Об общем виде равномерно непрерывного функционала на cp-пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 3(19)

МАТЕМАТИКА

УДК 515.122.55, 515.123.4

А.В. Арбит

ОБ ОБЩЕМ ВИДЕ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНОГО ФУНКЦИОНАЛА

НА СР -ПРОСТРАНСТВЕ

Описан общий вид равномерно непрерывного функционала на пространстве непрерывных вещественнозначных функций с топологией поточечной сходимости.

Ключевые слова: равномерно непрерывные функции, функциональные пространства, топология поточечной сходимости.

Тематика работы относится к так называемой Ср-теории, объектом изучения которой является пространство СР(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций на пространстве X, наделённое топологией поточечной сходимости. Здесь и далее X - тихоновское пространство. Известно (см. [1]), что для каждого ненулевого непрерывного линейного функционала I на пространстве Ср(Х) найдутся конечные множества {х1, ..., хя}сХ и {Хь ..., Хп}сМ, такие, что /(/) = Х1 /(х1) + ... + %„/ (хп) для всех / е Ср(X). Другими словами, найдётся

линейная функция Ь : Мп ^ К, такая, что I(/) = Ь /(х1),..., /(хп)). Эта формула демонстрирует общий вид непрерывного линейного функционала на пространстве Ср(Х). Поскольку непрерывный линейный функционал является частным случаем равномерно непрерывного функционала, то естественно возникает вопрос, каким будет общий вид последнего. Этот вопрос интересен ещё и тем, что его решение может быть полезным для получения результатов, описывающих свойства м-эквивалентных пространств.

Прежде чем сформулировать главный результат работы, дадим ещё одно определение. Через ир(Х) обозначим пространство всех равномерно непрерывных функционалов на пространстве Ср(Х) с топологией поточечной сходимости. Нашей целью является доказательство следующего утверждения.

Теорема 0.1. Пусть равномерно непрерывный функционал феСрСр (X) не

равен константе. Тогда существуют последовательность {хк } е Xк (или конечное множество {хь..., хп} сX) и равномерно непрерывная функция Ф: ^ Ж.

(соответственно Ф : Мп ^ Ж.) такие, что

а) ф(/ ) = Ф{/(х*)} (соответственно ф(/) = Ф(/(х1),.,/(хп))) для всех / е Ср (X);

б) Многозначное отображение пространства ир(А’) в X, ставящее в соответствие каждому феП (X) множество членов последовательности {х*} (соответственно множество {х1,., хп}), полунепрерывно снизу.

Здесь и далее мы для краткости пишем Ф{/ (х*)} вместо Ф({/ (х*)}).

Терминология и обозначения

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются вполне регулярными. Символы Ж. и N означают множества всех действительных и

всех натуральных чисел соответственно, Ж2, - пространство всех функций на X,

Ср^ - пространство всех вещественнозначных непрерывных функций на X, наделённое топологией поточечной сходимости, СрСр(А’) обозначает С^С^^)). К0- первый бесконечный кардинал. Сужение функции/на множество А обозначаем / |А . Символом 0x будем обозначать тождественно равную нулю функцию на пространстве X. Для многозначного отображения р: X ^ У и множества В с У мы определяем прообраз В как множество р— (В) = {х е X : р(х) п В Ф 0}. Многозначное отображение р : X ^ У называется:

а) полунепрерывным снизу, если прообраз каждого открытого подмножества пространства У открыт в X ;

б) сюръективным, если для каждого у е У найдётся х е X, такой, что

У е р (х).

1. Понятие носителя

Следующие определения аналогичны определениям, введенным О. Г. Окуневым в [2].

Зафиксируем ф е и (X) и е > 0. Точку х е X будем называть е-существенной для ф, если для любой окрестности Ох точки х существуют функции /', /"е Ср (X), совпадающие на множестве X \ Ох, для которых выполняется неравенство

|ф(/') -ф(/'')|> В.

Точку х, не являющуюся е-существенной для ф, будем называть е-несущест-венной для ф. Множество всех е-существенных точек для ф будем называть е-но-сителем функционала ф и обозначать его Бирре ф. Объединение всех е-носителей функционала ф по всем положительным е будем называть носителем ф и обозначать его Бирр ф.

