О БАЗИСНОЙ СТРУКТУРЕ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КёТЕ ПЕРВОГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.88

О БАЗИСНОЙ СТРУКТУРЕ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КЁТЕ ПЕРВОГО РОДА

© 2007 г. В.П. Захарюта, П.А. Чалов

It is proved that Montel power Kothe spaces of the first type [4, 7] have the structure of basis subspaces of the finite or infinite type invariant under isomorphisms, which strengthens authors' previous results (joint with T. TerzioQIu [8, 16]. The main tools are special compound linear topological invariants/which evaluate classical geometric characteristic (namely inverse Bernstein diameters) of certain invariant multi-parameter constructions built from given bases of neighborhoods or bounded sets.

Для монтелевских степенных пространств Кёте первого рода доказана инвариантность базисных подпространств, изоморфных степенным пространствам Кёте конечного и бесконечного типов.

1. Пространством Кёте, определяемым матрицей Кёте A = (a p). ^, называют пространство Фреше

K(A):=jx = (\ Щ :=£\ ai p < да, p е N

с топологией, задаваемой системой преднорм {|Xp : Р е N} [1, 2]; символом e = (ef )ieN обозначают

канонический базис этого пространства. Для каждого I с N будем рассматривать соответствующее базисное подпространство пространства X = K(a) :

XI := span^- : i е I}.

А. Гротендик ввел в [3, II, с. 122] важный класс пространств: Ea(a):= K(exp(apai)), где a = (ai), ai > 1,

ap t a (-да < a < +да), называемых [4] степенными

пространствами Кёте конечного типа, если a < да , или бесконечного типа, если a = да (в другой терминологии центрами шкал Рисса [5], либо пространствами степенных рядов [6]). Так как при a < да пространства Ea (a) изоморфны между собой, обычно рассматривают только E0 (a) и Ex(a).

Следуя [4, 7], степенным пространством Кёте первого рода называют пространство

i if , \ W

E (Л, a ):= K

exp

—+Л la

(1)

где а = (а), X = (X¡) - последовательности положительных чисел.

Оператор Т : К (а) ^ К (а ) называется квазидиагональным, если Tei = tieа(i), где (■) - числовая последовательность, а: N ^ N ; при этом, если Т является изоморфизмом (изоморфным вложением), мы будем говорить, что К (А) квазидиагонально изоморфно

(квазидиагонально вкладывается в) К (а) .

Будем далее предполагать, что E(X, а) - монте-левское пространство, т.е. а■ ^да. Через Е(X,а) и Еоо(Х, а) обозначим классы базисных подпространств пространства Е(Х, а), изоморфных степенным про-

странствам Кёте конечного и бесконечного типов соответственно; эти классы являются направленными множествами относительно упорядочения по вложению.

Предложение 1 [4, 7]. Пусть X = Е(Х, а) и Х1 -базисное подпространство, определяемое подпоследовательностью I с N. Пространство Х1 е Е0 (X, а) (Х1 е Еда(Х,а)) тогда и только тогда, когда ИmX¡ = 0

■е1

({X : ■ е I} > 0 соответственно).

2. В данной работе исследуется инвариантность структуры классов Е0 и Еда при изоморфизмах пространств (1). Следующие результаты [8, теоремы 13 и 14] показывают, что множества Е0 и Еда являются инвариантами.

Теорема 1. Пусть пространства Е(Х,а) и Е(х,а) изоморфны. Тогда для каждого Е е Еда (X, а) найдётся М е Еда(х, а), изоморфное Е .

Теорема 2. Пусть пространства E(X,а) и Е(X,а) изоморфны. Тогда для каждого Е е Е0 (X, а) найдётся М е Е 0 (X, а ). изоморфное Е .

Отметим, что некоторые частные случаи этих утверждений были рассмотрены в [7, 9, 10].

Будут доказаны следующие результаты, показывающие, что инвариантами являются не только классы Е0 и Еда как множества, но и их структура.

