О свойствах дополняемых базисных последовательностей в блочных пространствах типа Кёте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 3, С. 15-27

УДК 513.881

О СВОЙСТВАХ ДОПОЛНЯЕМЫХ БАЗИСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В БЛОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА КЕТЕ1

В. П. Кондаков

Посвящается 80-летию со дня рождения академика Ю. Г. Решетняка

В статье приводятся замечания о свойствах специальных базисных последовательностей элементов, порождающих дополняемые подпространства в пространствах Фреше из класса, который можно рассматривать как обобщение известного класса пространств Кете числовых последовательностей. Обсуждается вопрос о характеризации таких последовательностей элементов в блочных пространствах Кете и приводится обзор имеющихся в этом направлении результатов. Сформированы нерешенные вопросы и отмечена связь рассматриваемой темы с проблемой изоморфной классификации пространств Кете.

Ключевые слова: базисные последовательности, дополняемые подпространства, пространства Кете.

1. Предварительные сведения

Пусть заданы счетный набор пространств Фреше (Хп, (У ■ ||гп))£=1) с фиксированными монотонными последовательностями полунорм, задающих топологию, число р, 0 < р ^ то, и числовая матрица [аг(и)]г,ПбМ со свойством монотонности по строкам (0 ^ аг(п) ^ аг+1 (п), г, п € Н).

Блочным пространством типа Кёте [1] называют пространство последовательностей

(||жп||Гп))раР(п)^ Р = |х|г < +то, г € N

с топологией, определяемой системой р-полунорм (| ■ |г)£=1.

При р ^ 1 р-полунормы являются обычными (выпуклыми) полунормами, а при р < 1 р-полунормы являются однородными функционалами, не удовлетворяющими неравенству треугольника. Поэтому при р < 1 блочные пространства типа Кете не являются локально выпуклыми. В том случае, когда топология пространства может быть задана одной р-нормой с р < 1 его называют локально ограниченным, поскольку в этом пространстве имеется ограниченная окрестность нуля (см., например, [2]).

Е = 1Р{[аг(п)], (Хп)) = <ж = (жп) : Жп € Хп, ^

^п=1

© 2009 Кондаков В. П.

1 Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329а.

Класс блочных пространств типа Кёте включает в себя не только классические пространства Кете, появившиеся естественным образом при изучении реализаций пространств аналитических функций (см. [3, 4]), но и пространства более общего вида, имеющие описываемое ниже р-абсолютное разложение.

Пусть в локально выпуклом пространстве (Е, {|| ■ ||г}ге/) задана последовательность А = (А)£=! непрерывных линейных отображений А& : Е ^ Е, к = 1, 2,..., такая, что

Ат О Ага = $тгаАга, п = 1> 2, . . ., и

те

^2 Ак(е) = е (Vе € Е), т. е. при любом г £ /,

к-1 „ (1)

Пт е — ^ Ак (е) =0 V е £ Е.

к-1 г

Определение 1. Будем говорить, что последовательность А = (А&) непрерывных линейных отображений с описанными выше свойствами определяет р-абсолютное с р ^ 1 разложение пространства Е, если система полунорм

£

jAfe(•)|p > , II ■ lit = sup |Afc(*)!», p = to,

>71 /i k

4k=1 / I ._г

задает исходную топологию E, т. е. для любого индекса i G I найдется индекс j (i) G I такой, что jeji ^ llellj(4) ^ 1 е1 j (j (i)) для любого e G E.

Разложение (1) элементов E называют разложением тождественного отображения . Разложение будет безусловным, если сходимость ряда в (1) слева безусловна для любого элемента. Очевидно, если последовательность A = (Ak) определяет p-абсолютное разложение, то (1) в этом случае является безусловным разложением.

Термин «блочные пространства типа Кёте» использовался значительно раньше в [5] для весьма частного случая, когда p = 2, а все Xn являлись конечномерными евклидовыми пространствами, в которых (полу)нормы определялись с помощью монотонных систем строго положительно определенных операторов Ar,n в Xn. В [5] построены примеры ядерных пространств указанного вида, не имеющих базисов даже в случае двумерных блоков Xn.

Многие, сравнительно хорошо изученные, классы ядерных пространств Кете имеют блочные расширения вида E = /Р([ar (n)], (1M(n))), где Xn = (n) — координатные

банаховы пространства с dimXn = M(n) < +to (см., например, [1]), которые в случае хотя бы одной бесконечной размерности M(n) не будут ни ядерными, ни монтелевски-ми. В некоторых случаях их можно рассматривать как тензорные произведения ядерных и банаховых пространств.

Фактически, примерами счетно-гильбертовых пространств такого вида являются произвольные пространства степенных рядов (центров гильбертовых шкал), рассматривавшихся в [6].