Очевидно, что если е < 5, то Бирр5 ф с Биррв ф , поэтому Биррф = и Бирр1/ п ф .

пеК

Построенный нами носитель обладает следующими свойствами:

(1) Бирре ф - конечное подмножество пространства X для любого е > 0, непустое для неограниченного ф;

(и) Бирр: и (X) ^ X есть не более чем счётнозначное, полунепрерывное снизу отображение.

Для доказательства этих свойств приведём некоторые результаты С.П. Гулько [3]. Зафиксируем ф е и р (X), 5 > 0 и некоторое конечное подмножество К с X .

Определим величину

а(ф, К, 5) = Бир |ф(/') - ф(/'') |, где супремум берётся по всем /', / '' е Ср (X), таким, что | /'(х) - /'' (х) |< 5 для

всех х е К. Если К - пустое множество, то супремум берётся по всем

/' , /' 'е Ср (X).

Это определение было введено С.П. Гулько в [3]. Также определим а(ф, К, 0) = Бир |ф(/') - ф(/'' ) |,

где супремум берётся по всем /', /' 'е Ср (X), совпадающим на множестве К (если К - пустое множество, то супремум берётся по всем /', /'' е Ср (X)). Очевидно, что если 0 <51 <52, то а(ф, К, 5:) < а(ф, К, 52), и если К1 с К2 с X , то а(ф, К2, 5) < а(ф, К1, 5) для любого 5 > 0.

Теорема 1.1 [3]. Для каждого фе ир (X) существует конечное множество К(ф) с X, такое, что

1) а(ф, К(ф), 5) < ж для всех 5 > 0;

2) а(ф, К', 5) = ж для всех 5 > 0, где К' - произвольное собственное подмножество множества К(ф).

Если ф ограниченный, то К(ф) пусто, если ф неограниченный, то К(ф) непусто. Доказательство. Для доказательства этой теоремы нам потребуются некоторые промежуточные результаты. Обозначим через и(ф, 5) семейство всех конечных подмножеств К с X, таких, что а(ф, К, 5) < ж, где 5 > 0. То, что это семейство непусто для достаточно малых 5 > 0, следует из равномерной непрерывности ф.

Лемма 1.2 [3]. а(ф, К, п5) < па(ф, К, 5) для каждого ф е и (X), п е N. Доказательство. Пусть /', /' 'е Ср (X) и |/' (х) - /'' (х) |< п5 для всех х е К. Положим

/ = Г + »■(/''-/')/п, /■ е{0,1,...,п}.

Тогда | /-1 (х) - /г (х) |=| /'(х) - / '' (х) | / п < 5

для всех х е К, I е {1,..., п}, и, следовательно, | ф(/-1) - ф(/) |< а(ф, К, 5). Тогда

|ф(/') - ф(/'' ) |=| (ф(-1) - ф(/)) |<]^| ф(/г-1) -ф(/) | < na(Ф, К, 5).

г=1 I =1

Отсюда, переходя к супремуму, получаем требуемое неравенство. ■

Так как функция 5 ^ а(ф, К, 5) неубывающая, то из предыдущей леммы следует, что семейство и(ф,5) для каждого положительного 5 при фиксированном ф состоит из одних и тех же элементов, поэтому будем обозначать такое семейство

и(ф).

Лемма 1.3 [3]. Если К1, К2 е и(ф), то К1 п К2 е и(ф). Более того, а(ф, К1 п К2, 5) < а(ф, К1,5 /2) + а(ф,К2,5 /2) для всех 5 > 0. Доказательство. Заметим сначала, что если ф неограниченный, то0? и(ф). Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы М е Ж., такое, что |ф(/') -ф(/'' ) |< М для всех /', /''е Ср (X). Если положить /'' = 0^,, то получим, что |ф(/') |< М +1 ф(0;^) | для всех /' е Ср (X), что противоречит неограниченности ф. Покажем теперь, что если ф неограниченный и К1, К2 е и(ф), то К1 пК2 /0 . Для этого рассмотрим последовательность {/п} функций из Ср^, такую, что Иш ф(/п) = ж. Существование такой последовательности следует из

п——ж

неограниченности ф. Если множества К1 и К2 не пересекаются, то существует окрестность и множества К1, не содержащая точек из К2, и для каждого п е N найдётся функция gn е Ср ^X тaкaя, что gn X\и =0x |x\и и 8п К = Л Ц . Тогда |ф(/п) -ф(gn) |< а(ф, К1,0) для каждого п е N, следовательно, Иш ф(gn ) = ж.

