Первичный радикал K-упорядоченных алгебр как радикал в смысле Куроша Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3 (2013)

УДК 512.552+512.545

ПЕРВИЧНЫЙ РАДИКАЛ ^-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР КАК РАДИКАЛ В СМЫСЛЕ КУРОША

Ю. В. Кочетова (г. Москва)

Аннотация

Рассматривается подход упорядочения алгебр, предложенный

В. М. Копытовым. Изучаются свойства факторалгебры решеточно ^-упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем по ее ¿-первичному радикалу. Для доказательства свойств ¿-первичного радикала введены понятия порядкового, строгого порядкового и решеточного гомоморфизма ¿-алгебр и исследованы их свойства.

Ключевые слова: решёточно ^-упорядоченная алгебра над полем, порядковый гомоморфизм, первичный идеал, первичный радикал.

PRIME RADICALS OF ^-ORDERED ALGEBRAS AS KUROSH RADICALS

J. V. Kochetova

Abstract

The Kopytov’s order for any algebras over a field is considered. Some results concerned with the properties of a factoralgebra for a lattice ^-ordered algebras and its ¿-prime radical are obtained. Also, some results concerned with the properties of ordered homomorphisms, strictly ordered homomorphisms and lattice homomorphisms of lattice ordered algebras are presented.

Keywords: lattice ^-ordered algebra over a field, ordered homomorphism, prime ideal, prime radical.

Введение

Если Ь = (Ь;+; •) — линейная алгебра над частично упорядоченным полем Г, то говорят (см., например, [7]), что на алгебре Ь определен К-порядок

если:

(1) {Ь;+; ^) является частично упорядоченной группой;

(2) из х ^ у следует, что 7х ^ 7у для любых х,у Є Ь и ^ > 0, 7 Є Г;

(3) из х ^ 0 следует, что х + ху ^ 0 и х + ух ^ 0 для всех у Є Ь.

Если при этом группа {Ь; +; ^) решеточно упорядоченна, то алгебра Ь над

полем Г называется решеточно К-упорядоченной, или ¡-алгеброй.

Определение такого упорядочения было введено В.М. Копытовым для алгебр Ли в 1972 году в работе [4], в которой он, в частности, отмечает, что это определение порядка можно рассматривать не только для алгебр Ли, но и для произвольных алгебр над упорядоченным полем. Данная статья продолжает изучение свойств К-порядка для произвольных линейных алгебр над частично упорядоченным полем, начатое автором совместно с Е.Е. Ширшовой в работе [9].

Для многих алгебраических систем, в том числе и упорядоченных, исследован их первичный радикал (см. [1], [6], [7], [10]—[15], [17]), в частности, изучены свойства факторсистемы данной системы по ее первичному радикалу. Целью данной работы является характеризация ¡-первичного радикала решеточно К-упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем с точки зрения свойств ее факторалгебры по ¡-первичному радикалу.

В статье используется терминология, общепринятая для частично упорядоченных алгебраических систем (см. [3, 16]).

При исследовании решеточно К-упорядоченных алгебр используются гомоморфизмы алгебр, согласованные с порядками на данных алгебрах. Для эффективной работы с ними в первом параграфе рассмотрены понятия порядкового, строгого порядкового и решеточного гомоморфизма К-упорядоченных алгебр.

Определение 1 ([2], стр. 597). Пусть Ьі и Ь2 — частично К-упорядочен-ные алгебры над частично упорядоченным полем Г. Отображение ф : Ь1 ^ Ь2 называется порядковым гомоморфизмом (о-гомоморфизмом), если ф является и гомоморфизмом алгебр Ь1 и Ь2 и гомоморфизмом частично упорядоченных множеств Ь1 и Ь2, то есть для всех элементов х,у Є Ь1 и для любого 7 Є Г выполнены соотношения:

1) ф(х + у) = ф(х) + ф(у); 2) фЫ) = 1ф(х); 3) ф(ху) = ф(х)ф(у);

4) если х ^ у, то ф(х) ^ ф(у).