В определении пространства типа Кете Xn можно рассматривать как подпространства Xn (блоки) в E = Zp([ar (n)], (Xn)), образованные элементами вида

(0,.. ■, 0, ж» 0,...), ж» G X»

П

Соответствие Qn(x1,... , жп,...) = (0,..., 0,жп, 0,...), ж = (ж*)°=1 G E, очевидно, определяет непрерывный линейный проектор из E на Xn, т. е. блоки являются дополняемыми подпространствами.

Если задано произвольно дополняемое подпространство F в E, то выбрав непрерывный линейный проектор P из E на F, всегда можно путем удаления части строк определяющей матрицы Кете, умножения оставшихся строк на подходящие числа с естественной перенумерацией условиям непрерывности проектора P придать вид: |Рж|г ^ |ж|г+1, ж G E, r G N. Базисную последовательность (/n) в E называют дополняемой, если замыкание F ее линейной оболочки есть дополняемое подпространство в E. Это не означает, что (/n) может быть дополнена до базиса в E. Здесь все зависит от наличия базиса в дополнении к F.

Определение 2. В пространстве Фреше E базисную последовательность (/m)^=1 будем называть p-абсолютной с некоторым p > 0, если она определяет p-абсолютное разложение своей замкнутой линейной оболочке span(/m)^=1 = F С E с одномерными операторами Ak(e) = /k(e)/k, e G F, k G N, где / — координатные функционалы базисной последовательности (/m).

Всякий базис пространства Фреше, как известно (см., например, [2, с. 67]), является равностепенно непрерывной последовательностью, т. е. удовлетворяет условию

(Vг) (3 s(r)) (3 C(r) > 0) sup |/П(ж)||/„|г < С(г)|ж|в(г) (Vж G F),

П

где /» — коэффициентные функционалы базиса (/n).

Условию равностепенной непрерывности дополняемой базисной последовательности (/n) при выбранном непрерывном линейном проекторе Р из E на F = span(/n) описанной выше процедурой перехода к новой системе полунорм, эквивалентной исходной, можно придать вид

sup |/n(Pe)||/n|r ^ |e|r+1, e G E, и одновременно

П (2)

| e |r ^ |e|r+1, |Pe|r ^ |e|r+1, e G E, r G N.

Два базиса (en)ra=1 и (/m)^=1 линейного топологического пространства E называют ква-зиэквивалентными, если они переводятся друг в друга путем умножения на числа, отличные от нуля, перестановки элементов и автоморфизма пространства E на себя.

2. Характеризация дополняемых p-абсолютных базисных последовательностей элементов

Лемма 1. Пусть в блочном пространстве типа Кёте Е = [аг(п)], (Х„)) выбра-

ны дополняемая базисная последовательность (/п), проектор Р из Е на Е = 8рап(/„) и матрица [аг (п)] такова, что выполнены условия (2). Тогда для каждого индекса п £ N (элемента /п) найдется такой индекс г(п) (индекс проекции /п на ^(га) Е), что

|^г(га)/га|^ . _ |^г( га)/га|з+1

ядр , „ ,----- < 1П1 ■

|/n|

n|r+1

|/n|s

т. е. существуют конечные числа

„ , І . r |Qi(n)/n |s + 1

О = — = inf ■

An

|/n|s

n = І, 2,

такие, что

(З)

s

r

< Согласно определению пространства типа Кете в соответствии с условиями (2), для каждого п £ N имеем

С другой стороны, применение очевидного неравенства вместе с (2) (видом условия равностепенной непрерывности (/п)) дает:

Заметим, что во всех приведенных оценках суммы берутся по тем индексам г, которым соответствуют отличные от нуля проекции ^*/га. Именно для таких индексов получаем соединение двух оценок

и условие (3) проверяется непосредственно. >

Из леммы 1 непосредственно вытекает следующий факт.

Предложение 1. Пусть (/то)^=1 —дополняемая абсолютная последовательность в

бо можно выделить подпоследовательность, порождающую подпространство, изоморфное пространству ll, либо — подпоследовательность (/m(k))fc-1, квазиэквивалентную базисной последовательности элементов вида gm(k) = Qn(k)/m(k), k = І, 2,..., n(kl) = n(k2) для kl = k2.

Из предложения 1, в частности, следует, что в ядерных пространствах Фреше, имеющих абсолютные разложения с двумерными пространствами Xn, описанных в [5] как пространства без базисов, не может быть бесконечных дополняемых базисных последовательностей.

Утверждение леммы 1 распространяется на классы пространств типа Кёте для І < p < +то при дополнительном ограничении на блоки Xn, а именно, когда Xn каждое является банаховым пространством lPMn) с тем же значением p и естественной нормой, Mn = dimXn ^ то, n Є N.

В этом случае рассматриваются фактически пространства Кёте с p-абсолютным базисом ортов и можно повторить с небольшим добавлением выкладки [7].