п—ж

С другой стороны, так как gn К2 = 0X К2, то | ф(gn) |< а(ф,К2,0)+1 ф(0х) | для

каждого п е N. Получаем противоречие. Если же ф ограниченный, то легко видеть, что 0 е и(ф).

Пусть теперь /', /''е Ср (X) и | /'(х) - /'' (х) |< 5 для всех х е К1 п К2 . Найдётся функция / е Ср (Х), тaKaЯ, что /|К1\К2 = /' Ц\K2, / |К2\К1 = /''|К2\К1 и /(х) = (/'(х) + /''(х))/2 для всех х е К1 п К2. Тогда | /(х) - /'(х) |< 5 /2 для всех х е К1 и | /(х) - /'(х) |< 5 /2 для всех х е К2, следовательно, |ф(/')-ф(/)|< а(ф,К1,5/2) и |ф(/)-ф(/'' )|< а(ф,К1,5/2), откуда следует, что |ф(/') - ф(/'' ) |< а(ф, К1,5 /2) + а(ф, К2,5 /2).

Поскольку все множества семейства и(ф) конечны, то из предыдущей леммы следует, что это семейство содержит наименьшее множество, которое мы и обозначим К(ф). Оно пусто, если ф ограниченный, и непусто, если ф неограниченный. Теорема 1.1 доказана. ■

Покажем, что множество К(ф) обладает более сильным свойством, чем свойство 2) из теоремы 1.1.

3) а(ф, К' ,0) = ж, где К’ - произвольное собственное подмножество множества К (ф).

Для доказательства этого свойства нам потребуется следующая Лемма 1.4. Если а(ф, К, 0) < ж , то а(ф, К, 5) < ж для всех 5 > 0. Доказательство. Зафиксируем конечное К с X, такое, что а(ф, К, 0) < ж . Докажем непрерывность в точке 0 величины а(ф, К, 5) как функции от 5 . Возьмём произвольное е > 0. Так как ф - равномерно непрерывная функция, найдётся конечное множество К' с X и 5е > 0, такие, что для любых /', /'' е Ср (X) справедлива импликация

(|/'(х) - /'' (х) |< 5е длявсех х е К') ^>ф(/') -ф(/ '' ) |< е.

Пусть /', /''е Ср (X) и |/'(х) - / '' (х)|< 5е для всех х е К . Найдётся функция / е Ср (X), такая, что

' ' (х), х е К;

' (х), х е К' \ К.

Тогда |/(х) - /'' (х)|< 5е для всех х е К', следовательно, |ф(/) -ф(/'' ) |< е. Теперь, применяя неравенство треугольника, получаем

|ф(/') - ф(/ '' ) |<|ф(/') - ф(/) | + |ф(/) - ф(/ '' ) |< а(х, К, 0) + е.

Переходя к супремуму по всем /', / ''е Ср (X), таким, что |/'(х) - /'' (х)|< 5е для всех х е К, получаем неравенство а(ф, К, 5е) < а(ф, К,0) + е , что влечет непрерывность функции 5 ^ а(ф, К, 5) в нуле. ■

Для каждого фе ир (X) будем обозначать а(ф, 5) = а(ф, К(ф), 5),

а(ф) = а(ф, К(ф),0). Теперь в новых обозначениях запишем свойства конечнозначного отображения ф ^ К(ф):

(К1) Если /', /''е Ср ^) и /' к(ф)=/'' К(ф), то |ф(/') -ф(/'' ) |< а(ф).

(К2) Для каждого собственного подмножества К’ с К(ф) и любого числа Ь существуют функции /',/'' еСр (X), такие, что /V=/' V и |ф(/')-ф(/'')|>Ь.