Если порядковый гомоморфизм ф частично К-упорядоченных алгебр Ь1 и Ь2 является изоморфизмом этих алгебр и при этом ф-1 удовлетворяет условию 4) определения 1, то ф называется порядковым изоморфизмом частично К-упорядоченных алгебр Ь1 и Ь2.

Определение 2. Если Li и L2 — частично K-упорядоченные алгебры над частично упорядоченным полем, L+ и L+ — конусы положительных элементов этих алгебр, ф : Li ^ L2 — их порядковый гомоморфизм и p(L+) = L+ П v(Li), то ф называется строгим порядковым гомоморфизмом.

Определение 3 ([2], стр. 597). Если Li и L2 — l-алгебры над частично упорядоченным полем и ф : Li ^ L2 — такой гомоморфизм алгебр, что для любых x,y Є Li выполнены условия

ф(х V y) = ф(х) V Ф(у) и ф(х л y) = ф(х) л ф{у),

то ф называется решеточным гомоморфизмом l-алгебры Li в l-алгебру L2 или l-гомоморфизмом.

В первом параграфе доказаны основные свойства ядра, образа, прообраза при порядковом, строгом порядковом и решеточном гомоморфизмах. В этом параграфе показано, что l-гомоморфизм решеточно K-упорядоченных алгебр является строгим порядковым гомоморфизмом:

Предложение 1. Всякий решеточный гомоморфизм l-алгебр над частично упорядоченным полем является строгим порядковым гомоморфизмом.

Также в первом параграфе доказана вторая теорема об изоморфизмах для решеточно K-упорядоченных алгебр.

Теорема 1 (вторая теорема об изоморфизмах). Если L и Li — l-алгебры над частично упорядоченным полем и ф : L ^ Li — их l-эпиморфизм, то для любого l-идеала Ii из Li и его полного прообраза I из L сфакторалгебры L/I и Li/Ii l-изоморфны.

Напомним, что l-первичным радикалом l-radK(L) решеточно K-упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем называется пересечение всех ее l-первичных идеалов, то есть всех таких l-идеалов J алгебры L, для каждого из которых произведение

n=n(z)

UV = {z = ^2 ХіУі | Xi Є U, yi Є V}

i=i

любых двух ненулевых l-идеалов U и V факторалгебры L/J отлично от множества {J} (см., например, [7]).

Во втором параграфе описаны свойства l-первичного радикала факторалгебры L/R решеточно K-упорядоченной алгебры L по ее l-первичному радикалу R = l-radfc(L). Основным результатом этого параграфа является утверждение

о том, что l-первичный радикал l-алгебры над частично упорядоченным полем является радикалом в смысле Куроша-Амицура. Это утверждение вытекает из следующих доказанных во втором параграфе теорем и предложения.

Теорема 2. Для ¡-алгебры L над частично упорядоченным полем и ее ¡-первичного радикала R = ¡-radK(L) выполняется соотношение

¡-radK(L/R) = {О}.

Теорема З. Если ф : L ^ Ll — решеточный гомоморфизм ¡-алгебр L и Ll над частично упорядоченным полем F, то ф^-тсі^^)) Ç ¡-radK^(L)).

Предложение 2. ¡-первичный радикал R = ¡-radK(L) решеточно K- упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем является наибольшим ¡-идеалом в L, удовлетворяющим условию ¡-radK(R) = R.

1. Свойства порядковых гомоморфизмов частично K-упорядоченных алгебр

В этом параграфе изучаются свойства факторалгебр решеточно K- упорядоченных алгебр по их ¡-идеалу, содержатся доказательства утверждений, раскрывающих взаимосвязь между ¡-идеалами в решеточно K-упорядоченной алгебре и ее факторалгебре по некоторому ¡-идеалу, изучаются свойства порядковых и решеточных гомоморфизмов ¡-алгебр над частично упорядоченными полями.

Вначале рассмотрим несколько свойств ¡-идеалов ¡-алгебры над частично упорядоченным полем, которые будут необходимы нам при дальнейшем изложении.

Предложение З ([8], лемма 21, [Т], предложение 4). Следующие условия на идеал I решеточно K-упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем эквивалентны:

1) I является выпуклой подрешеткой в L;

2) для любых X Є I и y Є L из У ^ XI следует, что y Є I.

