CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 11-22
УДК 517.881
ПРОСТЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ БАЗИСОВ В ПРОСТРАНСТВАХ КЕТЕ1
В. П. Кондаков
В заметке представляется подход к исследованию проблем характеризации базисов в пространствах Кете, который основан на рассмотрении свойств возмущений операторов и базисных последовательностей.
Ключевые слова: пространства Кете, возмущение базиса, квазиэквивалентность базисов.
Уже с давних пор вместе с классическими каноническими базисами функциональных пространств рассматривались «близкие», в некотором смысле, базисы типа Пинкерле и др. Построение таких «близких» систем (возмущений) использует либо спектральные свойства риссовских операторов, либо непосредственно ряд Неймана для обратного оператора.
Для решения важных задач структурной теории пространств Кете числовых последовательностей (например, решения проблемы единственности безусловных базисов) требуются оценки характеристик коэффициентных функционалов аналогичных возмущений базисов в этих пространствах.
Ниже, после некоторой модификации и обобщения известных результатов (см., например, [1-3]) о возмущениях базисных систем, внимание будет сосредоточено на конечномерных возмущениях р-абсолютных базисов пространств Кете в непосредственной связи с характеризацией всех базисов этих пространств.
1. Возмущения базисов в пространствах последовательностей
Определение 1. Базис (еп) счетно-нормированного пространства (Е, (| ■ |г)£=1) называют р-абсолютным (1 ^ р < ж), если система полунорм
(те \ р те
Е|еП(е)Неп|? , г = 1,2,..., где е = £еП(е)еп,
п=1 / п=1
е € Е, задает на Е исходную топологию, т. е. системы полунорм (| ■ |г)£=! и (У ■ ||г)£=! — эквивалентны.
© 2008 Кондаков В. П.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329-а.
В нормированных пространствах 1 < р < то, с р-абсолютным базисом ортов можно рассматривать операторы Т : 1р ^ удовлетворяющие условию
те
Е
п= 1
< +то, 1 + 1 = 1, Р 9
(1)
где еп = ($то)°=1 — базис ортов. Вместо (еп) можно брать и какой-нибудь другой р-абсолютный нормированный базис с тем же значением р. Такие операторы аналогичны операторам Гильберта — Шмидта и совпадают с ними при р = 2. При р =1 можно рассматривать вместо (1) условие
Иш ||Теп|| = 0, Иш
||Тх
0
п^те ||жп
для базиса (жп) с произвольными нормами элементов.
При выполнении каждого из этих условий в соответствующих пространствах проверяется без труда известный критерий предкомпактности образа единичного шара для банаховых пространств 1р (р < то) числовых последовательностей. В самом деле, ограниченность образа Ти единичного шара и равномерное убывание остатков показывается выкладкой с применением неравенства Гельдера (или непосредственно при р =1)
т
\п=М
<
Е 1^1г
1р
те
= вир
Ч':||Ч'|| 1Ч =1
те
Е^™
п=М
1 ч
£пп' (Теп)
\п=М
вир
п'^п'^р = 1 \п~М
Е (Теп)|Ч < ||£||1р Е "ТепЦР
Уп=М
для любых £ € 1р и N = 1, 2,... Согласно спектральной теории компактных операторов в банаховых пространствах, оператор I—Т (I — тождественный) непрерывно обратим, если единица не является собственным числом оператора Т, с описанным выше свойством (см., например, [4]).
Принимая во внимание эти факты, переходим к рассмотрению возмущений базисов в счетно-нормированных пространствах с р-абсолютными базисами.
Напомним, что пространством Кете, определяемым матрицей [аг (п)], 0 ^ аг (п) ^ аг+1(п), г, п € Н, называют пространство числовых последовательностей
Уог (п)] = = (£п) : |£|г = Е №?(п) < +то, V г € Н,
Vn=1
где 1 ^ р ^ то, и при р = то
|£|г = вир |еп|аг(п) < +то, Vг € Н,
с топологией, определяемой монотонной системой полунорм (| ■ |г).
