a, < t}<

S ~ т ~ i: — < Ai <ае, — < ai <at а а

выполняется для всех т0 < т < t < да.

(4)

Доказательство. Пусть T : F(a,аF(A,а)

изо-

морфизм, ei = Tet, i е Ж и х = 2 ^ ei = Z % e - базис-

i=1 i=1

ные разложения элемента х е X := F(A, а).

да

Тогда система норм: ||х|| :=ZU~ip, Р е Ж, где

ai, p = exP'

К )~i),

да

пространстве (1): |х| :=2|^i|aijР■ Построим в про-

i=1

странстве X две пары абсолютно выпуклых множеств U, V и U, V так, чтобы обеспечить оценки

,U )<eV~,U) (5)

|{i {А, <е,г< a, < t) < в(, U), (6)

' А A a ' (7)

i: — < Ai <ае, — <ai <at аа

Wi = w1 = Ap1, w2 = exp

f т 1

V 2 Ро У

Apn, w2 = exP(Pit)A

P0 '

p 1

w3 = A}~YA7 ), где y=—Ц если e> p,, и y= — ,

3 po № Г 2^ 9

2e

если e < p1, а w' = Ap-)^.A((|i), если S > 2p1, где

в =

p

и w' = Ap , если S < 2p1.

S' J p1'

Определим множества U и V по правилам:

U = convf JJW'k 1, V = 1Wk . Веса блоков = Be (wk)

V k=1 У k=1

Ж' = Ве , к = 1,2,3, предназначенных для построения множеств V и и, определим такими же формулами, как и веса шаров Жк = Ве ) и Ж' = Ве (н"к), с соблюдением следующего правила замены: в весах м~к (соответственно у~'к) пишем

Си СА(д>) (соответственно СА^ и СА(д')) вме-

сто Apи A

(q,) v = 0,1. Положим U = conv^ JJWk

эквивалентна исходной системе в

V = 1Wk. На основании (8), (9) и предложения 3 [4]

из которых сразу будет следовать оценка (4). Используя эквивалентность систем норм и предложение 4 [1], выберем шестёрку натуральных чисел r0, p0, s0, r1, p1, s1 и тройку последовательностей (q'), (q,), (q')e Q так, чтобы с некоторой положительной константой C выполнялись следующие включения:

Be~lAsl )с CBe(Apk )с C2BV A ), k = 0,1, (8)

CB kq. ^ C2B~ Ы • (9) где Ap := (ai, p ^ Ap :=(ai, p ) и A(qi ) :=(ai,q, )=(eXP faq. (А )ai )),

Aq ) := (~i',qi )=(eXP(^qi (А )di )) , (q, )б Q . Будем предполагать также, что 8r0 < p0, 8p0 < s0 < r1, 8Г-, < p1, 8p1 < s1, 8s1 < q\ < qi < q", i e N.

Положим K = ln(3C2 ), a = K2 + 4s2 и т0 = max {max {a : qi < 2e), a тах{зг-: q' < 4s1e),as1K).

Для люб^1х т и t (т <т <t ) определим /1 -шары Wk = Be(wk) и W' = Be(wk), k = 1,2,3 с весами:

k=1

имеем: Wkс W~k, Wk з W^k, k = 1,2,3.

Следовательно, справедливы включения U с U и

V с V , из которых следует неравенство (5). Ввиду предложения 2 [4] множества U и U совпадают с /j -шарами Be (d) и B~ ), соответственно, где

d = (di ) := (mm {w',1 > w',2 = w',3 }) ,

d =(di ):=(т1п{~г'1, w)2, >~г'3|), а для множеств V и V справедливы следующие включения: V з Be (с),

V с 3B (с), где с = (с,):= (max{wi,1, w-2, wi,3}),

с = (V) := (max {TP, 1, w, 2, w, 3}). Отсюда, по свойствам характеристики в, следуют оценки:

e(Be (с), Be (d ))<e(V ,U), (10)

p(V,U )<e(3BV (V ), BV (^)). (11) Из [1, предложение 3]

e(se(с),Be(d))=|{i:с, < d,}, а поскольку w1 = w[,

p(Be(с),Be(d))= 1Л { : w.,k < w.1, wu < w' k].

k=2

Учитывая определения весов wk и w'k, после элементарных, но кропотливых выкладок, получим неравенство |{i :б<А<е,т< a, < t} < e(Be (с), Be (d)), которое вместе с (10) доказывает (6).