Для ¡-алгебр справедлива теорема о гомоморфизмах.

Теорема 4 ([8], теорема 15). Если ф — решеточный гомоморфизм ¡-алгебры Ll в ¡-алгебру L2, то ядро I этого гомоморфизма является ¡-идеалом в Ll и существует ¡-изоморфизм ф естественно упорядоченной сфакторалгебры Ll/I в L2 такой, что ф(х + I) = ф(х) для любого х Є Ll.

Доказательство предложения 1. Так как ¡-гомоморфизм ф ¡-алгебр Ll и L2 является ¡-гомоморфизмом ¡-групп {Ll;+) и {L2;+), который, в свою очередь, является строгим порядковым гомоморфизмом этих групп (см., например, [З], стр. ЗЗ), то ф — порядковый гомоморфизм ¡-алгебр Ll и L2.

Для любого x Е L+ выполняется соотношение x = x V 0, из которого по определению 3 следует ф(х) = ф(х) V ф(0) = ф(х) V0. Таким образом, ф(х) Е L+, и значит, tp(L+) Ç L+. Отсюда, учитывая tp(L+) Ç tp(Li), имеем

>AL+) Ç L+ П V(L±).

Если y Е L+ П p(L\), то y = ф(х) для некоторого x Е Ll и y = y V 0, откуда по определению /-гомоморфизма получаем y = ф(х) V ф(0) = ф(х V 0). Значит, y Е '-P(Li), и поэтому L+ П p(Li) Ç ф(Ь+).

Следовательно, tp(L+) = L+ П ф(Ll). Применение определения 2 завершает доказательство. □

Предложение 4 ([8], теорема 25). Для любого /-идеала T 1-алгебры L над частично упорядоченным полем полный прообраз каждого /-идеала сфакторал-гебры L/T при каноническом гомоморфизме £ : L ^ L/T является /-идеалом 1-алгебры L.

Предложение 5. Если L и Ll — решеточно К-упорядоченные алгебры над частично упорядоченным полем F и ф : L ^ Ll — их решеточный гомоморфизм, то полный прообраз любого /-идеала из Ll является /-идеалом в L.

Доказательство. Рассмотрим произвольный /-идеал Il в Ll и его полный прообраз A = {х Е L | ф(х) Е Il}. Так как ф(х),ф(у) Е Il для x,y Е A, то по определению 3 и определению /-идеала ф(х + у) = ф(х) + ф(у) Е Il, ф(ух) = Уф(х) Е Il и ф(хг) = ф(х)ф(г) Е Il для любых элементов z Е L и y Е F. Поэтому x + y,Yx,xz Е A, и значит, A — идеал в L.

Пусть lyl ^ |х| для элементов х Е A, y Е L. Применяя к ф предложение 1, а к неравенству |х| - lyl ^ 0 — определение 2, получаем ф(1х1 — lyl) ^ 0 и ф(1х1 — lyl) = ф(|х|) — ф(1у\), то есть ф(1у1) ^ ф(1х\). При этом, учитывая определение 3, имеем ф(у) = ф(у) V ф(—у) = 1ф(у)1 и ф(х) = ф(х) V ф(—х) = ^(x)l Значит, 1ф(у)1 ^ 1ф(х)1. Так как ф(х) Е Il, ф(у) Е Ll и Il — /-идеал в Ll, то ф(у) Е Il по предложению 3, поэтому y Е A. Остается применить предложение 3 к идеалу A.

□

Доказательство теоремы 1.

Композиция ф = £ о ф канонического /-эпиморфизма £ : Ll ^ Ll/Il и /эпиморфизма ф : L ^ Ll из условия теоремы также является /-эпиморфизмом, так как ф : L ^ Ll/Il и ф(L) = £(ф(Ц)) = £(Ll) = Ll/Il. Применяя к ф теорему 4, получим, что существует /-изоморфизм между L/Ker ф и Imф, и при этом Imф = Ll/Il.