Базис ортов (еп = (¿т)те=1)те=1 пространства Кете, очевидно, является р-абсолютным базисом. В следующем утверждении речь пойдет о возмущениях базиса ортов, вместо которого можно брать и любой другой р-абсолютный базис этого пространства.
е
п
Предложение 1. Пусть последовательность элементов (дп)те=1 пространства Кёте Е = 1р[аг (п)] (1 ^ р < то) такова, что при любом г £ N для нее справедливо условие
V (Ц^У < ( Иш Ц^пк = 0 при р = Л , (2)
V I еп | г У V™— I еп | Г у
и нет нетривиальных разложений нуля по этой последовательности, т. е.
У^ П™дп = 0 влечет пп = 0, V п £ N
п
то (дп является р-абсолютным базисом пространства Е, эквивалентным базису ортов, т. е. существует автоморфизм Б пространства Е, переводящий базис (еп)^=1 в
< Определим сначала формально оператор Б, полагая
те те
Б£ = ^2 £п#п для £ = ^ £пеп-
п=1 п=1
Чтобы показать непрерывность Б = (Б — I) + I, достаточно убедиться в непрерывности Б — I. Для любого г £ N имеем
те
^ ^ £n£ (gn, — en)
| S£ - £ |r = sup | £'(S£ - £)|= sup
|i'|'r = 1 |i'|'r = 1
<(¡1p^(sk(w)Пq<|£|'(£"
K 1 v ar (n)
Применив те же рассуждения, что относились к операторам в банаховых пространствах и приведены выше, делаем заключение о компактности оператора A = S — I в каждом ассоциированном банаховом пространстве Er, которое получается пополнением фактор-пространства E/Nr по норме | ■ |r, где Nr = {e G E : |e|r = 0}.
Согласно условию предложения об отсутствии нетривиальных разложений нуля по системе (gn)те=1, число 0 не является собственным значением оператора S. Поэтому оператор S = I + A имеет непрерывный обратный S-1 в каждом ассоциированном банаховом пространстве Er, r G N (см., например, [4]).
Подставляя в определении S орты, т. е. полагая £ = en, n = 1,2,..., видим, что Sen = gn, а значит S-1gn = en, n G N. >
Замечание. При p =1 вместо условия (2) в скобках можно использовать другое условие, обеспечивающее компактность описанного выше оператора A = S — I:
Vsup ^ < (Aei = gi - ei), Vr G N.
2. Простые возмущения и вопросы единственности безусловных базисов в пространствах Кете
Напомним, что базис (еп)те=1 линейного топологического пространства Е называют безусловным, если разложение каждого элемента сходится к этому элементу при любой перестановке членов.
В пространствах Кете Е = 1р[аг(п)] с р = 1, 2, то путем указания свойств определяющих матриц Кете [аг (п)] выделены классы, в каждом пространстве которых любой безусловный базис может быть получен из канонического (р-абсолютного) базиса ортов путем перестановки, умножения на числа, отличные от нуля, и автоморфизма пространства (см., например, [5, 6] и библ. в них). Если каждый безусловный базис данного пространства Кете Е может быть получен из базиса ортов комбинацией указанных операций, то говорят о единственности безусловного базиса в Е. Понятно, что в случае единственности безусловного базиса в Е, любые два безусловных базиса переводятся друг в друга указанными операциями, и это называют свойством квазиэквивалентности всех безусловных базисов.
Согласно теореме Дынина — Митягина, в ядерном пространстве Кете — Фреше все базисы абсолютны (безусловны), а поэтому для указанных ядерных пространств ставилась проблема единственности базисов (свойства квазиэквивалентности всех базисов), которая решена пока только в частных случаях (см., например, [5, 6]).
В непосредственной связи с упомянутыми проблемами дадим для пары р-абсолютных базисов пространства Фреше достаточное условие их квазиэквивалентности в терминах свойств конечномерных возмущений специального вида.
Элемент /о пространства Фреше (Е, (| ■ |г)£=!) назовем выступающим (выступом) по отношению к данной системе полунорм (|-|г)£=!, если существует непрерывный линейный функционал /(0 € Е такой, что
Понятно, что для выступающего элемента /о соответствующий функционал /( имеет оценки норм
В силу равностепенной непрерывности базисов в пространствах Фреше (см., например, [7]) для любого базиса или базиса дополняемого подпространства такого пространства можно выбрать систему полунорм (| ■ |г)£=!, определяющую исходную топологию, таким образом, что каждый элемент базиса будет выступающим (выступом).