Аналогично, из [1, предложение 3], получаем:

e(3BV(~),BV(V))=|{ : V < 3d,). (12)

На основании определений последовательностей с и d заключаем, что

{ : V < 3d, )с fl { : wUk < 3w;,1, wu < 3w',k ) (13)

k=2

Рассматривая каждое из неравенств, входящих в правую часть (13), и учитывая (12), выводим оценку:

ß(3B~ (~), B~ (?)

S ~ т ~ i: — < Ai <ae, — <ai <at а а

Комбинируя ее с (11), получаем (7), чем и завершается доказательство леммы.

Доказательство теоремы 1. По лемме 1 3 а > 1 УЗ, е (1 <8 < е < да) 3 т0 =т0 () > 1, так что выполняется оценка (4). Возьмём любое Х1 е Р0 (А, а) с I, удовлетворяющим (2).

и

Пусть ,/ := |/: -8 < < ае|, Х~ := 8рап{: у е,/}. Очевидно, что Х~ е Р0 . Положим I = (к )кеМ,

J = ((к, С = (ск) = {% )кеН , ~ = (ак)= ^ ^ ' Из

(4) выводим оценку для считающих функций последовательностей с и ~ :

Мс(т,г) < {: 8 < Аг <е,т< аг < г}<

8 а т а к ,, (т

] : — < Л , < ае, — < а, <аг ^ = М~ I — ,аг а а I \а

= £ П а - базисные разложения элемента х е X.

г=1

Ввиду ядерности пространств X и X, системы норм: 1|Х||р := 5иР{|п|аг,р : г е Ы} и

|х|р := 8ир{|^г |аг- р : г е N} х е X, р е N, эквивалентны; здесь по-прежнему аг = ехр(рр (л, )аг),

ai, p = exPl'

(fv ). Поэтому

везде в дальнейшем

которая справедлива для любых т0 < т < г < ад. Применяя [1, предложение 2], заключаем, что XI квази-диагонально изоморфно некоторому базисному подпространству XJ пространства X-~. Поскольку

можно использовать -шары:

Bl (w) := {х = if, f e X : sup {| w, }}.

a ,ь

Применяя их как строительный материал, построим в пространстве X две пары абсолютно выпуклых множеств и,У и и,У так, чтобы обеспечить оценки J с J, справедлива оценка (3). Следовательно, по (5) и ^аь)^ &)< ^р(у и)

предложению 1 получаем: XJ е Р0(л,я). Доказательство теоремы завершено.

4. Определим систему т -прямоугольных характеристик (мm,b)mеN пары числовых последовательностей а = (аг) и Ь = (Ьг), Ьг > аг > 1. Для каждого т е N на множестве троек т -мерных векторов

т = (тк), г = (к), ° = (тк)е К (14)

определим функцию

ß(~,U)

К

b \т, t^)-.=

U {i Tk < a, < tk, b >°k J

—,аг;а-аг I, из которых сразу бу-а )

дет следовать неравенство (15). С этой целью, используя эквивалентность систем норм и применяя [1, предложения 4], выберем цепочку натуральных чисел

Р0 < Г0 < р1 < Р1 < г1 < Р2 < г2 (18)

и две последовательности (г) и (дг')е Q так, чтобы следующие включения:

A )с СВЖ (a„, ), k = 0,1,2,

/ ч v rk'~(~ pkL \ i \ (19)

вж((p1 ) СВЖ(), ВЖ\A(q>)ci свж()),

Ь), ~ > ~ > ^ m e N. Назовём системы жрж- выполнялись с некоторой константой C (веса Ap , Ap ,

Пусть a = (ai), b =(ь,), ь, > ai > ^ ~ = (~),

Ь =у./-

терисшк ^^ и (^Ц

(будем писать (,ь))), если существуют по-

стоянная а > 0 и неубывающая функция Ф: Я+ ^ Я+ такие, что для каждого т е N неравенства

№ t,a)<K

\z, t;a)<K

a ,b

эквивалентными А(,) и Л(д.) определен^1 в доказательстве лемм^1 1).

Далее предполагаем, что каждый последующий член цепочки (18), по крайней мере, в четыре раза больше предыдущего и 4г2 < дг, 4дг < г е N.

Пусть К = 1п(зС 2 ) (можно считать, что К > г2).

—,at;a-at а

—,at\a — at

(15)

(16)

где — = 1-^1, аг = (агк), и-аг = (к-а(к)е И+т ,

а \а)

выполняются для всех параметров (14), удовлетворяющих условию:

ак <ф(тк), к = 1т. (17)

Лемма 2. Пусть F(Л,а) и F(/l,я) - ядерные ^^транст^ ь = (Ьг ) := (Лг аг ) , а = (¿¡^ ) := (Л, Я, ) .

