О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.554.3

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ИДЕАЛОВ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР ЛИ

© 2007 Ю.В.Кочетова1

В работе исследуются свойства частично упорядоченных алгебр Ли над различными полями. Приведены примеры направленных, ре-шеточно упорядоченных и линейно упорядоченных алгебр Ли. Получен ряд результатов, касающихся свойств /-идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли над частично упорядоченным полем.

Введение

Понятие частично упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем было введено В.М. Копытовым [1]. В работах В.М.Копытова [1-3] и Н.Я. Медведева [4, 5] подробно рассматриваются свойства линейно упорядоченных алгебр Ли над линейно упорядоченными полями, но практически отсутствуют примеры частично упорядоченных алгебр Ли. А именно, лишь в работах Н.Я. Медведева [4, 5] находим пример линейно упорядоченной алгебры Ли над линейно упорядоченным полем (см. пример 5).

В данной работе приведены примеры частично упорядоченных алгебр Ли с различными свойствами частичного порядка. В каждом примере указан вид порядка на поле, над которым рассматривается алгебра Ли.

Также в данной работе доказываются некоторые свойства идеалов и /-идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли над частично и линейно упорядоченными полями.

Пусть дана алгебра Ли Ь над полем К. Для произвольного элемента х е Ь обозначим через ах преобразование Ь ^ Ь по правилу ах(а) = а + [а, х] для любого а е Ь.

Определение 1. Частично упорядоченной алгеброй Ли Ь над частично упорядоченным полем К называется алгебра Ли над полем К, на которой задано отношение порядка ^ такое, что:

1) (Ь;+;0; —; — частично упорядоченная группа;

2) для любых элементов х,у е Ь, X е К из неравенств х ^ у, X ^ 0 следует Xх ^ Ху;

1 Кочетова Юлия Викторовна, кафедра алгебры Московского педагогического государственного университета, 107140, Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14.

3) для любых элементов х,у, г е Ь из неравенства х 4 у следует неравенство а2(х) 4 аг(у).

В зависимости от свойств частичного порядка 4 алгебры Ли над частично упорядоченным полем различают направленные, решеточно упорядоченные (/-алгебры Ли) и линейно упорядоченные алгебры Ли.

В параграфе 1 содержатся примеры частично упорядоченных алгебр Ли над полями, порядки которых обладают различными свойствами.

Напомним, что идеалом в алгебре Ли Ь называется подпространство I в Ь такое, что из х е Ь, у е I следует, что [х,у] е I.

Определение 2. Идеал I частично упорядоченной алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К называется выпуклым, если I является выпуклым подмножеством в Ь.

Выпуклый идеал /-алгебры Ли, являющийся подрешеткой этой алгебры, называется /-идеалом.

Во втором параграфе рассматриваются свойства /-идеалов /-алгебр Ли, в частности, доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Множество всех /-идеалов /-алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К является полной подрешеткой решетки всех ее идеалов.

Пусть Ь — частично упорядоченная алгебра Ли над частично упорядоченным полем К и I — выпуклый идеал в Ь. Несложно доказать, что факторалгебра ЬЦ является частично упорядоченной алгеброй Ли над полем К (аналогичное утверждение для частично упорядоченных алгебр Ли над линейно упорядоченным полем см. [1, теорема 2.2]).

Определение 3. Спрямляющим идеалом частично упорядоченной алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К будем называть такой ее выпуклый идеал I, что факторалгебра ЬЦ линейно упорядочена относительно индуцированного порядка.

Третий параграф посвящен изучению свойств спрямляющих /-идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли над линейно упорядоченным полем. В этом параграфе приводится доказательство следующего утверждения.

Теорема 2. /-идеал I /-алгебры Ли Ь над линейно упорядоченным полем К является спрямляющим /-идеалом в Ь тогда и только тогда, когда множество /-идеалов в Ь, содержащих I, линейно упорядочено по включению.