Лемма 2 [7, теорема 4]. Пусть в блочном пространстве типа Кёте E =

lp([ar(n)], (Iм(n))), І ^ p ^ то, выбраны дополняемая базисная последовательность (/m), проектор P из E на F = span(/m) и матрица [ar (n)] такова, что выполнены условия (2). Тогда выполнены условия:

E|Qi/n|r , V—' ,,/ / Ty/^ J, ч , V—' . r |Qi/n|s+1

. sup /nr;! *І = ?(PQi/") «£ 4f/Г

а это значит, что существует i = i(n):

блочном пространстве Кёте E = ll ([ar (n)], (Xn)). Тогда из этой последовательности ли-

аг (г(т)) . а5+1(г(т))

йир /— ^ш£ —лл—■

Г 1/то |г + 1 5 |/то|5

< При 0 < р < то, используя условия (2), имеем

|^*/п|р^ Р

£ “р 1Жг)

<

£

К,' (/п)| йир

аг (г)

:|/п|г+1 =0 |/п|г+1

1

Р\ Р

«+(*)

|/п|

р

п|г

<

£

«г+1(г)

|/п|г

<

V

£ 1 5 е )

^ аг+1(*) |_Г 1/п|г

-|^*/»|Р+1 ^ Р

|/

р

п|г

где д =

р

р — 1

и суммирование в ^ведется по всем индексам базиса ортов (е^, 1 ^ ^ ^ М(г), г =

1, 2,...). Понятно, что в суммах принимаются во внимание только слагаемые, отличные от нуля. Утверждение леммы 2 следует прямо из сравнения крайних и внутренних выражений в написанных неравенствах. >

В лемме 2, таким образом, устанавливается некоторое соответствие элементам /т элементов базиса ортов е*(то)^ с возможными повторениями и оценками |АтоОг(г(т))| ^ |/то|г+1 ^ Ато0г+2(г(т)), т,г £ N.

Замечание. Как и в теореме 4 из [7] в доказательстве леммы 2 не используется базисность системы (/») в полной мере, а только «выступающий» характер элементов, заключающийся в существовании функционалов /» : /»(/) ^ 1 с оценками условия равностепенной непрерывности.

При изучении свойств базисов в декартовых произведениях конечного числа блочных пространств типа Кете бывает необходимо произвести разбиение произвольного базиса на части, определенным образом связанные с базисами сомножителей. Для этой цели может быть полезно следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть в декартовом произведении Е = Е1 х Е2 счетно-нормированных пространств Е*, г = 1, 2, заданы элемент /о и функционал /0 такой, что /0(/о) ^ 1. Если система норм (| ■ |г )£=1, определяющая топологию Е такова, что

|е|г = |Р1 е|г + |Р2е|г, |е|г ^ 1 |е|г+1, |/0(е)||/о|г ^ |е|г+1, е £ Е, г = 1, 2,...,

где Р* — проекции Е на Е*, г = 1, 2, то существует число А0 > 0 и индекс г(0) :

1

2

с которыми справедливы неравенства

А0|Р*(0)/0|Г ^ |/0|г+1 ^ А0|Р*(0)/0|г+2, г = 1 2, • • •

Г

Ч

ч

р

г

< Поскольку

|Р*(0)/0|Г 1 , . Р*(0)/0|5+1

йир ^—т.----------------------------^Л-< - < |/0(Р*(0)/0)| < /---,

Г |Рг(0)/0|г+1 + |р3-г(0) /0 |г+1 2 5 |/015

то положив

1 . г Р*(0) /0 15 + 1

А0 = 112г—’

приходим к неравенствам утверждения леммы. >

Заметим, что для элемента А0р*(0)/0, определенного в лемме 3, и функционала /0 выполняются неравенства

|/(0(е)||А0||Р*(0)/0|г < |/0(е)||/0|г+1 < г = 1 2,•••,

которые аналогичны неравенствам для пары (/0,/0) со сдвигом индексов норм на единицу.

Так как любая базисная последовательность в пространстве Фреше равностепенно непрерывна, для базисной последовательности (/»), порождающей дополняемое подпространство в декартовом произведении Е = Е1 х Е2 счетно-нормированных пространств Фреше Е*, г = 1, 2, можно выбрать систему норм в Е так, чтобы выполнялись условия (2) для системы норм (|е|г = |Р1е|г + |Р2е|г)^=1. В этом случае для каждого элемента /т определяются, согласно лемме 3, число т и индекс г(т) проекции с двусторонними оценками норм

Ат|Р*(т)/т|г ^ |/0|г+1 ^ Ат|Р*(т)/т|г+2, г = 1, 2, . . .

Элемент /т в этом случае будем считать подчиненным сомножителю Е*(т).

Из леммы 3 и сказанного непосредственно следует простое утверждение.

Лемма 4. Всякую дополняемую базисную последовательность (/т) в декартовом произведении Е = Е1 х Е2 счетно-нормированных пространств Е* можно разбить не более чем на три части, элементы каждой из которых подчинены одному или одновременно двум сомножителям.