Если пространства F(Л,а) и F(л,а) изоморфны, то )). а а

Доказательство. Пусть X = F(Л,а), X = F(л,а),

а ад

Т: X —уX - изоморфизм, ег = Tei, г е N и х ег =

Возьмем любое число А > К и произвольную строго возрастающую функцию у : И+ — И+, ^(0) = 0, удовлетворяющую условию А2 тах{аг : qi < 2А^}. Функцию Ф: И+ — И+ определим по правилу Фё) = У 1(ё). Возьмём какое-нибудь число а > тах{\2, ф(а2 )}. Для каждого т е N и фиксированного набора параметров (14), удовлетворяющих условию (17), построим блоки ^ = В?ад (^(к)),

^е!(k) = вад (аг(к}) I = 1,2,3, к=1т, из которых будут

собраны множества и и и , к = 1, т

w1k) = exp

w3k ) = exp^--2- + P1tk| Ap0 Ad

( „ \

2 P1

AP2, w2k )= exp(p1tk )AP0,

W( ) = С exp

2 P1

Ar2, W2k) = С exp(p1 tk )Ar(

a

T

k

1

i=1

k

wf) = сexpl-^ + plh |A2Aß.).

Положим V =,

V = В! (( ), U(к )= convf J Wt

V l=1

r(k)

к = 1,m, U = HU(k), V = В!(Ap1)

к=1

и(к} = сопу| иЖ*' |, к = 1,да,, и = пи1^ .

V=1 ) к=1

На основании (19) и [4, предложение 3] получаем включения

V с V; ) с Ж(к), I = 1,2,3, к = 1да; ¿7 с и. (20) Пусть последовательности С(к ^ = (ёг(к)),

~(к^ = (~/к)), к = 1,да; С = (с) и С = (ёг) заданы равенствами Сг(к) = шш^'): I = 1,2,з},

ё, = шах{сг(к): к = 1да}, ~(к} = шт^}: I = 1,2,з},

V = шах{7/к): к = .

Из [4, предложение 2], получаем включения:

и(к) с вда (с(к)), вда (к>) с зи(к), к=1да; и с вда(с), вда)с зг~. (21)

Применяя свойства характеристики в, из (20) и (21) выводим оценку:

в(вда Л), вда (с))<в( ,и )<

<в(7,и7 )<в(звда (Л), вда (~)). (22)

Учитывая определения последовательностей Лр1 , ё и ё(к^, к = 1,да, из [1, предложение 3] получаем:

( 3

Лк)

;(к)

ß( (fpi) в: (¿))= и i {: «,pi * wg)}

k=11=1

(23)

ß(: () в: ())

U«^) и L(V))

Гт ZmeN fm /m

эквивалентны.

Следовательно, найдётся строго возрастающая непрерывная функция у: ^ такая, что х(^) ^ да при ^ ^ да и А > ?"(аг) для всех г е I .

Рассмотрим две последовательности полуполос:

Рк :=(ак-1;ак ]х(ак-1у(ак-1);:],

Qk := (

:= (ak - 2;ак+1 1х'~к-1

]х (ак-1у(ак-1)

-ак+1; ®]:

к е N.

По лемме 2 для каждого конечного множества ^ с Ж справедлива оценка:

i: (,Ъг)е UРк

j : (,~)е UQk

кеК

Положим J = U {/': (v , bj )е Qk }. Тогда

кеК

(26)

keN

Ä >_Г Y

а

1 l V ^

v«2 /

-1 при j e J .

Поэтому XJ := 8рап{е;- : у е У }е Рда(, ~). Пусть У = ), С = (сх ) := (аг^ ^ 7 = ) := («у,). Возьмём произвольные т и t (1 <т <t <да) и выберем к и I так чтобы ак< т < ак , а1 < t <а1.

Нетрудно видеть, что при таком выборе к и I справедливы оценки:

Mc (т, t )<

i: («i,Ъ)e UPv

v=k

<M~I.

Рассматривая последовательно все неравенства, стоящие в правой части (23), получим необходимые оценки для элементов последовательностей а и Ь . В результате будем иметь следующую оценку:

^(тп^ввда (лР1 ), вда (сС)). (24)

Аналогичные рассуждения приводят к оценке:

j : ((,)е JJQ,

v=k

гсюда, учиты Mc(т,t)<M~. Из [1, предложение 2]

Отсюда, учитывая (26), выводим оценку:

под-

,аt;o^-аt |. (25)

а

Объединяя (24), (22) и (25) получаем неравенство (15). В силу симметрии условий справедливо и неравенство (16). Это означает, что системы характери-

стик meN " Ут jmeN

Доказательство теоремы 2. По лемме 2 существуют константа а и функция Ф, обеспечивающие оценку (15) для любого т е N и параметров (14), удовлетворяющих (17).