Напомним, что подмножество X решетки Ь называется корневой системой, если для каждого х е X множество их всех элементов в Ь, больших х, линейно упорядочено и лежит в X [3. 0. 51].

Имеет место следующее следствие из теоремы 2.

Следствие 1. Множество спрямляющих /-идеалов /-алгебры Ли Ь над линейно упорядоченным полем К образует корневую систему Хо(Ь) в решетке £,(Ь) всех /-идеалов /-алгебры Ли Ь.

В статье используется терминология, общепринятая для частично упорядоченных алгебраических систем (см. [3, 6]).

1. Примеры частично упорядоченных алгебр Ли

Пусть К — частично упорядоченное поле, Ь — четырехмерное векторное

пространство над полем К с базисом {вг} (г = 1,2,3,4). Тогда произвольные

4 4

элементы х, у е Ь однозначно записываются в виде х = 2 агвг, у = 2 0гег-,

г=1 г=1

где а,, 0г- е К. Пример 1.

Зададим на Ь бинарную операцию [, ] следующим образом: [х,у] = (а204-

— а4^2)в1 + (а1 04 - а4^1)в2 + (а102 - а201)вз. Непосредственная проверка показывает, что Ь является алгеброй Ли над полем К.

Зададим на алгебре Ли Ь следующее отношение порядка: будем считать, что х 4 у тогда и только тогда, когда а1 = 01, а2 = 02, а4 = 04, аз 4 0з. Исходя из частичной упорядоченности поля К, можно установить, что алгебра Ли (Ь, 4) удовлетворяет определению 1, то есть является частично упорядоченной алгеброй Ли над частично упорядоченным полем К относительно введенного отношения порядка. Пример 2.

Для любых х,у е Ь будем считать, что [х,у] = (а102 - 01а2)вз + (а20з -

— 02аз)в4. Несложные вычисления показывают, что Ь является алгеброй Ли над полем К.

Если задать на Ь отношение порядка, при котором х 4 у тогда и только тогда, когда а1 < 01, а2 < 02 или а1 = 01, а2 = 02, аз < 0з или а, = 0г-(г = 1,2,з), а4 4 04, то в силу частичной упорядоченности поля К для алгебры Ли (Ь, 4) выполняются условия определения 1, поэтому Ь является частично упорядоченной алгеброй Ли над полем К. Если поле К является линейно упорядоченным, то данная алгебра Ли Ь является направленной алгеброй Ли и не является решеточно упорядоченной алгеброй Ли. Пример 3.

Введем на векторном пространстве Ь над линейно упорядоченным полем К бинарную операцию [,]: будем считать, что [х,у] = (а102 - а20Ов4. При этом получим алгебру Ли Ь.

Зададим на Ь бинарное отношение 4 так, что х 4 у в одном из трех случаев: 1) а1 < 01; 2) а1 = 01, а2 < 02; 3) а1 = 01, а2 = 02, аз 4 0з, а4 4 04. Так как поле К линейно упорядочено, то можно установить, что алгебра Ли Ь является частично упорядоченной алгеброй Ли над линейно упорядоченным полем относительно введенного отношения порядка.

Покажем, что алгебра Ли Ь является решеточно упорядоченной. Пусть 44

х,у е Ь и х = ^ агвг, у = £ 0гвг-. Если а1 < 01 или а1 = 01, а2 < 02 или

г=1 г=1

а1 = 01, а2 = 02, аз 4 0з, а4 4 04, то х 4 у, и поэтому точная верхняя и точная нижняя грани элементов х и у равны соответственно х V у = у и х Л у = х.

В случаях, когда Р1 < а1 или Р1 = ах, Р2 < а2 или Р1 = ах, Р2 = а2, Рз ^ аз, Р4 ^ а4 получаем, что у ^ х, следовательно, х Vу = х и х Л у = у.

Осталось рассмотреть случай, при котором а1 = Р1, а2 = Р2 и элементы х и у несравнимы. Здесь х V у = (аз V Рз)ез + (а4 V Р4)е4 и х Л у = (аз Л Рз)ез + + (а4 Л Р4)^4.