Можно показать для одиночного элемента пространства Фреше возможность выбора функционала и системы полунорм, задающей исходную топологию, таких, что этот элемент будет выступающим по отношению к выбранной системе полунорм.
Оценки норм функционала в определении выступающего элемента характеризуют геометрическое расположение (наклоны) этого элемента по отношению к некоторому гиперподпространству (множеству нулей соответствующего функционала).
Пусть теперь имеется в пространстве Кете — Фреше Е = 1р[аг (п)] какой-нибудь базис (/т)те=1 (или базис дополняемого подпространства). Тогда только пользуясь равностепенной непрерывностью базиса (/т)те=1, путем разрежения системы полунорм пространства Кете Е и умножения оставшихся полунорм на подходящие числа с изменением нумерации, можно добиться выполнения следующих условий:
1) |е|г ^ |е|г+1, е € Е, г € Н;
2) /(е)||/т|г < |е|г+1, е € Е, г € N.
Лемма (ср. [5, 6]). Пусть в пространстве Кёте Е = 1р[аг (п)] (1 ^ р ^ то) система полунорм (| ■ |г), задающая топологию, удовлетворяет условиям 1)-2), и /о — выступающий элемент по отношению к этой системе полунорм с соответствующим функционалом /(.
/0(/о) ^ 1 и |/0(е)||/о|г < |е|г+1, е € Е, г = 1,2,...
1
г = 1, 2,..
г
Тогда существует натуральный индекс ¿o £ N такой, что е^0-,(/о) = 0 (/ (e¿(o)) = 0) и
ar(¿(0)) ■ |/o|s
r+1 ■ as+i(¿(0))
^ 1, V r, s £ N.
< Рассмотрим случай p = 1, а остальные случаи рассматриваются аналогично как
в [5].
В следующих неравенствах сначала используется условие 1), а затем тот факт, что /(0(/о) ^ 0 и справедливы соответствующие оценки определения выступающего элемента
те / .ч те те / .ч
Elei (/o)l sup /г1- < 1 <£ |ei(/o)| | /о (e¿ )| ^Е |ei (/о )| in f О/^.
r |/o |r+1 ^ s |/o |s
Поэтому найдется натуральный индекс ¿(0) такой, что ei(/o) = 0, и
ar(¿(0)) ^ inf as+i(¿(0))
r |/ | r+1 s |/o |s •
Можно считать одновременно / (e¿(o)) = 0, так как в предыдущих оценках справа можно оценивать только члены числового ряда для / (/o), отличные от нуля. >
Отметим, что модификации рассуждений доказательства леммы использовались в [5, 6] (см. также [7]) для получения утверждений о единственности безусловных (p-абсолютных) базисов в широких классах пространств Кете. В доказательствах этих утверждений существенную роль играли комбинаторные соображения, известные как теоремы о системах различных представителей конечных или бесконечных наборов множеств [8]. Именно такой факт под названием теоремы Холла — Кенига в исследовании вопроса о единственности безусловного базиса применялся в [9].
Поясним, о какой системе различных представителей идет речь.
Пусть в пространстве Кете E = 1p[ar (n)] рассматривается p-абсолютный базис (или p-абсолютный базис дополняемого подпространства) (/т)те=1. Как уже отмечалось выше, систему полунорм, задающую топологию, всегда можно предполагать выбранной так, что выполняются неравенства
/ те \ p |e|r ^ £(|/m(e)||/m|r)p = ||e||r < -|e|r+1, e £ E, r £ N. (3)
\m=1
В случае, когда (/т)^=1 — базис дополняемого подпространства Е в Е, выбирается непрерывный линейный проектор Q из Е на Е и система полунорм (| ■ |г)^=1, задающая исходную топологию пространства Е, строится таким образом, чтобы выполнялись неравенства
it те.., . - Ур - i
< ^ Е /^е)|р|/т|?+1 < ^ |е|г+2, е € Е, г £ N. (4)
Тогда каждый элемент /т будет выступающим по отношению к системе полунорм (I ' |Г)г=1 также, как и каждый элемент еп.