Упомянем ещё об одном свойстве данного отображения - сюръективности.

Лемма 1.5 [3]. Для каждого х е X найдётся фе ир (X), такое, что

х е К (ф).

Доказательство. Пусть х е X. Для каждого у е X через 0У обозначим функцию на пространстве Cp(X), определённую формулой 9у (/) = /(у), где / е Ср (X). Очевидно, что 9у е и (X) для каждого у е X. Пусть К = ^){К(9у): у е К(9х)}. Докажем, что х е К. Предположим, что х г К . Пусть 5 = шах{а(9у): у е К(9х)} , а = а(9х, 5). Возьмём функцию / е Ср (X), такую, что /\к = 0 и /(х) = а +!. Так как / К (9у) = 0 X К (9у) и 9 у(0 X) = 0, то | /(у) 1=19у (/) |< а(9у) < 5 для каждого у е К(9х). Тогда

а +1=| /(х) Н 9х (/) \< а(9х, 5) = а .

Полученное противоречие завершает доказательство. ■

Перейдём теперь к доказательству свойств (1) и (И) носителя Бирре ф. Следующие две леммы показывают, как связаны между собой множества К(ф) и Бирре ф.

Лемма 1.6. К(ф) с Бирре ф для каждого е > 0.

Доказательство. Возьмём фе ир(X). Если К(ф) непусто, то зафиксируем элемент х0 е К(ф) и е > 0. Покажем, что х0 - е-существенная точка для ф. Положим а = шах(е, а(ф)), К = К(ф)\{х0}. По свойству (К2) существуют функции /', /''е Ср (X), такие, что /' К = /'' К и |ф(/') -ф(/'' ) |> 2а. Возьмем произвольную, не пересекающуюся с К окрестность и точки х0 и функцию

/ е Ср ^), тaкУю, что / |x\и = /'1X\и и /(х0) = /'' (х0). Тогда / \к(ф)= У'' \к(ф) и |ф(/) -ф(/'' ) |< а(ф) < а. Из неравенства треугольника получаем, что |ф(/) -ф(/') 1> а > е, и кроме того, / совпадает с /' на множестве X\U. Согласно

определению это и означает, что х0 - е-существенная точка для ф. ■

Итак, из леммы 1.6 следует, что если ф неограниченный, то множество Бирре ф непусто для любого е > 0, а также следует сюръективность отображения ф ^ Бирр ф пространства ир (X) на пространство X.

Лемма 1.7. Множество Бирре ф конечно для каждого е > 0.

Доказательство. Пусть ф е ир (X) и е > 0. Так как отображение ф равномерно непрерывно, существуют 5 > 0 и конечное множество К с X, такие, что для любых /' , /'' е Ср (X) справедлива импликация

(I/'(х) - /'' (х) |< 5 для всех х е К) ^>|ф(/') - ф(/'' ) |< е.

Покажем, что Бирре фс К . Зафиксируем точку х0 е X \ К и её окрестность и, не пересекающуюся с К, и возьмём две произвольные функции /', /'' е Ср (X), совпадающие на множестве X \ и . Тогда они совпадают на множестве К, следовательно, |ф(/') -ф(/'' )|< е. Это по определению означает, что точка х0 - е-несу-щественная для ф, т.е. х0 г Бирре ф . Отсюда получаем, что Бирре фс К. ■

Свойство (1) носителя доказано. Для доказательства свойства (И) определим для каждого фе ир(X) и каждого е > 0 конечное множество Ке(ф) сX , удовлетворяющее условиям

(КЕ1) а(ф, Ке (ф),0) <е ;

(КЕ2) а(ф, К',0)> е для каждого собственного подмножества К’ множества Ке(ф).

Такое множество можно получить из множества К предыдущего доказательства, уменьшая его до тех пор, пока оно не станет удовлетворять пункту (КЕ2).

Множеств, удовлетворяющих условиям (КЕ1) и (КЕ2), может быть несколько, но нам достаточно взять за Ке(ф) любое из них. Поскольку К(ф) = Ка(ф)(ф), то,

используя результаты лемм 1.6 и 1.7, получаем следующее

Следствие 1.8. Если е > а(ф), то Бирреф = К(ф).

