О существовании базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (d2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 1, С. 9-20

УДК 519.652

О СУЩЕСТВОВАНИИ БАЗИСА В ДОПОЛНЯЕМОМ ПОДПРОСТРАНСТВЕ ЯДЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА КЁТЕ ИЗ КЛАССА ((2)

А. К. Дронов

В работе дано доказательство существования базиса в произвольном дополняемом подпространстве

ядерного пространства Кёте из класса Показано также, что в любом таком подпространстве

существует базис, квазиэкивалентный части базиса ортов.

Ключевые слова: гипотеза Пелчинского, пространство Кёте, базис, дополняемое подпространство,

конус, интерполяция.

Введение

В 1970 г. А. Пелчинским была сформулирована гипотеза о существовании базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Фреше с базисом [15]. В силу теоремы Дынина — Митягина об абсолютном базисе [16] эта гипотеза эквивалентна утверждению о том, что дополняемое подпространство пространства Кёте тоже является пространством Кёте. До сих пор эта проблема остается открытой, хотя она была положительно решена для многих частных случаев. При этом применялся интерполяционный метод Митягина — Хенкина [13] и метод декомпозиции Фогта [17]. Также при различных дополнительных условиях на матрицу Кёте, либо на дополняемое подпространство, это задача решалась в [7] и [8] (см. также [10] и [9], где изучались близкие задачи).

В настоящей работе дано доказательство существования базиса в дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса ((12 )• Доказательство основано на использовании интерполяционных свойств троек нормированных конусов вида (Я П с+ (ао),с+(а1 П с+(а)), где Q — конус в пространстве всех числовых последовательностей.

В первой части работы сообщаются необходимые определения и результаты (подробно постановка задачи теории интерполяции линейных операторов, ограниченных на конусах, представлена в [5]). Во второй части — приведены основные сведения из теории базисов в пространствах Фреше и доказательство основного результата. Техника доказательства опирается на использование интерполяционных свойств операторов, ограниченных на конусах в банаховых пространствах числовых последовательностей, сходящихся к нулю с весом, а также на метод «тупикового» пространства Б. С. Митягина.

В статье будут использованы следующие обозначения: ш — линейное пространство всех числовых последовательностей, ^ — линейное пространство всех финитных числовых последовательностей, со — линейное пространство всех сходящихся к пулю числовых последовательностей, с+ — конусы неотрицательных последовательностей в ш,

© 2016 Дронов А. К.

ф, Со соответственно, ^(йг) — гильбертово пространство числовых последовательностей, наделенное нормой

Ilxlli2(a2) — ||x||r —

\

У^ |x(n)|2a2(n),

n= 1

Со (ar) — банахово пространство числовых последовательностей, сходящихся к нулю с весом (ar(n))£=i С a>+, наделенное нормой

l|x||c0(ar) — |x|г — sup |x(n)|ar(n). neN

1. Некоторые сведения из теории интерполяции линейных операторов, действующих в банаховых пространствах

В данном параграфе используется терминология теории интерполяции линейных операторов, подробное изложение которой можно найти в [1] и [12].

Подмножество ф линейного пространства Е называется конусом, если для любых х, у £ ф, А ^ 0 имеем: х + у £ ф, Ах £ ф. Конус ф в Е называется воспроизводящим, если его линейная оболочка 8рап{ф} совпадавт с Е. Конус ф в линейном топологиче-ЕЕ Конус ф в нормированном пространстве Е называется несплющенным, если существует константа с > 0 такая, что для любого х £ 8рап{ф} найдутся у, г £ ф такие, что х = у — г, || у У ^ с||х||, || г У ^ суху. Наименьшая из таких констант называется константой несплющенности конуса ф и обозначается через 7(ф).

Пусть ЕЕ — нормированные пространства и Т : Е ^ Е — линейный оператор, ограниченный на элементах несплющенного конуса ф С Е :

||Тх||^ < С||х||е, х £ д.

Тогда оператор Т ограничен на подпространстве зрап^}. Действительно, если х = у—г, где у, г £ ф, то

||Тх||^ < ||Ту||^ + ||Тг||^ < С11у|е + С||х||е < 2 ■ Ст^МЫ.