Теорема 3. Пусть X = Е(X,а) изоморфно X = Е (X, «). Тогда существует возрастающая функция р: [0,2] ^ [0,1], р(0) = 0, р(2) = 1, такая, что для каждого Х1 е Е^^, а) найдётся X~ е Еда(/1, а) такое, что пространства Х1 и Х~ изоморфны, а последовательности I и I связаны условием

р(S)<X¡ <р- (е), ■ е I, (2)

где 8 = М X : ■ е I}, е = 8ир{ : ■ е I}.

Теорема 4. Пусть пространства Х = E(X,а) и Х = Е а) изоморфны. Тогда

V (г1(1)) е д 3 (Я((1)) е д V (я(2)) е 0 3 (г[2)) е т0 > 1, такие, что для каждогоXI е Е0 (X,а), удовлетворяющего условию:

qjj-Ä> < (2)' a - т0' iе j , (3)

найдётся Xj е , изоморфное Xj такое, что

1 ~ 1

<rk' jеJ

j j

(4)

Здесь Q - множество всех строговозрастающих последовательностей натуральных чисел.

3. В [11] Б.С. Митягин ввёл характеристику (считающую функцию последовательности a = (at)):

Ma (т, t) := е N : т < at < t}, 0 < т < t < да , где |A| обозначает число элементов для конечного

множества A и +да , если A - бесконечное множество, и доказал, что эта характеристика является полным инвариантом на классе степенных пространств конечного (бесконечного) типа. Мы будем неоднократно использовать следующее усиление этого результата.

Предложение 2 ([12, теорема 8]). Пусть а = 0 или а = да . Следующие утверждения эквивалентны:

(i) пространство Ea(a) квазидиагонально вкладывается в Ea (~);

(ii) пространство Ea(a) изоморфно вкладывается в Ea(a);

(iii) За > 1: Ma (т, t)< M~ ^а^, 0 <т < t <да.

Основа наших исследований - составные линейные топологические инварианты, предложенные в [13] и развитые в [8, 12, 14 - 16], применительно к различным классам пространств. Этот метод состоит в следующем: какая-либо числовая характеристика пары абсолютно выпуклых множеств в локально выпуклом пространстве (например, поперечники или энтропийные характеристики) вычисляется (или оценивается) для разнообразных инвариантных многопараметрических конструкций, составленных из множеств, входящих в фиксированный базис окрестностей нуля (или базис борнологии пространства). Такой подход даёт существенно более полную информацию об исследуемых пространствах, нежели классические инварианты (аппроксимативные или диаметральные размерности), основанные на рассмотрении характеристик пар множеств, берущихся из фиксированного базиса. Будем использовать следующую характеристику пары абсолютно-выпуклых множеств U и V в линейном пространстве X :

U) := sup{dim L: L е XV := span V, U П L с V}, (5) естественно связанную с поперечниками по Берн-штейну [17].

Отметим, что при доказательстве включения (ii) ^ (iii) в предложении 2 эта характеристика рассматривалась для пары V = exp(-r) Uр П exp t Ur и U = Uq,

где {Un }neN - заданный базис окрестностей нуля и р < q < r . В данном исследовании будут использоваться намного более сложные геометрические и интерполяционные конструкции с применением абсолютно выпуклых окрестностей нуля и ограниченных множеств.

Пусть / = (/, - абсолютный базис в пространстве Кёте X ; а = (аг), а, > 0 ; В? (а) - весовой /1 -шар

Г ад ад I

в X : В/(а) := \ х = е X : £|фг < 1 к

[ г =1 г =1

Предложение 3 [5, 17]. Для весовых шаров В^ (а) и В? (Ь) характеристика (5) вычисляется по формуле вВ(Ь),В!(а))=|{/: Ьг < а,} .

Предложение 4 [14]. В монтелевском пространстве К (а) семейство

Ве((,„ )):={х = Ъг ег е X : ^а,-,, < 11, (д,)е 0 ,

является фундаментальной системой ограниченных множеств [1, с. 262] в К (а), т. е. семейство

{сВе ((аг,д.)): С > 0, (дг) е б} образует базис ограниченных множеств в К (а) .

