CC BY
76
Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2003, Том 5, Выпуск 4
УДК 513.881
О ДВУХ КЛАССАХ ПРОСТРАНСТВ КЁТЕ - ФРЕШЕ, В КОТОРЫХ КАЖДОЕ ДОПОЛНЯЕМОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО
ИМЕЕТ БАЗИС
В. П. Кондаков, А. И. Ефимов
Рассматриваются два подмножества классов Драгилева (<&), ' 1.2. пространств Кёте — Фреше, содержащие, в частности, пространства Драгилева типов 1 и О соответственно. Каждое дополняемое подпространство любого пространства из этих подмножеств имеет безусловный базис и изоморфно подходящему координатному подпространству.
В работе [1] было показано, что в пространстве степенных рядов конечного типа (определение см., например, в [1, 2]) любое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному подпространству, т. е. подпространству, порождаемому некоторой частью основного базиса (ортов). Затем в [3, 4] этот результат был распространен на расширяющиеся подклассы класса (с^), введенного в [5] (с естественным распространением на случай пространств Кёте, не являющихся ядерными). В обзорах [6, 7] отмечалось, что к моменту их написания не было известно подклассов другого класса (с^), введенного в той же работе [5], с отмеченным свойством дополняемых подпространств. Некоторым исключением являлись так называемые «ручные» пространства в смысле [8] или блочно-разреженные пространства в смысле [9], в которых проекторы и автоморфизмы имеют сравнительно простой вид, обусловленный разреженностью определяющей матрицы Кёте (подробнее см. [9, 10]). Несколько позже было доказано существование базисов в дополняемых подпространствах ядерных пространств степенных рядов бесконечного типа ([11-13]) и совсем недавно — в пространствах класса Драгилева типа 1 [14].
В настоящей работе среди счетно-гильбертовых пространств Кёте класса (с^), имеющих упорядочиваемый базис (в смысле [15] или его можно назвать блочно-правильным в смысле правильности из [5]), выделен подкласс, содержащий целиком известный класс пространств Lf типа 1 ((/) 1 из [5] или [16]), в пространствах которого каждое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному подпространству (теорема 1 ниже). Проверка отмеченного факта (наличия базиса) проводится применением метода «тупикового» пространства и интерполяции операторов в весовых пространствах по аналогии с методикой [1] (см. также [14-17]).
Аналогично описывается и некоторый подкласс пространств класса ((¿г) с описанным выше свойством, и содержащий известные классы Lf и Ьд типа 0 из [3, 4] и [6] (теорема 2 ниже).
© 2003 Кондаков В. П., Ефимов А. И.
1. Обозначения и предварительные сведения
Пусть a = [аг(п)]г;„ек — бесконечная матрица действительных чисел с О ^ ar(n) ^ ar+i(n), supr ar(n) > 0 для всех г, п € N и 1 ^ р ^ оо.
Пространством Кёте называют пространство действительных или комплексных числовых последовательностей
1р[а] = {с = (Cn)ngn : Ы\\рг = е \in\papr(n) < +оо Vr £ N
^ п
наделенное набором полунорм (|| • ||r)reNi задающим топологию (при р = оо полунормы || • ||г по определению являются sup-полунормами).
Посредством линейной интерполяции для пространства Кёте 1р[а] могут быть определены функции
ar(t) = ar(n) + (t — n)(ar+i(n) — ar(n)), n ^ t ^ n + 1, n,r € N,
которые будем называть весовыми функциями.
Базис (хп) счетно-нормированного пространства Е называют правильным (в смысле [5]), если существует такая система норм, определяющая топологию в Е, что ||жи||г/||жи||г+1 4 0 при п f оо для любого г £ N. Соответствующую такому выбору системы норм матрицу а = [аг(п) = ||еп||г]г;пеи Для правильного базиса ортов (еп) пространства Кёте тоже называют правильной. Заменой правильной матрицы на эквивалентную, в случае необходимости, можно обеспечить строгую монотонность аг(п) по п и г, а вместе с тем и строгую монотонность функций ar(t) по t. Всюду ниже при рассмотрении пространств с правильным базисом будет предполагаться наличие в пространстве непрерывной нормы. Последовательность единичных ортов еп = (¿m)ieN) яв~
ляется безусловным базисом в 1р[а] с ||еи||г = аг(п) и в том случае, когда этот базис является правильным, можно предполагать без утраты общности для матрицы Кёте [а] выполнение условий:
1) ai(n) = 1, п € N, ar(n) f оо (n f оо), г € N \ {1};
2) для любого г € N, аГ+\{п) ^ О ПРИ и f оо.