Рассмотрим Ker ф = {х Е L | ф(х) = Il}. Поскольку ф(х) = £(ф(х)) = ф(х) + Il, то Кегф = {х Е L l ф(х) Е Il} является полным прообразом /-идеала

Il, то есть Кегф = I. Следовательно, /-алгебры L/I и Ll/Il /-изоморфны. □

Для доказательства свойств /-первичных идеалов /-алгебры L нам понадобится следующее утверждение. Его доказательство аналогично доказательствам теорем 13 и 25 из [8] для /-алгебр Ли.

Предложение 6. Для любой l-алгебры L над частично упорядоченным полем и ее l-идеалов I и A множество A = {T Е L/I | T П A = 0} является l-идеалом сфакторалгебры L/I.

Предложение 7. Если L и Ll — l-алгебры над частично упорядоченным полем F и ф : L ^ Li — их l-изоморфизм, то для всякого l-идеала I из L множество Ai = {ф(х) | x Е I} является l-идеалом в Li.

Доказательство. Если xi,yl е Ai и zi е Li, то х1 = ф(х), yi = ф(у) и zl = ф(z) для некоторых х,у Е I и z Е L. Отсюда по определению 3 и определению l-идеала следует, что х1 + у1 = ф(х) + ф(у) = ф(х + у) Е Al, xzl = ф(х)ф^) = ф(xz) Е Al и yxl = уф(х) = ф(ух) Е Al для любого y Е F. Таким образом, Al — идеал в Ll.

При выполнении для элементов xl Е Al и zl Е Ll условия lzll ^ |xl| имеем |ф(z)| ^ |ф(х)|. Используя рассуждения из доказательства предложения 5, получаем неравенство ф(|z|) ^ ф(|х|), применение к которому l-изоморфизма ф-1 дает неравенство |z| ^ |х|. Отсюда по предложению 3 следует, что z Е I, и поэтому zl Е Al. Это, в свою очередь, означает, что по предложению 3 идеал Al является l-идеалом в Ll. □

2. Свойства l-первичных радикалов l-алгебр

Данный параграф содержит описание свойств l-первичного радикала произвольной решеточно К-упорядоченной алгебры, в частности, здесь описаны свойства l-первичного радикала факторалгебры L/R l-алгебры L по ее l-первичному радикалу R = l-rad^(L). Для доказательства утверждений данного параграфа необходимы следующие предложения.

Предложение 8. Если L — l-алгебра над частично упорядоченным полем, I и J — ее l-первичные l-идеалы и l-radK(L) = R — ее l-первичный радикал, то для канонического гомоморфизма £ : L ^ L/R выполняется соотношение £(I П J) = £(I) П £(J).

Доказательство. Ясно, что £(I П J) ç £(I) п £(J). Докажем обратное включение. Если х Е £(I) П £(J), то существуют элементы a Е I и b Е J такие, что x = £(a) и x = £(b), где £(a) = a + R и £(b) = b + R. Отсюда следует, что a — b Е R, и значит, a — b Е I и a — b Е J по определению l-первичного радикала. Поэтому a,b Е (InJ) и х Е £(IП J), а это влечет включение £(I) П£(J) Ç £(InJ).

□

Замечание 1. Утверждение и доказательство предложения 8 .может, быть перенесено на любое количество l-первичных l-идеалов решеточно К-упорядоченной алгебры.

Основное свойство l-первичных идеалов l-алгебры над частично упорядоченным полем сформулировано в следующем предложении.

Предложение 9 ([7], теорема 2). Для l-идеала P l-алгебры L над частично упорядоченным полем следующие условия эквивалентны:

(а) P — l-первичный идеал;

(б) для любых l-идеалов Il и I2 l-алгебры L из IlI2 Ç P следует хотя бы одно из соотношений Il Ç P, I2 Ç P.

Опишем свойства факторалгебры L/R решеточно К-упорядоченной алгебры L по ее l-первичному радикалу R = l-radK(L).

Предложение 10. Для любой l-алгебры L над частично упорядоченным полем и ее l-первичного радикала R = l-radK(L) существует взаимно однозначное соответствие между l-первичными l-идеалами из L и l-первичными l-идеалами сфакторалгебры L/R.