При некоторых ограничениях на сомножители Е* декартова произведения Е = Е1 х Е2 произвольный базис дополняемого подпространства разбивается по указанному выше правилу на две части, подчиненные каждому из сомножителей, а элементов, подчиненных одновременно двум сомножителям, может быть не более конечного числа. Прежде чем сформулировать такого сорта ограничения, напомним определение важного класса пространств Кете, определяемых правильными матрицами.

Определение 3 [8]. Последовательность элементов (ж»)^=1 счетно-нормированного пространства Е называют правильной в смысле Драгилева, если имеется система норм (| ' |Г)г=1, определяющая исходную топологию в Е, для которой

|жгак , „ ф 0

| 0 при п Т то, г = 1, 2,...

|хга|г+1

Также следуя [8], пространство Кете 1р[аг (п)] будем называть правильным, если его базис ортов (еп)^=1 является правильным в смысле Драгилева.

В этом случае можно считать матрицу КЄтє правильной, т. е.

Яг (п) |еп|г | „ ж 1 „

-----= 1—і----------I 0 при п і то, г = 1, 2,...

Ог+1(п) |еп|г+1

Предложение 2. Для двух произвольных пространств Кёте Е* = /р[аГг)(п)], г = 1, 2, следующие условия равносильны:

1°. Базисы ортов (е(*))^=1 в Е*, г = 1, 2, не имеют квазиэквивалентных подпоследовательностей (е(1к))^=1 и (ей)^=1-

2°. Пространства Е*, г = 1, 2, не содержат изоморфных друг другу дополняемых подпространств, каждое из которых изоморфно правильному пространству Кёте.

< Если выполнено условие 1°, то и 2° должно выполняться, поскольку, согласно [9], у изоморфных правильных пространств Кете базисы ортов квазиэквивалентны и, согласно лемме 2, в них должны быть подпоследовательности, квазиэквивалентные двум подпоследовательностям в базисах ортов (е(1) )£= и (е(2))^=1, чего не может быть, согласно 1°.

С другой стороны, если выполнено условие 2°, то и квазиэквивалентных подпоследовательностей в базисах ортов пространств Е* быть не может, поскольку, согласно [10], из каждой подпоследовательности базиса ортов можно выделить правильную подпоследовательность, порождающую дополняемое (координатное) подпространство, изоморфное правильному пространству Кете. >

Определение 4. Будем называть пространства Кете Е* = /р[аГг) (п)], г = 1, 2, структурно различными, если для них выполнены эквивалентные условия 1°, 2° предложения 2.

Теорема 1. Пусть в декартовом произведении структурно различных пространств Кёте Е* = /р[аГг)(п)], г = 1, 2, рассматривается дополняемая базисная последовательность (/то)^=1. Существует разбиение этой последовательности на две части (/т)тое^1, (/ш)шё^2 (^1 ^ ^2 = N так, что все элементы каждой части подчинены сомножителю с соответствующим индексом, т. е. часть (/ТО)ТО6№ подчинена Е*, г = 1, 2, и при этом только конечное число элементов /т может быть одновременно подчинено каждому сомножителю.

< Согласно выкладкам, проведенным при доказательстве леммы 2, подчиненность элемента /т сомножителю Е* фактически означает наличие двусторонних неравенств для норм элемента /т и норм нормированного некоторым множителем Ат > 0 элемента базиса ортов Е*. Если теперь предположить бесконечность множества элементов /т, подчиненных сразу Е1 и Е2, то переходя к подпоследовательности (/тк), квазиэквива-лентной частям базисов ортов Е*, легко получить противоречие с условием структурного различия Е*, сопоставляя подпоследовательности ортов, квазиэквивалентные (/тк), а значит, и квазиэквивалентные друг другу. >

Очевидно, что из двух структурно различных пространств Кете /р[аГг)(п)], г = 1, 2, хотя бы одно не содержит дополняемых подпространств, изоморфных бесконечномерным банаховым пространствам 1р. Бывает полезно некоторое ослабление этого ограничения.

Будем говорить, что блочные пространства Кете Е* = /р([аГг)(п)], (1М(”’г))^=^, г = 1,2, структурно различны с точностью до нормируемых дополняемых подпространств, изоморфных пространствам Кете, если в них нет изоморфеных друг другу дополняемых подпространств Е* С Е*, г = 1, 2, каждое из которых изоморфно ненорми-руемому пространству Кете. В этом случае при разбиении произвольной дополняемой базисной последовательности (/то)^=1 декартова произведения Е1 х Е2, согласно лемме 4, множество элементов (/т)ТО6^3, подчиненных одновременно обоим сомножителям, может быть бесконечным и соответствующие, согласно лемме 2, подпоследовательности (или конечные наборы) базисов ортов сомножителей порождают нормируемые подпространства, изоморфные пространствам 1р (или конечномерным пространствам).