Лемма 1.9. Если феир (X) и не равен константе, то найдётся е > 0 такое, что Ке(ф) непусто.

Доказательство. Так как ф не константа, то существуют /', /'' е Ср (X), такие, что |ф( /' ) -ф( /'' )|= а > 0 . Положим е = а/2 и покажем, что Ке(ф) непусто. Если предположить противное, то |ф(/' ) -ф(/'' ) |< е < а, получаем противоречие. ■

Следующая лемма является аналогом результата, полученного О.Г. Окуневым [2].

Лемма 1.10. Пусть ф0 е ир (X), е > 0, и - открытое подмножество пространства X, такое, что Бирре ф0 п и /0 . Тогда существует окрестность V элемента ф0 в Up(X), такая, что Ке(ф)пи /0 для всех фе V.

Доказательство. Можно считать, что Бирре ф0 п и = {х0}, где х0 - некоторая е-существенная точка для ф0. Тогда, по определению, для окрестности и точки х0 существуют функции /' , /'' е Ср (X), совпадающие на множестве X\U, такие, что

|фэ(/') -фэ(/'' )1> е. Определим V = {фе ир (X):|ф(/')-ф(/'' )|> е} - искомую

окрестность элемента ф0. Покажем, что для V выполняется утверждение леммы. Предположим противное: пусть существует элемент феV, такой, что

Ке (ф) п и = 0 . Тогда /' совпадает с /' ' на множестве Ке (ф), поэтому

|ф(/' ) -ф(/'' ) I- е - получили противоречие с тем, что фе V . ■

Следствие 1.11. Пусть ф0 е ир (X), е > 0, к е N , и - открытое подмножество пространства X, такое, что | К(ф0)пи |> к. Тогда существует окрестность V точки х0, такая, что | Ке (ф) п и |> к для всех ф из V.

Лемма 1.12. Пусть фе ир(X), е > 0. Существует 5 > 0, такое, что

Ке (ф) с Бирр5ф.

Доказательство. Возьмем точку х1 е Ке (ф). Положим К' = Ке (ф)\{х!} = {х2,..., хп }.

По определению множества Ке(ф) существуют такие функции /', /' 'е Ср (X), совпадающие на множестве К' , что |ф( /' ) - ф( /'' ) |> е. Выберем 51 > 0, такое, что

|ф( /' ) -ф( / '' )1> е + 5^ (1)

Покажем, что х1 е Бирр^ ф . Возьмем окрестность и точки х1, не пересекающуюся с К', и выберем такую функцию / е Ср (X), совпадающую с /' на множестве X\U, что / (х1) = /'' (х1). Тогда / совпадает с /' 'на множестве Ке(ф), следовательно, |ф(/ '' ) -ф(/) |- е. Отсюда и из неравенства (1) получаем, что

|ф(/') -ф(/) 1> 5!. Но /' совпадает с /на множестве X \и, следовательно, х1 - 51-существенная точка для ф. Таким образом, для каждого / е {1,.,п } можно подобрать 5i так, чтобы xi была 5-существенной точкой для ф. Положив 5 = ш1и{5г- : I - п}, получим Ке (ф) с Бирр5 ф. ■

Следствие 1.13. Если фе ир(X)и не равен константе, то Бирр ф не пусто.

Доказательство. По лемме 1 найдётся е > 0 такое, что Ке(ф) непусто. По лемме 4 найдётся 5 > 0, такое, что Ке(ф) сБирр5ф. Тогда БиррфзК£(ф) /0 , следовательно, Бирр ф не пусто. ■

Теорема 1.14. Многозначное отображение Бирр : ир (X) — X полунепрерывно

снизу.

Доказательство. Положим р(ф) = Бирр ф. Нужно показать, что для любого непустого открытого множества и с X его прообраз р-1(и) = {феир(X): р(ф)пи /0} - открытое множество в ирГ). Пусть

и с X - открытое непустое множество и пусть р- (и) / 0 . Возьмем произволь-

ный элемент ф е р- (и). Тогда существует е > 0, такое, что Бирре фп и /0 . По лемме 1.10 существует окрестность V элемента ф, такая, что Ке(ф' )пи /0 для всех ф ' из V. По лемме 1.12 для каждого ф 'еV и каждого е > 0 найдётся такое 50 > 0 (зависящее от ф ' и от е), что Ке (ф ') с Бирр^ ф'с Бирр ф' , т.е.

