О расширенном сопряженном к пространству Ср(х) Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.Р. Лазарев

О РАСШИРЕННОМ СОПРЯЖЕННОМ К ПРОСТРАНСТВУ Ср(Х)

Вводится понятие расширенного сопряженного пространства к пространству СР(Х) непрерывных вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X и устанавливаются некоторые его основные свойства. В частном случае Х=аМ устанавливается свойство типа дополняемости обычного спряженного к СР(Х) в расширенном сопряженном.

Мы рассматриваем только тихоновские (то есть вполне регулярные Т1-) топологические пространства и называем их всюду просто пространствами. Как обычно, через R и N обозначаются множества вещественных и соответственно натуральных чисел. Если X - пространство, то Cp(X) - пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на X, снабженное топологией поточечной сходимости. Cp(X) является топологическим кольцом по отношению к обычным операциям над функциями. По отношению только к сложению и умножению на скаляр Cp(X) есть л.в.п. Топологическое сопряженное к нему обозначается через Lp(X). О строении и свойствах Lp(X) можно прочесть, например, в [1]. В частности, известно, что Lp(X) - замкнутое линейное подпространство в CpCp(X) (всегда CpCp(X) означает Cp(CP(X))). В связи с этим возникает естественный вопрос: возможно ли, и если да, то при каких условиях на пространство X, что Lp(X) дополняемо в CpCp(X)? В настоящей заметке предлагается подход к исследованию свойства типа дополняемости Lp(X), правда, в некотором специальном подпространстве в CpCp(X). Это подпространство обозначается нами как Lp*(X) и называется расширенным сопряженным к Cp(X).

Пусть о - нулевой элемент в Cp(X), K - конечное подмножество из X, 5 > 0. Через O(K,5) будем обозначать стандартную окрестность точки о в топологии поточечной сходимости.

Определение. Скажем, что функция f из CpC„(X) принадлежит расширенному сопряженному Lp (X), если f (о) = 0, и выполнено следующее условие: существует конечное подмножество K = Kf из X такое, что для любого е > 0 найдется 5 > 0, при котором выполнено включение f (O(Kf, 5)) с (-е; е).

Непосредственно из определения вытекает следующая лемма, доказательство которой за очевидностью опускаем.

Лемма. Если tyeCp(X) и ф(х) = 0 для всякого xeKf, то f (ф) = 0.

Нижеследующие факты оправдывают применяемый нами термин «расширенное сопряженное пространство».

Предложение 1. Lp(X) с L#p(X).

Доказательство. Если f eLp(X), то f = 0ВД+... + anxn, где a,-eR, x,eX, i = 1,...,n. Можно взять Kf = {xb...,xn}. Действительно, пусть е > 0. Легко понять, что если 5 = е/n• max{ai|,i = 1,...,n}, то

f (O(Kf, 5)) с (-е ; е). Что и требовалось доказать.

Предложение 2. L*(X) - подкольцо (и, тем более, линейное подпространство) в CpCp(X).

Доказательство. Пусть f и g - элементы Lp#(X). По определению, мы располагаем множествами Kf и Kg. Пусть е > 0. Выберем 5f и 5g по е/2. Понятно, что если |ф(х)| < min (5f, 5g) при x eKf uKg, то (f + g)^) £ e (-е; е). Поэтому в качестве Kf+g можно выбрать Kf u Kg. Таким образом, f + g e Lp#(X). Так же элементарно доказывается замкнутость Lp#(X) и относительно произведения функций и по умножению на скаляр. Что и требовалось доказать.

Обозначим через Ср°Ср(Х) подпространство в СРСР(Х), состоящее из функций, обращающихся в ноль на нулевом элементе СР(Х). Следующее предложение означает, что ЬР(Х) - собственное подмножество в Ьр(Х).

Предложение 3. ЬР#(Х всюду плотно в СР0СР(Х).

Доказательство. Зафиксируем произвольное стандартное открытое множество в СР0СР(Х). Оно имеет вид и = и(фь...,фи, /ь.../и, е), где ф,£ Ср(Х), и = (г,-е ; г,+е) с Я, , = 1,...,п, е > 0. Множество и состоит из таких функций /еСР°СР(Х), что /(ф,)е1г при всех , = 1,...,п. Нетрудно показать, что на линейной оболочке Бр(ф1,. ,фп) с СР(Х) можно задать непрерывный линейный функционал, различающий элементы ф1,.,фп. Продолжив этот функционал на СР(Х) по теореме Хана - Банаха, получим функционал уеЬР(Х), значения которого у(ф,) = и попарно различны. Возможны два случая:

Случай 1. Некоторое ф* = о. Тогда, конечно, 4 = 0 и, кроме того, можно считать, что г* = 0.

Случай 2. Каждое ф, ф о. Тогда добавим к набору (ф1,.,фп) функцию фп+1 = о и построим соответствующий функционал у. Мы получим, что ^ ф 0 при , < п.

Далее, как хорошо известно, существует многочлен р: Я——Я такой, что р(/,) = г, при , < п, р(4+1) = = р(0) = 0. Как легко видеть, композиция р о у есть элемент СР°СР(Х) и (р о у) £ и. Покажем, что (р ° у) £ £ Ьр(Х). Мы имеем у = а1х1+.+апхп. Положим К = = Кроу= {хь...,хп}. Пусть е > 0. Найдется с > 0 такое, что р((-с; с)) с (-е; е). Теперь остается воспользоваться предложением 1. Что и требовалось доказать.

