CC BY
35
В.Р. Лазарев
О МОДИФИКАЦИИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛА С КОНЕЧНЫМ НОСИТЕЛЕМ
Настоящая заметка является продолжением и развитием работы [1]. Вводится и изучается более узкое, по сравнению с [1], пространство функционалов с конечным носителем. Установлено, что в ряде случаев оно обладает лучшими свойствами, нежели версия из [1]. В частности, отображение носителя оказывается полунепрерывным снизу и частично полунепрерывным сверху.
В отношении обозначений и терминологии, касающихся пространств вида Ср(Х), мы следуем монографии [2]. Там же можно почерпнуть и многие сведения об этих пространствах. Прочие термины и обозначения наследуются из [1].
Исходным объектом рассмотрения в данной статье является пространство С С (X), состоящее из непрерывных вещественнозначных функций на С (X), обращающихся в 0 на нулевом элементе пространства С (X). Элементы пространства С С (X) мы, для краткости, называем функционалами. По существу, мы изучаем различные обобщения понятия линейного функционала.
В [1] введено следующее определение функционала с конечным носителем:
Определение 0. Пусть f е СйрСр(X), К с X - конечно. Пусть
1) Уе> 0, Уфе Ср (X) 38 > 0 такое, что
Ууе С, (X), для которого
|ф-у|(к)<8 f (ф)-/(у)|<е ;
2) УМ с К, М * К Зф = фме Ср (X), Зе = ем> 0 , такие, что У8 > 0 Зу е Ср (X), для которого
/(ф) -/(у) > 8 несмотря на то, что |ф - у|(М) < 8 .
Тогда / называется функционалом с конечным носителем, а соответствующее множество К - носителем этого функционала.
Ниже мы видоизменяем это определение путем ужесточения условия 2).
Определение 1. Пусть f е СрСр(X), К а X - конечно. Пусть
а) Уе> 0, Уфе Ср (X) 38 > 0 такое, что Ууе С, (X) , для которого
|ф-у|(к)<8 f (ф) -/(у)| <е ;
б) Зе > 0 такой, что Ух е К существует окрестность Ох точки х такая, что для всякой более узкой окрестности О этой точки Зф е Ср (X), для которой |/(ф)| > е несмотря на то, что |ф|(X \ О) = 0 . Тогда / называется
функционалом с конечным носителем, а соответствующее множество К - носителем этого функционала.
Ясно, что если / - функционал с конечным носителем К в смысле определения 1, то он является таковым и в смысле определения 0. По предложению 1 статьи
[1] носителем / в смысле определения 0 будет то же самое множество К. Поэтому справедливы следующие утверждения, установленные в [1]:
Лемма 1. Функционал f = 0 ^ К = 0 .
Лемма 2. (1) Если конечное К с X удовлетворяет условию а) по отношению к некоторому f е СйрСр (X),
то всякое более широкое М с X - тоже.
(2) Если конечное К с X удовлетворяет условию б) по отношению к некоторому f е С°рСр (X), то всякое более узкое М с X - тоже.
Лемма 3. Если / - функционал с конечным носителем К , ф,^е Ср(X) и ф совпадает с у в точках К , то /(ф) = /(у).
Предложение 1. Каждый функционал с конечным носителем (в смысле определения 1) имеет единственный носитель.
Множество функционалов с конечным носителем в смысле определения 1 обозначим через Ь (X).
Предложение 2. Ь (X) есть векторное подпространство в СрСр (X) .
Доказательство. Пусть / g - элементы Ь (X), К(/),
К(§) - их носители. Точно так же, как в [1] (предложение 2), доказывается, что К(f) и К(g) отвечает свойству а) по отношению к / + g. Покажем, что К (f) и К (g) обладает и свойством б) по отношению к /+ g. Так как К/ и К(£) обладают свойством б) по отношению к / и g соответственно, то существуют соответствующие 8/- и ег. Положим 8 = шт(е^, 8^). Пусть х е К(f) и К(g) и Ох -
окрестность точки х, не пересекающаяся с ((/) и К(g))\ {х}. Если, например, х е К(/), то найдется ф е Ср (X), равная нулю вне Ох , такая, что /ф) Тогда |(/ + g )(ф)| = |/ (Ф) + g (ф)| = |/ (ф)| > Е/ >е . Так же рассматривается случай х е К (g). Итак,
К(/ + g) = К(/) и К(g) и мы заключаем, что ( / + е ) Е 1р (X) .
Легко доказывается, что если / е Ь (X), X - скаляр, то X/ е Ьр (X) , причем при X Ф 0 , К (X/) = К (/).