Здесь условие (2) обеспечивается выбором системы норм из определения правильности базиса а условие (1), в случае необходимости, может быть обеспечено диагональным преобразованием еп ——п € N, т. е. переходом к изоморфному
аг(п) т(п)
пространству, определяемому матрицей Кёте
При таком выборе матрицы Кёте [а] соответствующие функции аг(1), I ^ 1, г £ N будут строго монотонными, а значит, и имеющими обратные а^1(и) (и £ {аг(£), £ ^ 1}, г б М).
Заметим, что в важных частных случаях пространств Кёте с правильными базисами ортов функции аг{£) и обратные к ним появляются естественным образом без использования интерполяции. Например, для пространств Кёте вида ¿2[я], где аг(п) = ехр/(АгЬп), Хг | А, А = — 1,0,1 или оо, а / — нечетная непрерывная функция, определенная на действительной оси, удовлетворяет условиям:
1) /(£) оо при I оо;
2, « = о для лЮ6„,„ 0 > 1 ,У™С 6„ „ост /,;
3) для любого в > 1 — /(£) 00 ПРИ ^ Т (Ьп > — произволь-
на, имеются естественные функции аг{£) = expf(Xrt) (г £ М, I > 0) и обратные им
«ГЧ«) = ¿/_1(
Пространство Кёте — Фреше Е с базисом ортов (еп) относят к классу (с^), г = 1,2, если выполняется соответственно условие (1) или (2):
(1) Зг(1) Vг Зв(г), С > 0
\e-n\r С|еи|г(1) |ега|«(г) (п = 1,2,...);
(2) Vг Зв(г) V«, ЗС > 0
Ыг|еп|4 < С|еи|ф) (п = 1,2,...).
Из условия {(12) с помощью индуктивного процесса можно выбрать константы С (г) > 0 так, чтобы выполнялось условие ((1г):
УгЗй(г) Ш |Ы|г||еп||4 < ||еи||^г) (п = 1,2,...),
где используется новая система норм (|| • ||г = С-1 (г)| • |г), эквивалентная исходной. Эти пространства являются обобщением пространств Кёте, определяемых (логарифмически выпуклыми) функциями Драгилева из [5] и пространств Ьд, упоминавшихся в [6].
Напомним известное условие интерполяции линейного оператора, действующего в семействах весовых пространств (см. [18]).
Пусть заданы параметрические семейства гильбертовых пространств
нх = ьып)) = |е = (е„): £ \ы24(п) = 1С1! < °° |, Ах < А < А2,
Оу = к(Ьу(п)) = |е = (е„): £\£,п\2ъ\,{п) = це|& < оо|, А'х < ач А^, нХг с ял с яЛз, дх^ с дх, с дХ'2,
и оператор Т, определенный на плотном множестве во всех пространствах Н\, допускает продолжение по непрерывности до ограниченного отображения Т : НХг —дх> и до ограниченного отображения Т : Н\2 —дх/. Если выполнено следующее условие
УА' : Х[ < А' < Аз ЗА(А') : Ах < А(А') < А2, С = С(А',А(А')) > 0
Ь\>(п) I Ьх> (п) Ьх> (п) 1
4 <Стах<—, ———- > Ут,пеМ, (1)
«Л(Л')М [«^М' аЛ2(т)
то оператор Т допускает продолжение до ограниченного отображения Т : НХ(Х*) дХ>-Заметим, что это условие интерполяции оператора очевидно для весовых пространств с абсолютными базисами, т. е. семейств вида ^х(ад(п)), а в [18] показано, что оно же является и условием интерполяции оператора в семействах пространств 1р(ах(п)) с 1 < р < оо.
