Классификация свободных булевых топологических групп на ординалах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1(2)

УДК 512.546.1

Л.В. Гензе, С.П. Гулько, Т.Е. Хмылева КЛАССИФИКАЦИЯ СВОБОДНЫХ БУЛЕВЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП НА ОРДИНАЛАХ

В работе дана полная классификация свободных булевых групп В[1, а], пространств СД[1, а], П) всех непрерывных двухзначных функций на компактных отрезках ординалов [1, а] и сопряженных к ним пространств Ьр [1, а].

Ключевые слова: ординалы, свободные булевы топологические группы, классификация, Ъ2-линейные топологические пространства.

В статьях [3, 5] была дана полная линейная гомеоморфная классификация банаховых пространств С[1, а], где а - произвольное порядковое число (предварительные результаты см. также в [9, 11]). Она имеет следующий вид.

Теорема 1. [3, 5] Пусть [1, а] и [1, в] - бесконечные отрезки ординалов, причем а < в. Тогда банаховы пространства ^1, а] и ^1, в] линейно гомеоморфны в том и только в том случае, когда выполняется одно из трех взаимоисключающих условий:

a) существует не совпадающий ни с каким начальным регулярным кардиналом ординал у > 0, такой, что

юшТ < а < р < юшТ+1;

b) X- а < а < в < X- а+, где X - регулярный кардинал и а < X - произвольный кардинал (включая случай конечных кардиналов) и а+ - наименьший из кардиналов, больших а;

c) X2 < а < в < Xй, где X - регулярный кардинал. ■

Эту теорему можно сформулировать и иначе. Рассмотрим следующий класс ординалов

А = {; у > 0} и ^-а; где X и а - кардиналы, 1 < а < X}.

Назовем элементы множества А разделительными столбами на луче ординалов. Тогда теорему 1 можно переформулировать в следующем виде.

Теорема 1я. Пусть [1, а] и [1, в] - бесконечные отрезки ординалов, причем а < в. Тогда банаховы пространства ^1, а] и ^1, в] линейно гомеоморфны в том и только в том случае, когда не существует ординала 5еА, такого, что а < 5 < в, другими словами, между ординалами а и в нет разделительных столбов.

В последующей статье [4] было установлено, что классификация порядковых чисел а относительно линейных гомеоморфизмов пространств Ср[1, а], а также свободных топологических групп F[1, а], а также свободных абелевых топологических групп A[1, а] является фактически той же самой. А именно, имеет место

Теорема 2 [4]. Следующие условия эквивалентны:

1) пространства Ор[1, а] и ^[1, в] линейно гомеоморфны;

2) свободные топологические группы F[1, а] и F[1, в] топологически изоморфны;

3) свободные абелевы топологические группы A[1, а] и A[1, в] топологически изоморфны;

4) ординалы а и в удовлетворяют одному из трех взаимоисключающих условий а), Ь) и с) теоремы 1.

Последнее условие можно опять же переформулировать и так:

4а) между ординалами а и в нет разделительных столбов.

Целью данной статьи является аналогичная классификация свободных булевых топологических групп

B[1, а] и пространств всех 2-значных непрерывных функций Ср([1, а], D) (одновременно мы рассмотрим также классификацию пространств Lp([1, а], D), сопряженных к Ср([1, а], D) в естественном смысле). Мы покажем, что в окончательном своем выражении на языке самих ординалов эти классификации отличаются от вышеприведенной. Введем следующий класс ординалов:

А2 =^а; где X и а - кардиналы, X регулярен и 1 < а < X}.

Ясно, что этот класс является частью класса А. Следующая теорема является основным результатом этой статьи.