Итак, для любых элементов х,у е Ь существуют элементы х V у, хЛ у е Ь. Поэтому Ь — решеточно упорядоченная алгебра Ли над линейно упорядоченным полем К. При этом, так как в Ь есть несравнимые элементы, то алгебра Ли Ь не является линейно упорядоченной.

Пример 4.

Рассмотрим алгебру Ли Н(—), получаемую из ассоциативной алгебры кватернионов Н, в которой вместо ассоциативного умножения рассматривается новое умножение [х, у] = ху — ух. Тогда для любых элементов х, у е Н(—), х = а1 + а2? + азj + а4к, у = Р1 + Р2? + Рз] + Р4к их коммутатор равен [х,у] = = 2(азР4 — а4 Рз)? + 2(а4 Р2 — а2Р4^ + 2(а2 Рз — аз Р2)к.

Заданное на алгебре Ли Н(—) отношение порядка при котором х ^ у тогда и только тогда, когда а1 ^ Р1, а2 = Р2, аз = Рз, а4 = Р4 в Я, позволяет частично упорядочить алгебру Ли Н(—) над линейно упорядоченным полем Я.

Пример 5 ([4]).

Пусть Ь — трехмерное векторное пространство над частично упорядо-

з

ченным полем К с базисом {е?} (? = 1,2,з). Для любых элементов х =2 а?е?,

1=1

з

у = 2 Р?е? из Ь будем считать, что [х,у] = (а^2 — а2Р0ез. Можно видеть,

г=1

что Ь является алгеброй Ли над полем К.

Зададим на Ь лексикографическое упорядочивание ^ : считаем, что х ^ у в том и только в том случае, когда а1 < Р1 или а1 = Р1, а2 < Р2 или а1 = Р1, а2 = Р2, аз ^ Рз. Так же, как в рассмотренных выше примерах, можно сделать вывод о том, что алгебра Ли (Ь, является частично упорядоченной алгеброй Ли над частично упорядоченным полем К. Если поле К является линейно упорядоченным, то данная алгебра Ли Ь также является линейно упорядоченной.

Замечание 1. Конкретной интерпритацией алгебры Ли, рассмотренной в примере 5, является алгебра Ли ?+(з; Я) строго верхнетреугольных матриц порядка 3 над линейно упорядоченным полем действительных чисел Я, в которой лиево умножение задается следующим образом: [А, 5] = АВ — ВА для любых элементов А,В е ?+(з; Я).

2. Свойства /-идеалов /-алгебр Ли

Напомним, что положительная, отрицательная части и модуль элемента х /-алгебры Ли Ь определяются соотношениями: х+ = х V 0, х— = х Л 0, |х| = х V (—х).

Аналогично тому, как это делается в работе В.М. Копытова [2. С. 596] для решеточно упорядоченной алгебры Ли над линейно упорядоченным полем, можно сформулировать свойства положительной, отрицательной части и модуля элемента решеточно упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

В данном случае свойства порядка поля не влияют на ход рассуждений.

Предложение 1. В /-алгебре Ли Ь над частично упорядоченным полем К для любых элементов х,у, z е Ь верны соотношения:

х = х+ + х-; |х| = х+ - х-; 0 4 х+ 4 |х|; — |х| 4 х 4 |х|; |х + у| 4 |х| + |у|; z + (х Л у) = ^ + х) Л ^ + у).

Доказательство. Исходя из определения 1, можно сделать вывод о том, что /-алгебра Ли Ь является аддитивной /-группой. Поэтому справедливость утверждения следует из свойств решеточно упорядоченных групп (см., например, [3, гл.11, §2; 7, гл. XIII, §3,4; 6, гл.У, §4]).

Лемма 1 ([2. О. 596]). В /-алгебре Ли Ь над линейно упорядоченным полем К для любых элементов х,у е Ь, X е К верны соотношения: |Хх| = |Х| |х|; Х(х Л у) = Хх Л Ху, если X ^ 0.