Согласно утверждению леммы, для каждого элемента /т найдется элемент еп(т) такой, что
I- ' | , |-^ 1, V Г, 5 £ N.
|еп(т)15+1 |/т|г+1
Обозначив
, . „ |ега(т.) Ь+1
Ат = 1111 --,
5 1 /т11
то же самое можно записать в виде двусторонних оценок полунорм элементов |еп(т)|Р ^ |/т|Р+1 ^ |е„(т)|г+2, Vт, г £ N которые при дополнительном условии взаимной однозначности отображения т ^ п(т), т £ N означают квазиэквивалентность р-абсолютного базиса (/т)^=1 части (е„(т))^=1 базиса ортов. Зафиксируем некоторый натуральный индекс г(0) ^ 1 и для каждого т £ N определим множество
*Р(0)(т) = {п £ N : | | Ыр |/т|1- < 1, Vг, в £ Л •
i |еп|р+р(0) |/т|1+р(0) )
Кроме того, ^Р(о)(т) = 0, при любом т £ N так как г(0) ^ 1.
Если будет показано, что существует система различных представителей п(т) £ ^Р(0)(т), т = 1,2,..., п(т1) = п(т2), V т1 = т2, то тем самым будет доказана квазиэквивалентность р-абсолютного базиса (/т)^=1 части базиса ортов. В этом случае при г(0) > 1 соответствующие двусторонние неравенства имеют вид
|еп(т)|Р ^ Ато|/т|р+р(0) ^ |еп(т)|р+2р(0), V т; г £ N.
Обозначим для произвольного конечного множества ^ = |т», I = 1, 2,...,3} индексов базиса (/т)т=
1 множество
з
^р(0)(^) = ^р(0)(т»)
¿=1
индексов базиса ортов, и |А| ниже будет означать число элементов во множестве А, если оно конечно, и символ то, когда А бесконечно.
Простое необходимое и достаточное условие существования упомянутой выше системы различных представителей множеств ^Р(0)(т) состоит в том, что для каждого конечного множества ^ = |т», I = 1, 2,..., 3} в соответствующем множестве ^Р(0)(^) должно быть не менее 3 элементов, т. е.
Ы = 3 < |^р(0)(^)|. (5)
(Доказательство см., например, в [8] и применение — в [9]).
Легко привести крайние случаи «густых» и «разреженных» пространств Кете, когда условие (5) проверяется без труда.
Блочным пространством Кёте называют пространство последовательностей векторов
(к(п)],^) = |ж = Ы, £ 1к(п), ^ 1К||Рра?(п^ Р = Мг < +то, г £ N |, к(п) ^ то, 1 ^ р ^ то (р = то, |ж|Р = вир ||ж„||1то аР (п), г £ N
а ^ аР(п) ^ аР+1 (п), г,п £ N, с топологией, задаваемой системой преднорм (| ■ |Р)£=1.
Пространства Фреше, которые изоморфны пространствам Кете с определяющими матрицами Кете 1р[аР (п)], имеющими следующее свойство: аа+1"П) ^ 0 при п | то для любого г £ N называют (правильными) пространствами Кете с правильным базисом ортов .
р
Матрицу [аг (п)] в этом случае называют правильной. Если пространство Фреше Е изоморфно блочному пространству Кете ^[аг(п)],^""^ с правильной матрицей [аг(п)] и хотя бы для одного индекса п размерность к(п) бесконечна, то в этом случае будем говорить, что базис ортов этого пространства Кете упорядочиваемый, а Е имеет упорядочиваемый р-абсолютный базис.
Легко показать проверкой (5), что если пространство Фреше Е имеет представление в виде блочного пространства Кете вида ^[аг(п)], ^, где все размерности М(п)
блоков бесконечны, то любая р-абсолютная базисная последовательность, порождающая дополняемое подпространство в Е, квазиэквивалентна части канонического базиса. Любые два р-абсолютных базиса такого пространства квазиэквивалентны [6].