Ниже для пространств Кёте с правильным базисом будут рассматриваться парные композиции весовых функций с их обратными вида ав(а^1(-)). Для краткости везде эти композиции будут называться парными композициями.
Определение 1. Будем говорить, что правильная матрица Кёте [аг(п)] определяется последовательностью весовых функций с упорядоченностью парных композиций с обратными функциями, если выполнено условие
Зг(1) V г 3 в(г), С (г) > О
агК^)) < С(г)а8{г)(а;1(т V* > 1.
Для краткости, такие матрицы Кёте будем называть матрицами Кёте со свойством (зх)-В частности, любое пространство класса (/)о определяется канонической матрицей (из определения) со свойствами (зх) и (с^)-
Определение 2. Будем говорить, что правильная матрица Кёте [аг(п)] определяется последовательностью весовых функций с обратной упорядоченностью парных композиций с обратными функциями, если выполнено условие
Уг Зз(г), С (г) > О V ,з>,з(г) : аДа^*)) < С(г)а<г)(а;1(1)) Ш.
Для краткости, будем называть такие матрицы Кёте матрицами Кёте со свойством (зг)-Если пространство Кёте из класса (/)х, то его топология может всегда быть задана матрицей Кёте со свойством (зг), например, аг(п) = ехр/((1 — 2^Г)ЬП). Заметим, что классы пространств Кёте, соответствующих матрицам со свойствами (вх) и (вг), могут пересекаться.
2. Результаты
Теорема 1. Пусть Е = Ь2 ^[аг(п)], > где М(п) ^ сю, п € М, — блочное
счетно-гильбертово пространство Кёте класса ((1х), определяемое правильной матрицей [■аг(п)] со свойством (52) (обратной упорядоченности парных композиций с обратными функциями) .
Тогда произвольное дополняемое подпространство Р в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида Е = ¿2 ^[аг(ш(п))], > где (т(п)) ~ последовательность натуральных чисел без повторений и Ь(п) ^ М(п), п £ N.
<1 Так как Е из класса ((1\), матрицу Кёте [а] предполагаем выбранной так, что V г 3 ,з{г), С (г) > О
а2г{п) ^С(г)а3(г)(п), ах(п) = 1 (п = 1,2, ...)■
При этом общность рассуждений не утрачивается, поскольку приводящее к этому преобразование, описанное выше, сохраняет условие ($2). Пусть Р — некоторый непрерывный линейный проектор из Е на который существует по определению дополняемости в Е. Этому проектору соответствует инволютивный оператор J = 2Р — 1, т. е. изоморфизм со свойством «72 = I (здесь I — тождественный оператор в Е). Если условие непрерывности Р записывается в виде
V г 3 в(г), С (г) > 0 : \Ре\г < С(г)|е|в(г), е б Е,
где можем считать
N Г = 1<(е)|2а?(п), г € N
п
(iе'п — координатные функционалы базиса ортов (еп)), то условие непрерывности J имеет вид
\Je\r < C(r)|e|s(r), eG£, г G N, С(г) = 3 С (г),
и ввиду инволютивности J
|е|г < C(r)| Je|s(r), eGi?, г € N. Введем новую систему норм (|| • ||г):
||е||г = |е|г + |Je|r, е € Е, г € N. Эта система норм эквивалентна исходной, так как при любом г £ N
Иг < ||е||г < 5(r)|e|s(r), е G £ (¿(г) = V1 + (С(г))2) ,
и
|| Je\\r = ||e||r (||Pe||r < ||e||r), г G N, е е Е.