Доказательство. Поскольку /-алгебра Ли Ь является решеточно упорядоченным векторным пространством над линейно упорядоченным полем К, то справедливость утверждения следует из свойств решеточно упорядоченных векторных пространств (см., например, [7, гл. XV, § 1, теорема 1]).

Предложение 2 ([2, предл. 1.4]). Пусть Ь — решеточно упорядоченная алгебра Ли над частично упорядоченным полем К. Тогда для любого положительного а е Ь и любого х е Ь справедливо соотношение |[а, х]| 4 а.

Предложение 3. Следующие условия на идеал I решеточно упорядоченной алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К эквивалентны:

1) I — выпуклая подрешетка в Ь;

2) если х е I, у е Ь и |у| 4 |х|, то у е I для любых х е I, у е Ь.

Доказательство. Если условие 1) выполняется, то I является

/-идеалом в /-группе Ь. Откуда по соответствующему утверждению для /-групп следует справедливость условия 2) (см. [3, гл.11, §3, теорема 1; 7, гл. XIII, §9]).

Пусть выполняется условие 2). Тогда I является /-идеалом /-группы Ь (см. [3, гл. II, §3, теорема 1]). Следовательно, условие 1) имеет место.

Предложение 4. Сумма /-идеалов /-алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К является /-идеалом в Ь.

Доказательство. Пусть I + 3 = {а + Ь | а е I, Ь е 3} — сумма /-идеалов /-алгебры Ли Ь. Известно, что I + 3 является идеалом в Ь (см., например, [8. С. 18]).

Пусть элементы х е (I + 3), у е Ь удовлетворяют условию |у| 4 |х|. Тогда х = а + Ь, где а е I, Ь е 3, откуда по предложению 1 |у| 4 |а + Ь| 4 |а| + |Ь|. В силу свойства /-групп (см. [3, гл. II, §2, следствие 1; 6, гл. V, § 1, следствие 2]), верного для аддитивной /-группы (Ь, +) /-алгебры Ли Ь, существуют элементы а1, Ь1 е Ь такие, что 0 4 а1 4 |а|, 0 4 Ь 4 |Ь| и |у| = а1 + Ь1.

Поскольку 1,3 — подрешетки в Ь, то |а| е I и |Ь| е 3, а так как 1,3 — выпуклые идеалы в Ь, то «1 е I и Ь е 3. Значит, |у| е (I + 3).

По предложению 1 имеем 0 ^ у+ ^ |у|, поэтому аналогичные рассуждения применимы для доказательства того, что у+ е (I+3). Из предложения 1 следует, что у = у+ + у+ — |у|, откуда, используя доказанные выше соотношения, заключаем, что у е I + 3. Следовательно, по предложению 3 I + 3 — выпуклая подрешетка /-алгебры Ли Ь.

Предложение 5. Пересечение любого множества /-идеалов /-алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К также является /-идеалом в Ь.

Доказательство. Пусть М = {3? — /-идеалы в Ь, ? е I} и 3 = Р| 3?. Тогда

iеI

3 является выпуклой нормальной /-подгруппой аддитивной /-группы Ь, как пересечение выпуклых нормальных /-подгрупп (см. [3. С. 40; 6. С. 116]).

Если х, у е 3, X е К, / е Ь , то по определению операции пересечения множеств х, у е 3? для любого ? е I. Так как 3? — /-идеал в Ь для любого ? е I, то Xх, [х, /] е 3? для всех ? е I. Следовательно, Xх, [х, /] е 3, то есть 3 — идеал в Ь.

Таким образом, из доказанного выше получаем, что 3 — идеал в Ь, являющийся выпуклой подрешеткой.

Замечание 2. Множество идеалов алгебры Ли Ь образует решетку.

Доказательство. Пусть М = {I | I - идеал в Ь}. Покажем, что для любых элементов 1, 3 е М имеют место соотношения: IЛ 3 = IП 3 и IV 3 = = I + 3.