Вопрос о квазиэквивалентности р-абсолютных базисов в случае пространств Кете — Фреше, имеющих р-абсолютный упорядочиваемый базис, до конца пока не исследован.
Свойство «густоты» базисов или самих пространств Фреше, имеющих представление в виде блочных пространств Кете со всеми бесконечными размерностями блоков или, в некоторых случаях, изоморфных своим декартовым квадратам, позволяет дать сравнительно просто положительный ответ на вопрос о квазиэквивалентности -абсолютных базисов дополняемых подпространств подходящим частям произвольного -абсолютного базиса всего пространства (см., например, [6]). Здесь, в частности, имеется в виду справедливость такого утверждения для пространств Фреше, имеющих правильный р-абсолютный базис и изоморфных своему декартову квадрату.
Аналогичные утверждения получаются и для в некотором смысле «разреженных» или лакунарных пространств степенных рядов [6]. Дадим абстрактное определение такого типа пространств без использования понятия правильного базиса.
Определение 2. Базис (еп), пространства Фреше Е назовем неоднородным, если из него нельзя выделить две подпоследовательности без общих элементов, которые были бы квазиэквивалентными.
Примерами неоднородных базисов могут служить базисы в ультраядерных пространствах Кете, рассматривавшихся ранее М. М. Драгилевым. Эти пространства называют теперь нестабильными.
Легко привести примеры декартовых произведений пространств лакунарных степенных рядов с неоднородными базисами, не являющимися правильными (см., например, [6]). Рассмотрим блочное расширение класса пространств Кете с неоднородными базисами ортов.
Определение 3. Будем говорить, что пространство Фреше — Кете Е имеет блочно-неоднородное представление, если оно изоморфно блочному пространству Кете вида (п)], , где (п) ^ то, п £ N, а матрица Кете [аг(п)] определяет неодно-
родный базис ортов в пространстве 1р[аг (п)]. В последнем случае также будем говорить о неоднородности матрицы [аг (п)].
Условие неоднородности матрицы Кете имеет вид:
3 г(1) V г(2) 3 г(3) V г(4)
Г аг(3) (пкК(1)(т£) аг(3)(ткК(1)(п£) к £ N1 = ТО \аг(4)(т^)аг(2)(п&)' 0г(4)(пк)аг(2) (т^)' / '
для любых непересекающихся последовательностей (п&), ) натуральных чисел без повторений. Класс пространств Фреше — Кете, имеющих блочно-неоднородное представление, включает в себя в качестве собственных подмножеств классы ультраядерных
(нестабильных) пространств, различные обобщения пространств лакунарных степенных рядов, их декартовы произведения и «ручные» пространства степенных рядов бесконечного типа (подробнее см. [6]).
Теорема 1 (см., например, [6]). Пусть пространство Фреше — Кёте Е имеет блочно-неоднородное представление с р-абсолютным базисом ортов (еп), Е — дополняемое подпространство в Е и (/т) — р-абсолютный базис в Е. Тогда (/т) квазиэквивалентен некоторой подпоследовательности базиса (еп). Любые два р-абсолютных базиса такого пространства квазиэквивалентны.
Пусть в пространстве Кете Е = 1р[аР (п)] (р ^ 1) дополняемое подпространство Е имеет р-абсолютный базис (/п), т. е. изоморфно пространству Кете 1р[|/п|Р]. Выбрав некоторый проектор Q из Е на Е будем считать, что система (полу)норм (| ■ |Р) в Е определена таким образом, чтобы выполнялись неравенства (3) и (4).
Выберем произвольно конечный набор элементов {/т1, /т2,..., /тк} из базиса в Е и обозначим Е^ = 8рап(/т )^=1 — линейную оболочку указанного набора элементов (^ = {т1,т2,... , }). Выделим теперь все элементы базиса ортов (еп), для которых можно подобрать хотя бы один индекс т» с оценками норм соответствующих элементов
|еп|р|/т|5 < 1, г, в £ N.
| | р+6 | еп11+6
Множество всех указанных ортов записываем в виде {еП1, еП2,..., е^.}, V= {п^}^, а порождаемое ими подпространство обозначим Е^). Нас интересует здесь исключительно возможность случая конечных к > 3. Этот случай заведомо не может иметь места, если сужение проектора
Р,е = ^ еП(е)е„, е £ Е,
на Е^ инъективно. Поэтому основным вопросом является следующий: будет ли отображение Р^(^) : Е^ ^ Е^(^) инъективно, т. е. будут ли различные векторы из Е^ иметь различные проекции в Е^) ?