Рассмотрим пример несплющенного конуса, который понадобится нам в дальнейшем. Пусть В : Е ^ Е — положительный оператор, действующий в банаховом пространстве числовых последовательностей с монотонной нормой Е (т. е. ||х|| ^ ||у|| при |х| ^ |у|, см. [2]) и ||Е|| ^ Введем конус С^(В) = {ж £ Е+, ж ^ В ж}. В данном случае в силу биективности В конус ф(В) является воспроизводящим (т. е. 8рап{ф(В)} = Е). Действительно, поскольку для любого у £ ш справедливо разложение у = у+ — у_, где

у+ = тах(у(п), 0),

у_ = тах(—у(п), 0),

то

х = (/ — В)-1((/ — В)х)+ — (I — В)-1((/ — В)х)_.

Ясно, что (I — В)-1((/ — В)х)± £ ф(В). При этом, поскольку ||(/ — В)-1|| ^ 2, ||(1 — В)|| ^ 2, и, в силу монотонности нормы, ||((/ — В)х)±|| ^ ||(1 — В)х||, справедлива оценка

||(1 — В)-1((/ — В)х)±|| < 21(I — В)х|| < 4||х||, х £ Е.

Следовательно, конус Я (В) является несплющенным с константой несплющенности, не превосходящей 4.

Пусть А и В — отделимые вещественные линейные топологические пространства, Е = (Ео, Е\), Е = (Ео, Е1) — банаховы пары, Е^ С А, Е; С ¿¡ё и <5г — конусы в пространствах Е^ (г = 0,1). В этом случае будем говорить, что (3 = (<2о><31) — пара конусов в банаховой паре Е. Конус С} в пространстве А называется промежуточным для пары С}, если

Яо п с Я с Яо +

Пусть банаховы пространства Е и Е являются промежуточными пространствами банаховых пар Е и Е, причем банахова тройка (Ео, Е\, Е) интерполяционна относительно банаховой тройки (Ео, , Е). Пусть Т : Ео + Е1 —> Ео + Е1 — непрерывный линейный оператор. Если Т: —> Е^ и ||Тж||Е,; ^ XIЕ{ при ж £ Я», то будем говорить, что Т — ограниченный оператор из пары нормированных конусов (} = ((Зсь^ЗО в банахову пару Е = (Ео,Е1). Пусть конус (5 С Е и является промежуточным для пары Если существует постоянная с = с(Е, Е, Е, Е, (5) >0 такая, что Т|д : (3 —Е и

||Тж||^ ^ стах{Мо,М1}Уж^Е при ж £ Я, (1.1)

(Яо, Я1, Я)

ством по отношению к банаховой тройке (Ео,Е1,Е).

Пусть теперь задано семейство троек конусов

м = {(Яа )}«ел,

где А — некоторое множество индексов. Пусть семейство М удовлетворяет условиям:

1) для любого а £ А справедливы вложения Я" С Ео, Я" С Е1, Яа с Е, причем конус (3° — промежуточный конус для пары = ((^0,(^1)]

2) для любого а £ А тройка (Я", Я", Я") обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Ео, Е1, Е).

В этом случае будем говорить, что семейство М обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Ео,Е1, Е). При этом постоянная {с = с(Е, Е,(^аЕ, Е,(^а)} в неравенстве (1.1), вообще говоря, зависит от выбора тройки (Яа, из семейства М. Если для всех троек конусов из М может быть вы-

брана одинаковая интерполяционная постоянная с = с(Е,Е,Е, Е), то будем говорить, что семейство М обладает равномерным интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Ео, Е1, Е).

Для доказательства основного утверждения нам понадобится следующее хорошо известное (см. [1, 14]) условие интерполяционности тройки (со(ао ),со (01), со (а)) по отношению к банаховой тройке (со(ао),со(а1 ),со(а)):

= а1к(—), 6 = 61/1(7^1 \а1/ \ь1/

где Н : Ж+ ^ Ж+ — квазивогнутая функция.

В частности, для проверки интерполяционности достаточно установить справедливость неравенства

ь('т) ^ Стах [ 6р (т) ^ Ь\ (т) \ а(п) ^ \ ао(п) ' Ь\(п) ) '

а

Следующая теорема играет важную роль при доказательстве основного результата. Укажем предварительно, что подмножество А упорядоченного пространства Е называется нижней полурешеткой, если шш(ж, у) £ А для любых ж, у £ А.