Введем тупиковый вес aoo(n) = ап(п), и, как указано выше, неубывающую непрерывную функцию йоо (t), 1 ^ t < oo. Затем определим пару «тупиковых» норм
00 1 |Ир 00
Моо = X/ 2r D2(r) ^ = ^ а°о(п)>
г=1 и=1
где 7?(г) таково, что ||e||r ^ D(r)Нос со свойством ]Je[OQ ^]е[оо, е G Х$ = span(en)^L1. Обозначим пополнения по гильбертовым нормам 11 ■ 11 х и ] - [оо через Hq и Н^ соответственно. Очевидно, при этом Н^ тождественно вложено в Hq и, в случае необходимости, умножением нормы || • ||i на подходящее число можно добиться, чтобы норма ] • [о= const • || • ||i удовлетворяла неравенству ] • [о • [оо-
Пусть (hj) ортогональный базис одновременно в Hq и Н^ состоящий из части (hj)j^u, порождающей РНи части (/ij)j'eN\i/j порождающей (7 — Р)Н00.
Считая последовательность (hj) нормированной в (Hq,] • [о), определим числа tj из следующих равенств ]hj[00= a^tj), выбирая каждый раз tj равным максимальному значению из всех, удовлетворяющих равенству, что возможно, так как данный тупиковый вес является неубывающей функцией.
Для пары пространств Н^ С Hq образуем семейство промежуточных пространств Нг, путем пополнения линейной оболочки базиса ортов (en)'^Ll по «искусственным» нормам
оо
1М1г2 = 5^1 tij(e)\2a2r(tj), еех0, з=1
где h'j — коэффициентные функционалы общего ортогонального базиса (hj) (эти функционалы можно выразить в терминах скалярного произведения (-,-)о)-
Другое семейство гильбертовых пространств {Qr} получим путем пополнения относительно естественных норм
оо
1е1г = Y1 1еи(е)|2°г(п)
11=1
и тупиковой нормы
оо
\e\lo =
n=i
Для указанных семейств гильбертовых пространств, согласно построению, имеем тождественные вложения (/оо С -ffoo, Qs(о) С И1 с другой стороны, естественные вложения #0 С д0, #со С Посредством проверки условия интерполяции (1) операторов, осуществляющих указанные вложения, покажем, что последовательность норм (|| • эквивалентна последовательности норм (| • задающей исходную топологию в Е. Это и будет означать, что (hj) — 2-абсолютный базис (как базис ортов счетно-гильбертова пространства Кёте), а значит, (hj)j^u — 2-абсолютный (безусловный) базис в F.
С одной стороны, тождественные вложения Q^ в Н^ и (/s(o) в ^о можно рассматривать как линейный оператор Т^ на span(e„), который допускает распространение до ограниченного оператора в каждом из крайних пространств
Tid ■ Goo н0о, Tid: gm Н0.
Убедимся, что при любом г этот оператор допускает распространение до ограниченного оператора
Tid '■ Gs{r) Hr,
где s(r) ^ г. Это даст нам одну серию оценок норм
Vr 3s(r), С (г) > 0 ||е||* < С(г)|е|8(г),
Указанная интерполяция Т^ возможна при выполнении условия интерполяции (1), которое при данном выборе индексов имеет конкретный вид
as(r) (i) I aoo(i) as(o) (г)
где В > 0 — некоторая константа, которая может зависеть от г и s(r). В этих неравенствах рассмотрим два возможных случая: а) tj )ги тогда
т. е.
(tj) aoo(i) aoo(i)
ar{tj) . s<ico{*j) / ч
^ A(r)--г-, так как s(r) > r,
as(r)(i) aoo(i)
где константа A(r) выбирается так, чтобы неравенства выполнялись при tj < г. б) tj < ъ и в этом случае согласно условию (d\)
ar(tj) < ar(i) < C(r) < C(r) при s(0) < r,
аг(г) ^ as(0)(i)
т. e.
Таким образом, условие интерполяции для Т^ действительно выполняется и «искусственные» нормы || • ||* мажорируются естественными нормами пространства.
Чтобы доказать другую серию неравенств
Vr 3s(r), A(r) > О Mr < A(r)||e||*(r), e G Xq,
покажем выполнение условия интерполяции оператора тождественного вложения Т^1, который допускает распространение до ограниченного оператора Т^1 : Hq Qо, Т^ :
Ноо
Для каждого фиксированного значения индекса г естественной нормы в Е подберем свое значение q = q(r) так, чтобы выполнялись неравенства: г < s(r) < q(r), где s(r) определено из условия (зг)- При каждом выборе q условие интерполяции оператора Т^1, а точнее, непрерывности вложения Т^1 : —Qr, имеет конкретный вид
аАЛ <DmaJl, ^й) Vi,j G N.
