Об одном частном случае гипотезы Бессаги Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.254, 517.982.276

ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ГИПОТЕЗЫ БЕССАГИ

© 2007 г. М.А. Шубарин

In this paper we study isomorphic inclusions of power spaces of finite and infinite type to a general Kothe power space. In particular we prove weakened Bessage hypothesis.

1. Бесконечную матрицу А = (ал„)®„=1 называют

[1] матрицей Кёте, если \/рЗцЗС\/пО<а <а

Пространством Кёте (определяемым данной матрицей Кёте) называют векторное пространство

\\4„ := X\xn\ap,n

K (A) = x = ( Xn i:Vp

чисел, то матрицы А = (арп)^п=1 и В = (адр^„=1

эквивалентны.

Пространство Кёте называют степенным пространством Кёте [3, 4] (СПК) и обозначают через ФА(я) , если ар п = ехр[кр(п)ап] , где ап Т +оо при

иТ-к» и УрЗдЗС >0:Уп С"1 < к (п)-к (п) < С .

Набор норм (|| • ||р задаёт в этом пространстве то- в частн0сти, если к (п) = 8„ , где дЛ 8

при

пологию пространства Фреше (т.е. полного метризуе-мого локально выпуклого пространства). Последовательность ортов е = (еп), еп\= (Зк п)^11 образует абсолютный базис в каждом пространстве Кёте (называемый базисом ортов).

Известно [2, лемма 4], что две матрицы Кёте

А = (ар,п)р,п=1, в = (Ьр,пУГр,п=1 определяют одно и то

же пространство Кёте тогда и только тогда, когда они эквивалентны, т.е. если выполняется следующее условие: УрЗдЗС > 0 :\/п ар п < СЬд п, Ър п < Сад п .

Например, если даны положительная (Ср) и возрастающая (др) последовательности натуральных

р Т +со и — со<с><+оо , то пространство /•.'„•(«) := Ф/,(й) называют СПК конечного (если 5 конечно) или бесконечного (если 5 = + оо) типа. Известно, что получаемые пространства не зависят от конкретного вида последовательности (др) . Обзор

свойств СПК конечного и бесконечных типов излагается в [1, 2, 5 - 7].

2. Если пространство Фреше У изоморфно подпространству (соответственно, дополняемому подпространству) пространства Фреше X , то будем пи-

доп

сать ГсХ (соответственно ГсГ).

Если и а N, то замыкание в топологии пространства X = К(А) линейной оболочки, натянутой на подпоследовательность (еп)пе1), называют базисным подпространством и обозначают через X,, = К(А:).

Говорят, что К(В) квазидиагонально (относительно базисов ортов) вкладывается в К(А) (и пишут

кд

К(В)<^К(А)), если существуют инъекция сг: N N и числовая последовательность (/и) такие, что отображение Теп = 1„егт(п) продолжается до изоморфизма

пространств К(В) и К(Аи) (где о := ). В

частности, если <т(п) = п для произвольного п (соответственно, если <7 биективно), базисы ортов в К(В) и К(А) называют диагонально (соответственно ква-

д

зидиагонально) изоморфными и пишут Х=У (соот-

кд

ветственно X = 7).

3. Сформулируем условия, при которых произвольное степенное пространство Кете изоморфно СПК конечного или бесконечного типа [3, 4].

Теорема 1. Для произвольного СПК условия 1-3 и 4-7 попарно эквивалентны:

кд

1. Фк(а) = Е0(а); 2. Фк(а) = Е0(а);

3. \/е>03р:\/д 1ип(/гЛп)-И„(п))<е ;

и—>00 4 ^

кд

4. Фк(а) = Ех(а); 5. Фн(а) =Е„(а);

6. Зе > ОУрЗд : 1ш1 (/г?(и)-к„(п)) > е ;

п—

7. \/£>0\/рЗд: Нт(к (п)-к (п))>е .

Следствие 1. Пусть Х = Фк(а) - СПК такое, что любое бесконечномерное базисное подпространство в X, построенное по базису ортов, не является СПК конечного типа. Тогда это пространство диагонально изоморфно СПК бесконечного типа.

Утверждение, аналогичное следствию 1, в котором речь идет о базисных подпространствах СПК бесконечного типа, вообще говоря, неверно.