Бирр ф ' п и /0 для всех ф ' из V, следовательно, р- (и) открыто и отображение

Бирр полунепрерывно снизу. ■

Кроме доказанных выше свойств (1) и (И), множество Бирр ф обладает также свойством минимальности в следующем смысле.

Теорема 1.15. Пусть ф е ир (X). Справедливы следующие утверждения.

а) Если функции /', /''е Ср (X) совпадают на множестве Бирр ф, то ф( /' ) = ф( / '').

б) Если Е - замкнутое подмножество из X такое, что для любых двух функций /', /''е Ср (X), совпадающих на множестве Е, выполняется равенство ф( /' ) = ф( /'' ), то Бирр фс Е .

Доказательство. (а) Возьмем произвольное е > 0 и зафиксируем Ке (ф). Возьмем функции /', /'' е Ср (X), совпадающие на множестве Бирр ф. По лемме

4 имеем Ке (ф) с Бирр ф, следовательно, выполняется неравенство |ф(/' ) -ф(/'' ) I- е . Так как е - произвольное, получаем ф(/') = ф(/'' ).

(б) Предположим противное. Пусть Бирр ф \ Е /0. Тогда существует х0 е Бирр ф, х0 г Е . Найдётся е > 0 такое, что х0 е Бирре ф . Возьмем окрестность и точки х0, не пересекающуюся с Е. Тогда существуют функции /', /'' е Ср (X), совпадающие на множестве X\U такие, что |ф(/') -ф(/'' ) |> е. Но /' совпадает с /'' на множестве Е и ф(/') = ф(/'' ). Получили противоречие.

2. Общий вид равномерно непрерывного функционала

Пусть фе ир(X) и не является константой. Определим для ф функцию Ф: — М. Будем считать для определённости, что |Бирр ф |= К0. Пусть

Бирр ф = {хп : п е М}. Возьмём произвольную последовательность (= {(п } е . Для каждого к е N выберем функцию /к е Ср (X) такую, что /к (хг-) = ti для всех г е{1,.,к}.

Лемма 2.1. Последовательность {ф(/к)} - сходящаяся.

Доказательство. Докажем, что эта последовательность фундаментальна. Возьмём положительное е. Найдётся такое натуральное Ые, что Ке (ф) с {хг :1- г - ^е}. Тогда /'п \Ке (ф)= /т Ке (ф) для любых n, т > Же, следовательно, |ф( /п) -ф( /т) |- е. Таким образом, данная последовательность фундаментальна в Ж. и является сходящейся. ■

Положим теперь Ф^) = 11т ф(/к). Проверим корректность данного определе-

к—ж

ния. Пусть имеется ещё одна функциональная последовательность {/ }, /'е Ср (X), такая, что /'(хг) = ti для всех г е{1,.,к}. Пусть а = 11т ф(/к),

к —ж

Ь = 11т ф(/к). Составим ещё одну функциональную последовательность {/'' },

к—ж

определённую формулой

' ' (/к, если к нечётное; к \/к, если к чётное.

По предыдущей лемме существует предел последовательности {ф( /' ')}, который обозначим через с. Тогда с = 11т ф(/'') = 11т ф(/2'к) = 11т ф(/2'к-1), откуда полу-

к —ж к—ж к—ж

чаем, что а = Ь = с. ■

Рассмотрим пространство Ж с топологией поточечной сходимости. Для каждого t = {tn } е множества вида

Ж(t, к, е) = {t' = {п } е : |^- -^' |< е, г е {1,., к}}

составляют фундаментальную систему окрестностей.

Лемма 2.2.1 Функция Ф - равномерно непрерывная.

Доказательство. Нужно доказать, что для любого е > 0 найдутся т е N и

5 > 0 такие, что для любых t', t'' е верна импликация

t', t'' е Ж(0,т, 5) ^>|Ф^') -Ф^'' ) |< е ,

где 0 - нулевая последовательность.