4. Без ограничения общности будем предполагать, что параметры пространств (1) удовлетворяют условию

аг > 1, — <Äi < 1, i е N. ai

(6)

Для пространства X = Е(Я, а) определим считающую функцию, называемую прямоугольной (1-прямоугольной) характеристикой пространства X или пары числовых последовательностей (Я, а):

¡к (8,г;т, г) :=|{/ :8<Я, <г,т< < г},

определённую для

0 <8 <е< 1, 0 <т< t < да.

(7)

Предложение 5 [16, теорема 7]. Если пространства X = Е(Я, а) и X = Е (~ , ~) изоморфны, то функции

X X

Л и л эквивалентны в следующем смысле: существуют возрастающая функция р: [0,2] -— [0,1], р(0) = 0, р(2) = 1 и постоянная а > 0 такие, что для 8,г,т,г, удовлетворяющих условию (7), выполняются следующие неравенства:

Л}[(8,г;т,г)< л}[(г);^, (8)

(8,г;т, г)< л}[ (р« (г);—,аг ^ а

Доказательство теоремы 3. Возьмем подпространство XI е Еад(Я, а). Положим

3 := { : ср(8) < < <р- (г)}, где 8 = М{ : г е I}, г = Бир{Я :, е I}. По предложению 1, 8 > 0, а следовательно, и р(8^)> 0 . По условию (6), 8 иг

удовлетворяют (7). Пусть 1 = (к\еЫ , 3 = (л XеN ,

С = (ск ) = (агк , ~ = (~к ) = (~]к XEN . ^^ исполь-

зуя (8), выводим оценку для считающих функций Мс и М~ последовательностей с и ~ :

Мс(т,г)< л}[(8,г;т,г)<

< /лхI p(8\p '(г?);—,at I = M~I Т,at

Пусть Х; := 5рап{е;- : 1 е ;}. По предложению 1,

подпространство XJ е Еж(я,а). Применяя предложения 1 и 2, заключаем, что Х1 квазидиагонально изоморфно некоторому базисному подпространству Х~

пространства Х^; . Поскольку I с J, справедлива оценка (2). Следовательно, по предложению 1, получаем X~ е Ею а). Доказательство теоремы завершено.

5. Основные трудности описания структуры класса Е 0 преодолеваются в следующем утверждении.

Лемма. Пусть X = е(х , а) и X = Е изоморфные пространства. Тогда

V (г1(1)) 3 V ^(2)) 3 3 (г/2)) ( (я(1)), (я(2)) , (г/2)) е д) а > 1, т > 1 такие, что неравенство

1 „ 1 и :—лт <Л <

"У

qF

т < а: < t;

1 ~ 1 т

\J: < j) ' а

< aj <at

(9)

1 1 выполняется для всех то < т < t < да.

Доказательство. Пусть Т : X ^ X - изоморфизм. В пространстве X рассмотрим два абсолютных бази-

са: каноническии

базис e и T -образ ~ = )

кано-

нического базиса в пространстве X. Тогда каждый элемент х е X имеет два базисных разложения:

* = X #г ei = X Пг ~г i= 1 г= 1

, а система норм

* e X, p e N, где

i =1

аг, p = exP

--+ Л Р | аг

P

эквивалентна исходной системе норм в X:

да

г=1

аг, p = exp

г p

х e X, p e N, где

--+ 4p | аг

p

Для доказательства оценки (9) построим в пространстве X две пары «синтетических» абсолютно выпуклых множеств и, V и и, V в виде некоторых геометрических и интерполяционных конструкций. Материалом для их построения будут служить весовые / -шары Ве(Ар), Бе (Ар) с весами Ар := (аг- р),

Ар '=(¡1 р), и ограниченные множества Ве (л(д,)),

Be (A(g.)), которые также являются весовыми lx -шарами с весами

I II 1

A(q ):=(aÜ

A(q ):=(,J

exp

л

--+ ^гЯг

vv q

аг

гг

г ГГ 1 ~ л ~ ^

exP--+ ЯгЧг аг

v VV q J J

(q)e Q.

Множества и, V и и, V будем строить так, чтобы обеспечить включения

и з О, V с V (10)

и оценки

г: * < 1

"(2J 1

т < аг < t!