Определение 1. СПК X будем называть СПК почти конечного типа, если выполняются следующие условия: среди бесконечномерных базисных подпространств в пространстве Х нет ни одного изоморфного СПК бесконечного типа; пространство Х не изоморфно СПК конечного типа.

В работах М.М. Драгилева [8, 9] (см. также [1, п. 6.4]) дается более общее определение пространства почти конечного типа, которое на множестве всех СПК эквивалентно определению 1. В [1, 8, 9] были построены примеры СПК почти конечного типа.

4. Из теоремы 1, в частности, следует, что в любом базисном подпространстве СПК имеется базисное подпространство, изоморфное СПК конечного или бесконечного типа. Более того, СПК можно рассматривать как «размазанную» прямую сумму СПК конечного и бесконечного типов. Покажем, что это свойство является характеристическим для СПК.

Класс пространств (£) ■), / = 1,2, состоит из всех

пространств Фреше таких, что выполняются соответственно условия:

м 2

3paVp3Pl ЗС > 0: VxeX

< Cllxll llxll . и иРо и \\Р1

7=1;

Ур0Э/>Ур1ЭС> 0: Vx'e Х\\х\р)2 < С||х'|| J|x||^ , j = 2 .

Здесь

) - набор сопряжённых норм в X :

Г := ix\x)[.x^xM<l .

1И1/>'

Классы пространств (В}-) были введены в работах

В.П. Захарюты [10], Д. Фогта [11], М.-Й. Вагнера [12]. Следует отметить, что в [11, 12] классы (Бг) и (В2)

обозначались соответственно через СОЛО и (О).

Известно [3, 4], что СПК Х тогда и только тогда изоморфно СПК конечного или бесконечного типа, когда соответственно X <= (/Л) или X е (Л),).

Положим а СХ) = ту = (пк ) е Л-': X,, е (/)/) '

У = 1,2 для произвольного пространства Кёте ЩА).

Искомое характеристическое свойство СПК содержится в утверждении

Теорема 2. Для любого пространства Кёте X = К(А) следующие условия равносильны: (I) данное пространство есть СПК; (II) существует числовая последовательность а = (ап) , ап Т +х при иТ-к» такая, что (1) для любой последовательности индексов и = (т ■) € с/, (К(А)) найдётся подпоследовательность

и'ес12(К(А)); (и) если (¡к(Х) непустое и

д

то Хи^Е<р(к)(аи) , где аи:=(ап)П(Еи , $?(1):=°о ,

(р{2) := 0 при к = 1,2.

Другими словами, пространство Кёте тогда и только тогда является СПК, когда каждое базисное подпространство в нём, имеющее тип (В^) , изоморфно СПК конечного или бесконечного типа (в зависимости от значения / = 1,2).

Доказательство. Импликация (1)=> (II) следует из теоремы 1 и следствия 1.

Предположим, что для данного пространства Кёте выполняется условие (II) теоремы 2. Из условия (и) следует, что для каждой последовательности индексов и = (т^ е (¡¡(К(А)) , / = 1,2 найдётся числовая

последовательность ) такая, что

Vs3r = r(s) ЗС = C(s) :Vy \tj\e mj < Car(slm. , если /=1 (1)

r(s)am .

« <C|/,|e

\/s3r =r(s)3C = C(s):\/j \t.\e

< Ca

<C|i,\e

Ф)

, если l=2.

r(s),mj , (2)

"J ' 1

Покажем, что

\/P3q3S = 8{p) > 0 :Vw (pq (n) - <pp (n) >5, (3)

x

n

-I

m

и

где <р (п):=—\па Если это условие не выполня-

а„

ется, то найдётся число р0 такое, что для каждого р множество ор= т|: <рр(п) -<рРо (и) < р1 бесконечно. По построению и +1 а ор для всех р. Применяя диагональный метод, построим последовательность о = (пк) такую, что <рр(пк)-(рро (пк) < р~1 для любого р и всех достаточно больших к. Отсюда следует,

что

(

Vp3L„ :1п

p,nk

п

V Ро,"к у

<^ащ+Ьр.