Пусть 1,3 е М. По предложению 5 I П 3 является идеалом в Ь, при этом по определению операции пересечения множеств IП 3 с I и IП 3 с 3, а также для любого Т е М, такого, что Т с I и Т с 3 верно, что и Т с IП3. Таким образом, I П 3 = I Л 3.

В силу предложения 4 I + 3 является идеалом в Ь, при этом ясно, что I с I + 3 и 3 с I + 3. Если элемент Т е М, таков, что I с Т и 3 с Т, то по определению идеала и в силу задания суммы идеалов I + 3 с Т. Следовательно, I + 3 = I V 3.

Предложение 6. Множество всех /-идеалов /-алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем К образует подрешетку в решетке всех идеалов алгебры Ли Ь.

Доказательство. Пусть 1,3 — /-идеалы /-алгебры Ли Ь. По предложению 5 I П 3 является /-идеалом в Ь, а по предложению 4 I + 3 является /-идеалом в Ь, следовательно, множество всех /-идеалов /-алгебры Ли Ь является подрешеткой в решетке всех ее идеалов.

Доказательство теоремы 1. В силу предложения 6 множество всех /-идеалов /-алгебры Ли Ь образует подрешетку в решетке всех идеалов алгебры Ли Ь. По предложению 5 можно сделать вывод о том, что точная нижняя грань для любого множества /-идеалов является /-идеалом, поскольку пересечение любого множества /-идеалов есть /-идеал.

Рассмотрим множество /-идеалов 3а, а е А /-алгебры Ли Ь. Пусть I =

= {xai + xa2 + ... + xa | xa e Jai} — множество всевозможных конечных сумм элементов идеалов Ja (a e A).

Если x, y e /, X e K и l e L, то x - y = Xai + Xa2 + ... + Xa, - ypi - Ув2 - ...- Ур,, Xx = X(xa1 + xa2 + ... + xas ) = Xxai + Xxa2 + ... + Xxa,s И [x, l] = [xa1 + xa2 + ... + + xa,l] = [xai,l] + [xa2,l] + ... + [xa,l]. По построению множества I ясно, что x - y e I. Так как xai e Ja. и Jai — идеал в L, то Xxai, [xai, l] e Ja., поэтому Xx, [x, l] e I. Следовательно, I — идеал в L.

Известно (см. [3. С. 40]), что построенное множество I является выпуклой l-подгруппой в L, порожденной множеством {Ja, a e A} выпуклых l-подгрупп l-группы L. Значит, идеал I является l-идеалом в L.

Если J — произвольный l-идеал l-алгебры Ли L, для которого Ja ç J для любого a e A, то J содержит всевозможные конечные суммы элементов идеалов Ja, то есть I ç J.

Таким образом, l-идеал I является точной верхней гранью l-идеалов Ja, a e A.

Замечание 3. О полноте подрешетки l-идеалов в решетке всех идеалов l-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем см. в работах В.М. Ко-пытова [2, 3].

3. Спрямляющие l-идеалы l-алгебр Ли

Теорема 3. Пусть L — l-алгебра Ли над частично упорядоченным полем K, J — l-идеал в L. Тогда J является спрямляющим идеалом в L тогда и только тогда, когда для любых положительных элементов a, b e L\J справедливо соотношение a Л b g J.

Доказательство. Прежде всего заметим, что по [9, теорема 1] факто-ралгебра L/J является решеточно упорядоченной алгеброй Ли относительно индуцированного порядка.

Пусть J — спрямляющий l-идеал l-алгебры Ли L, a, b > 0 и a, b g J. Тогда по определению 3 факторалгебра L/J линейно упорядочена, а по определению 2 l-идеал J является абелевой выпуклой l-подгруппой l-группы (L, +). Поэтому по определению 1 факторгруппа L/J линейно упорядочена, то есть J является спрямляющей l-подгруппой l-группы L (см. определение в [3. C. 50]). В силу соответствующей теоремы для l-групп (см., например, [3, гл. III, § 3, теорема 1]) получаем, что a Л b g J.

