Научная статья на тему 'О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств'

О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
100
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ / L-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ / T-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ / THE SPACE OF CONTINUOUS FUNCTIONS / L-EQUIVALENCE / T-EQUIVALENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лазарев Вадим Ремирович

Предложен метод, порождающий отношения эквивалентности на классе тихоновских пространств. Показано, что известные отношения l-, uи t-эквивалентности являются частными случаями отношений, порожденных данным методом. Приведены новые примеры отношений эквивалентности, сохраняющих компактность, число Линделёфа и размерность.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On some Equivalences on the Class of Tychonoff Spaces

Some method, generating the equivalence relations between Tychonoff spaces, is presented. It is shown, that l-, u-, and t-equivalences are particular cases of this general construction. The new examples of equivalences, preserving compactness, Lindelöf number and dimension, are given.

Текст научной работы на тему «О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 3(4)

МАТЕМАТИКА

УДК 515.12

В.Р. Лазарев

О НЕКОТОРЫХ ОТНОШЕНИЯХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НА КЛАССЕ ТИХОНОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Предложен метод, порождающий отношения эквивалентности на классе тихоновских пространств. Показано, что известные отношения и, ^ и ^эквива-лентности являются частными случаями отношений, порожденных данным методом. Приведены новые примеры отношений эквивалентности, сохраняющих компактность, число Линделёфа и размерность.

Ключевые слова: пространство непрерывных функций, иэквивалентность, иэквивалентность.

Всюду ниже символом СР(Х) обозначается пространство непрерывных вещественнозначных функций с топологией поточечной сходимости, заданных на тихоновском топологическом пространстве X . Последнее же именуется топологическим пространством, или просто пространством.

Топологические пространства вида СР(Х) служат предметом изучения так называемой Ср-теории.

Один из основных её разделов занимается вопросом о том, насколько сходными обязаны быть свойства пространств X, У, если Ср(Х), Ср(У) линейно гомео-морфны, равномерно гомеоморфны, или гомеоморфны (в этих случаях говорят,

I и

что X, У являются /-, и- или ¿-эквивалентными и кратко пишут X ~ У, X ~ У,

t

X ~ У соответственно). Оказывается, что эти наиболее активно изучаемые ситуации можно рассмотреть с некоторой единой точки зрения.

А именно, каждый гомеоморфизм Ь:Ср(Х)^Ср(У) со свойством Н(Ох) = Оу, где Ох, Оу - тождественно нулевые функции на X, У соответственно, задаёт двойственное отображение И*: С° Ср (Г) ^ С0 Ср (X) между пространствами непрерывных функций на Ср(У), Cp(X), равных нулю в точках Оу, Ох соответственно. Элементы пространств С0 Ср (X), С0 Ср (У) мы далее называем функционалами. Через Lp(X), Up(X) обозначаются пространства линейных, соответственно равномерно непрерывных функционалов на Cp(X). Отображение Н действует по правилу (Н (/))(ф) = _ДН(ф)), ф е Cp(X). Оно линейно и мультипликативно.

Определение 1. Пусть Е с С° Ср (X), Г с С0 Ср (У). Скажем, что гомеоморфизм Н имеет тип (Е;Р), если Н*(У) с Е, (Н*)1^ с К

Замечание. Понятно, что если гомеоморфизм Н:Cp(X)^'Cp(Y) имеет тип (Е;^) и ЕсЕ\, ЕсЕ\, то Н имеет тип (Еь^).

Примерами гомеоморфизмов типа (E;F) могут служить широко изучаемые линейные, равномерные и общие гомеоморфизмы пространств непрерывных функций.

Теорема 1. Пусть h:Cp(X)^Cp(Y) - гомеоморфизм типа (E;F). Тогда

(а) E = X, F = Y, если и только если X ~ Y,

I

(б) E = Lp(X), F = Lp(Y), если и только если X ~ Y,

U

(в) E = Up(X), F = Up(Y) если и только если X ~ Y,

t

(г) E = CpCp (X) , F = С®Cp (Y) , если и только если X~ Y .

Доказательство. Во всех четырёх пунктах очевидна достаточность указанных эквивалентностей. Покажем их необходимость.

(а) По определению гомеоморфизма типа (E;F), имеем h (Y) с X, (h )-1(X) с Y. Следовательно, h (Y) = X.

(б) В силу линейности отображения h*, из h * (Y) с Lp(X) следует

h* (Lp(Y)) с Lp(X). Аналогично,

(h*yl(Lp(X)) с Lp(Y). Таким образом, Lp(X) и Lp(Y) линейно гомеоморфны, что

i

по следствию 0.5.12. из [1] означает, что X ~ Y.