(4)

Предположим, что пространство А',, диагонально

изоморфно СПК бесконечного типа ДДац). Покажем,

что это невозможно. Из определения последовательности и и (1), (4) следует

q-r(Po)^ lim

1

(

ln

nk

CqCPo

a

r(q),nk

< lim

k—

—In taC„ " + — L

_ ^9 PO _

Р0,Пк 1 ^

yank

1

r(q)

что невозможно одновременно для всех д . Таким образом, и К (А)) . Но тогда множество К(А)) не пусто (в силу условия (1)). Из (2) следует, что существование бесконечной подпоследовательности и<аё2(К(А)) противоречит изоморфности пространств ЛТ и и Е0{аи) и условию (4):

1

1

< lim

r( Po) q

(

1

(

ln

nk

CqCPo

a

r(q),nk

< lim

k—

—lnt^ " + — L

_ ^9 PO _

Po,nk y, 1 ^

yank

nk

r(q)

r(q)

Покажем, что

Vp0 Эр V/7] 38 > 03r e (ОД) :V« a > Sa

}-raz Pon P1n •

(5)

Предположим, что (5) не выполняется. Тогда существует р такое, что для произвольного р найдётся рх = рг(р) > р0 такое, что множество и •= п:а„„ бесконечно для произ-

* р.п пс\.п т.п гл г

a

-ln-

P,ni ( P)

j^ß a

< lim -

1

nj (P) aP0,nj (P) hiap1,nj(p) ^ r(Pl(p))-q0

ар0,пЛр) *

что невозможно для произвольного 5 и фиксированного р. Число 8 = 8(р0) взято из условия (3) и не зависит от р, 5 и у .

Следует отметить, что условия (1) и (5) не зависят от выбора матрицы, задающей данное пространство Кёте. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что для матрицы А = (а ) верно условие

VP3R=RP3r = т( p) :V n

ÂP+1,n

P,n

>R,

aP+2,n \aP+1,n y

вольных индексов р и 5 . Число р0 можно выбрать так, что р0>г(д0) для некоторого q0 . По построению ор с орб..

Фиксируем р . Применяя диагональный метод, можно построить последовательность и(р) = (п■ (/?))

такую, что а„„ (гЛ , , а1^ , . для любых 5 и

произвольного, достаточно большого у . Но, как и выше, показывается, что возможность построения этой последовательности противоречит сделанному относительно пространства К(А) предположению. Например, если и{р) е с1\(К(А)). то

Можно доказать, что при сделанных относительно пространства предположениях выполняется неравенство

ЗРУр > РЗС > 0 :\/n y/p+i(ri) -у/р(ri) < С . (6) Здесь у/„(п) :=—Ina Из условий (3) и (6) сле-

ап

дует, что данное пространство Кёте является СПК.

5. Пусть пространство Фреше X и (fn ) - абсолютный базис в этом пространстве. Говорят, что для этого пространства выполняется гипотеза Бессаги [13], если множество всех дополняемых подпространств (в которых существует абсолютный базис) в X с точностью до квазидиагонального изоморфизма совпадает с множеством всех координатных подпространств (построенных по данному базису). Другими словами, всякое дополняемое подпространство с абсолютным базисом в данном пространстве должно быть квазидиагонально изоморфно подходящему базисному подпространству.

Известно [6], что при выполнении достаточно жёстких ограничений на пространство, в этом пространстве справедлива гипотеза Бессаги. В статье будет доказан ослабленный вариант гипотезы Бессаги, в котором вместо произвольных дополняемых подпространств данного пространства рассматривается более узкое семейство - множество всех дополняемых подпространств, изоморфных СПК конечного или бесконечного типа. Имеют место следующие утверждения: Теорема 3. Для произвольных СПК Фh(ä) и СПК бесконечного типа Е^(Ь) условия 1-3 эквивалентны: 1. Em(b) = 4>h(a)/L для подходящего

don

подпространства L в Фh(a) ; 2. Ex(b) œ <t>h(a) ;

кд

3. Ех(Ь)^Фк(а).