Теорема 1.1. Пусть Е^ = со(а^), Е = со(6») (г = 0,1) Е = со(а), Е = со(6), причем Е1 С Е С Ео, Е1 С Е С Ео, и банахова тройка (Е0,Е1, Е) обладает интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (Ео, Е1, Е). Пусть А — множество конусов в а>+ такое, что для каждого Q £ А выполняются условия:

1) Q — нижняя полурешетка в ш;

2) Q П Е+ — тотальный конус в Со(а1);

3) Q П Е+ содержит последовательность, все члены которой положительны.

Тогда каждое из семейств троек конусов

& = {(Е+ & П Е+, Q П Е+) : Q £ А},

и

М = {(Q П Е+,Е+^ П Е+) : Q £ А}

обладает равномерным интерполяционным свойством по отношению к банаховой тройке (ео(6о),Со(61), Со(6)).

Доказательство данной теоремы, а также подробное изложение постановки задачи теории интерполяции на конусах можно найти в [5].

2. Основная теорема

Пространством Фреше называется полное метризуемое линейное локально выпуклое пространство. Важнейший класс пространств Фреше — счетно-гильбертовы ядерные пространства Кёте числовых последовательностей. Пусть Е = Пг> Нг, где Нг = ¿2 (аг (п)) — пространство Кёте, топология которого задана счетным набором гильбертовых норм (У ■ ||г}£=1:

\

^ |жп|2а2(п), г = 1,2,...

П=1

Матрицу (аг(п)) всегда можно считать монотонной по г : агц(п) ^ аг(п). Как из-

Е

Базисом в пространстве Е называют систему элементов (жп)те=1 из Е такую, что ж £ Е

те

Ж — ^ ^ Жп(ж')Жп,

П=1

где жП(ж) — числа.

""" ^п=1 жп(ж)жп

Если при этом ряд жП(ж)жп сходится абсолютно, т. е.

те

* Жп

п=1

|жП(ж)||Жп|г <

для всех г, то базис (жп)те=1 называют абсолютным.

ж

г

Аналогично, если ряд ^^=1 жП(ж)жп сходится к ж безусловно, т. е.

те

*

П=1

У! Ж^(п) (ж)жо"(га)

для любой перестановки (биективного отображения) а : N ^ N то базис (жп)^=1 называют безусловным.

Последовательность (жп)те пространства Фреше Е называется правильной в смысле Драгилева, если для некоторой определяющей системы предпорм (| в Е выполняются неравенства (полагают 0/0 = 0):

1—г^ ^ 1-п,р = 1,2,...

|жп |р+1 |жп+1|р+1

Матрица Кёте (аг (п)) называется правильной в смысле Драгилева, если

а (п)

N г) (3 в = «(г)) —т . . 1 0 при я —у оо, г = 1,2,... ав(г)(п)

Без ограничения общности можно считать, что в (г) = г + 1 (этого всегда можно добиться, переходя к эквивалентной системе норм). Пространство Фреше с правильным базисом изоморфно пространству Кёте с правильной матрицей.

Пространство Кёте Е с правильной матрицей относится к классу (^1), если

(Vг) (3в = в(г)) (с = с(г) > 0) (а^(п) ^ с(г)а1(п)а5(г)(п)).

Пространство Кёте Е с правильной матрицей относится к классу (^2), если (Vг) (3 в) (Vд) (3 с = с(г, д) > 0) (аг(п)ад(п) ^ с(г, д)а2(п)).

Классы (^1 ) и (^2) были введены М. М. Драгилевым [4] в связи с изучением локально выпуклых пространств аналитических функций. Типичными представителями пространств классов (¿1) и (^2) являются пространство целых функций и пространство функций аналитических в круге с топологией компактной сходимости соответственно.

Пусть Е С (¿2) — ядерное пространство Кёте и Е С Е — его дополняемое подпространство. Покажем, что в пространстве Е существует абсолютный базис и, следовательно, оно изоморфно пространству Кёте числовых последовательностей. Так как Е С (¿2), то

(Vг) (3в1 (г)) (Vд) (3с(г,д) > 0) (аг(п)а?(п) ^ с(г,д)а21 (г)(п)).