1 ^оо(^г) ,
В одном из возможных случаев, а именно, аг(Л ^ ««(г) (¿¿К имеем
в^а*{г){М) > а.з(г)(и)
аоо(и) ^ аз{г)(аг1(аз{г)(и)))''
согласно свойству (зг), где константа В (г) обеспечивает неравенства при ^ < з(г), и тогда
аоо(и) а8(г)(аг 1(аг(^')))
Следовательно,
> аг (Л > Яг (Л
Ооо (ít) as(r) (j) aq(r)U)
В случае ar(j) ^ o-s(r)(U) очевидно, что
«г (j)
s(r)(^г)
< 1
и вложение Т^1 : iís(r) —£/г доказано, а вместе с тем полностью доказана эквивалентность системы «искусственных» норм (|| • ||*) системе норм (| • |г), задающей исходную топологию Е. Отсюда следует, что последовательность (hj) является 2-абсолютным базисом пространства Е и его подпоследовательность (hj)j^u — 2-абсолютным базисом в F. Согласно теореме о единственности безусловного базиса в указанных пространствах (см., [19; теорема 5] или [20; теорема 3]) базис (hj) квазиэквивалентен базису единичных ортов, а подпространство F, порождаемое подпоследовательностью (hj)j^u, изоморфно координатному подпространству, порождаемому подпоследовательностью ортов, квазиэквивалентной (hj)j£U. >
Следствие 1. Пусть Е = ¿2 ^[ar(n)], Где М(п) г^ оо, п G N, — блочное
счетно-гильбертово пространство Кёте, определяемое правильной матрицей [ar(n)] со свойством (.S2), и выполнены условия:
(1) ai(n) > 1, n G N;
(2) lim ^'"'¡'j = 0 для любого s(l) < s(2), s(l) > 1.
t—>00 mas(2)W
Тогда любое дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому своему координатному подпространству. В частности, это утверждение верно для всех счетно-гильбертовых пространств Lf типа 1, где / — функция быстрого роста, удовлетворяющая условию выпуклости.
<1 Достаточно заметить, что условия (1) и (2) очевидным образом обеспечивают принадлежность пространства Е классу (d\). t>
Теорема 2. Пусть Е = ^[аг(п)]5 > где М(п) г^ оо, n € N, — блочное
счетно-гильбертово пространство Кёте класса (d2), определяемое правильной матрицей [■ar(n)] со свойствами (d2) и (si) (упорядоченности парных композиций с обратными функциями) .
Тогда произвольное дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида l2 ar(m(n))], (л^^, где (ш(п)) — последовательность натуральных чисел без повторений и L(n) ^ M(n), п € N.
<1 Как и в доказательстве предыдущей теоремы повторим построение весовых координатных «тупиковых» пространств и параметрических семейств гильбертовых пространств {-На} и {£?а}- Оценивая «искусственные» нормы сверху каноническими, как и выше, приходим к проверке условия интерполяции (1), которое при данном выборе индексов имеет вид
as(r) W I OooW Os(0)(i)J
где В > 0 — некоторая константа, которая может зависеть от г и s(r). В этих неравенствах рассмотрим два возможных случая:
a) i, > а-ЦССКиМ). ВДС С(г) > 1 и ,s(r) из условия (Sl), и тогда
Щ < Мг)С<г) с Л(г)С<г)^,
аоо[tj) a00(ar (6(г)а8(г)(г)) «ooW
т. е.
nJ+i) ^ л ( \а°°(Ь) I \ ^
-— ^ Ацг)--г:-, так как s(rj > г.
as(r) (i) «оо (г)
(Здесь константа Л (г) подбирается так, чтобы неравенство было справедливо при tj < г). б) tj < a-l(C(r)as{r)(i)) и с использованием условия (Sl) получаем
ar{tj) _ ar(tj)ai(tj) C(r)as^(i)ai(tj) ^ai(tj) r( , ai(tj)
as(r)(») as(r)(*)ai(<j) as(r)(i)ai(ar ^Cfrja^,.)(г))) аг(г) as(o)W
т. е.