Замечание. Рассуждая точно так же, как и в предложении 2 из [1], можно установить, что К(f) и К(g) обладает свойством а) и для f ■ g . Однако, как легко проверить, свойство б) выполняется лишь для К(/) п К(^) . Если же, например, х е К(/)\Ки Ох - окрестность точки х, не пересекающаяся с К(g), то, взяв любую функцию ф из Ср(Х), равную нулю вне Ох, получим (/ • g )(ф) = / (ф) • g (ф) = / (ф)- 0 = 0. Стало быть, б) нарушено для каждого подмножества в К(/) и К(§■), более широкого, чем К(/) п К(g). За-
ключаем, что если К(/) = К(g), то f ■ g е Ь (X), причем Щ^) = К(/) = К(g).
Предложение 3. Если и : Я ^ Я - непрерывная функция, и(0) = 0 , у е Ьр (X), то композиция
и о у е Ь (х) .
Доказательство см. [1]. ■
Из предложения 3 и очевидной модификации пункта (б) теоремы 2 из [3] вытекает
Следствие 1. Ь (X) всюду плотно в С°рСр (X).
Следствие 2. Ьр (X) с Ьр (X).
Доказательство. Каждый у е Ьр (X) есть и ° у при и(г) = г .
Зафиксируем теперь конечное подмножество К в X и обозначим Ьк = {/ е Ьр (X) / К(/) с К}.
Предложение 4. Для любого конечного К а X множество Ьк замкнуто.
Доказательство. Покажем, что дополнение к Ьк открыто в Ь (X). Пусть g & Ьк . Значит, К(§-)\К Ф 0.
Возьмем точку х из К(§-)\К и её окрестность Ох такую, что ОхПК = 0. Найдутся тогда е0 > 0 и ф0 из Ср(Х) такие, что ф0 обращается в 0 вне Ох, но |^(ф0)| > е0. В то же время V/ е Ьк ^ / (ф0) = 0 .
Поэтому стандартная окрестность и(д, {ф0}, )
точки g не пересекается с Ьк, т.е. дополнение к Ьк открыто.
Все функционалы из Ь (X) можно «рассортировать» по количеству точек в их носителе:
Ьр(X) = и 1п , где ьп = / е /(X)/|К(/)| < п}.
п&Ы
Положим Мп=Ь„\Ьп-].
Предложение 5. Для каждого п из N множество Ьп замкнуто.
Доказательство. Схема рассуждений похожа на предыдущую. Пусть g £ Ьп , т.е. |К(g)| = т > п +1. Пусть ¥\,
... ¥т - дизъюнктные окрестности точек К^). По свойству
б) носителя К^) найдутся непрерывные на X функции фь ... фт такие, что ф; равна 0 вне V и |ё(ф/)| > 0.
Рассмотрим канонические продолжения
ф,. : СрСр (X) ^ Я, ф,. (g) = g (ф,.) функций ф,. Как известно ([2]), эти продолжения непрерывны, а потому
( т ^
множество и = Ьр(X)п| ^ф,. (\{0}) открыто в
Ь=1 )
Ьр (X) (и содержит g).
Далее, если f еи, то /ф,) > 0 для всех I < т . Поэтому равенство К(/) п V = 0 невозможно ни для какого I, ибо иначе было бы /ф) = 0 в противоречие с предыдущим. Итак,
К(/) п V * 0 V/ < т , откуда |К (/)| > т и f £ Ьп . Заключаем, что и п Ьп = 0, т.е. дополнение к Ьп открыто, а само Ьп замкнуто.
Применяя сходный прием, можно доказать следующее.
Предложение 6. Конечнозначное отображение К: Ь (X) ^ X полунепрерывно снизу и полунепрерывно
сверху на каждом М„.
Доказательство. Установим сначала полунепре-рывность снизу.
Пусть /е Ь (X) и G - открытое в X множество, пересекающееся с К(/). Пусть { / х е К(f)} - дизъюнктное семейство окрестностей точек х из К(/) таких, что если х е G, то V с G. По свойству б) носителя К(/)
для каждого х из К(/) существует фх из Ср(Х), равная нулю вне ¥х и такая, что |Дфх)| > 0. Как и в доказательстве предыдущего предложения, положим
( \
U = L (X) п
П (\{°>)
yx^K(f)
Аналогично докажем, что при g е и неизбежно К(g) п Ух ^0 при всех х из К(/), откуда и вытекает требуемое заключение.
Понятно также, что если /е Мп и К(/) с О , то из тех же рассуждений следует, что К (и п Мп) с G , что, в свою очередь, означает полунепрерывность сверху отображения К на Мп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лазарев В.Р. О пространстве функционалов с конечным носителем // Вестник ТГУ: Бюл. оперативной научной информации «Актуальные
проблемы алгебры и анализа». 2005. № 54. С. 80-87.
2. АрхангельскийА.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.
3. Лазарев В.Р. Один пример всюду плотного множества многочленов в CPCP(X) // Междунар. конф. по математике и механике: Избр. докл.
Томск, 2003. С. 55-59.
Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.