Пусть в блочном пространстве Кете E = lp([ar(n)], (lM(n))£=i), 1 ^ Р ^ го, задана дополняемая p-абсолютная базисная последовательность (/m)^=1 и выбран непрерывный линейный проектор P, действующий из E на дополняемое подпространство F = span(/m)^=1. Матрицу Кете [ar (n)] можно предполагать выбранной так, чтобы выполнялись неравенства

V I (P-) lpl fmlp., =----1 l-ll P., < -L

2rP

і і і і I Pe ip « ^ £ I /m(Pe) Ip I /m ip+1 = ^ lle^p+l « 1 e 1 r+2

m=l

2(2r+l)p ’

г Є Н, е Є Е. Этого всегда можно добиться переходом от произвольной исходной матрицы КЄтє к эквивалентной путем удаления некоторых строк, естественной перенумерацией и умножением оставшихся строк на числа. Условия (2), очевидно, будут выполняться для

С№=1.

Лемма 5. При сделанных предположениях для любых наборов V, ^ натуральных индексов и любых последовательностей положительных чисел (сг), (гіг) справедливы неравенства

Е і /m (Pe) ip

m=l

1nf

/

p

m r+l

I /m ip+l

| e,(Pe) |p

,=l

e, rp+2 e, sp

inf-------^--------------sup —-p-

rnv Cr sgjU ds

e E.

< Покажем сначала выполнение цепочки неравенств для нижних граней. Выбрав для произвольного е £ Е и е > 0 числа еп > 0:

Е

є, = є

и разбиение натурального ряда

N = U V.' : Vse = { n Є N : М+і « rnf ІЄ|+І + є„]

e,

(S = {s : V. = 0}) c соответствующими проекторами

Ps(e) = X! e,(e)en, s Є S,

nUv?

получаем с использованием неравенства треугольника и того же выбора полунорм

I / |p \ p

/m r+l

21 /m(Pe) іprnfHicp^ і /m(PP.e) іprnf

I / |p \ p

/m r+l

Vm=l

s \m=l

/m

ip \ p

ElEi /m(PPse) i

6v C-

І | Pse | s+2

s m=l

2s+l Cs

E^ l£l e,(e) IP^ l «(£' e,(e)lpjnf

e,

r+2

2s+l s \nUv

,=l

6v C-

+ є

Согласно неравенствам, обеспеченным выбором полунорм, имеем для произвольного элемента е £ Е (т. е. е = Ре)

^ |Р І- \р I e,(e)| p sup -dp^ « sup 2s —

n=l

p iieip ^ I/ I-

« sup 2а « sup .P+1 I /m (e) | p sup1 m s+l

ds sUu ds

m=l

p ^ -sU^ ds sU^ ds sU^ ds

sU^

dP '

r

p

p

Неравенства формулировки леммы б получаются вычитанием доказанных неравенств после предельного перехода при є ^ О. >

Теорема 2. Пусть пространство Фреше F с p-абсолютным базисом (/m)„=l изоморфно дополняемому подпространству блочного пространства Кёте E = lp ([ar (n)], (lp^(n))).

Тогда F изоморфно блочному пространству Кёте вида lp([ar(k(n))], (lP(n))), где размерности L(n) удовлетворяют оценкам

L(n) « M(k(n)) + £ M (j),

jSv(ra)

V(n) = / j Є N : -Orj » j , г, s Є N

\ ar+l(k(n)) as+l(k(n))

< Согласно лемме 2 при надлежащем выборе полунорм в E и F имеем

(Vm Є N) (З i(m) Є N) (З Am > О) AmOr (i(m)) « I /m | r+1 « AmOr+2(i(m)), г Є N.

В последовательности (i(m))^=l натуральные индексы могут повторяться и можно обозначить (k(n))^=l возрастающую последовательность всех встречающихся индексов без повторений. Не исключается и случай конечного числа индексов, когда какой-то из них соответствует бесконечному блоку в представлении E. Таким образом, с помощью умножения элементов /m на числа Am1 и возможной перестановки последовательности Aml/m приходим к представлению пространства F в виде блочного пространства КЄтє

lp([ar(k(n))], (і^(п))), где L(n) — количество повторений индекса k(n) в последовательности (i(m))^=l. Оценки размерностей L(n) выводятся с использованием леммы б. В условии этой леммы полагаем | /m | r = ar (i(m)) и для каждого фиксированного блока элементов базиса ортов с нормами ar (k(n)) (изоморфного lp^) выбираем cr = ar+l (k(n)) ds = as+l (k(n)), г, s Є N и v = ^ = N. Для простоты считаем, что F отождествлено с дополняемым подпространством E. Если предположить, что

L(n) > M(k(n)) + Е M (j),

jSv(ra)

то в указанном блоке ортов из F размерности L(n) найдется линейная комбинация /о = P/o, у которой в разложении по базису ортов пространства E будет ej(P/o) = О для всех j Є N таких, что

. П Or+2 (j) . as(j)

inf---- ^ sup ■

Г аг+1(к(п)) 5 а5+1(к(п))’

Это противоречит неравенствам леммы 5, поскольку для этого элемента /о = Р/о левая часть неотрицательна, а правая — строго меньше нуля. >

Следствие. Пусть пространство Фреше Е с р-абсолютным базисом (/т) изоморфно дополняемому подпространству блочного пространства Кёте Е = 1р ([аг (п)], (1М(п))). Тогда из каждой бесконечной подпоследовательности элементов (/т(к))^=1 базиса (/т) можно извлечь подпоследовательность квазиэквивалентную некоторой подпоследовательности базиса ортов пространства Е.