Ниже мы покажем на примере, что, вообще говоря, 1р#(Х) ф Ср0Ср(Х).

Далее в качестве Х будет фигурировать одноточечная компактификация аМ множества N натуральных чисел. Единственную неизолированную точку пространства аМ обозначим через 0. Образы точек аМ в СрСр(аМ) при каноническом отображении вычисления будем обозначать через 0', 1', 2', ... п', и так далее. Пространство С(аМ) есть с. Имея в виду хорошо известный изоморфизм Т: с0 ^ с, Т(х1, х2, х3,...) = (х2 + XI, х3 + хь...), будем отождествлять с и с0. (Напомним, что все пространства отображений и, в частности, с и с0 рассматриваются в топологии поточечной сходимости. Относительно этой топологии изоморфизм Т является топологическим). Сопряженные пространства с0 и £р(аМ) так же (топологически) изоморфны и ниже не различаются. Соответствующий оператор Т': Хр(аМ) — с0 действует по обычной формуле Т(я)(у) = g(T(y)). Так как

g(T(y)) = g(У2+Уl ,уз+у1,.) =

= (*,00'+М'+.+*,пП')(у2+у1,.уп+у1,.) =

= 1^1 +1 (у2+у1 )+.+^п(уп+1 +у1) =

= (10+.+Хп)у 1 +1^2+- • • +^уп+1 =

= ((10+.+1п)1 '+112'+.+1п(п+1)')(у),

то заключаем, что Т(£) записывается в виде линейной комбинации элементов 1',...,(п+1)'. Поскольку отображение Т сюръективно, то, следовательно, каждый элемент с0 записывается как линейная комбинация без участия 0'.

Покажем сначала, что Ьр(оМ) не совпадает с Ср0(с0). Об этом говорит

Предложение 4. Ь/(оМ) не замкнуто в Ср0(с0).

Доказательство. Обозначим через е, последовательности из с0, имеющие вид (0,. ,0,1,0,.), где единица стоит на ,-м месте. Отделим точки е,, ,= 1,2,. , дизъюнктными окрестностями и,, не содержащими о. Годятся и, = {х£с0/ |х;| < У при ] < ,, \х, -1 < У}. Найдутся непрерывные функции gi: с0 ^ Я, равные 0 вне и, и 1/, в точке е,. Положим /п = g1+...+gn, / = = g1+...+gn+... Ясно, что функции/ /п непрерывны и /—/ в Ср0(с0) при п ^го. При всех п£М имеем /п£Ьр(оМГ), ибо в качестве искомых К/ можно выбрать множества {1,2,...,п}. В самом деле, пусть последовательность х£с0 такова, что её первые п координат по модулю меньше 1/4. Тогда хг и, для , = 1,...,п , и g1(x) = gn(x) = 0. Поэтому и/п(х) = 0, то есть \/п (х)| <е Уе> 0, что и нужно. Покажем теперь, что функция / не обладает соответствующим К/ и, значит, /г Ьр(оМГ). Предположим противное. Пусть тогда т > саМ(К) и х£с0, х = ет+1, и пусть е = 1/(2т+2). Ясно, что /(х) = gm+l(em+l) = 1/(т+1). То есть/(х) > е, хотя первые т координат х равны 0. Это противоречит свойству К/. Что и требовалось доказать.

Напомним, что отображение топологических пространств называют отображением первого класса Бэра, если оно является поточечным пределом непрерывных отображений.

Теорема. Существует проектор Р: 1р#(оМ) — с0 первого класса Бэра.

Доказательство. Положим Р(/) = /(е1)1' + ... + + / (е,),' +. Поскольку, в данном случае, К/ - это конечное подмножество в М, то при достаточно больших , е, имеют нулевые координаты с номерами из К/. По лемме, / (е,) = 0 при таких ,. Следовательно, оператор Р определен корректно и, очевидно, линеен. Прямая проверка показывает, что если у£с0, то Р(у) = у. Стало быть, Р - проектор.

Покажем теперь, что Р - 1-го класса Бэра. Пусть Рп:1р#(аМ — с0, Рп(/) = /(е1)1' +...+/ (еп)п'. Установим непрерывность Рп в точке о. Фиксируем стандартную окрестность О = 0(х1,.,хт, е) точки о в с0, где е > 0, х£с0, к = 1,...,т. Пусть М = тах{|хк|/ к < т, ,еМ}.

Возьмем 5 = е/пМ и рассмотрим стандартную окрестность и = и(еь...,еи, 5) точки оеХДоМ). Пусть / £и, к < т. Тогда |Рп(/)(хк)| <^|/(е,)| • |хк| <е. Это пока-

,<п

зывает, что Рп(и) с О, то есть Рп непрерывно в нуле. Будучи, очевидно, линейным, Рп непрерывно в каждой точке.

Осталось доказать, что Рп(/)—Р(/) в каждой точке /£Ьр#(оМ) при п—да. Фиксируем /е^ДоМ). При п > т = тах{,/ ,£ К/} имеем

Рп(/ = (/ (е1)1'+..+/ (ет)т') +

+ (/ (ет+1)(т+1)'+.+/ (еп)п') =

= / (е1)1'+.+/ (ет)т' = Рт(/ = Р(/),

поскольку при к > т, по лемме, / (ек) = 0. Таким образом, числовая последовательность Рп(/) стабилизируется с некоторого номера на значении Р(/). Это завершает доказательство.

ЛИТЕРАТУРА

1. АрхангельскийА.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 24 июня 2005 г.