Возьмём любую подпоследовательность индексов I = (is) такую, чтобы L := XI е F: (ä, а) и значит, по

предложению 1, limÄ =:. С другой стороны,

ieI

lim ai = :, поскольку пространство X монтелевское.

пространство Ь квазидиагонально изоморфно некоторому базисному подпространству М пространства ХУ. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 дословно повторяет доказательство теоремы 1, только вместо леммы 1 применяется

Лемма 3. Пусть X = ^(А, а) изоморфно

= ^ (а, 7). Тогда

V (г1(1)) е 0 3 ^^ е 0 V (q|2)) е 0 3 (г() е а > 1, т0 = т0 ( (г/1')) > 1 такие, что неравенство

: q[2) < А < q|l),т< аг < t}<

<

i:ri(2) <ä <ri(1), — < V <at а

(27)

выполняется для всех т0 < т < t < да .

Доказательство. Выберем шестёрку натуральных чисел р[, р1, р'{ , р'2, р2, р2, и пятерку последовательностей (,(к^)е Q , к = 1,5 , так, чтобы следующие включения:

11

m

в (APk h Све(Apk )с с2в~(Apk), к

М

Bel A (kü I с CBe\A

^+1)).

= 1,2, к = 1,3, (28)

В [Л(,(к))|С СВ 1ДН) , к = 2А

выполнялись с некоторой константой С (веса Лр,

Лр , Л(q.) и Л(ч,) определены в доказательства леммы

1). Из [1, предложение 4] v(г5)) З^1^^^!/2)) такие, что с некоторой константой Ь > С выполняются включения:

Ва(Л ЬВеI Л,

(29)

BU(q(2))|c LB | A()

Будем предполагать, что 4р'к < рк, 4рк < р",

г® q(2)

к = 1,2, р'< р2, = 0, Ит-Ц^ 0,

г—ад qг■2 г—ад qг^1'

Л) г() „(к+1)

11т= 0, Ит-Л-^ 0, 11т —г~(к\— = 0, к = 1,2,3,4.

г —ад г■ г—ад 5 г—ад <$\к'

Тогда найдётся номер г0 такой, что выполняется следующая цепочка неравенств:

4р2< г/2)< q(2T< г/1)< *(5) < < ^ г > /0.

Положим К = 1п(3Ь2), а = 8(р2)2К , т0 = тах{ар[К, аг0} . Построим блоки Шк = Ве )

и Wk = Ве(к), к = 1,2,3 , из которых будут конструироваться множества и и У . Веса Vк и w'k определим следующим образом:

W1 = w1 = Al A(2 (3)V w2 = Al A( (2)) w2 = Al A(

AM

p2

p2

3 = exp|- ^ t\Al1 AS(1)), W3 = f

p2

4

expl t |A^Ai2

p1

fi5)).

Веса блоков Щ = B~ (wk) и Щ = B~ (wk), k = 1,2,3,

необходимых для построения множеств F и U, определяются формулами:

1 1

1 J-J-

w1 =т A2 a(2(4)) , w1 = LA2 A2

pi

AM,

L

1

-1- . о . о

pi

б2^

w2 = — A 2' A2

LAp2A^)

W2 = LA2,, A/2, 2 p '2'

w3 = L -p(-f t ) AÄ A^)),

w3= L exp\- fT J Ai A(S(4))-

Используя включения (28) с константой L вместо С, (29) и интерполяционную теорему [4], получим

включения: Wk с Wk, W' з , k = 1,2,3.

Определим множества U , V , U , V (см. доказательство леммы 1), получим требуемую оценку (27). Лемма (а с ней и теорема 3) доказана.

Литература

1. Захарюта В.П., Чалов П.А. О // Изв.Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 1. С. 8-12.

2. Захарюта В.П. Об изоморфизме и квазиэквивалентности базисов для степенных пространств Кёте. Труды 7-й зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам. Дрогобыч, 1974. М., 1976. С. 101-126.

3. Zahariuta V.P. // Turkish J. Math. 1996. Vol. 20. № 2. С. 237-289.

4. Захарюта В.П., Чалов П.А. // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 538-549.

1 1 2 A2

Sabanci University (Tuzla-Istanbul, Turkey),

Ростовский государственный университет (Ростов-на-Дону)

27 марта 2006 г.

11

11

1 1

11

1

11