Убедиться в справедливости этого утверждения можно путем сравнения условия квазиэквивалентности р-абсолютных базисов (жга) и (уп) счетнонормированных пространств

(X, ( | ■ | г)£=1), (У, (У ■ 11^=1), выражающихся с помощью неравенств при некотором выборе констант £1 (г) > 0, С2(г) > 0 и функции в(-) натурального аргумента

С1(г) | Ж„ | г ^ ЛпУуст(п) ||з(г) ^ С2(г) | Ж„ | ф(г)), Г,п £ Н,

где (с(п)) — перестановка Н, Лп > 0, п £ Н, и оценок леммы 2. В самом деле, если в подпоследовательности (/то(&)) бесконечное число элементов /то(&) соответствующих ег(т(&)) из разных блоков, то оценки леммы 2 сразу дают требуемую квазиэквивалентность (/т(й))^=1 и (е*(т(к:)))^=1, где т(к) выбраны так, что г(т(к)) и г(т(?')) из разных блоков при к = ав остальных случаях выделяются нормированные подпоследовательности эквивалентные базису ортов пространства 1р, и квазиэквивалентности такой подпоследовательности части базиса ортов Е обеспечивается оценками Р(п), проведенными в доказательстве теоремы.

3. Нерешенные вопросы и обзор наиболее известных результатов

Следующая проблема остается открытой, хотя ее положительные решения в частных случаях известны с 60-х годов прошлого столетия (см., например, [11, 12]).

Проблема. Будет ли любая дополняемая р-абсолютная базисная система (/т)„=1 в блочном пространстве Кёте Е = 1р([аг (п)], (1М(п))), 1 ^ р ^ то, М(п) ^ то, п £ Н, квази-эквивалентна подпоследовательности канонического базиса ортов пространства Е ?

Рассмотрим классы блочных пространств Кете, в которых положительное решение проблемы получается либо просто, либо известно из других источников.

Следующие два класса блочных пространств Кете являются в некотором смысле крайними случаями.

Пусть блочное пространство Кете имеет представление вида Е = 1р([аг (п)], (1М(п))),

0 < р ^ то, где все размерности М(п) бесконечны, т. е. (п) ~ 1р, за исключением, возможно, конечного числа индексов п, соответствующих конечным М(п). В этом случае легко построить инъективное отображение произвольной дополняемой р-абсолютной базисной последовательности на некоторую подпоследовательность канонического базиса ортов всего пространства Е в соответствии с леммой 2 путем использования оценок (размерностей Р(п)) леммы 5 теоремы 2. При этом конечные наборы элементов базисов можно сопоставлять произвольно, так как в конечномерных пространствах, очевидно, все базисы квазиэквивалентны. Рассматриваемые пространства Кете можно назвать густыми или насыщенными банаховыми пространствами и в них сформулированная выше проблема имеет положительное решение. В частности, когда два густых пространства изоморфны, то их канонические базисы квазиэквивалентны, поскольку конструкция известной теоремы Кантора — Бернштейна позволяет построить по двум инъективным отображениям базисов ортов биективное отображение с оценками норм элементов, требуемыми для квазиэквивалентности.

Приведем описание еще одного класса блочных пространств Кете, в которых сформулированная выше проблема решается положительно средствами, использованными в доказательстве теоремы 2.

Определение 5 (см. [1, 13]). Определяющую матрицу [аг (п)] пространства Кете Е = 1р[аг (п)] назовем неоднородной (разреженной), если в каноническом базисе единичных ортов нельзя выделить двух бесконечных непересекающихся квазиэквивалентных друг другу подпоследовательностей.

Общее условие неоднородности матрицы Кете имеет вид (см., например, [1, 9])

V (n(k))fe=1 П (m(k))fe=1 = 0 3r(1) Vr(2) 3 r(3) Vr(4)

f ar(3) (n(k))ar(1) (m(k)) ar(3) (m(k))ar(1) (n(k)) ]

^ I ar(4) (m(k))ar(2) (n(k)) ’ ar(4) (n(k)K(2) (m(k)) J

В частном случае пространств степенных рядов E = lp[exp Arbn] (Ar ность матрицы Кете равносильна выполнению условия

lim bn = 0.