Таким образом, условие интерполяции для Т^ действительно выполняется и «искусственные» нормы || • ||* мажорируются естественными нормами пространства. Чтобы доказать другую серию неравенств
Vr 3tp(r), A(r) > О \e\r < A(r)||e||*(r), eel0,
покажем выполнение условия интерполяции оператора тождественного вложения Т^1, который допускает распространение до ограниченного оператора Т^1 : Но —(?о, Т^1 : Ноо Яч.
Для каждого фиксированного значения индекса г естественной нормы в Е подберем свое значение д = д(г) так, чтобы выполнялись неравенства: г < ,э(г) < д(г), где в (г) определено из условия ((¿г) - При каждом выборе д условие интерполяции оператора Т^1, а точнее, непрерывности вложения Т^1 : —Яг, имеет конкретный вид
^^шаЛь «,,■<= К).
а8(г)\Ч) I о-ооКН) )
В одном из возможных случаев, а именно, ] ^ имеем
лаз(г)(и) ^ аг(и) Б(г)--—г ^ --- — -
аоо(и)
ат{и)
согласно свойству где константа В (г) ^ 1 обеспечивает неравенства при ^ < з(г), и тогда
аоо{и) " аS(r)(j),
так как ^ ^ ^ Следовательно,
а» (it) as(r)(i) aq(r)U)
В случае j < ti очевидно, что
«г (Я х
и вложение Т^1 : —§г доказано, а вместе с тем полностью доказана эквивалент-
ность системы «искусственных» норм (|| • ||*) любой системе норм вида (| • |*), задающей исходную топологию Е. Отсюда следует, что последовательность является 2-абсолютным базисом пространства Е и подпоследовательность — 2-абсолютным
базисом в Как и в конце доказательства теоремы 1 требуемое утверждение следует из теоремы о единственности безусловного базиса в рассматриваемых пространствах (см. [20; теорема 7]). >
Следствие 2. Пусть Е = 12 ^[аг(п)], Где М(п) ^ сю, я е М, - блочное
счетно-гильбертово пространство Кёте, определяемое правильной матрицей [аг(п)] со свойством (вх), и выполнены условия:
(1) аг(п) < 1, Vг,п € М;
(2) & ШИ=0 при 5(1) < 8®> 5(1) ^
Тогда любое дополняемое подпространство Р в Е изоморфно некоторому своему ко-
ординатному подпространству. В частности, это утверждение верно для всех счетно-
гильбертовых пространств типа 0, где / — функция быстрого роста, удовлетворяю-
щая условию выпуклости.
<1 Достаточно заметить, что условия (1) и (2) очевидным образом обеспечивают при-
надлежность пространства Е классу (с^) и условие (<¿2)- >
Заметим, что для оставшихся не разобранными в данной работе пространств Lf типа оо выполняются условия (1) и (2) следствия 1 и свойство (вх), а для пространств Lf типа — 1 выполняются условия (1) и (2) следствия 2 и свойство (вг)-
Для изучения вопроса о существовании базисов в дополняемых подпространствах некоторых представителей класса пространств Кёте типа (/)оо в [11—13] использовался другой (более сложный) подход. Здесь можно отметить некоторое обобщение известных результатов о базисах в «обобщенно-ручных» дополняемых подпространствах пространств Кёте указанного класса (/)оо (ср. 8-10).
Пусть д(-) — неотрицательная, монотонно возрастающая на [0, сю) дифференцируемая функция со свойством
Уа > 1 | 0 при 11 оо.
