Квазидиагональные изоморфизмы степенных пространств Кёте второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2007, Том 9, Выпуск 3

УДК 517.982.257, 517.982.276

КВАЗИДИАГОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КЕТЕ ВТОРОГО РОДА

П. А. Чалов

Исследуется проблема существования квазидиагональных изоморфизмов для степенных пространств Кете второго рода. Введена система многопрямоугольных характеристик (^т)тещ. Эквивалентность таких систем характеристик для двух пространств означает, что каждая характеристика одной системы оценивается через соответствующую характеристику другой системы. Показано, что система характеристик )тбМ является полным квазидиагональным инвариантом на классе степенных пространств Кете второго рода.

Ключевые слова: степенные пространства Кете второго рода, многопрямоугольные характеристики, Квазидиагональный изоморфизм.

Пространством Кёте, определяемым матрицей Кёте А = (аг,р)г,рбм, называют пространство Фреше

К (А) := | ж = (&) : |ж|р := ^ |&| аг,р < ж, р £ N |

с топологией, задаваемой системой преднорм {|ж|р : р £ N1 (см., например, [1, 2]); символом е = (ег)гем обозначают канонический базис этого пространства.

Следуя 3, 4, степенным пространством, Кёте второго рода будем называть пространство Кете вида:

Т(А,а) := К(ехр(рр(Аг)аг)), (1)

где а = (аг)гем, аг > 1, и А = (Аг)ге^, Аг ^ 1, — числовые последовательности, а рр : [1, ж) —► М+, р £ N — функция, заданная равенством

рр(е) =тт{р - 1 - р|.

Далее будем предполагать, что Т (А, а) — монтелевское пространство, то есть аг ^ ж. Оператор Т : К (А) ^ К (А) называется квазидиагональным, если Тег = ¿геет(г), где (¿г) — числовая последовательность, а : N ^ N ; при этом, если Т является изоморфизмом (изоморфным вложением), будем говорить, что К (А) квазидиагонально изоморфно (квазидиагонально вкладывается в) К (А) и писать К (А) ~ К (А) (К (А) ^ К (А) соответственно).

© 2007 Чалов П. А.

Введем характеристики приспособленные для исследования степенных пространств Р(А, а). Пусть а = (а»)г6м и Ь = (Ь»)г6м, Ь» ^ а» > 1, т £ N. На множестве четверок т-мерных векторов

т = (Тк), г = (¿к), ^ = (<7к), 5 = (^) £ жт (2)

определим считающую функцию последовательностей а и Ь:

т

>.Ь)

^'ь)(т,г; 7,в)= У {г : Тк <а» < ^, <Ь» < ^} = ] г : (а», Ь») ^У Р*,

(3)

7, 5) =

к=1 ^ к=1

где Рк := (тк, ¿к] х , ] , к = 1, 2,..., т.

Подобные характеристики были рассмотрены нами впервые для семейств гильбертовых пространств [5-7].

Функцию (3) называют m-nрямоугольной характеристикой пары а, Ь. Будем также писать ^ вместо ^т'6), если Ь = (Ь») = (А»а») и X = Е(А, а).

Пусть а = (а»), Ь = (Ь»), Ь» ^ а» > 1, а = (а») и Ь = ( Ь»), Ь» ^ а» > 1. Назовем системы

функций (^т'Ь) ) и (^т'Ь)) эквивалентными (кратко будем писать (^т'6) V / тем V /тем V ,

), если существуют постоянная а > 0 и неубывающая функция Ф : Ж+ ^ Ж+,

обеспечивающие следующие оценки:

^т'Ь) (т, 7, в) < ^'ь) (Т, а*; 7 - аг, в + а^ , (4)

^т'Ь) (т, 7, в) < (Т, аг; 7 - аг, в + а^ (5)

для каждого т £ N и всех параметров (2) таких, что

вк ^ Ф(т^), или 7^ ^ Ф(т^), ^ =+то. (6)

Здесь дана характеризация квазидиагональных изоморфизмов пространств (1) в инвариантной форме, а именно, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть X = Р(А, а) и X = Р(А, а) — монтелевские пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

(a) X Ф X;

(b) ««(Д?]).

Но прежде приведем несколько известных фактов, которые понадобятся при доказательстве этой теоремы. Пространства

Еа(а) := К (ехр(ара»)),

где а = (а»), а» ^ 1, ар | а(-то < а ^ +то), введенные А. Гротендиком [8, II, с. 122], называют степенными пространствами Кёте конечного типа, если а < то, или бесконечного типа, если а = то [4] (в другой терминологии, центрами шкал Рисса [9], либо пространствами степенных рядов [10]). Так как при а < то пространства Еа(а) изоморфны между собой, обычно рассматривают только Ео(а) и Е^(а) .

Предложение 1 [9, предложение 18]. Пусть а = (а»), а» / то, а = (а»), а» /то и V = 0, то . Тогда Е0 (а) ф Е(а) и

а'

Е^ (а) ф Е^ (а) ^^ а» х а», т. е. ЗР > 1 : —» ^ ар(») ^ Ра», г £ N.