Е

(те £

п=1

аг (п)

^ < +оо

=1 а^2 (г) (п)

Пусть в(г) = тах{в1(г),в2(г)}. Тогда условия, приведенные выше, можно записать в виде

аг (п)а?(п) ^ с(г,д)а5(г) (п)

и

Еаг (п)

\\ < +«3-

п=1 аз(г) (п)

ж

и

Кроме того, без ограничения общности можно считать, что в(г) = г + 1. Итак, пусть (Vг) (3 с(г,д)) (аг(п)а?(п) ^ с(г,^)а2+1 (п)) (2.1)

г = 1>2>... (2.2)

аг+1 (п)

Отметим также, что функцию с(г, д) можно считать возрастающей по г к д, так как в противном случае можно перейти в оценке (2.1) к функции

с(г, д) = тах с(г', д').

Из условия ядерности следует, что системы ¿2-норм и соответствующие системы вир-норм являются эквивалентными [3]. Отметим, что это утверждение в нашем случае легко выводится непосредственно из условия (2.2), причем справедливы оценки

|ж|г ^ ||ж||г ^ N(г)|ж|г+1,

где

\

те

|ж„|2а2(п), |ж|г = вир аг (п)|ж(п)|.

п=1

С помощью диагонального преобразования можно добиться выполнения условия й1(п) = 1. В дальнейшем будем предполагать, что это преобразование выполнено.

Теорема 2.1. Пусть Е С (¿2) — ядерное пространств о Кете, Е С Е — дополняемое подпространство в Е. Тогда Е имеет абсолютный базис.

< Введем обозначения: Нг = 12(аг(п)), = с0(аг(п)). Тогда Е = ПНг = П причем С1 Э Э Сг+1, Н1 Э Нг Э Нг+1.

Пусть Р — непрерывный проектор в Е такой, что Е = Р(Е). Так как Е — прострап-

Е

что всякий безусловный базис в Е является абсолютным), то оператор |Р | : Е —> Е так-

| Р| Р

Если (рг^) — матрица Р в базисе (е^)?^, то (|ру|) — матрица |Р| в этом же базисе. За-

| Р|

(Vг) (3в(г)) (С1(г) > 0) |||Р|ж|г < С1(г)|ж|я(г). (2.3)

Заметим, что из (2.3) следует

||Рж|г < С1 (г)|ж|в(г). (2.4)

Функции С1(г) и в(г) в (2.3) и (2.4) можно считать монотонными по г. Кроме того, без ограничения общности можно принять, что в (г) = г + 1. Переход к эквивалентной системе норм вида

| ж | Г = а(г)|ж|г, ||ж||Г = а(г)||ж||г

не меняет условий на матрицу Кёте (так как это соответствует замене аг(п) ^ а(г)аг (п)). Выбирая последовательность а(г) ^ ^ из условия

С\(г) и а(г + 1) 2'

можно добиться выполнения неравенств

НИН^К+ъ г = 1,2,...

Будем считать, что это преобразование выполнено, т. е.

|РМ|г г = 1,2,..., (2.5)

и, соответственно,

1

|-Р|||с0(аг+1)—>12{аг) ^2' г — 1)2, . . .

Определим весовое «тупиковое» гильбертово пространство Нте н пространство Сте,о = Со(атео(п)) так, чтобы Сте>о С Нте С Нг для любого г и оператор |Р| непре-

рывно действовал из Сте,о в Нте. Пусть ате,о(п) = ^^=1 Тгаг(п), где последовательность {Тг} будет выбрана ниже.

Так как аг(п)а9(п) ^ с(г, д)а2+1 (п), то

тете

аг (п)Е Т?а9(п) < I Е 7?с(г,д) I а2+1(п).

9=1 \9=1 /

Выберем 79 так, чтобы

те

с(г, д) < г = 1,2,...

9=1

Пусть 7? = 29ф ^. Так как ^ 1 при д > г, то

те те 1 ( )

¿(г) = ЕъФ, ?) = Е 2? • ^Т < г = 2' • • •

9=1 9=1

Таким образом,

аг(п)ате,о(п) ^ с'(г)а2+1 (п) (Vп). (2.6)

Итак, пусть Сте,о = со (ате,о(п)).

Определим теперь гильбертово пространство Нте нормой

12 = || ж||2 = ^ "2 ||жп2

г=1

1|ж||Ято = ||ж||те = / ^ "г ||ж||г,

г=1

где }те=1 — некоторая числовая последовательность. Тогда Нте = ¿2(ате), где

те

ате(п) = Е а2 (п).