Пусть е > 0. В силу непрерывности в точке 0 величины а(ф, К, 5) как функции от 5, найдётся 5 > 0 такое, что а(ф, Ке/4 (ф), 5) < е/2 . Далее, найдётся т е М, такое, что Ке/4(ф) с{х1,.,хт}. Пусть t',t''е , t' ={^}, t''={tn'} и t',t''е Ж(0,т,5). Для каждого к е N выберем функции /', /'' е Ср (X) такие, что /к'(хг ) = ^ и /' '(хг) = t' ' для всех г е {1,..., к}. Тогда | /I (х) - /' (х) |< 5 для всех х е Ке/4 (ф) и для любого к > т, следовательно, |ф(/') -ф(/'')|< е/2 для любого к > т . Тогда |Ф^') - Ф(t '' ) |= 11т |ф(/') -ф(/'') |- е/2 < е . ■

к—ж

Лемма 2.3. ф(/) = Ф{/(хп)} для всех / е Ср (X).

Доказательство. Пусть / е Ср (X). Положим t = {п } е , где tn = /(хп)

для каждого п е N и /к = / для любого натурального к. Тогда

Ф{/(хп )} = ^) = 11111 ф(/к) = ф(/). ■

к —ж

Рассмотрим теперь случай, когда Бирр ф - конечное множество. Пусть Биррф = {х1,.,хп}, где п е N. Возьмём произвольную точку t = (^,...,tn) е Мп и выберем для неё функцию / е Ср (X) такую, что /(хг) = ti для всех г е {1,., п}. Положим теперь Ф(t) = ф(/). Докажем корректность этого определения.

Пусть имеется ещё одна функция f' е Cp (X), такая, что f'(xi) = tt для всех i е {1,..., n}. Тогда функции f и f ' совпадают на множестве supp ф, следовательно, по теореме 1.15 имеем ф( f' ) = ф( f' ).

Рассмотрим пространство Mn с топологией поточечной сходимости. Для каждого t = (tj, .., tn) е Кn множества вида

W(t,s) = {t' = (tj,..,tn) е Кn : |ti -1' |< e, i е {1,.,n}}

составляют фундаментальную систему окрестностей.

Лемма 2.4.2 Функция Ф - равномерно непрерывная.

Доказательство. Нужно доказать, что для любого е > 0 найдётся 5 > 0, такое, что для любых t', t'' е Kn верна импликация t', t'' е W(0,5) ^>|Ф^' ) -Ф(t '' ) |< e , где

0 - нулевой элемент пространства Mn.

Пусть е > 0. В силу непрерывности в точке 0 величины а(ф, K, 5) как функции

от 5, найдётся 5 > 0 такое, что a^,supp ф, 5) < e . Пусть t', t''е W((), 5), t' = (t[,..,t'n), t'' = (t",...,tn). Выберем функции f', f'' е Cp (X) такие, что f (xi ) = t' и f '(xi ) = t” для всех i е{1,..., n}. Тогда |f'(x) - f" (x)|< 5 для всех x е supp ф, следовательно, |ф(f') - ф(f '' ) |< s/2, поэтому

^(t ') -Ф(t '' )|=|ф( f' ) -ф( f'' ) |< s . ■

Очевидно что ф(f) = Ф(f (Xj),., f (xn)) для всех f е Cp (X). Теорема 0.1 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

2. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. V. 80. P. 177-188.

3. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

4. ЭнгелькингР. Общая топология: пер. с англ. - М.: Мир, 1986.

Статья поступила 19.04.2012 г.

Arbit A.V. ON THE GENERAL FORM OF A UNIFORMLY CONTINUOUS FUNCTIONAL DEFINED ON THE Cp-SPACE. The general form of a uniformly continuous functional defined on the space of continuous real-valued functions with the topology of pointwise convergence is described.

Keywords: uniformly continuous functions, function spaces, topology of pointwise convergence.

ARBIT Alexander Vladimirovich (Tomsk State Pedagogical University)

E-mail: [email protected]