CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 2, С. 39-44
УДК 513.881
О БАЗИСАХ В ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ п-ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ЯДЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ КЕТЕ
В. П. Кондаков
В работе строится базис в пространстве непрерывных п-однородных полиномов, отображающих
ядерное пространство Кете — Фреше в себя. Пространства полиномов рассматриваются с топологиями равномерной сходимости на ограниченных множествах пространств Кете. Обсуждаются и
близкие вопросы.
Ключевые слова: голоморфное отображение, п-однородный полином, базис.
Цель настоящей статьи — построение базисов в пространствах непрерывных п-од-нородных полиномов и голоморфных функций, отображающих ядерные пространства Кете — Фреше в себя, с топологиями равномерной сходимости на всех ограниченных (предкомпактных) множествах.
Частный случай при п = 1 (базис в пространстве непрерывных линейных операторов) изложен, например, в [1]. Базис, аналогичный классическому степенному базису, в пространстве голоморфных С-значных функций на пространствах из некоторого класса ядерных пространств рассмотрен в [2] (см. также [3]).
1. Предварительные сведения
Напомним необходимые общие определения и факты, которые более подробно изложены в [3, 4].
Пусть Е, ^ — линейные пространства над полем комплексных чисел. Пространство п-линейных отображений из Е в ^ будем обозначать £(пЕ, ^), п £ N. Если Ь £ £ (пЕ, ^), то Ь определено на Еп (декартовом произведении п-экземпляров пространства Е) со значениями в ^ и оно линейно по каждому переменному при фиксированных остальных.
Определение 1. п-линейное отображение Ь из Е в ^ называют симметричным, если Ь(ж1 ,...,жп) = ,...,Жо-(!)) для любого набора элементов Ж1 ,...,жп £ Е и
любой перестановки а первых п натуральных чисел.
Пусть А обозначает диагональное отображение из Е в Еп, которое действует по правилу
А(ж) = (ж,...,ж) £ Еп (Vж £ Е).
Определение 2. Композицию диагонального отображения А : Е ^ Еп и п-линей-ного отображения Ьп, определенного на Е, со значениями в ^ называют п-однородным
© 2012 Кондаков В. П.
полиномом, отображающим локально выпуклое пространство E в локально выпуклое пространство F. Пространство всех n-однородных полиномов из E в F обозначают P (nE,F).
Таким образом, если P е P (n E, F), то P = Ln о А, где Ln — n-линейное отображение. Описанное представление P не является единственным. Оно становится единственным, если потребовать симметричность n-линейной формы Ln (подробнее см., например, [3]). В последнем случае Ln называют полярной формой, определяемой n-од-нородным полиномом P. Значения полярной формы Ln определяются значениями P по поляризационной формуле
Ln(xi,...,xn) = £i •••e«W )•
£¿=±1 \fc=1 /
Пусть E — локально выпуклое, a F — счетнонормированное пространства. Везде ниже в пространстве непрерывных отображений f из E в F рассматривается топология равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из E. Эта топология задается системой непрерывных полунорм, каждая из которых определяется ограниченным множеством A С E и индексом r е N счетного набора полунорм (|| ■ ||)r6N (задающего топологию F) следующим образом:
|f ||A,r =SUp ||f (Ж)||г. жбА
Каждой такой полунорме соответствует полунорма в пространстве n-линейных отображений, действующих из En в F, вида
||L||An= sup = |L(x1 , ...,xn)||r, где An = A x A x ... x A С En.
Приведем определение пространств Кете — Фреше, на которых будут рассматриваться ниже n-однородные полиномы и голоморфные функции.
Пусть [ar (n)]r,n6N — матрица неотрицательных чисел со свойством монотонности по строкам, определяемым индексом r е N,
0 ^ ar(n) ^ ar+1(n) ^ ... (Vr,n е N)
— матрица Кете.
Пространством Кёте — Фреше называют пространство последовательностей комплексных чисел
Uar(n)] = |^ = (^)~i:(f;№>))P= №\r <+оо Vrj (1<р<оо)
с топологией, задаваемой системой полунорм (|| ■ ||r)^=1. Каждый элемент пространства Кете — Фреше имеет единственное представление по базису ортов (en):
те
6nen
n=1 n=1
£ = Y1 en(£)en = Y1 ^nen (|en^r = ar (n))
в виде сходящегося ряда, где еП(-) — координатные функционалы, составляющие базис сильного сопряженного Ев к Е = 1р[аг (п)].
Известное условие ядерности пространства Кете — Фреше состоит в том, что
те и и те / ч
n=1 lF«IU(r) n=1 as(r)(n)
Сильное сопряженное E'ß к ядерному пространству Кете — Фреше также ядерно (см., например, [5]), и ниже будет использовано соответствующее условие его ядерности в терминах полунорм базиса (еП('))те=1. Нам потребуется также определение голоморфного отображения (см., например, [6]).