Доказательство. Рассмотрим канонический l-эпиморфизм £ : L ^ L/R l -алгебры L на факторалгебру L1 = L/R и произвольный l -первичный идеал Pl l-алгебры Ll. По предложению 4 полный прообраз P l-идеала Pl при l-гомоморфизме £ является l-идеалом в L.

Покажем, что P — l-первичный идеал в L. Для этого возьмем l-идеалы U и V в L/P, для которых U = P и V = P, то есть U D P и V D P. Применяя к l-алгебрам L и Ll теорему 1, получим, что для l-идеала Pl из Ll и его полного прообраза P существует l-изоморфизм ф между L/P и Ll/Pl. Значит, по предложению 7 l-идеалам U и V из L/P соответствуют l-идеалы Ul и Vl в Ll/Pl. Допустив, что Ul = Pl, из Ul = '.p(U) = Pl получим U = P, что противоречит выбору l-идеала U. Поэтому Ul = Pl и, аналогично, Vl = Pl. Отсюда, в силу l -первичности идеала P1, по условию (б) предложения 9 следует, что U1V1 = P1. Предположив, что UV = P, получим UlVl = ф(UV) = ф(P) = Pl, противоречие. Следовательно, UV = P. Остается применить к l-идеалу P условие (б) предложения 9.

Аналогично, с использованием предложений 5, 6 и 9, а также теоремы 1 можно показать, что образ P[ любого l-первичного l-идеала P1 l-алгебры L при каноническом l-гомоморфизме £ является l-первичным l-идеалом в L/R. □ Следующая теорема дает описание l-первичного радикала факторалгебры решеточно К-упорядоченной алгебры по ее l-первичному радикалу.

Доказательство теоремы 2.

Для l-алгебры Ll = L/R рассмотрим Rl = l-radK(Ll) = П Pl, где Vl —

P1&V1

множество всех l-первичных идеалов из Ll. По предложению 10 каждый l-первичный идеал Pl соответствует некоторому l-первичному l-идеалу P из L, и при этом P1 = £(P). Следовательно, R1 = P1. Так как по предло-

Pl=e(P )

жению 10 множества l-первичных идеалов в l-алгебрах L и L/R связаны взаимно однозначным соответствием, то Rl = П £(P), где P — множество всех

p&V

l-первичных идеалов из L. Отсюда, используя предложение 8, получаем, что

Rl = £( П P) = £(R) = 0 в L/R. Следовательно, l-radK(L/R) = {0}. □ p&v

Определение 4. 1-алгебра Ь над частично упорядоченным полем называется 1-полупервичной, если для любого 1-идеала I = {0} из Ь верно соотношение 12 = {0}.

Необходимое и достаточное условие /-полупервичности решеточно К- упорядоченной алгебры сформулировано в следующей теореме.

Теорема 5 ([5], теорема 1). Решеточно К-упорядоченная алгебра Ь над частично упорядоченным полем является 1-полупервичной тогда и только тогда, когда /-гас1к(Ь) = {0}.

Благодаря введенному понятию /-полупервичности /-алгебры и теореме 5 можно дать эквивалентную формулировку теоремы 2.

Следствие 1. Для любой /-алгебры Ь над частично упорядоченным полем и ее /-первичного радикала Я = /-гас1к(Ь) решеточно К-упорядоченная алгебра Ь/Я является /-полупервичной алгеброй.

Доказательство. По теореме 2 имеем /-га&к(Ь/Я) = {0}, откуда по теореме 5 следует /-полупервичность /-алгебры Ь/Я. □

Доказательство теоремы 3.

Покажем, что существует взаимно однозначное соответствие между /-первичными идеалами из Ь и /-первичными идеалами из ф(Ь). Если Р — /-первичный /-идеал в алгебре Ь, то множество Р = {х + Кег ф | х £ Р} является по предложению 6 /-идеалом факторалгебры Ь/Кегф. Так как по теореме 4 алгебры Ь/Кегф и ф(Ь) /-изоморфны, то согласно предложению 7 /-идеалу Р из Ь/Кег ф соответствует /-идеал Р\ = {ф(х) | х + Кегф £ Р} = {ф(х) | х £ Р} в ф(Ь).