Теорема 3. Пусть [1, а] и [1, в] - бесконечные отрезки ординалов. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) свободные булевы топологические группы B[1, а] и B[1, в] топологически изоморфны;

2) пространства 0р([1, а], D) и ^([1, в], D) линейно гомеоморфны;

3) пространства ^р([1, а], D) и ^р([1, в], D) линейно гомеоморфны;

4) выполнено одно из следующих взаимоисключающих условий:

а) |а| = |в| = X и кардинал Xявляется сингулярным кардиналом или X = ю;

б) |а| = |в| = X, кардинал X является несчетным регулярным, X-а < а < в < X-а+,

где а - произвольный (возможно, конечный) кардинал, причем а < X;

в) |а| = |в| = X, кардинал X является несчетным регулярным и X2 < а < в < X+, где X+ - наименьший кардинал среди всех кардиналов, строго больших X.

Иначе последний пункт теоремы 3 можно переформулировать в следующем виде.

4а) между ординалами а и в нет разделительных столбов из класса А2.

Предложим еще одну формулировку данной теоремы.

Следствие 4. Пусть [1, а] - бесконечный отрезок ординалов. Тогда:

а) если |а| = X является сингулярным кардиналом или счетным кардиналом, то B[1, а] - B(a(®x[1, X]),*), ^[1, а] ~ ^(0^1, X]),*) и Lp[1, а] ~ Lp(a(®x[1, X],*);

б) если |а| = X является регулярным несчетным кардиналом и X-а < а < < в < X-а+, где а - произвольный (возможно конечный) кардинал, причем а < X, то B[1, а] - B(a(0„[1, X]),*), бр[1,а] ~ CДa(0„[1, X]),*) и Lp[1, а] ~ Lp(a(0„[1, X],*);

в) если |а| = X является регулярным несчетным кардиналом и X2 < а < в < X+, то B[1, а] - B(a(0x[1, X]),*), ^[1, а] ~ ^(0^1, X])) и Lp[1, а] ~ Lp(a(0x[1, X],*).

Таким образом, для этих трех эквивалентностей отрезок ординалов [1, а] эквивалентен одноточечной компактификации дискретной суммы X экземпляров отрезков [1, X], если |а| = X и либо X есть счетный, либо X сингулярный кардинал, либо X2 < а < X+. В оставшемся случае [1, а] эквивалентен одноточечной компактификации дискретной суммы а экземпляров отрезков [1, X], если |а| = X, X есть регулярный кардинал и X-a < а < в < X-а+ для кардинала а, 1 < а < X.

Обозначения и терминология

Символами а, в, У, § будем обозначать порядковые числа (= ординалы), а X, а, т - кардиналы, причем X, как правило, будет бесконечным кардиналом, а а не обязательно. Символ ю будет обозначать первый бесконечный ординал. Кардиналы мы отождествляем с начальными ординалами данной мощности. Алгебраические операции, в частности операцию возведения в степень над ординалами и кардиналами, мы будем понимать в порядковом смысле, если, конечно, не оговорено противное. Для произвольного ординала а будем обозначать через |а| его мощность.

Символом X= 0/Е/ X мы будем обозначать дискретную сумму семейства топологических пространств, причем в случае X = У мы будем просто писать 0^ У, где X - мощность индексного множества I. Для локально компактного некомпактного пространства X через а(Х) = Хи{ш} мы будем обозначать его одноточечную компактификацию.

Для произвольного вполне регулярного топологического пространства X символом С(Х, У) будем обозначать пространство всех непрерывных отображений /. X ^ У. Если У совпадает с вещественной прямой, то будем писать просто С(Х). Если эти пространства наделены топологией поточечной сходимости, то будем использовать обозначения Ср(Х, У) и Ср(Х).

Для произвольного множества X обозначим через В(Х) множество всех формальных сумм х\+...+хп, где хь...,хпеХ, которые будем называть словами. При этом для произвольного элемента хеХбудем считать, что х + х = 0. Число п будем называть длиной слова х!+.+хп и будем писать || х!+.+хп || = п. Обозначим через Вп(Х) множество всех слов длины <п. Будем считать, что В(Х) содержит также пустое слово, которое будем обозначать символом 0, при этом положим ||0|| = 0. Ясно, что В(Х) = ип Вп(Х). Множество Х можно рассматривать как совокупность всех слов длины 1. Фактически Х можно рассматривать как множество образующих (базисом) в В(Х).