Пусть P(nE, F) при любом n наделены топологией равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из E.
Определение 3. Отображение f : E ^ F называется голоморфным, если существует последовательность Pn £ P(nE, F) такая, что ряды Pn (x) сходятся к f (x) для каждого x £ X.
Будем рассматривать пространство голоморфных отображений из E в F, которые еще и ограничены на каждом ограниченном подмножестве из E. Это пространство обозначим Hb(E, F) и будем говорить, что элементы этого пространства есть голоморфные отображения ограниченного типа.
2. Основные результаты
Теорема 1. Пусть E = 12 (n)] — ядерное пространство Кёте — Фреше. Пространство непрерывных n-однородных полиномов P(nE, E) с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в E является ядерным пространством с абсолютным базисом
{Тг3 (■) = 4 (■) ei2 (■) ...ein (■) ej, j £ N, ik £ N, k = 1,2,...,n}.
< Любой оператор — n-однородный полином P £ P(nE, E) допускает формальное разложение по системе {Tj}
Pe = Ln(e, e,..., e) = Ln ^ ei(e) ei,..., ^ ei(e) e.
¿1 ,...,¿„ = 1 те те
= ХМ(Ы^ ,е»2, • • •,е«п^4(е)■ ••• ■ 4(е)^, ¿1 ,...,¿„=1 ^=1
где — симметрическая п-линейная форма, соответствующая п-однородному полиному Р.
Многомерную бесконечную матрицу Ц
, е^2, • • • , егп ))) можно рассматривать как обобщение матрицы конечномерного оператора.
Пусть теперь А — ограниченное множество в Е, а г — натуральный индекс окрестности нуля У- счетнонормированного пространства (Е, (Ук)те=1). Если А пробегает совокупность всех ограниченных множеств в Е и, независимо, г — натуральный ряд, то система полунорм
(||РЩ,г =8ПР ||Ре||, I ебА
задает топологию равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е в Р (ПЕ,Е).
Из поляризационной формулы следует простая известная оценка
пп
||-^гг|Цп,г ^ —Г Н-РЩ.г п!
для любого непрерывного п-однородного полинома Р и определяемой им полярной формы Ьп (подробнее см., например, [3, теорема 1.7]).
С использованием формулы Стирлинга из последней оценки непосредственно выводится необходимая нам оценка следующей леммы.
Лемма. Пусть Р = Ьп о А — непрерывный п-однородный полином, отображающий локально выпуклое пространство Е в счетнонормированное пространство Р с системой полунорм (|| ■ ||г)гем- Тогда для любого ограниченного множества А С Е и натурального г с некоторой константой с (не зависящей от Р, п, А, г) справедлива оценка
||£п|Цп,г ^ сеп||Р||а,г.
В пространстве Кете — Фреше базис замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных множеств (насыщенное семейство) можно выбирать состоящим из р-эллипсоидов, оси которых имеют направления элементов базиса ортов (см., например, [1]). В этом случае полунормы элементов е'п в Е^ вычисляются аналогично вычислению норм координатных функционалов базиса ортов в банаховых пространствах 1Р (1 ^ р ^ то), которые также причисляются к пространствам Кете (случай аг (п) = 1). А именно, если С — ограниченное множество (р-эллипсоид), то
Це'к||с° =йир 1е'к(е)| = ЦекЦ-1, где Цек||с = И{А > 0: ек £ АС}.
еб С
Тогда, обозначив символом А — базис ограниченных множеств, состоящий из р-эллип-соидов, будем иметь условие ядерности сильного сопряженного Е^
B° Hefc HA
Заметим, что в [1] показана возможность выбора системы ограниченных p-эллипсоидов, при котором ||efeHa = ||efe||r(fe) при некоторой (зависящей от A) последовательности r(k) ^ то. Тогда последнее условие ядерности E'ß выводится непосредственно из условия ядерности пространства Кете — Фреше E.
Рассмотрим на P (nE,E) новую систему полунорм
jll|P|IUr = Е Iе; (Ln(e4 ))||К (■) ...ein (■) ej ||Дг , A G A, r G n!,
fe^n
задающую топологию, которая в силу неравенства треугольника не слабее исходной (в (P (nE, E), {|.|A,r})).
Покажем, что новая система полунорм эквивалентна исходной.