Аналогично, если Р\ — произвольный /-первичный /-идеал из ф(Ь), то по предложению 5, примененному к /-эпиморфизму ф : Ь ^ ф(Ь), получаем, что множество Р = {х £ Ь I ф(х) £ Р\} — /-идеал в Ь.

В каждом из полученных выше случаев по теореме 1 имеем /-изоморфизм между факторалгебрами Ь/Р и ф(Ь)/Р\, благодаря которому получаем, что /-идеал Р является /-первичным в Ь тогда и только тогда, когда /-идеал Р1 является /-первичным в ф(Ь) .

Пусть Р — множество всех /-первичных идеалов из Ь. Тогда ф(/-га&&(Ь)) =

ф( П Р) — П ф(Р). Так как по доказанному выше ф(Р) — /-первичный иде-РеР РеР

ал в ф(Ь), и каждый /-первичный идеал в ф(Ь) является образом некоторого /-первичного идеала из Ь, то Р| ф(Р) = /-гас1к(ф(Ь)). Таким образом, ф(/-

реР

гаАк(Ь)) — /-гаАк(ф(Ь)). □

Доказательство предложения 2.

Ясно, что /-га&к(Я) = Я. Рассмотрим такой /-идеал .] в Ь, для которого

/-гadк(J) = . Тогда .] является /-первичным идеалом в Ь и /-га&к(■!) = П Р,

р еР

где P — множество всех ¡-первичных идеалов в J. Поэтому в J нет ¡-первичных идеалов, отличных от J. Отсюда получаем, что ¡-radK (L) = J П Pl, где Pl — множество ¡-первичных идеалов T в L, таких что T ^ J. Значит, J Ç ¡-vadfc(L). П

Из теорем 2, З и предложения 2 следует, что ¡-первичный радикал решеточ-но K-упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем является радикалом в смысле Куроша-Амицура (см., например, [1, гл. 2, § 1]).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. АндрунакиевичВ. А., РябухинЮ.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 19Т9. 49б с.

2. КопытовВ.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли // Сиб. мат. журн. 19ТТ. Т. XVIII, №3. C. 595—б0Т.

3. КопытовВ.М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 19S4. 320 с.

4. КопытовВ.М. Упорядочение алгебр Ли // Алгебра и логика. 19Т2. Т. 11, №3. C. 295—325.

5. Кочетова Ю. В. Первичные и полупервичные решеточно упорядоченные алгебры Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 200S. Т. 14, № Т. С. 1ЗТ—14З.

6. Кочетова Ю. В. Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр Ли // Успехи математических наук. 200S. Т. бЗ, вып. 5. С. 191—192.

Т. Кочетова Ю. В. О ¡-первичном радикале решеточно упорядоченных алгебр // Фундаментальная и прикладная математика. 2011-2012. Т. 1Т, №5. С. 55—6S.

S. КочетоваЮ. В., ШиршоваЕ. Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли // Избранные вопросы алгебры: сборник статей, посвященный памяти Н. Я. Медведева. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 200Т. С. 131—142.

9. КочетоваЮ. В., ШиршоваЕ. Е. О линейно упорядоченных линейных алгебрах // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, № 1. С. 53— бЗ.

10. Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Мат. сб. 1953. Т. 33, № 1. C. 13—2б.

11. ЛамбекИ. Кольца и модули. М.: Мир, 19Т1.

12. Михалев А. В., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно упорядоченных групп // Вестник Моск. ун-та. Сер. Математика. Механика. 1990. №2. С. S4—S6.

13. Михалев А. В., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сб. работ по алгебре. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 178—184.

14. Михалев А. В., Ширшова Е. Е. Первичный радикал р/-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, №2. С. 193—199.

15. Пихтильков С. А. Структурная теория специальных алгебр Ли. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. 130 с.

16. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

17. Щукин К. К. Я1 -разрешимый радикал группы // Мат. сб. 1960. Т. 52, №4.

С. 1021—1031.

Московский педагогический государственный университет

Поступило 13.08.2013