Обратно, пусть для любых a, b e L\J, a, b > 0 верно, что aЛb g J. Тогда J является спрямляющей l-подгруппой l-группы (L, +) (см. [3, гл. III, § 3, теорема 1]). Отсюда по определению спрямляющей подгруппы (см. [3. С. 50]) следует, что факторгруппа L/ J линейно упорядочена, что по определению 1 влечет линейную упорядоченность l-алгебры Ли L/J. Таким образом, J — спрямляющий l-идеал l-алгебры Ли L.

Следствие 2. l-идеал l-алгебры Ли L над частично упорядоченным полем K является спрямляющим тогда и только тогда, когда для любых по-

ложительных элементов а, Ъ е Ь таких, что а Л Ъ е 3 и а £ 3 верна принадлежность Ъ е 3.

Доказательство. Пусть 3 — спрямляющий /-идеал /-алгебры Ли Ь, а, Ъ е Ь — произвольные положительные элементы такие, что а £ 3 и а Л Ъ е 3. Предположим, что Ъ £ 3. Тогда по теореме 3 из того, что 3 — спрямляющий /-идеал, для элементов а, Ъ е Ь\3, а > 0, Ъ > 0 справедливо соотношение а Л Ъ £ 3, что приводит нас к противоречию. Итак, Ъ е 3.

Пусть а, Ъ е Ь\3 и а > 0, Ъ > 0. Предположим, что а Л Ъ е 3. Так как а, Ъ е Ь, а > 0, Ъ > 0 и а £ 3, а Л Ъ е 3, то из условия следствия получаем Ъ е 3, что противоречит условию Ъ £ 3.

Итак, для любых а, Ъ е Ь\3, а > 0, Ъ > 0 верно, что аЛЪ £ 3. По теореме 3 отсюда следует, что 3 — спрямляющий /-идеал /-алгебры Ли Ь. Следствие доказано.

Для дальнейшего изложения свойств спрямляющих идеалов /-алгебр Ли нам понадобятся следующие леммы. Для элемента а /-алгебры Ли Ь будем обозначать через па (п е N сумму па = а + а + ... + а.

п раз

Лемма 2. В /-алгебре Ли Ь над частично упорядоченным полем К для любых элементов х,у е Ь выполняется соотношение |[х,у]| ^ 9|х|.

Доказательство. Из свойств положительной части и модуля элемента в предложении 1, используя соотношения из предложения 2, получаем неравенства |[х+,у]| ^ х+ и [|х|,у] ^ |х|, верные для любых х,у е Ь.

Также с помощью предложения 1 можно вывести следующее равенство |[х,у]| = |[х+ + х+ — |х|,у+ + у+ — у|]| = |4[х+,у+] — 2[х+, |у|] + 2[у+, |х|] + [|х|, у|]|,

откуда |[х,у]| < 4|[х+,у+]| + 2|[х+, у|]| + 2|[|х|,у+]| + |[|х|, у|]|.

Из данного неравенства и неравенств, полученных выше, следует требуемое соотношение: |[х,у]| ^ 4х+ + 2х+ + 2|х| + |х| ^ 6|х| + Э|х| = 9|х|.

Лемма 3. Пусть Ь — /-алгебра Ли над линейно упорядоченным полем К. Если 3 — /-идеал в Ь и а е Ь, а > 0, то множество С = {у е Ь | |у|Л а е 3} является /-идеалом /-алгебры Ли Ь, содержащим 3.

Доказательство. Пусть у е 3, тогда, в силу того, что 3 — /-идеал, имеем |у| е 3. Поскольку 0 ^ |у|Л а ^ |у|, то из выпуклости идеала 3 получаем, что |у| Л а е 3, поэтому у е С. Таким образом, 3 с С.