Теорема 4. Пусть Фh(a)- СПК такое, что для любой бесконечной последовательности индексов uœN пространство Xv не является СПК почти конечного типа. Тогда для произвольного СПК конечного типа E0 (b) условия 1-3 попарно эквивалентны:

don

кд

1. E0(b)ŒOh(a); 2. E0(b) ç Фк(а) ; 3. Е0(Ь)^Фк(а).

1

2

1

СПК конечного или бесконечного типа Её(а) называют устойчивым, если существует число С> О такое, что ап+1 < Сап для произвольного п .

Теорема 5. Пусть одно из пространств Е0(а') или Ех(а") является устойчивым. Кроме того, дано СПК Х = Фк(а) такое, что для любой бесконечной последовательности индексов исЛ' пространство X,. не является СПК почти конечного типа. Тогда

следующие утверждения эквивалентны:

доп

i. Е0(а')хЕх(а")^Фкф);

кд

ii. Е0(а<)хЕт(а")^Фьф).

В частности, если ФЛ (Л) = Е0(/?') х Е., (Л"), то условия изоморфности пространства Е() (а' ) / /•.', (а' ' ) (без предположения устойчивости) дополняемому подпространству в E0(b')xEm(b") были получены в [14].

6. Докажем теорему 3 (теоремы 4, 5 доказываются аналогично). Импликации 3=>2 и 2^>1 очевидны. Докажем импликацию 1 => 3. В [6] доказывается следующее необходимое условие изоморфности пространства Кете подпространству другого пространства Кете:

Предложение 1. Пусть пространства Кете K(A), К(В) такие, что К (A) ç К(В) . Тогда существует возрастающая функция ç:N—^N такая, что для произвольного г существует инъекция сгг : N N , для которой верно неравенство

а „ ^г bin(

(7)

УрЗС„ : V« р',тАп) < С„

¥.р),п

a„

ay (и) -

ь

(S)

г (р{р)

для произвольного p и всех n, начиная с некото-

рого номера. Из (8), в частности, следует существование числа С> О такого, что C~lbn <а, произвольного n . Но тогда

"l 1

ar(n)^Cbn ДЛЯ

\р (я)) - h9{r) (07 (я)) ^ С

(р{р)

для всех,

а<р{г),аг(п)

Пусть Е0ф) сФк(а). Применим предложение 1 к

пространствам У = Е0(Ь) и Х = Фк(а) . Фиксируем

достаточно большое г. Условие (7) равносильно неравенству

.......^ 1

достаточно больших n .

Предположим, что найдется последовательность индексов v = (nk) такая, что Xv,, u'=(a(nk))k=1 изоморфно бесконечному центру. Но это предположение противоречит предыдущему неравенству и условию (5) из теоремы 1. Из следствия 1 вытекает, что пространство Хи , о = (ст(и))и=1 квазидиагонально изоморфно СПК конечного типа, которое в силу неравенства (S) квазидиагонально изоморфно Е0^).

Литература

1. Дpaгuлев М. М. Базисы в пространствах Кете. Ростов н/Д, 2003.

2. Мumягuн Б.С. // УМЫ. 1961. Т. 16. Вып. 4. С. 63-132.

3. Шaгuнян Т.Б. // Теория функций. Дифференциальные операторы и их приложения. Элиста, 1976. С. 128137.

4. Шубapuн М.А. Изоморфизмы степенных пространств: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов-н/Д, 1994.

5. Kocatepe M., Nurlu Z. // Math. 19S9. № 2. Р. 1-100.

6. ^Hdame В.П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств. Ростов н/Д, 1983.

7. Dubinsky E. The stucture of nuclear Fréchet spaces. New York, 1979.

S. Дpaгuлев М.М. // Мат. сб. 1969. Т. 2. № 80. С. 225240.

9. Дpaгuлев М.М. // Сиб. мат. журн. 1970. № 3. С. S12-S2S.

10. Zahariuta V.P. // Studia Math. 1970. Vol. 46. P. 201221.

11. VogtD. // Math. Z. 1977. Vol. 1SS. P. 109-117.

12. Wagner M.-J. // Manuscripta Math. 19S0. Vol. 31. P. 97-109.

13. Bessaga C. // Studia Math. 1968. P. 307-31S.

14. Chalov P.A., Djakov P.B., Zahariuta V.P. // Studia Math. 1999. Vol. 137. № 1. P. 33-47.

Ростовский государственный университет

28 ноября 2006 г.

r