6га+1

Пространства лакунарных степенных рядов с отмеченным условием однородности были обнаружены автором при решении поставленной М. М. Драгилевым задачи описания группы общих автоморфизмов вложенных друг в друга пространств степенных рядов при более слабых ограничениях на лакуны. Описание непрерывных линейных отображений неоднородных лакунарных пространств степенных рядов было получено в [14] и из него, в частности, следовало, что в дополняемых подпространствах таких пространств есть абсолютные базисы.

Последний факт не был явно отмечен в [14] и спустя некоторое время Дубинский и Фогт в [15] ввели и исследовали так называемые «ручные» пространства степенных рядов. Они показали наличие абсолютного базиса в каждом дополняемом подпространстве «ручных» пространств степенных рядов. Эти пространства являются некоторым блочным расширением класса неоднородных пространств лакунарных пространств степенных рядов. Более общим образом можно рассматривать класс блочнонеоднородных пространств Фреше как класс пространств, изоморфных блочным пространствам Кете E = lp([ar(n)], (l^(n))), M(n) ^ то, определяемым неоднородными матрицами Кете [ar (n)].

Обобщения результатов [15] на случай блочно-неоднородных пространств Кете имеются в [16], а здесь остановимся на характеризации дополняемых p-абсолютных базисных последовательностей в блочных пространствах Кете E = lp([ar (n)], (l^(n))), определяемых неоднородными матрицами [ar (n)].

Пусть (/то)те=1 — дополняемая p-абсолютная базисная последовательность в блочном пространстве Кете E = lp([ar(n)], (l^(n))), где размерности M(n) — произвольны, матрица [ar (n)] — неоднородна и p ^ 1 (p-абсолютность (/m)^=1 с тем же значением p). Согласно лемме 2 и оценкам леммы 5, все условия для построения инъективного отображения последовательности (/m)^=1 на подпоследовательность базиса ортов пространства E имеются. С некоторого номера m(0) для каждого конечного набора различных индексов m1, m2,..., последовательности (/m)^=1 набор подходящих индексов i(mj), j = 1, 2,..., к, с оценками леммы 2 содержит более к представителей, так как предположение о противном дает последовательность пар индексов таких, что каждая пара

(п) / (п) ■/ (п)ч

mji = mj2 соответствует одному индексу i(mj^), а это невозможно ввиду однородности матрицы [ar (n)].

Перечислим теперь наиболее важные, на наш взгляд, случаи, в которых сформулированная в начале этого пункта проблема имеет положительное решение.

Предположение о положительном решении этой проблемы в ядерных пространствах Кете — Фреше называют гипотезой Бессаги (после появления работы [11]). Так как не построены контрпримеры, естественно рассматривать обобщенную версию этой гипотезы

= то.

| A ^ то) неоднород-

о том, что каждая дополняемая p-абсолютная базисная последовательность в блочном пространстве Кете E = lp([ar(n)], (l^(n))), M(n) ^ то с тем же значением p ^ 1, квази-эквивалентна некоторой подпоследовательности канонического базиса ортов. Другими словами, каждое дополняемое подпространство с p-абсолютным базисом в указанном пространстве Кете изоморфно некоторому координатному подпространству (порождаемому частью базиса ортов). Эта версия доказана для следующих классов пространств:

1. блочные пространства Кете вида E = lp([ar(n)], (l^(n))), p ^ 1, M(n) = то, n > no;

2. блочно-неоднородные пространства Кете (показано выше и см. [1]);

3. пространства Кете E = lp[ar (n)], p ^ 1, определяемые правильными матрицами [ar(n)] и изоморфные своему декартову квадрату, т. е. E = E х E (см., например, [7-8]);

4. блочные пространства Кете, определяемые правильными матрицами [ar (n)], удовлетворяющие одному из следующих условий, введенных в [8]:

a) (3r) (Vs) (3t) sup—as(n) < +то,

n ar (n)at(n)

b)(V r) (3 s) (V t) sup ar (n2)at((n) < +то

n a5 (n)

(эти случаи рассматривались в [7]).

Пространства класса 4 включают все блочные пространства, определяемые функциями Драгилева. Так называют блочные пространства вида E = lp([exp/(Arbn)],lM(n)), где M(n) — произвольны, Ar | A ^ то, а / — нечетная, возрастающая, логарифмически выпуклая функция [8]. Можно рассматривать отдельные декартовы произведения пространств указанных классов и убедиться в справедливости обобщенной версии гипотезы Бессаги. Вопрос о характеризации дополняемых p-абсолютных базисных последовательностей в декартовых произведениях пространств Кете из разных классов Драгилева, например, вида

E = l1

где размерности блоков М(п) и Р(п) произвольны, не является таким простым (см., например, [17, 18]).

Представляет интерес и решение проблемы для класса пространств Кете Е = 1р[аг (п)], определяемых правильными матрицами Кете [аг (п)] (без ограничения изоморфизма Е своему декартову квадрату) и, более общим образом, для класса блочных пространств Кете, определяемых правильными матрицами.