), (11)

~ 1 т ~

J: rjD^^J < J1'clJ <а

а

(12)

По свойству (6), из включений (10) следует оценка р(у ,и )<р(^,и). (13)

Тогда, объединяя (11), (13) и (12), получим оценку (9). На основании эквивалентности систем норм (х||р)

и (х|р) можно выбрать цепочку натуральных чисел

р0 < Ро < р0< р1 < Р1 < рТ < р2 < Р2 < р'2

так, чтобы включения

сБ)свек)ссв~(4р-), Л=аи (14)

выполнялись с какой-нибудь константой С . По предложению 4,

V (г/1)) 3 (q(1)) V (q(2)) 3 (r1(2)),(s(k)), k = 1,5,

(15)

такие, что с некоторой константой Ь > С выполняются следующие включения:

Be l A>)1 LB ( rA(q(')) J,

B~| 1 >): ]c LBe l A(s(k+1)) J, k = 2,4, (16)

vA(q(2)) Л Г V)) ^,

Be ( A(s(k)) ^ ^^^(SP+1)) J, k = 1,3.

Можно предполагать, что каждая последующая последовательность в (15) растет значительно медленнее, чем предыдущая. Пусть номер /0 такой, что

4р2 < ^ < < < .г(2) < 2р1$< г(1 , > ^0-

Возьмём К = 1п(зЬ2), выберем а> 16 р1 р'2 К , т0 > тах{8а р0 К, а^ } и определим блоки = Бе{ц>к)

и Щ' = Ве (у'к), к = 1,2,3, из которых будут собраны множества и и V . Веса этих шаров зададим равенствами:

11 11 11

w = w1= Ap, A(2(3)), w2

w2 =A2 A

po '

w2 = A 2

p0 A(q

F)'

х

p

p

х

p

w3 = exp

' t Л 11

Pi

A 2 A 2

AP2 si1')'

T

8P 1

w3 = exP| Гр/W

i _1

2 A2

3 Г 3 1

Положим V = , и = соиу I и^к I. Для по-

к=1 V к=1 У

строения множеств V и и определим блоки Жк = В~ (к) и = В~ (М), к = 1,2,3 . Их веса задаем такими же формулами, как и веса шаров Жк = Ве (мк) и Ж' = Ве (м'к), но со следующим правилом замены: в весах м~к (соответственно у~'к) запи-1 ~ 1~ 1 ~ Шем ТАр'к , ТА(~+1)) и Л?>)

ЬА„; , ЬА1 (к_1) и ЬА1 (к^) вместо А„ , А /к^ и А

I {': w',i - Wк ' W,к < w''i}

(22)

1

1 T

По предложению 3,

ß(3B~ )' B~ (~))<

П {: whi < Щ к ' W'k < 3W'i

к=2

(23)

(24)

(соответственно

"4(.(к_1)) и ЬА((к)))------- "Рк

На основании (14) и (16) и хорошо известного интерполяционного факта [18, 19] заключаем, что

Жк с Жк, Ж' з Ж , к = 1,2,3 . (17)

~ 3 ~ ~ Г 3 ~ 1 Теперь положим V = ЦЖк , и = соиу I иЖ' I.

к=1 V к=1 У

Ввиду (17) для множеств и, и, V , V справедливы включения (10). Используя простейшие геометрические свойства весовых шаров [19, предложение 5] замечаем, что

и = Ве(й), и = В~(~), V з Ве(с), V с 3В~(~), (18) где

й = (с1г) := (тт {н>г'л, ^, <3 }),

~ = ) := (т1п{1, , мг',3 },

Рассматривая последовательно все неравенства, входящие в правую часть (24), получим (23), а следовательно, и (12). Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 4. Так как пространства X и X изоморфны, по лемме

V (г1(1)) е д 3 (я!1) е д V (я() е д 3 3 (г1(2)) е д, а > 1, т0 > 1, такие, что для всех т0 < т < г < ад выполняется неравенство (9). Возьмём любое XI е Е0 (Я, а) с I, удов-