(в) Покажем, что отображение h равномерно непрерывно. Зафиксируем произвольную окрестность W = W(OY, K, s) точки OY е Cp(Y). Здесь s > 0, K = (yb...,y) с Y. Так как h типа (Up(X);Up(Y)), то h (K) с Up(X). Поэтому для каждого yi существует 8i > 0 и конечное множество Ki с X, такое, что если Ф, у е Cp(X) и |ф - у| е V = V(Ox, Ki, 8/), то |(h уг)(ф) - (h Vi)(y)| < s. Положим 50 = min(5i,.,8„), Ko = KiU...uK„, V0 = V0(Ox, K0, 80), и пусть ф, у е Cp(X) такие, что |ф - у| е V0. Тогда при каждом i, 1 < i < n, выполнено |(h _yi•)(ф) - (hy)(v)| = = [y-(h^)) - y(h(y))| = |h(ф) - h(y)|(y) < s, то есть ^(ф) - h(y)| е W. Это и означает, что отображение h равномерно непрерывно. Рассуждая симметричным образом, можно доказать, что и отображение h-1 равномерно непрерывно. Это завершает доказательство пункта (в).

Справедливость (г) очевидна. ■

Приведём ещё два заслуживающих внимания примера конкретного выбора подмножеств E, F.

Пример 1. Пусть Е, - линейный функционал на Cp(X), nеN. Степенным функционалом (степени n) назовём функционал , действующий по правилу ^"(ф) = (^(ф))и. Если ^1,...,^m - линейные функционалы с дизъюнктными носителя-

m n

ми, то функционал вида p = 22 aj Ы , где все aiJ из R, назовём многочленом.

/=1 j=1

Множество всех многочленов будем обозначать через Mp(X).

Очевидно, что при n = 1 мы получим обычные линейные функционалы, так что Lp(X) с Mp(X).

Каждому многочлену p можно естественным образом поставить в соответст-

m

вие конечное множество supp p = U supp ^г-, которое уместно называть носителем

i= 1

многочлена p.

Пример 2. Функционал ^СДХ^И вида d = х!у ■...■ , действующий по пра-

к

вилу d(ф) = П (ф (Х1 )) , где х1 е Х, п1 е N при всех г от 1 до к, назовём мономом.

/=1

Множество всех мономов обозначим через -ОДХ).

Аналогично примеру 1, для каждого монома также можно определить носитель: Бирр^ = {хь...,хк}.

Пусть теперь к:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа (Е;Р), где

(Е;Г) = (Мр(Х) ; Мр(У)) или (Е;Г) = фДХ) ; Ор(У)). В обоих случаях определены конечнозначные отображения БМ:У^Х, Бм(у) = $>иррк*у, ТМ-Х^У, ТМ(х) = $>ирр(Н*у1х и соответственно Бв:У^Х, Т^Х^-У, задаваемые аналогично. Для первого из указанных случаев введём множества Хп = {хеХ; |ТМ(х)|<п}, X" = Х"+1\Х" и симметрично определяемые множества У", У" для всех nеN.

Ниже мы формулируем несколько утверждений (лемма 1, следствия 1 - 4) относительно свойств отображения БМ. Понятно, что в силу равноправного положения отображений БМ и ТМ последнее обладает теми же свойствами. Доказательства этих утверждений можно найти в статье [2] (лемма 2 и следствия из неё).

Лемма 1. Пусть уеУ, |Бм(у)| = к(у), {и1,.,ик(у)} - произвольная дизъюнктная система окрестностей точек из БМ(у). Тогда у точки у найдется окрестность Уу, целиком состоящая из точек г, для которых БМ^) п и1 Ф 0 для всех г = 1,...,к(у).

Следствие 1. Отображение БМ полунепрерывно снизу.

Следствие 2. Отображение БМ: У"^Хполунепрерывно сверху при любом nеN.

Следствие 3. У ~ " замкнуто в У при любом nеN.

Следствие 4. Если уеУ, то уеи{ТМ(х); хеБМ(у)}. В частности, отображение БМ сюръективно.

Формулируемая ниже теорема обобщает теорему статьи [2], поскольку введённое в [2] множество Мр(Х) уже, чем Мр(Х), определённое выше. (Многочлены из примера 1 являются линейными комбинациями полиномов с дизъюнктными носителями из статьи [2].)

Теорема 2. Если Х, У - пространства со счётной базой, а к:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа (Мр(Х) ; Мр(У)), то ШшХ = ШшУ.

Лемма 2. Отображения Бв и Тв сюръективны и полунепрерывны сверху.