Булевой топологической группой назовем любую топологическую группу G, в которой порядок любого элемента равен 2. Хорошо известно, что такая группа является абелевой, поэтому для записи основной операции мы будем использовать знак «+». Введенная выше группа В(Х) является булевой. Предположим, что Х является топологическим пространством, которое удовлетворяет аксиоме полной регулярности. Наделим В(Х) сильнейшей групповой топологией, сужение которой на Х совпадает с топологией этого пространства. Так, определенная группа является свободной булевой группой (ср. [1, 2]). Мы будем ее обозначать тем же символом В(Х). Некоторые свойства В(Х) описаны в [1].

Для булевых топологических групп, как и в общей ситуации свободных топологических групп, возможны два подхода, которые приводят к определению групп ^о(Х) - в смысле Граева и ^М(Х) - в смысле Маркова, причем группа ^М(Х) топологически изоморфна группе ^О(Х0{*}), где * - некоторая точка, Так как мы рассматриваем X как бесконечный отрезок ординалов, то Х0{*} гомео-морфно самому X. Следовательно, в этом случае ГС(Х) - ^м(Х), и мы можем говорить просто о свободной топологической группе F(X). Ниже для определенности мы принимаем терминологию Граева, тем более что она несколько удобнее в наших рассуждениях.

Определение. Пусть X- вполне регулярное топологическое пространство, и х0 - фиксированная точка в нем. Свободной булевой топологической группой (в смысле Граева) пространства X с выделенной точкой х0 называется топологическая группа В(Х, х0) со свойствами:

1. X есть замкнутое подпространство в В(Х, х0).

2. X алгебраически порождает В(Х, х0) и х0 является единицей этой группы.

3. Любое непрерывное отображение / из X в некоторую булеву топологическую группу G, переводящее точку х0 в нейтральный элемент группы G, продолжается до непрерывного гомоморфизма В(/): В(Х, х0) ^ G.

Иногда мы будем писать В(Х) вместо В(Х, х0), но тем не менее некоторая точка подразумевается. Впрочем, см. следствие 11 ниже. Нам важно выделить последний пункт этого определения в отдельное предложение.

Предложение 5. Для любого непрерывного отображения/: Х ^ G в топологическую булеву группу G существует непрерывное продолжение / : В (X) ^ G , которое является гомоморфизмом групп. ■

Факт изоморфизма групп В(Х) и В(У) будем обозначать через В(Х) - В(У). Если и: В(Х) ^ В(У) - соответствующий изоморфизм, то мы будем писать ||и|| < п и говорить, что изоморфизм имеет норму <п, если и— (У) с Xп и и (X) с Уп, т.е.

каждый элемент одного базиса может быть записан в виде суммы не более чем п элементов другого базиса. Заметим, однако, что могут существовать изоморфизмы с бесконечной нормой.

На множество В(Х) можно смотреть как на векторное пространство над полем Ъ2 = {0,1}. Мы наделим Ъ2 дискретной топологией и в этом случае будем обозначать его через D. Через Ср([1, а],П) обозначим множество всех непрерывных двухзначных функций на [1, а], наделенное топологией поточечной сходимости. Ясно, что это пространство является топологическим векторным пространством над полем Ъ2.

Рассмотрим сопряженное к пространству Ср(Х, D), т.е. совокупность всех непрерывных линейных над полем Ъ2 функционалов ф: Ср(Х, D) ^ D . Оно также является векторным пространством над полем Ъ2. Обозначим его Lp(X, D) и наделим самой слабой линейной топологией, относительно которой все отображения вида ф ^ ф (/) являются непрерывными для любого /е Ср(Х, D). Заметим далее, что для любого хеХ функционал на пространстве Ср(Х, D), определенный правилом / ^ / (х), является линейным и непрерывным, т.е. его можно рассматривать как элемент пространства Lp(X, D). Более того, множество Х образует базис в этом линейном пространстве, и любой элемент Lp(X, D) может быть записан в виде конечной булевой комбинации х1+...+хп. С алгебраической точки зрения В(Х) и Lp(X, D) идентичны, но топологию они несут, вообще говоря, разную.