Покажем, что если дополнительно допустить, что все проекторы вида Р^ и (V, ^ С N коммутируют, то случай к > 3 приводится к противоречию.
Следующее утверждение из [6] приведем для полноты изложения с доказательством, так как в нем содержится альтернативный подход к решению вопросов характеризации базисов по отношению к предлагаемому ниже с использованием простых возмущений базисов.
Теорема 2. Пусть Е — дополняемое подпространство в пространстве Кёте Е = 1р[аР (п)]. Если Е имеет р-абсолютный базис (/т) и коммутируют все проекторы вида
Р>е = еП(е)е„, Qмe = ^ /^^е)/т, е £ Е,
где Q — некоторый проектор из Е на Е, V, ^ С N, (еп) — базис ортов в Е, то базис (/т) квазиэквивалентен части базиса (еп). В частности, если (/т) другой р-абсолютный базис в Е, то при том же условии он квазиэквивалентен базису ортов (еп).
< Будем предполагать системы полунорм (| ■ |Р) и (|| ■ ||Р) в Е и Е выбранными таким образом, чтобы выполнялись описанные выше неравенства (3),(4) с проектором Q. Для произвольного конечного набора ^ индексов базиса (/т) рассмотрим определенный выше набор индексов Vи убедимся, что случай к > 3, где к — число элементов в а 3 —
число элементов в v не может иметь места. В случае k > j непременно найдется элемент
k
ео = Е = Е еП(ео)еп = 0.
Если размерность подпространства F^o, порождаемого такими элементами, строго больше 1, то уменьшая каждый раз число элементов в наборе {/mi,..., /mk} на единицу, мы можем уменьшить число линейно независимых векторов в F^o не более чем на единицу. Поэтому таким уменьшением числа элементов в ^ можно придти к рассмотрению новых наборов С ^ и v(^1) таких, что F^1o имеет размерность 1. Соотношение между числами элементов в ^ и v(^1) теперь не имеет значения и противоречие будет в том, что найдется индекс n € N \ v (^1), для которого имеется индекс m¿ £ ^1:
|en|r|/m |s < 1, Vr,s € N,
|г+6|ега|з+6
но все такие индексы должны быть в Итак, пусть элемент
ео = Е ^Ы/т = £ еП(ео)еп
порождает Е^о. Тогда в силу предположения о коммутирующих проекторах и
справедливо представление (/ — е = е0(е)е0, е £ Е и функционал е0
удовлетворяет оценкам
|е0(е)||ео|г < |е|г+а, г £ Ж, е £ Е. (6)
Применяя утверждение леммы к разложению элемента ео по базису (/т), можно указать элемент /т с т £ такой, что
|ео|г|/т|* < 1, Vг, в £ N.
|ео| s+3
С другой стороны, применение утверждения той же леммы к разложению ео по базису (еп) дает элемент еп с п £ V(^1):
|ео|г|еп|' < 1, Vг, в £ N.
|ега |г+а|ео|5+а
Но тогда найденному индексу т из соответствует индекс п из N \ V (^1), для которого
| , |е|га|г< 1, Vг, в £ Ж,
| /т,| г+6| еп15+6
а это противоречит тому, что в Vсодержатся все такие индексы. >
Замечание. В общем случае некоммутирующих проекторов Р^, ^ по элементу ео из доказательства предложения можно определить и непрерывный линейный функционал е0 такой, что е0(ео) = 1, но пока не удается получить требуемых неравенств (6).
Немного иначе: можно ли для элемента ео = ^(1 — из приведенных рас-
суждений определить функционал е0: е0(ео) = 1 и
|ео(е)| < т£-г—^-, е £ Е?