Покажем, что С — /-идеал в Ь. Действительно, пусть у е С и г е С, тогда обозначим 0 ^ |у|Л а = С1 е 3 и 0 ^ |г|Л а = С2 е 3. Рассмотрим |у — z| Л а. Тогда по предложению 1 и определению точной нижней грани имеем |у — г|Л а ^ (|у| + |г|) Л а ^ (|у| + |г|) Л (а + |у| Л 0) = (|у| + |г|) Л (|у| + а) Л а = = (|у| + (|г| Л а)) Л а = (|у| + С2) Л а ^ (|у| + С2) Л (а + С2) = С2 + (|у| Л а) = С2 + С1 е 3. Исходя из задания множества С и выпуклости 3, видно, что у — г е С, то есть С — подгруппа в Ь.

Далее, из леммы 1 следует, что |Ху| Л а = |Х| |у| Л а. Так как поле К линейно упорядочено, то можно утверждать, что |Х| ^ 1 или |Х| ^ 1. Если |Х| ^ 1, то |X| — 1 ^ 0 и по пункту 2 определения 1 получаем, что |Х|а ^ а. Отсю-

да по определению точной нижней грани элементов, используя лемму 1, заключаем, что |Xy| Л a = |Х|[у|Л a 4 |y| Л \~k\a = |Х|([у| Л a) = |X|c1 е J. Если же |М| 4 1, то по пункту 2 определения 1 получаем, что |X||y| 4 |y|, поэтому |Xy| Л a = |Х||у|Л a 4 МЛ a = Ci е J. Таким образом, учитывая выпуклость J, в каждом из двух этих случаев получаем, что \y е C, следовательно, C — подпространство в L.

Если l е L, то из леммы 2 следует неравенство |[y, /]| 4 9|y|. Отсюда по определению точной нижней грани заключаем, что |[y, l]| Л a 4 9|y| Л a = = (8У| + y|) Л (a + 8y| Л 0) = (8|y| + y|) Л (a + 8y|) Л a = (8y| + (y| Л a)) Л a = (8y| + + Ci) Л a 4 (8|y| + Ci) Л (a + Ci) = Ci + (8|y| Л a). Продолжая подобным образом, получим, что |[y, 1]|Лa 4 9ci е J, следовательно, из выпуклости идеала J и задания множества C имеем: [y, l] е C, то есть C — идеал в L.

Пусть l е L, y е C и |l| 4 y|. В этом случае |l| Л a 4 |у|Л a = Ci е J, откуда, в силу выпуклости идеала J и задания множества C, заключаем, что l е C. По предложению 3 отсюда следует, что C — l-идеал в l-алгебре Ли L.

Доказательство теоремы 2. Пусть I — спрямляющий l-идеал l-алгебры Ли L и A, B — произвольные l-идеалы в L, содержащие I. Тогда по определению 3 факторалгебра L/I линейно упорядочена, а по определению l-идеала I, A и B являются абелевыми выпуклыми l-подгруппами l-группы (L; +), при этом выпуклые l-подгруппы (A; +) и (B; +) содержат (I; +). По определению 1 факторгруппа L/I линейно упорядочена, поэтому (I; +) является спрямляющей l-подгруппой l-группы (L; +). Следовательно, используя соответсвующую теорему для l-групп (см., например, [3, гл. III, § 3, теорема 2]), получаем, что для l-подгрупп (A; +) и (B; +) выполнено одно из соотношений A с B или B с A. Значит, те же соотношения выполнены и для l-идеалов A и B, содержащих l-идеал I.