Отметим также, что (булевым) сопряженным к Lp(X, D) является Ср(Х, D), т.е. эти два пространства находятся в обычной двойственности и для них верно следующее утверждение.

Предложение 6. Линейный оператор Т: Cp(X,D) ^ Cp(У,D) является непрерывным тогда и только тогда, когда сопряженный оператор

Т : Lp(У, D) ^ Lp(X, D), заданный формулой Т (ф)(/) = /(Тф), где ф е Lp(У, D) и /е Ср(Х, D), является непрерывным. ■

В частности, пространства СД[1, а], D) и СД[1, в], D) линейно гомеоморфны тогда и только тогда, когда пространства Lp([1, а], D) и Lp([ 1, в], D) линейно гомеоморфны, т.е. пункты 2 и 3 теоремы 3 эквивалентны.

Вспомогательные утверждения и факты

Импликация 1)^2) нашей теоремы 3 вытекает из следующего общего факта.

Теорема 7. Если свободные булевы топологические группы В(Х) и В(У) топологически изоморфны, то пространства СДХ, D) и Ср(У, D) линейно гомеоморфны.

Доказательство. Пусть и есть топологический изоморфизм В(Х) на В(У). Тогда для хеХ элемент и(х) может быть единственным образом записан в виде суммы у1(х)+.+ уп(х), где п зависит от х. Определим оператор Т: Ср(У, D) ^ СДХ, D) формулой Т/(х) = /(у1(х))+...+/ (уп(х)). Нетрудно проверить, что это искомый линейный гомеоморфизм. ■

Опишем теперь методы установления изоморфизма булевых топологических групп, которые мы используем в этой статье. Следующие две леммы очевидны.

Лемма 8. Если и и V - изоморфизмы свободных булевых топологических групп с конечными нормами, то ||и-^| < ||и||-||^|. ■

Пусть К - замкнутое подпространство в Х. Обозначим через X /К пространство, полученное из Х стягиванием множества К в точку и наделенное сильнейшей вполне регулярной топологией, относительно которой естественная проекция р: Х^ X /К непрерывна. Если пространство Х нормально, то X / К является обычным факторпространством пространства Х. Легко видеть, что из непрерывности композиции /°р, где /: X / К ^ К- некоторое отображение в тихоновское пространство Р, следует непрерывность/. Очевидна следующая

Лемма 9. Пусть Х- компакт и К - его замкнутое подмножество. Тогда фак-торпространство X/К гомеоморфно одноточечной компактификации а^/К ). ■

Для случая банаховых пространств есть стандартная схема построения линейных гомеоморфизмов. При этом используются дополняемые подпространства и порождаемые ими разложения в декартово произведение. Детали можно найти, например, в книге Пелчинского [8]. В пространствах непрерывных функций С(Х) линейные проекции порождаются, например, ретракциями в Х. Аналогичная схема может быть использована и для свободных топологических групп (см., например, статью Окунева [7]). Изложим вариант этих методов в нужном нам контексте.

Теорема 10. Пусть К - ретракт X и пусть у0 = р(К), где р: Х ^ X/К - естественная проекция. Пусть, далее, Х+ = X0 {*}, где *£X Тогда существует топологический изоморфизм и: В(Х,*) ^ B((X/К)0K,у0) с нормой ||Ц|| < 2.

Доказательство. Пусть г - ретракция X на К. Определим отображение g: Х+ ^ В(^ /К)0К, у0) формулой

(х) = { Уо ’ Х = *’

^ \р(х) + Г (х) ’ х е X.

Так какр(х)е X/К и г(х)еК, то отображение заданно корректно. Оно непрерывно, ибо непрерывны операция сложения и, кроме того, отображения р и г. Определим также отображение

[х + г (х), у е X / К, у = р(х).