г |ео|г
Приведенные в доказательстве предложения рассуждения можно повторить в ситуации, когда р-абсолютные базисы (еп) и (/т) определяют почти коммутирующие семейства проекторов в следующем смысле: для любых конечных наборов индексов ^ и V существует проектор :
Д^е = Иш^(/ - Р,
и семейство проекторов Д^ равностепенно непрерывно, т. е. для любого г существуют С (г) > 0, в (г) £ N такие, что
е|р ^ С(г)|е|1(р), е £ Е,
где С (г) и в (г) не зависят от числа элементов во множествах ^ и V .В этом случае базисы (еп) и (/т) квазиэквивалентны, однако остается открытым вопрос описания множества пар базисов с указанным свойством.
Пусть снова ^ = {т1,..., т^+1} и ^(0) = {п1,..., п } — множества индексов базисов (/т)те=1 и (еп)те=1, соответственно, определенные выше, после леммы. Наше отрицание условий теоремы Холла — Кенига состоит в том, что размерность Е^ = 8рап(/т выше размерности Е^, = 8рап(еп )^=1. Существование элемента
/0 = ^ (/0)/т = ^ ега(/0)е™
влечет существование хотя бы одного элемента /т;(0) такого, что
|/тг(0) |Р = ^^¿(0) 11р ^ II (1 — Ргу)/т4(0) ||р,
для бесконечного числа значений г £ N.
Выбрав один такой элемент и считая его индекс равным т^+1, определим конечномерное возмущение базиса (/т)^=1 следующим образом: Б/т = /т, т = т», г = 1, 2,..., 3; Б/т = Р^г(0)(^)/т4 + ае^, г = 1, 2,... ,3, где а выбрано так, что
2 рк0)м/т; |Р < |Б/т |Р < 2|р^г(0)(м) /т |р , г = 1, 2,...,3,
и любого г £ N. Кроме того, ввиду конечномерности описанного возмущения I — Б, можно всегда подобрать а, чтобы не существовало нетривиальных разложений нуля по системе (Б/т)те=1. Согласно сказанному в первой части заметки, это построение приводит к базису (Б/т)те=1, полученному из (/т)^=1 автоморфизмом Б.
1т)т=1' "-"■".У
еп)га=1 и (Б/т)те=
Сравнивая базисы (е^^Ц и (Б/т)^=1, предварительно выбрав систему полунорм, задающую топологию Е таким образом, что элементы Б/т будут выступающими, применением соображений леммы устанавливаем, что в них элементу Б/т^.+1 не может соответствовать ни один из элементов набора ^(о)(^), так как соответствующий элементу Б/ТОз+1 координатный функционал биортогональной последовательности обращается в ноль на всем подпространстве Е^, по построению. Таким образом, существует элемент е„з.+1, п^+1 £ ^(о)(^) такой, что
|е«з+1 |р |/т3'+111
< С1, г, в £ N,
|/т3'+1 |р+1 |ега3'+111+1
здесь константа С1 > 0 может зависеть не только от в, но и от ^(о)(^).
Поясним, что зависимость константы Cs > 0 от указанных факторов проверяется, если проследить оценки норм оператора S и его обратного S-i (особенно обратного). Привести к противоречию наше отрицание условий теоремы Холла — Кенига пока не удается, но если бы удалось показать, что возмущение S всегда можно устраивать так, что нормы S и S-1 не зависят от выбора множеств ц и vr(0)(^), то необходимое противоречие было бы получено и тем самым доказана квазиэквивалентность всех p-абсолютных базисов в пространствах Кете.
Заметим, что аналогичные соображения можно проводить и используя конечномерные возмущения базиса (/т)^=1 вида I - S, где S/m = /m - Pvr(0)O)/m + hm, \{/mj+l h S/m = ^ m G vr(0)(^ где hm G (I - Pvr(0) (M))E ^алр^^ вида
hm = ^(m^ ^(m) ^ vr(0) (цц)).
Однако и здесь вопрос о равностепенной непрерывности всей совокупности удаляемых из множеств ц элементов остается открытым. Как и в предыдущем случае, этот вопрос сводится к вопросу возможности выбора возмущений I- S с равномерными оценками норм S и S-1.