Р

Для пространств (1) справедливо следующее утверждение.

Предложение 2 [3, 4]. Пусть I := {is}sgN —возрастающая последовательность натуральных чисел и X/ — базисное подпространство монтелевского пространства F ( А, a), натянутое на множество {ei : i Е I}, т. е. X/ := span {ei : i Е I}. Для пространства X/ имеется три возможности:

(i) X/ ф Eo(b) (^ sup{Ais : s Е N} < то);

(ii) X/ ф £^(b) lim Ais = то);

(iii) X/ ф Ea(b) lim A is < то, sup{Ais : s Е N} = то),

s—

где b = (bs)s6N, bs = ais, s Е N.

Сформулируем для пространств Кете утверждение, которое в неявном виде было доказано в [11] для пространств Фреше.

Предложение 3 (см., например, [4, лемма 1.1]). Если имеют место квазидиагональные вложения

K(A) 5 K(A) и K(A) K(A), то K(A) Ф K(A).

В [4, лемма 2.3] В. П. Захарюта доказал критерий квазидиагонального изоморфизма степенных пространств Кете второго рода, который положен в основу доказательства теоремы 1. Сформулируем этот критерий в несколько модифицированном виде.

Лемма 1. Пусть a» 5 то. Для того чтобы F (A, a) Ф F ( A, a), необходимо и достаточно, чтобы существовали биективное отображение р : N 5 N, положительная постоянная А < то и возрастающая функция y : R+ 5 R+, y(£) 5 то при £ 5 то, такие, что

(i) последовательности (ai) и (Ap(i)) слабо эквивалентны, т. е. L ^ Ap(i) ^ La», i Е N, с некоторой постоянной L > 1;

(ii) выполняется оценка g-1(Ai) ^ Ap(i) ^ g(Ai), i Е N, с некоторой возрастающей функцией g : R+ 5 R + такой, что g(£) 5 то при £ 5 то;

(iii) неравенство Ai — Ap(i) ^^ ^ А выполняется для Ai ^ Y(ai), i Е N.

< Пусть выполнены условия (i)—(iii). Непосредственная проверка показывает, что оператор T : F( A, a) 5 F( A, A), задаваемый формулой Tei = ti вр(ф i Е N, с

1, если A i > y(ai),

^ ' ехр (Aiai - АрфАр^)), если А* ^ 7(а*),

является искомым квазидиагональным изоморфизмом.

Пусть теперь существует квазидиагональный изоморфизм Те* = ^ер(ф г Е Н, пространства Т( А, а) на пространство Т( А, а). Ввиду непрерывности операторов Т и Т-1, по любому р Е N найдутся д = д(р), г = г(р), р < д < г, и С = С(р), такие что справедлива оценка:

С-ехр(^р(А*) а*) < | ехр(^ (Ар^) Ар^) < С ехр(<рг (А*))а*, г Е N. (7)

Возьмем такую же оценку для другой тройки р' < д' < г' с р' > г. Из этих оценок выводим:

- 1п(СР Ср' ) + (А*) - ^г (< ( Ар(*)) - ^ ( Ар(*))) ар(*)

(8)

^ (^у/(А*) - А*))а* + 1п (СрСр/).

Отсюда сразу следует утверждение (1) с некоторой константой Т. Вместе с (7) это дает также оценку (которая понадобится ниже)

1п

< M, i Е N, (9)

с некоторой постоянной M.

a

Теперь докажем утверждение (ii). По предложению 1 для любого l < ж как базисное подпространство Xi, натянутое на множество {в» : Ai ^ l}, так и его изоморфный образ, оба имеют конечный тип. Поэтому, в соответствии с предложением 2, имеем I : = sup { Ap(j) : А» ^ 1} < ж. Отсюда следует утверждение (ii).

Чтобы доказать (iii), возьмем любое l < ж, l как выше и рассмотрим (7) с p > max {l,A }. Тогда, учитывая (i), получим оценку

In N Л A ap(i)

— I Аi — Аp(i) ——

L ln C

^ - +--при Ai < l. (10)

q ai

Правая часть этого неравенства не превосходит L + 1, если ai ^ ф(0. При этом можно считать, что функция ф возрастает и ф(£) ^ ж когда £ ^ ж. Комбинируя оценки (9), (10), заключаем, что (iii) выполняется с Д = M + L + 1 и y(x) := ф-1(x). >

< Доказательство теоремы 1. Пусть выполняется утверждение (а). Докажем, что тогда справедливо и утверждение (b), т. е. выполняются оценки (4) и (5) при каждом m £ N с (не зависящими от m) постоянной a = Д и функцией

Ф(0:= |5-1(7(О), е ^ 0, (11)

где L и g определяются условиями (i) и (ii) леммы 1.