Отображение Н определено корректно, так как при у Ф у0 существует единственное хеХ, такое, что у = р(х), а если у = у0 и у = р(х), то хеК, следовательно, г(х) = х и Н(у0) = *. Непрерывность Н в точках множества К очевидна. Для оставшегося случая рассмотрим отображение /: Х ^ В(Х,*), заданное формулой /(х) = *+х+г(х). Очевидно, что отображение / непрерывно и / = Н°р. Так как В(Х,*) есть вполне регулярное пространство, то получаем, что Н непрерывно в точках X /К Продолжим § и Н до непрерывных гомоморфизмов В(§) и В(Н). Несложные вычисления показывают, что эти гомоморфизмы являются взаимообрат-ными. Остается только положить и = В(§). ■

Следствие 11. Пусть пространство Х гомеоморфно пространству Х0{*}, где * £ Х. Пусть далее хг и х2 - некоторые точки в Х. Тогда В(Х, х{) - В(Х, х2), причем норма изоморфизма не превосходит 4.

Доказательство. Пусть К={х} - одноточечное подмножество в Х и у - та же точка х, но рассматриваемая как элемент пространства X К. Тогда пара (^К) 0 К, у) гомеоморфна паре (Х, х). Возьмем теперь К1={х1} и К2={х2}. По теореме 10 В(Х, х1) - В(Х0{*},*) и В(Х, х2) - В(Х0{*},*), причем нормы изоморфизмов не превосходят 2. Осталось применить лемму 9. ■

Замечание 12. Теорема 10 и следствие 11 являются аналогами хорошо известного в функциональном анализе метода разложения линейных топологических пространств в декартовы произведения (восходящего к Банаху и Борсуку - см., например, [12,13]), только перенесенного на свободные булевы топологические группы. Впервые такого рода конструкции для свободных групп использовал Окунев [7]. Фактически наше доказательство является определенной перефразировкой доказательств из [3,5] на язык групп.

Доказательство основной теоремы 3

Лемма 13. Пусть {Х; геТ} и {У; геТ} - два семейства попарно дизъюнктных локально компактных пространств. Тогда если В(а(Х), да) - В(а(У), да) для каждого 1е1, то В(а(0,ЕХ), да) - В(а((01<Е1У), да).

Доказательство. Искомый изоморфизм определяется естественным образом: каждой букве хеХ сопоставляем именно то слово, которое ему соответствует при заданном изоморфизме В(а(Х), да) - В(а(У), да). Это соответствие естественным образом расширяется на слова, составленные из этих букв. ■

Замечание 14. Аналогичное утверждение статьи [4] содержит дополнительное ограничение на координатные изоморфизмы для каждого геТ, а именно, они не должны «удлинять» слова более чем в п раз для некоторого числа п. Здесь этого ограничения нет и этот факт указывает на большое отличие структуры свободных булевых групп от структуры групп -Р(Х) и А(Х).

Следующее утверждение легко доказывается и хорошо известно (см., например, [14]).

Лемма 15. Каждое замкнутое подмножество произвольного отрезка ординалов является его ретрактом. ■

Лемма 16. Если а - бесконечный ординал, то пространство [1, а] гомеоморфно пространству [1, ю^-п] при некотором £ и пе [1, ю).

Доказательство. Это утверждение есть известная теорема Мазуркевича -Серпинского (см. [10; 12, предложение 8.6.5]). ■

Из перечисленных выше утверждений следует ключевое

Предложение 17. Пусть К есть замкнутое конфинальное подмножество в отрезке ординалов [1, а], гомеоморфное отрезку [1, в], причем наименьший элемент в К бесконечен и строго больше, чем в. Пусть, далее, Н: [1, в] ^ К - соответствующее гомеоморфное вложение. Тогда В[1, а] - В(а(0уеК[Н(у), Н(у+1)), да). ■

Лемма 18. Пусть а является бесконечным ординалом и X = |а|. Тогда

1) если а > X2, то В[1, а] - В(а(0х[1, X]), да);

2) если X-а < а < X-a+, то В[1, а] - В(а(0ст[1, X]), да).