Можно сделать предположение, что развитие этого подхода с использованием конечномерных, а затем риссовских возмущений базисов позволит установить справедливость условий следующего предложения (или доказать их отсутствие).
Предложение 2. Пусть в пространстве Кёте — Фреше E = 1p[ar (n)] дан p-абсолютный базис (/m)^=i некоторого дополняемого подпространства F и системы полунорм (| ■ |r)£=i, (У ■ ||r)£=i заданы, как в условии леммы, так что все элементы базиса ортов (era)^=i и базисной последовательности (/m)^=i выступающие. Тогда, если существуют r(0) G N, k G N такие, что выполнено условие
Ы < К(о)(ц)|, V ц С N \{1,...,k},
то базисная последовательность (/m) квазиэквивалентна части базиса ортов (en).
Это утверждение следует из результатов [6, 9], леммы и того факта, что конечный набор элементов одного базиса всегда квазиэквивалентен набору такого же количества элементов другого базиса.
Условие предложения 2 — запись условия теоремы Холла — Кенига существования системы различных представителей совокупности множеств vr(o) (m), m > k. Эти условия легко проверяются с применением леммы в следующей теореме.
Теорема 3. Пусть в пространстве Кёте 1p[ar(n)], 1 ^ p< то, p-абсолютная базисная последовательность (/m)^=i порождает дополняемое подпространство и удовлетворяет следующему условию: существует натуральный индекс r(0) ^ 1 такой, что при любом выборе конечных наборов ц = {mi,m2, ...,mj} и vr(o) (ц) = {ni, П2,..., }, k < j, описанных выше, конечномерные возмущения базиса (/m)^=i вида I — S, где S/m = Pvr(0)(^)/m + ahm, m = mi,m2,..., mfc, P^r(0)(^) — естественный проектор из E на
E(v.(o)Gu)) = span(erai)k=i, hm G E(^.(о)(ц)), S/m = /m, m = m„ i = 1,2,..., k,..., могут быть выбраны так, что оценки норм координатных функционалов возмущенных базисных последовательностей относительно каждой непрерывной нормы не зависят от выбора ц и vr(o)(^). Тогда (/m)„=i квазиэквивалентен части базиса ортов.
В [9] показано, что если бы удалось доказать условие предложения 2, то это дало бы положительное решение трех основных проблем структурной теории пространств Кете: проблемы единственности p-абсолютных базисов, проблемы изоморфной классификации (существования квазидиагональных изоморфизмов изоморфных пространств) и проблемы описания дополняемых подпространств, имеющих p-абсолютные базисы.
Для положительного решения упомянутых проблем необходимо привести к противоречию при сделанных выше (в лемме и предложении 2) предположениях следующее допущение
V (Mk € N)£°=1 (Mk ^то) 3 № С N \{1,...,Mfc },
| > |vk(^k)|, k = 1, 2,...
Конструкции со счетным числом простых возмущений (риссовские операторы), возможно пригодных для этой цели, будут рассмотрены в следующих публикациях.
Литература
1. Arsove M. G. The Paley-Wiener theorem in metric linear spaces // Pasific J. Math.—1960.—V. 10.— P. 365-379.
2. Arsove M. G., Edwards R. E. Generalized bases in topological linear spaces // Studia Math.—1960.— V. 19.—P. 95-113.
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.—М.: Мир, 1972.—740 с.
4. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.—М.: Наука, 1979.— 381 с.
5. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.—Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1983.—72 с.
6. Кондаков В. П. Об изоморфной классификации и свойствах базисов пространств Кете // В сб.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2004.—C. 218-240.
7. Rolewicz S. Metric Linear Spaces. (II ed.).—Warszawa etc.: PWN-Polish Scientific Publishers, 1984.— 459 p.
8. Холл М. Комбинаторика.—М.: Мир, 1970.—424 с.
9. Митягин Б. С. Эквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math.—1971.— T. XXXVII, № 2.—С. 111-137.
Статья поступила 15 февраля 2008 г.
Кондаков Владимир Петрович Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН; Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ E-mail: [email protected]