9\<Щ
В пространстве Кёте Е = 12[д(гап)] проектор Р назовем обобщенно-ручным, если имеется представление пространства Кёте Е = 12[д((р(г)ап)] со строго возрастающей функцией </?(•), при которой условие непрерывности проектора Р имеет вид
\Je\r ^ Мг+1, г = 1,2,...,
где 7 = 2Р — 7, а | • |г — канонические нормы из определения пространства Кёте Е, и
<р(г)
вир —--— = Ь < +сю,
г <р(Г- 1)
Очевидно, в случае конкретного пространства Кёте с д({) = ехр^ (или д({) = expf(t)) обычные ручные проекторы из [8] удовлетворяют указанным условиям.
Теорема 3 (ср. [8, 9, 17]). В пространстве Кёте Е = 12[д(гап)] указанного вида из класса (<¿1) образ каждого обобщенно-ручного проектора имеет безусловный базис, квазиэквивалентный части базиса единичных ортов.
<1 Выбрав, согласно определению обобщенно-ручного проектора Р, представление пространства Е = 12[д((р(г)ап)], определим сразу четыре «тупиковые» нормы. Первая норма определяется достаточно произвольно
оо
N = 2 \е'г(е)\292Ыг(г))щ);
1=1
где (</?(г(г))) можно взять монотонно растущей, чтобы норма | • |оо была конечна на плотном множестве из /'/Л например, из условия конечности \Ре%\оо (я = 1,2,...). Здесь (е^) — базис ортов и (е^(-)) — последовательность координатных функционалов. Вводя вспомогательные гильбертовы нормы ||е||2 = |е|2 + \ Je\f ^ 2|е|г+1 (г = 1,2,...) и определяя точные константы 7)(г) > 0 Vг £ N |е|г ^ 7?(г)|е|оо, положим
| ,2 У^ Iе\к < П | |2 ^2к2В2^ ^ 6
00 Ы 2 00 1Ы12
I |2 ^ 1 < llellfc-l и и < 91 |2
" ^ кЮЦк) ^ ^ кЮЦк) ~ 11 ||о° ^ 1 1о°
для элементов плотного в Е множества.
Одновременно определяются две дифференцируемые монотонно возрастающие функции
к—2 к—2 Также как в доказательстве теоремы 1 возьмем общий ортогональный базис (Л«)^ в двух гильбертовых пространствах И\ С полученных пополнением Е по нормам || • ||оо и || • Цх соответственно, который составлен из двух частей (Л^)^, порождающих
плотные подмножества в РЕ и (7 — Р)Е. Этот базис предполагаем нормированным в т. е. ЦЛг|| 1 = 1. Тогда, поскольку Е не предполагается гильбертовым (в этом случае все ясно), имеем
йир\\Ы\\оо = 00
г
и определим последовательности чисел (с^), (Ь^) следующим образом:
\\Ы\\200 = Ф1(а) = Ф2(Ьг) (¿ = 1,2,...).
Тем самым определяются две системы «искусственных» норм, аналогичные одной системе «искусственных» норм из доказательства теоремы 1,
Х>;(в)| 2д2Ыг)Сг),
мг2=^|^(е)|уыфг) (г = 1,2,...).
1=1
Дословно повторив рассуждения доказательства теоремы 1, можно проверить условия интерполяции операторов тождественных вложений гильбертовых пространств, получаемых пополнением Е по построенным искусственным и естественным нормам
Иг2 = ^И(е)|УМг)аг) (г = 1,2,...).
В результате получаем, что система норм (|| • ||*)^х мажорируется естественными нормами, а система норм (] • [г)^=1 мажорирует систему естественных норм.
Остается проверить эквивалентность этих двух систем «искусственных» норм. С одной стороны, ввиду монотонности функции д(-) имеем ц ^ Ь^ при любом ъ. Чтобы показать оценки в другую сторону, воспользуемся равенством
92Ык)^) - д2(<р(к - 1)Ьг) = ¿^ к2В2(к)
справедливым при любом г, и применим формулу Лагранжа к разности двух значений функции д2 в каждом слагаемом. Тогда будем иметь
к2В2(к)
откуда
т
к 4
Т Ф - 1)
с,;.