г=1

Выберем эту последовательность так, чтобы оператор Т = |Р| непрерывно действовал ИЗ Сте,о В Нте •

Так как Сте,о С Нг для любо го г, то

||ж||г < А (г)||ж||с, г = 1,2,...,

следовательно,

|||PN|r < D(r)|N|GTO,,, r = 1,2,...

Функцию D(r) будем считать возрастающей, принимающей значения, не меньшие 1 в противном случае можно перейти к функции D(Г) = max |1,D(r)}). Далее, полагая

2 rD"2(r)

bl = min {7^, 2r^2(r) }) получим

те /те

|||P^№|х||2 < ED2(rH |М|&те10 < . (2.7)

r=1 \r=1 )

Введем еще одно пространство Сте = со(ате), определяемое нормой

||x||gto = |х|те =sup ате(и)|ж(п)|.

Ясно, что ^те,о ^ Нте ^ ^те ^ Hr и |||P^ о* Заметим также, что

ате(п) ^ ате,о(п) для всex n в силу выбора Следовательно, учитывая (2.6),

От(п)а-те(п) ^ c'(r)a2+1(n). (2.8)

Покажем, что для любого г оператор Jr = непрерывно действует из G^o в Gоо-Действительно,

ar+1

a

r

^ ||ar+1 ж||сто =sup Ог+1 (п)ате(п)|ж(п)| neN

^ cC(r + 1)supa2+2(n)|x(n)| ^ Yr 2c'(r + 1) supa^o,o(n)|«(n)| = M(г)||ж||Сто ,о, neN neN

(2.9)

где М(г) = 7Г 2с'(г + 2).

Пополним линейное многообразие Ь = {Рж : ж £ Сте} по нормам || • ||г и || • ||те. Получим гильбертовы пространства Ег Ете

Е1 Э Ег Э Ег+1 Э Ете.

Пусть {/ }те=1 — «общий» ортогональный базис пространств Е1 и Ете. Для определенности будем считать его нормированным в Е^. Докажем, что {/¿}те=1 — абсолютный базис в Е = Р|Г>1 Ег. Пусть е = (ег), где ег £ {±1} и п £ N. Введем операторы

Рп,£ж = Е /к (Рж)/к, к=1

гДе /к (ж) = (Д,ж)я1- По известному критерию безусловной базисности [4] последовательность {/к }те=1 будет безусловным базисом в Е, если {Рп,е} — равностепенно непрерывное семейство операторов в Е (так как ряд /к (/)/к сходится к / при / £ Ете и Ете

плотно в Е). Так как {/— ортогональный базис ивЕ^в Ете, то

||Рп>еж||1 < ||Рж|1, ||Рп>еж|те < ||Рж|те. (2.10)

Так как ||Рж||г ^ ^'(г)|ж|те, вде ^'(г) — некоторая постоянная, то

||Рга,еж||г ^ £'(г)|ж|те При ж £ Сте.

Далее, вводя оператор |Р|, из (2.10) получим ||РП)£ж||1 ^ || |Р|ж| 1, если ж £ так как ||Рж|| 1 ^ || |Р|ж|1 при ж £

Фиксируем г £ N. Тогда из условия ядерности следует, что

аг (п) аг+1 (п)

£ 11.

Для любого у £ Е имеем

11 = НУН^

<

Со|Мк = Со £ \у(п)\ = Со £

аг+1(пН аг(п)

п=1

^ аг (п) аг+1 (п) ~

п=1

аг+1 (п)

аг (п)

аг+1 У = С(г) аг+1 У

а а |

Используя это неравенство, получим

\\Рп,еХ\\1 ^Сг{г) ^|Р|ж , Х€ср+. аг

Так как ||ж|1 ^ |ж|1, то

|Рп>еж|1 < С1(г)

аг+1

|Р|ж

Таким образом, существуют постоянные С1 (г) С2 (г) такие, что

|Рп>еж|1 < С1 (г)

аг+1

|Р|ж

, |Рп,£ж|г ^ С2 (г) |ж|те, ж £ .

| Р|

аг+1

\Р\х =||Р|ж|г+1 <-|Ж|г+2 = -

1 а

г+2

2 аг

Следовательно,

Введем операторы

аг+1 I г>1 аг

—— |Р|-х

аг аг+2

< 21Ж1Г'

— с/"т" | ^Р | с/"р с/"р — у <1у, —

аг

аг+2

(2.11)

Тогда из (2.11) следует, что |Агж|г ^ \\х\г, т. е. ^ Таким образом, для

любого ж £ справедливы неравенства

Пусть

Положим

|Рга>е7Гж11 < С1 (г)|Агж11, |Р„,е/;ж|г < С2(г)|4ж|те < С2(г)|ж|с

С = Р V С(^) = о ) лШ) = А )

а

г

1

а

г

1

а

г

г

г

г

а

г

Тогда

^ С1(г)|АГм)ж|1 при всех ж £ ж|г ^ С2(г)|ж|те при всех ж £ П Сте.