Напомним (см., например, [1]), что положительное решение обсуждаемой проблемы влечет квазиэквивалентность р-абсолютных базисов в перечисленных классах и изоморфизм двух пространств одного класса влечет наличие простейшего (квазидиагонального) изоморфизма. Добавим, что в пространствах Кете, определяемых правильными матрицами, доказано, что все р-абсолютные базисы квазиэквивалентны и изоморфизм таких пространств влечет квазиэквивалентность базисов ортов. Однако проблема описания дополняемых р-абсолютных базисных последовательностей пока остается открытой.

Вопросы изоморфной классификации декартовых произведений пространств Кете из отдельных указанных классов рассматривались в [7, 17] и др.

В заключение можно выразить надежду, что проведенные в работах [19-21] исследования дополняемых безусловных базисных последовательностей позволяют описать свойства аналогичных последовательностей в Е-пространствах типа Кете и Лоренца при р < 1.

Литература

1. Кондаков В. П. Об изоморфной классификации и свойствах базисов пространств Кёте // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2004.—C. 218-240.

2. Rolewicz S. Metric linear spaces.—Warszawa etc.: D. Reidel Publishing Company, 1984.—459 p.

3. KOthe G. Die Stufenranme, eine einfache Klasse linear vollkommener Raume // Math. Zeitschr.—1948.— Vol. 51.—P. 317-345.

4. KOthe G., Toeplitz O. Lineare Raume mit unendlichvielen koordinaten und ringe unendlichen matrizen // J. Reine Angew. Math.—1934.—Vol. 171.—P. 193-226.

5. Митягин Б. С. Геометрия линейных пространств и линейных операторов // Теория операторов в функциональных пространствах.—Новосибирск: Наука, 1977.—C. 212-239.

6. Митягин Б. С. Эквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math.—1971.—T. 37, № 2.—C. 111-137.

7. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.—Ростов-на-Дону: ИРУ, 1983.— 72 с.

8. Драгилев М. М. О правильных базисах в ядерных пространствах // Матем. сб.—1965.—T. 68, № 2.—C. 153-173.

9. Кондаков В. П. О квазиэквивалентности правильных базисов в пространствах Кете // Математический анализ и его приложения.—Ростов-на-Дону: ИРУ, 1974.—T. 5.—C. 210-213.

10. Драгилев М. М. О бинарных отношениях между пространствами Кете // Математический анализ и его приложения.—Ростов-на-Дону: ИРУ, 1974.—T. 6.—C. 112-135.

11. Bessaga C. Some remarks on Dragilev‘s theorem // Studia Math.—1968.—Vol. 31.—P. 307-318.

12. Кондаков В. П. О строении безусловных базисов некоторых пространств Кете // Studia Math.— 1983.—Vol. 76, № 2.—P. 137-151.

13. Кондаков В. П. О проблеме изоморфной классификации пространств Кете и эквивалентности базисов // Тезисы докл. Междун. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова.— Ростов-на-Дону, 2000.—C. 119-120.

14. Драгилев М. М., Кондаков В. П. Об одном классе ядерных пространств // Мат. заметки.—1970.-T. 8, вып. 2.—С. 169-177.

15. Dubinsky E., Vogt D. Complemented subspaces in tame of power series spaces // Studia Math.—1989.— Vol. 93, № 1.—P. 71-85.

16. Кондаков В. П. О блочных пространствах Кете, в которых образ каждого непрерывного оператора имеет базис // Функцион. анализ и его прил.—1993.—T. 4.—C. 74-77.

17. Chalov P. A., Djakov P. B., Zahariuta V. P. Compound invariants and embeddings of cartesian products // Studia Math.—1999.—Vol. 137.—P. 33-47.

18. Кондаков В. П., Ефимов А. И. О классах пространств Кете, в которых каждое дополняемое подпространство имеет базис // Владикавк. мат. журн.—2008.—T. 10, вып. 2.—C. 21-29.

19. Kalton N. J. Orlicz sequence spaces without local convexity // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.— 1977.—Vol. 81, Issu 2.—P. 253-277.

20. Kalton N. J., Leranoz C., Wojtaszczyk P. Uniqueness of unconditional bases in quasi-Banach spaces with applications to Hardy spaces // Israel J. Math.—1990.—Vol. 72, № 3.—P. 299-311.

21. Albiac F., Leranoz C. Uniqueness of unconditional basis in Lorentz sequence spaces // Proc. Amer. Math. Soc.—2008.—Vol. 136, № 5.—P. 1643-1647.

Статья поступила 29 января 2009 г.

Кондаков Владимир Петрович

Южный федеральный университет,

зав. каф. теории функций и функцион. анализа

Россия, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А;

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, зав. лабораторией вещественного анализа E-mail: [email protected]