Обратно, пусть множество l-идеалов l-алгебры Ли L, содержащих l-идеал I, линейно упорядочено по включению. Предположим, что I не является спрямляющим l-идеалом. Тогда по теореме 3 найдутся элементы a, b > 0, a, b е L\I такие, что a Л b е I. Рассмотрим подмножества A и B в L, построенные следующим образом: A = {х е L | |x|Лb е I} и B = = {х е L | |х|Л a е I}. По лемме 3, примененной к l-идеалу I и элементам a, b е L, a, b > 0, получаем, что A и B — l-идеалы в L, содержащие I. Покажем, что A и B несравнимы по включению. Действительно, так как a > 0 в L, то |a| = a, поэтому |a| Л b = a Л b е I, откуда, в силу задания множества A следует, что a е A. При этом a £ B, так как в противном случае |a| Л a = a Л a = a е I, что противоречит тому, что a £ I. Итак, a е A и a £ B, следовательно A ^ B. Аналогично доказывается, что b е B и b £ A, и поэтому B ^ A. Поскольку A, B — l-идеалы в L, содержащие I и A, B несравнимы по включению, то мы приходим к противоречию. Полученное противоречие доказывает теорему.

Доказательство следствия 1. Пусть I — произвольный спрямляющий l-идеал l-алгебры Ли L. Рассмотрим множество Ui всех l-идеалов l-алгебры Ли L, содержащих I. По теореме 2 множество Ui линейно упорядочено по

включению. Покажем, что множество П] лежит во множестве спрямляющих /-идеалов /-алгебры Ли Ь. Рассмотрим любой элемент А е Ц, то есть /-идеал А в Ь такой, что А э I. Если В1, В2 — произвольные /-идеалы в Ь, содержащие А, то В1 э I и В2 э I. Отсюда по теореме 2, из того, что I является спрямляющим /-идеалом, следует, что В1 с В2 или В2 с В1 . Таким образом, множество всех /-идеалов в Ь, содержащих /-идеал А, линейно упорядочено по включению, поэтому по теореме 2 А — спрямляющий /-идеал в Ь. Следствие доказано.

Теоремы 2 и 3 показывают, что спрямляющие /-идеалы /-алгебр Ли над частично и линейно упорядоченными полями обладают хорошими свойствами.

Литература

[1] Копытов, В.М. Упорядочение алгебр Ли / В.М. Копытов // Алгебра и логика. - 1972. - Т. 11. - №3. - С. 295-325.

[2] Копытов, В.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли / В.М. Копы-тов // Сиб. матем. ж. - 1977. - Т. XVIII. - №3. - С. 595-607.

[3] Копытов, В.М. Решеточно упорядоченные группы / В.М. Копытов. -М.: Наука, 1984. - 320 с.

[4] Медведев, Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли / Н.Я. Медведев // Алгебра и логика. - 1977. -Т. 16. - №1. - С. 40-45.

[5] Медведев, Н.Я. О продолжении порядков алгебр Ли / Н.Я. Медведев // Сиб. матем. ж. - 1977. - Т. XVIII. - №2. - С. 469-471.

[6] Фукс, Л. Частично упорядоченные алгебраические системы / Л. Фукс. - М.: Мир, 1965. - 343 с.

[7] Биркгоф, Г. Теория решеток / Г. Биркгоф. - М.: Наука, 1984. - 568 с.

[8] Хамфрис, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Дж. Хамфрис; пер. с англ. Б.Р. Френкина. - М.: МЦНМО, 2003. -216 с.

[9] Кочетова, Ю.В. О естественном гомоморфизме решеточно упорядоченных алгебр Ли / Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова // Тезисы докл. Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского. Самара, 21-25 мая, 2007 г. - С. 29-30.

Поступила в редакцию 17/1Х/2007; в окончательном варианте — 17/1Х/2007.

ON PROPERTIES OF IDEALS OF LATTICE-ORDERED

LIE ALGEBRAS

© 2007 J.V. Kochetova2

In the paper the properties of partial-ordered Lie algebras over various fields are studied. Examples of directed Lie algebras, lattice-ordered Lie algebras and linearly-ordered Lie algebras are given. Results concerned with the properties of /-ideals of lattice-ordered Lie algebras over partial ordered fields are obtained.

Paper received 17//X/2007. Paper accepted 17/1X/2007.

2Kochetova Julia Viktorovna, Dept. of Algebra, Moscow State Pedagogical University, Moscow, 107140, Russia.