Так как | • |1 — монотонная норма, то при ж ^ )ж ^ 0 справедлива оценка )ж| 1 ^ |ж|ь Рассмотрим в пространстве ш конус

= {ж £ : ж < ж}.

Тогда

Югж|1 < С2(г)|ж| 1 при ж £ ^N п С+,

|5П^)гж|г ^ С2(г)|ж|те При ж £ С^о-

Покажем, что из этих неравенств следует ограниченность оператора ¿П^ па элементах конуса П С+. Действительно,

С3(г)|ж|г при ж £ П С+.

Чтобы убедиться в интериоляционности тропки (С1 , Сте,Сг) относительно троики (С1,Сг, Сг_1), достаточно проверить выполнение неравенства

аг_1 (т) Г аг (т)

^ Сг шах <1,

аг (п) ате (п)

Пусть п ^ т. Из условия правильности, учитывая, что а1 (п) = 1 для всех п, получаем

11

<

аг-1(п) аг-1(т)'

откуда

аг-1(т) < аг-1 (т) < аг(п) ^ аг_1(п) ^

т > п

аг (п)

ате (п)

Действительно, в силу условия правильности, с учетом (2.8), полагая Сг = с'(г — 1), будем иметь

аг-1(т) < аг-1 (п) < ^ аг(п)

аг (т) аг (п) ате(п)'

Следовательно, ТрОИК^ (^1, Сте, Сг) относительно

г, Сг_1 )•

Покажем теперь, что выполняются условия теоремы 1.2. Рассмотрим оператор I — А^ : Сг —» Ог. Поскольку ЦА^ то I — А^ биективно действует из

Сг в Сг. Условие ж ^ ) ж равносильно тому, что ж =

Н, где Н £ С+. Ядро

оператора I — : Сг ^ Сг состоит из пулевого элемента. Тогда ядро его сужения

I — аГ*) : Сте — Сте также состоит из нулевого вектора. Учитывая (2.9), (2.7), конечномерность оператора |Р|Цд(*) : Сте,о — Сте, а также эквивалентность всех норм в конечномерном пространстве, имеем

ЦаГ^Ч^ = ||ц|р|Цж||Сто <м(г)|||р|Цж||Стоо

<м(г)с(Ж)|||р|Цд(м)жУг <м(г)с(ж)Уд(м)жУг < м(г)С2(ж)||ж||Сто,

II II и и

где С (Ж) — некоторая зависящая от N константа. Оператор аГ*) : Сте — Сте является непрерывным конечномерным и, следовательно, компактным. Тогда к оператору I — АГ ) : С те —^ С те применима альтернатива Фредгольма, и потому его инъективность влечет биективность. В предыдущем параграфе было показано, что из биективности оператора I — АГ*) : С те — Сте следует воспроизводимость конуса д* П . Ясно, что из биективности оператора I — А*) : Сте — Сте также следует наличие строго положительного вектора в П Сте .

Наконец, конус д* П С^о является нижней полурешеткой в ш. Действительно, пусть ж, у С д* П Сте^ е• у ^ аГ*) у, у ^ А Г*)у. В силу положительности оператора аГ*) (именно, АГ* > 0 при ж > 0) имеем ж > аГ* ) ш1п(ж, у) ж > аТ*) ш1п(ж, у). Откуда следует, что ш1п(ж, у) ^ аТ*) ш1п(ж, у). Следовательно, для всех троек конусов из семейства {(д* П С+, Сте, д* П Сг)}* выполнены условия теоремы 1.1, и справедлива оценка

Югж|1 г—1 ^ Сз(г)|ж|г, ж С д* П С+.