С использованием условий ядерности, непрерывности P (а значит и Ln) и леммы
имеем
I р Щ,Г < |||Р |Щ,г < Е \\е'э\\'8{г)^ьп(ег1 ,ег2 ,...,егп )\\ \\Т; Щ,,
3,гк=1, к^п
те
3,гк=1, \\ е\\5(г) к=1 к=1
к<п
те
^\\Ьп\\вМг) £ П Гн ^ °\\р\\вмг)- >
Лк = 1, \и(г) к=1 ^ \\А
к^п
Теорема 2. В пространстве непрерывных голоморфных отображений Т : Е ^ Е, где Е — ядерное пространство Кёте — Фреше, наделенном топологией равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е, система одномерных операторов
{т,-(■) = П 4(•)е;, з е N. ¿к е N. к < п, п = 1,2,... | к=1
образует абсолютный равностепенно непрерывный базис.
Доказательство может быть проведено с использованием утверждения теоремы 1 и исследованного многими авторами характера разложения голоморфной функции в ряд по п-однородным полиномам (аналог разложения в ряд Тэйлора), но есть и другой путь установить абсолютность и равностепенную непрерывность системы (Т;), который представляется более прямым и дословно повторяет оценки работы [2]. Для этого необходимо перегруппировать формальное разложение функции / и получить аналог степенного ряда
/(Х)= Е
где ат е Е, хт = (е^ (ж))™1 ■... ■ е[к (х))тк, ^ — множество наборов натуральных чисел т = (т1;... тк,...), т; =0 для всех 3 > 3(т).
Решающим моментом является то, что в качестве ограниченных множеств А и В можно брать упомянутые выше соосные эллипсоиды, ряд из отношений полуосей которых сходится (точнее, для эллипсоида А найдется ограниченный эллипсоид В с большими полуосями). Отличие от рассмотренного в [2] случая ат, модули которых оцениваются с использованием формулы Коши, в конце концов разлагаются по базису (е;) и это завершает доказательство.
Следствие. В пространстве голоморфных отображений, описанном в теореме 2, подпространство непрерывных п-однородных полиномов является дополняемым при любом п.
Анализ приведенных и упомянутых оценок из работ [2, 3, 6-10], вероятно, позволит обобщить и частично распространить полученные в теоремах 1-2 утверждения на случай пространств голоморфных отображений из Е в Е, где Е и Е — пространства из более широких классов, например, класса совершенно ядерных пространств с базисом Шаудера (см. определение в [2, 3]).
Заметим, что необходимость условия ядерности пространств для абсолютности рассматриваемых базисов следует из результата работы [11].
Литература
1. Кондаков В. П. Три основных принципа линейного функционального анализа, их обобщения и приложения.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2007.—208 с.
2. Boland P. J., Dineen S. Holomorphic functions on fully nuclear spaces // Bull. Soc. Math. France.— 1978.—Vol. 106.—P. 311-336.
3. Dineen S. Complex analysis in locally convex spaces // Math. Stud.—North-Holland, 1981.—Vol. 57.
4. Hille E., Phillips R. S. Functional Analysis and Semi-Groups // Amer. Math. Soc. Colloq. Pub.— Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1957.—Vol. 31.—P. 796.
5. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.—266 с.
6. Ryan R. A. Holomorphic mappings on h // Trans. Amer. Math. Soc.—1987.—Vol. 302.—P. 797-811.
7. Dineen S. Analytic functionals on fully nuclear spaces // Stud. Math.—1982.—Vol. 73.—P. 11-32.
8. Хренников А. Ю., Петерсон X. Теорема Пэли — Винера для обобщенных целых функций на бесконечномерных пространствах // Изв. РАН. Сер. мат.—2001.—Т. 65, вып. 2.—С. 201-224.
9. Кондаков В. П. О представлении в виде пространств Кете пространств голоморфных функций // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 4.—С. 22-29.
10. Кондаков В. П. О дифференцируемости отображений и строении пространств голоморфных функций на пространствах числовых последовательностей // Владикавк. мат. журн.—2007.—Т. 9, вып. 2.—С. 9-21.
11. Dineen S., Timoney R. M. Absolute bases, tensor products and a theorem of Bohr // Stud. Math.— 1989.—Vol. 94.—P. 227-234.
Статья поступила 5 июля 2011 г.
Кондаков Владимир Петрович Южный федеральный университет, заведующий каф. теории функций и функционального анализа
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, заведующий лабораторией вещественного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
ON BASES IN SPACES OF CONTINUOUS n-HOMOGENEOUS POLYNOMIALS IN NUCLEAR KOTHE SPACES
Kondakov V. P.
A basis in the space of continuous n-homogeneous polynomials mappings a nuclear Kothe — Frechet space into itself is constructed. The space of polynomials is considered with the compact open topology. Some related problems are also discussed.
Key words: holomorphie mapping, n-homogeneous polynomial, basis.