Доказательство. Ясно, что достаточно доказать утверждение для Бв. Сюръек-тивность можно доказать так же как следствие 5 в статье [2]. Докажем, что Бв полунепрерывно сверху. Пусть уе У и G - открытое в Х множество, содержащее Бв(у) = {хь...,хк}. Пусть и - окрестность множества Бв(у), содержащаяся в G. Пусть, далее, функция ф е Ср(Х) такова, что ф(х1) =.= ф(хк) = 1 и ф тождественно равна нулю вне и. Рассмотрим У = (А(ф))-1(И\{0}). Ясно, что У открыто в У. Так как (Н(ф))(у) = (Н*(у))(ф) = (ф (х ))п •... • (ф (хк ))”* = 1, то уеУ. Если геУ и х0еБ0(г)\и, то выражение (к(ф))(г) = (к*(г))(ф) содержит сомножитель (ф(х0 ))”0 = 0, и потому (й(ф))(г) = 0. Следовательно, гг У. Заключаем, что ге У ^ Бв(г)си, что и доказывает требуемую полунепрерывность сверху. ■

Теорема 3. Если А:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа фДХ) ; Ор(У)), то 1(Х) = 1(У). Если Х компактно, то и У компактно.

Доказательство. Пусть пространство X компактно (соответственно l(X) < т, где т - некоторый кардинал). Пусть у - произвольное открытое покрытие пространства Y. Рассмотрим семейство уь состоящее из объединений всевозможных конечных подсемейств семейства у. Для каждой точки x из X зафиксируем элемент V(x) из уь такой, что TD(x) с V(x), а также окрестность U(x), для которой справедливо TD(U(x)) с V(x). Из открытого покрытия {U(x): x е X} пространстваX извлечём конечное (соответственно мощности не свыше т) подпокрытие. Соответствующие множества V(x) образуют подсемейство той же мощности в уь покрывающее Y в силу сюръективности отображения TD. Для завершения доказательства остаётся учесть, что каждое множество V(x) есть объединение лишь конечного числа элементов из у. ■

Определение 2. Пространства X и Y назовём (^^-эквивалентными, если существует гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y), представимый как композиция конечного числа гомеоморфизмов типа (E;F). Факт (Е^-эквивалентности пространств Xи Y

( )

будем кратко записывать так: X ~ Y. При (E;F) = (Mp(X) ; Mp(Y)) будем писать

m

X ~ Y и говорить, что Xи Ym-эквивалентны, а при (E;F) = (Dp(X) ; Dp(Y)) - писать

d

X ~ Y и говорить, что X и Y d-эквивалентны.

В обозначениях определения 2 можно так сформулировать элементарные следствия из теорем 2 и 3:

Следствие 5. (а) Если пространства X и Y m-эквивалентны и имеют счётную базу, то dimX = dimY.

(б) Если пространства X и Y d-эквивалентны и одно из них компактно, то и другое компактно.

(в) Если пространства X и Y d-эквивалентны, то l(X) = l(Y).

В связи с определением 2 возникают два вопроса.

Вопрос 1. При каком выборе подмножеств E с C°pCp(X), F с C0Cp (Y) из

определения 2 можно исключить слова «представимый как композиция конечного числа гомеоморфизмов»?

Вопрос 2. Каковы взаимосвязи между (Е^-эквивалентностями, определяемыми различным выбором пар (E;F)?

В направлении исследования второго вопроса идёт следующее Предложение. Для любого пространства X верно равенство Mp(X)nUp(X) = Lp(X).

Доказательство. Каждый линейный функционал, как уже упоминалось, является многочленом. В то же время, как известно, он равномерно непрерывен. Так что Mp(X)<^Up(X) з Lp(X). Покажем обратное включение. Для этого достаточно

m n

показать, что если peMp(X)\Lp(X), то pi Up(X). По определению p = 22 aijЫ , и

i =1 j=1

мы предполагаем, что существуют индексы k, l, 1< k <m, l > 2, такие, что aki ^ 0. Рассмотрим некоторую точку xesupp^k и функцию yeCp(X), такую, что ty(X) с [0;1] и равную нулю на всём носителе многочлена р, кроме точки x, где 9(x) = 1. Пусть T = {t-ф; teR}cCp(X). Тогда сужение многочлена р на

множество T есть степенная функция от t степени не ниже 2. В самом деле, ^Оф) = ан-О^ф))1 = aн•(t•afa;•ф(x))/ = akV •t (здесь afe - коэффициент линейного функционала при точке x). Поэтому при любом 8 > 0 можно выбрать достаточно большие по абсолютной величине t, s , такие, что |t—s| < 8, но [p(t- ф)—p(s • ф)| > 1. Поскольку |(t • ф)^)—(s • ф)(х)| = |(t—s) • ф(х)| < 8 при любом xeX, то заключаем, что p не равномерно непрерывен. ■

Следствие 6. Каждый равномерный гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y) типа (Mp(X) ; Mp(Y)) линеен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

2. Лазарев В.Р. О полиномиальных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2007. № 1. С. 28 - 32.

Статья принята в печать 16.10.2008 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.