Следовательно, все три системы «искусственных» и естественных норм эквивалентны и (hi) является безусловным базисом пространства Е, квазиэквивалентным базису единичных ортов, согласно [20]. Часть этого базиса порождает образ проектора РЕ и теорема доказана. >
В [8, 9] указаны классы пространств Кёте, в которых все непрерывные линейные проекторы являются обобщенно-ручными.
Приведенные результаты довольно просто распространить и на пространства Кёте вида h[a] х где
г
= {ж = (Xi) : Xi G N(i) < +oo, i G N, \x\2 = I Wife, г G nJ ,
i=1
a ¿2 [я] — пространство Кёте как в теоремах 1 и 2. Известно, что в указанных пространствах любое дополняемое подпространство представляется в виде декартова произведения F х G, где F — дополняемо в ^[а], a G — в В сомножителе всякое дополняемое подпространство также изоморфно какому-нибудь координатному подпространству.
Литература
1. Митягин Б. С. Квазиэквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math.—1971.— Т. 37.—С. 111-137.
2. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.—266 с.
3. Ahonen Н. On nuclear Kothe spaces defined by Dragilev functions // Series A. Mathematics Dissertationes. 38. Ann. Acad. Sc. Fennicae. Helsinki. 1981.
4. Кондаков В. П. О базисах в некоторых функциональных пространствах и их дополняемых подпространствах // Мат. вестник. Белград.—1988.—С. 267-270.
5. Драгилев М. М. О правильных базисах в ядерных пространствах // Мат. сб.—1965.—Т. 68.—№ 2.— С. 153-173.
6. Косatepe М., Nurlu Z. Some special Kothe spaces / Т. Terzioglu (ed). Advances in the Theory of Frechet Spaces.—Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ.—1989.—P. 269-296.
7. Krone J. On Pelczynski's problem / T. Terzioglu (ed). Advances in the Theory of Frechet Spaces, Dordrecht; Boston; London; Kluwer Acad. Publ—1989 —P. 297-304.
8. Dubinsky E. D., Vogt D. Complemented subspaces in tame power series spaces // Studia Math.— 1989.—V. 93, № 4.-P. 71-85.
9. Кондаков В. П. Об операторах и дополняемых подпространствах в пространствах Кёте, определяемых разреженными матрицами // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 35, № 5.—С. 1096-1112.
10. Драгилев М. М., Кондаков В. П. Об одном классе ядерных пространств // Мат. заметки.—1970.— Т. 8, вып. 2,- С. 169-179.
11. Kondakov V. P. Geometric conditions and the existence of bases in Frechet spaces // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону.—1998.—С. 145-147.
12. Кондаков В. П. О существовании базисов в дополняемых ядерных подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа.— М., 1998. Деп. в ВИНИТИ 11.12.98, № 3653-В98.
13. Кондаков В. П. Существование базисов в ядерных дополняемых подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа // Функц. анализ и его прил.—2000.—Т. 34, вып. 2.—С. 81-83.
14. Кондаков В. П. О дополняемых подпространствах некоторых пространств Кёте бесконечного типа // Сиб. мат. журн.—2003.—Т. 44, № 1.-С. 112-119.
15. Баран В. И., Кондаков В. П. Квазиэквивалентность абсолютных базисов в пространствах классов (di) и (d2) // Докл. АН СССР.—1977.—Т. 235, № 4.-С. 729-732.
16. Драгнлев М. М. Базисы в пространствах Кёте.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1983.—144 с.
17. Кондаков В. П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 6.— С. 1300-1313.
18. Peetre J. On interpolation functions 3 // Acta Sei. Math—1969—V. 30, № 3.-P. 235-239.
19. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1983.-72 с.
20. Кондаков В. П. О строении безусловных базисов некоторых пространств Кёте // Studia Math. 1983.—Т. 76, № 2.-С. 137-151.
Статья поступила 2 июня 2003 г.
Кондаков Владимир Петрович, д. ф.-м. н. г. Ростов, Ростовский государственный университет, E-mail: [email protected]
Ефимов Анатолий Иванович
г. Ростов, Ростовский государственный университет,
E-mail: [email protected]