Возьмем произвольный набор параметров (2), удовлетворяющий условию (6), любой номер k = 1, 2,..., m и номер i £ N такой, что

Tk < ai ^ tk, Ok <bi ^ Sk. (12)

Тогда, согласно утверждению (i) леммы 1, получаем оценку

L < ap(i) ^ Ltk. (13)

Пусть Sk ^ ^(Tk). Тогда из (12) выводим оценку bi ^ Sk ^ $(Tk) < $(ai) ^ aiY(ai). Поэтому Ai ^ Y(ai). Отсюда и утверждения (iii) леммы 1 получаем |bi—bp(i)| ^ Дai ^ Дtk. Благодаря этому имеем:

Ok — Дtk < bp(i) ^ Sk + Дtk. (14)

Пусть теперь Sk = +ж, но Ok ^ Ф^). Если Ai ^ Y(ai), из утверждения (iii) леммы 1 следует, что Ok — Дtk < bp(i). Если же Ai > Y(ai), из утверждения (ii) леммы 1 выводим оценку Ap(i) ^ g-1 (Ai) ^ g-1 (Y(ai)). Поэтому, учитывая (i) леммы 1, получаем

ai

bp(i) = Ap(i)a^(i) ^ Lg-1(Y(ai)) = $(ai) > $(Tk) ^ Ok > Ok — Дtk.

Таким образом, снова приходим к (14) (естественно полагая, что ж + conSt = ж). Итак, для всякого i £ N, удовлетворяющего условию (12) при некотором k = 1,... ,m, число p(i) удовлетворяет условию (14). Поскольку отображение биективно, выводим отсюда неравенство (4) с Ф и a = Д не зависящими от m. Ввиду симметрии справедливо и неравенство (5). Тем самым, условие (b) доказано.

Пусть теперь справедливо утверждение (b). Для каждого k £ N определим число

k-1

nk := sup jn : nak ^ Ф ^ak 1 j j

где а, Ф — постоянная и функция из определения эквивалентности систем (^г) и ^т) • Для п = 1,..., Пк + 1 введем в рассмотрение множества Мк,п, полагая

:= {г : ак-1 < а, ^ ак, (п - 1)ак <6, ^ пак} , Ык,п := {г : ак-2 < а, < ак+1, (п - 1)ак - ак+1 < 6, < пак + ак+1} , если п ^ пк, и

N^+1 := {г : ак-1 < а, < ак, пкак < 6,} , Мк,„к+1 := {г : ак-2 < а, < ак+1, пкак - ак+1 < 6*} . По предположению, для каждого конечного множества Ь пар (к,п), справедлива оценка

(15)

U U Mfc>ra

(fe,n)eL (fe,n)eL

Следовательно, по теореме Холла-Кенига о различных представителях [12] найдется инъективное отображение р : N ^ N такое, что

p(Nfc>ra) С Mfc>ra, n = 1, 2,...,nfc + 1, k G N.

Определим последовательность (r»), полагая

"к

_ exp(bi -bp(i)), если i G (J U ffk,n, r — < fceN n=i

1 для остальных i.

Непосредственно проверяется, что оператор T : X ^ X, заданный равенством Te» — riep(j), i G N, осуществляет квазидиагональное вложение X в X. В силу симметрии

~ кд кд ~

условий имеем также X ^ X. По предложению 3 получаем X ~ X. >

Таким образом доказано, что система характеристик является полным ква-

зидиагональным инвариантом на классе степенных пространств Кете второго рода.

Автор искренне благодарен В. П. Захарюте за постановку задачи и ряд полезных советов при подготовке статьи.

Литература

1. Meise M., Vogt D. Introduction to Fuctional Analysis.—New York: Oxford Univ. Press, 1997.—437 p.

2. Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кёте.—Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского гос. ун-та, 1983.—144 с.

3. Захарюта В. П. Об изоморфизме и квазиэквивалентности базисов для степенных пространств Кёте // Тр. VII зимней школы по мат. программированию и смежным вопросам. Дрогобыч, 1974.— М.: ЦЭМИ.—1976.—С. 101-126.

4. Zahariuta V. P. Linear topological invariants and their application to generalized power spaces // Turkish J. Math.—1996.—V. 20, № 2.—P. 237-289.

5. Чалов П. А. Квазиэквивалентность базисов в семействах гильбертовых пространств // Актуальные вопросы математического анализа.—Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского гос. ун-та.—1978.— С. 167-173.

6. Чалов П. А. Линейные топологические инварианты на классе семейств гильбертовых пространств.—Ростов-на-Дону, 1980.—28 с.—Деп. в ВИНИТИ, № 4853-80.

7. Захарюта В. П., Чалов П. А. Конечные семейства ¿'р-пространств и многопрямоугольные характеристики // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 3.—C. 538-549.

8. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires // Mem. Amer. Math. Soc.— 1955.—V. 16.—P. 1-174.

9. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи мат. наук.—1961.—Т. 16, вып. 4(100).—С. 63-132.

10. Pietsch A. Nukleare Lokalkonvexe Rüume.—Berlin: Akademie-Verlag, 1965.—217 p.

11. Митягин Б. С. Эквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math.—1971.—T. 37, № 2.—P. 111-137.

12. Холл М. Комбинаторика.—М.: Мир, 1970.—258 p.

Статья поступила 30 ноября 2006 г.

Чалов Пётр Афанасьевич Ростовский государственный университет Ростов-на-Дону, 344090, RUSSIA E-mail: chalov@math.rsu.ru