Доказательство. 1). Пусть а = X2. Обозначим К = ^а; а - кардинал, 1 < а < X}. Это замкнутое подмножество в отрезке ординалов [1, X2], гомеоморфное отрезку [1, X]. По предложению 17 В[1, X2] - В(а([1, X2]\K)0K, да). Подпространство [1, X2]\K есть дискретное объединение интервалов ^-а, X-a+). Одноточечная компактификация интервала ^-а, X-a+) гомеоморфна отрезку [1, X]. Суммируя эти аргументы, приходим к выводу, что В[1, X2] - В(а(0х[1, X])0[1, X], да), которое можно отождествить с В(а(0х[1, X]), да).

Пусть теперь а > X2. Согласно лемме 16, нам достаточно доказать утверждение для ординала а, имеющего вид а = юр-п. Так как X является кардиналом, то X = юх

2 X2 В 2X2

(см. [6]) и поэтому X = ю ' . Из а = юр-п > X = ю ' мы заключаем, что в > X•2. Пусть теорема уже доказана для всех ординалов у, у < в. Предположим вначале, что п = 1. Тогда рассмотрим замкнутое множество К = {юу^2 < у < в} в отрезке [1, юв]. Применяя предложение 17, приходим к выводу, что В[1, юв] - В(а(0х[1, X]), да), что и требовалось. Пусть теперь а = юр-п и для чисел ю^к, к < п, утверждение уже доказано. Пусть К = {юр-(п-1)+у; 1 < у < юв}. По предложению 17 группа В[1, юр-п] изоморфна группе В(а(0ир[1, юр-(п-1)]), да), которая по предположению индукции изоморфна группе В(а(0х[1, X]), да).

Рассмотрим, наконец, случай X-a < а < X-a+. Тогда ординал а можно записать в виде а = X-a+в. Хорошо известно и легко видеть, что отрезок [1, X-a+в] гомео-морфен отрезку [1, X-a]. Возьмем теперь в качестве К замкнутого множества К = ^-в; 1 < в < X}. Применение предложения 17 приводит, как и выше, к изоморфизму В[1, X-a] - В(а(0ст[1, X]), да). Что и требовалось доказать. ■

Следующая лемма очевидна.

Лемма 19. Если В(а(0хХ), да) - В(Х), то В(а(0<Х), да) - В(Х) для любого кардинала а, 1 < а < X.■

Лемма 20. Пусть X - сингулярный кардинал. Тогда В[1, X] - В(а(0х[1, X]), да).

Доказательство. Так как X сингулярен, то он является пределом меньшего числа меньших кардиналов. Отсюда следует [6], что существует трансфинитная возрастающая последовательность Xp < X, в < а, сходящаяся к X, причем а < X. Обозначим первый элемент этой последовательности через а, т.е. а = X1. Очевидно, что к X будет сходиться и последовательность ординалов . Рассмотрим

замкнутое подмножество К = {в ;Р<а} {X} в отрезке [1, X]. Опять, применяя

предложение 17, мы придем к выводу, что В[1, X] изоморфно В(а(0р<оХр), да), где > 1 и Х1=[1, X1]. Пространство Хр гомеоморфно [1, ) и

по первому пункту леммы 18 B(a(Xp), да) изоморфно группе B (a (®Лр [1, Хр), да).