1

1

с = (сг ):= (max{wijl; wl3 }),

~ = ) := (max К1 = wi,2 , wi,3 }) •

По определению характеристики ß, из (18) следуют оценки:

ß(Be (с), Be (d ))<ß(V,U), (19)

ß(~,U )<ß(3B~ (~), B~ ))• (20)

Ввиду (19) для доказательства оценки (11) достаточно показать, что левая часть (19) может быть оценена снизу числом, стоящим в левой части (11). Применяя предложение 3 и учитывая определения весов с и d , получаем

ß((с),Be(d))= П П{ : Wik < <1 }• (21)

k=11=1

Но так как w1 = w[, из (21) следует равенство ß( (с),Be (d)) =

летворяющим (3). Пусть 3 := < . : —(-у < Я. < —т-у ?,

I . п

XJ - подпространство в X, натянутое на орты

(е;-По предложению 1, имеем XX~ е Е0(я,а).

Далее, как и в доказательстве теоремы 3, положим

I = ('к )kеN , ~ = Ок )kеN , с = (ск ) = (агк )kеN , ~ = (~к) = 1к ) . Тогда, используя (9), выводим

^ •>к /kеN

оценку для считающих функций Мс и М с~ последовательностей с и с~ :

Mc (T't )<

l': ^ < qF ^T< < '!

=M~ laat ) •

Рассматривая последовательно все неравенства из правой части (22), подобно тому, как это было сделано, например, в [8, 16], получим требуемую оценку

для в(Ве (с), Ве (й)), а следовательно, и (11).

Для доказательства оценки (12), благодаря (20), достаточно получить оценку:

в(3В~ (^), В~ ))<

^^j : < ¿¡я ' -at ^

Следовательно, по предложению 2, подпространство Xj квазидиагонально вкладывается в X~ • Поэтому найдется J с J такое, что Xj вложено в X~ и

квазидиагонально изоморфно Xj • Поскольку J с J , множество индексов J удовлетворяет (4). Теорема 4 доказана.

Литература

1. Meise M., Vogt D. Introduction to Functional Analysis. N.Y., 1997.

2. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов н/Д, 1983.

3. Grothend'eck A. // Mem. Amer. Math. Soc. 1955. Vol. 16. Р. ¡613-1617.

4. Zahariuta V.P. // Turkish J. Math. 1996. Vol. 20. № 2. С. 237-289.

5. Митягин Б.С. // УМН. 1961. Т. 16. Вып. 4. С. 63132.

6. Pietsch A. Nukleare Lokalkonvexe Räume. Berlin, 1965.

к=2

7. Захарюта В.П. // Тр. 7-й зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам. Дрогобыч, 1974. М., 1976. С. 101-126.

8. Chalov P.A., Terzioglu T., Zahariuta V.P. // J. Math. Anal. Appl. 2004. Vol. 297. P. 673-695.

9. Захарюта В.П. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1974. № 4. С. 62-64.

10. Захарюта В.П. // Актуальные вопросы математического анализа. Ростов н/Д, 1978. С. 62-71.

11. Митягин Б.С. // Studia Math. 1971. Vol. 37. № 2. P. 111-137.

12. Chalov P.A., Djakov P.B., Zahariuta V.P. // Studia Math. 1999. Vol. 137. № 1. P. 33-47.

13. Захарюта В.П. // Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Минск, 1978. C. 51-52.

14. Djakov P.B., Zahariuta V.P. // Studia Math. 1996. Vol. 120. № 3. P. 219-234.

15. Chalov P.A., Dragilev M.M., Zahariuta V.P. // Note di matematica: Proceedings of the Second International Workshop on Functional Analysis at Trier University. Germany, September 26 - October 1. Trier, 1997. Vol. 17. P. 121-142.

16. Chalov P.A., Terzioglu T., Zahariuta V.P. // Linear Topological Spaces and Complex Analysis. 1997. Vol. 3. P. 3044.

17. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М., 1976.

18. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., 1978.

19. Захарюта В.П., Чалов П.А. // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 538-549.

Sabanci University,(Tuzla-Istanbul, Turkey,

Ростовский государственный университет_27 марта 2006 г.