Поскольку цаГ* )

^ 2 и н0Рма II ' ||сг монотонна, то конус д*, как было показано в начале предыдущего параграфа, несплющен с константой несплющенности, не превышающей 4. Поэтому

НЯЦТж|г-1 < 8 ■ Сз(г)||ж||г, ж С Сг.

Пусть С (г) = 8 ■ Сз(г). Переходя к пределу при N — то, получим

|5га,е,гж|г—1 ^ С(г)||ж||г, ж С СГ)

ИЛИ

||Рп,еЦГ ж|| Г—1 ^ С (г) |ж| г, ж С Сг.

Тогда

т/ 1 'г; 11 = о \ г) -

аг

г

|Рп,еж|г ^ С (г)||ж|| г+3 .

Таким образом, {Рга,е} — равностепенно непрерывное семейство операторов в£, а значит, {/}те=1 — безусловный, а поэтому и абсолютный (так как Р — ядерно) базис в Р. >

Утверждение о квазиэквивалентности [4] каждого базиса в дополняемом подпространстве части абсолютного базиса пространства Фреше называют гипотезой Бессаги. В работах В. П. Кондакова (см. [6, с. 52]) доказана справедливость гипотезы Бессаги для пространств Кёте из класса (^2 )• Доказанная теорема позволяет немедленно сформулировать следующий результат.

Теорема 2.2. В любом дополняемом подпространстве ядерного пространства Кёте из класса (^2) существует базис, квазиэквивалентный базису ортов.

Рга>еж|| г—1 < С (г)|цГ—1 ж||г = С (г)

аг+2 -ж

= С (г) ||ж|| г+2,

Литература

1. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства.—М.: Мир, 1980.—264 с.

2. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Гос. изд-во физ.-мат. литры, 1961.-407 с.

3. Гохберг И. Ц., Крейп М. Г. Введение в теорию линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. —М.: Наука, 1965.-448 с.

4. Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кёте.—Ростов-н/Д.: Изд-во РГУ, 1983.—144 с.

5. Каплицкий В. М., Дронов А. К. К теории интерполяции операторов, ограниченных на конусах в весовых пространствах числовых последовательностей // Записки научных семинаров ПОМИ.— 2014.—Т. 424.—С. 154-178.

6. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.—Ростов-н/Д: Изд-во РГУ, 1983.-72 с.

7. Кондаков В. П. Об операторах и дополняемых подпространствах в пространствах Кёте, определяемых разряжёнными матрицами // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 5.—С. 1096-1112.

8. Кондаков В. П. Геометрические свойства пространств Фреше и выделение базисных последовательностей // Мат. заметки.—1999.—Т. 66, № 1.—С. 102-111.

9. Кондаков В. П. Замечание о существовании базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 43, № 6.—С. 1300-1313.

10. Кондаков В. П., Ефимов А. И. О классах пространств Кёте, в которых каждое дополняемое подпространство имеет базис // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, вып. 2.—С. 21-29.

11. Крейн М. Г. О минимальном разложении функционала на положительные составляющие // Докл. АН СССР. 1910. Т. 28, № I С. 18-22.

12. Крейп С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.

13. Митягин Б. С., Хеикии Г. М. Линейные задачи комплексного анализа // Успехи мат. наук.— 1970.-Т. 26, вып. 4.-С. 93-153.

14. Peetre J. On interpolation functions III // Acta Sei. Math.-1969.-Vol. 30, № 3, 4.-P. 235-239.

15. Pelczvnski A. Problem 37 // Stud. Math.-1970.-Vol. 38.-P. 18-22.

16. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1970.

17. Vogt D. Ein Isomorphiesatz für Potenzreihenräume // Arch. Match.—1982.—Vol. 38.—P. 540-548.

Статья поступила 23 октября 2014 г. Дронов Алексей Константинович

Ростовский государственный экономический университет (РИНХ), ассистент кафедры прикладной и фундаментальной мат-ки РОССИЯ, 344002, Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, д. 69 E-mail: f 1 oberrr®mai 1. ru

ON THE EXISTENCE OF A BASIS IN A COMPLEMENTED SUBSPACE OF A NUCLEAR KOTHE SPACE OF TYPE d2

Dronov A. K.

The existence of a basis in a complemented subspace of a nuclear Kothe space of the class d2 is proved. It is also shown that in each such subspace there is a basis quasiequivalent to the part of the basis of orts.

Key words: Pelczynski hypothesis, K5the space, basis, complemented subspace, cone, interpolation.