Другими словами, каждое Хр оказалось эквивалентным одноточечной компакти-фикации дискретной суммы своих копий в числе Хр экземпляров. По предыдущей лемме оно будет эквивалентно и дискретной сумме с меньшим числом слагаемых, в том числе сумме ст экземпляров. Отсюда мы заключаем, что группа B[1, Х] изоморфна группе B(a(®CT[1, Х]), да). Итак, мы доказали, что отрезок [1, Х] эквивалентен любой одноточечной компактификации прямой суммы своих копий в любом числе, меньшем самого Х. Но теперь мы можем записать B[1, Х] = B(a(®|a|[1, Х]), где а -как в начале доказательства. Далее, пользуясь тем, что каждое слагаемое [1, Х] в этой сумме эквивалентно дизъюнктной сумме Хр своих копий, мы выводим, что вся сумма ®|а|[1, Х] эквалентна дизъюнктной сумме ®р<а ®Л|3 [1, X]. Но

X = ^ Хр , следовательно, лемма доказана. ■

в<а

Теперь рассмотрим оставшийся случай, когда ординалы а и в лежат в промежутке [Х, Х2), где Х является регулярным кардиналом.

Лемма 21. Пусть Х является регулярным несчетным кардиналом и ст, т - кардиналы, такие, что 1 < ст < т < Х. Тогда пространства Lp([1, Хст], D) нельзя отобразить линейно и непрерывно на Lp([1, Хт], D).

Доказательство. Предположим, что существует линейная непрерывная сюръекция S пространства L^([1, Хст], D) на пространство Lp([1, Хт], D). Мы уже знаем, что пространство Lp[1, Хст] можно отождествить с пространством Lp(a(®CT[1, Х]), да) и соответственно Lp([1, Хт] с L^(a(®T[1, Х], да). Пусть это сделано. Для каждого ординала а обозначим через La (соответственно Ma) множество всех элементов из Lp(a(®CT[1, Х], да) (соответственно L^(a(®T[1, Х], да)) , в записи которых используются только элементы из a(®CT[1, а]) (соответственно a(®T[1, а]). Покажем, что существует замкнутое и конфинальное подмножество А ординалов в [1, Х), такое, что S(La) = Ma для всех аеА. Для этого установим, что для произвольного бесконечного ординала в < Х, такого, что в > ст, существует ординал аеА, такой, что а > в и |а| = |в|. Положим у1 = в. Если ординал у„ уже определен, то выберем у„+1 равным супремуму тех ординалов 5, которые входят в запись элементов S(x) для хе Ly . Ясно, что ординалы последовательности уи имеют одина-

in

ковую мощность и образуют неубывающую последовательность. Положим а = sup у„. По построению ясно, что аеА.

Итак, множество А не пусто и конфинально Х. Замкнутость А следует из непрерывности оператора S. Выберем в А строго возрастающую последовательность а1 < а 2<..., и пусть а„ = sup а„. В силу замкнутости А элемент а„ ему принадлежит. Имеем S( La ) = Ma при n = 1,2,.,да. Следовательно, S( La^ \ и®=1 La ) =

= Ma^ \ и*=1 Man. Но последнее невозможно, так как множества La^ \ и®=1 La^ имеет мощность ст, а множество Ma \ и“=1 Ma имеет мощность т и т > ст. Полученное противоречие доказывает теорему. ■

Совокупность представленных здесь утверждений завершает доказательство теоремы 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 11 - 13.

2. Граев М.И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1948. Т. 12. № 3. С. 279 - 324.

3. Гулько С.П., Оськин А.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61 - 62.

4. Гулько С.П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вестник ТГУ. 2003. Т. 280. С. 34 - 38.

5. Кисляков С.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293 - 300.

6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

7. Окунев О.Г. Метод построения М-эквивалентных пространств // 5-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее прил. 1985. С. 186.

8. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций. М.: Мир, 1970.

9. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia Math. 1960. V. 19. P. 53 - 62.

10. Mazurkiewicz S., Sierpinski W. Contributions a la topologie des ensembles denombrales // Fund. Math. 1920. V. 1. P. 17 - 27.

11. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. sci. ser. math., astron. et phys. 1960. V. 8. P. 81 - 84.

12. Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. Warszawa: Monogr. Mat., 1971.

13. BorsukK. Uber Isomorphie der Funktionalraume // Bull. Int. Acad. Pol. Sci. 1933. P. 1 - 10.

14. Van Douwen E.K. Simultaneous extension of continuous functions. Amsterdam, 1975.

Принята в печать 17.11.07.