Декартова сумма решеточно К-упорядоченных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.552+512.545

ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО ^-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР

Ю. В. Кочетова (г. Москва)

Аннотация

Рассматривается подход упорядочения алгебр, предложенный В. М. Копытовым. Изучаются свойства декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр над направленным полем, а именно, ее связь с некоторой ¿-алгеброй. Для доказательства свойств декартовых сумм линейно упорядоченных алгебр введено понятие спрямляющего ¿-идеала ¿-алгебры и исследованы его свойства.

Введение

Пусть Е — частично упорядоченное поле и А = (Л; +; — линейная алгебра

над полем Е.

А

доченным пол,ем Е определен порядок Копытова (К-порядок) если:

(1) {А; +; ^) — частично упорядоченная, группа;

(2) из а ^ Ь следует, что Ха ^ ХЬ для всех а,Ь Є А и X > 0 А Є Е;

(3) из 0 ^ а следует, что 0 ^ а + аЬ и 0 ^ а + Ьа для всех Ь Є А.

Если в определении 1 группа {А; +; ^) является решеточно упорядоченной, то алгебра А над полем Е называется решеточно К-упорядоченной, или 1-алгеброй.

Введение В. М. Копытовым [1] в 1972 году такого определения упорядочения для алгебр Ли дало возможность в 70-80-х годах прошлого века построить содержательную теорию линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем. Ряд основных результатов этой теории был получен

В. М. Копытовым, Н. Я. Медведевым, С. А. Агалаковым и А. С. Штерном (см. [1]—[7]).

В [1] В. М. Копытов отмечает, что такое определение порядка можно рассматривать не только для алгебр Ли, но и для произвольных алгебр над упорядоченным полем.

Основной целью данной статьи является изучение свойств K-порядка для произвольных линейных алгебр над частично упорядоченным полем.

В статье используется терминология, общепринятая для частично упорядоченных алгебраических систем (см. [4, 8]).

Так как при положительной характеристике поля F его положительный конус равен нулю, то есть порядок на поле тривиален, то далее рассматривается

F

Кроме этого, если для элементов a,b Е F тля F го того, что ab > 0 и a > 0 следует, что b > 0, то будем говорить, что поле F удовлетворяет уеловию (*).

В первом параграфе, результатами которого мы будем пользоваться в следующих параграфах, исследуются свойства векторных решеток над частично упорядоченными полями и полями с направленным порядком.

Второй параграф посвящен исследованию свойств спрямляющих /-идеалов частично ^-упорядоченных алгебр.

Спрямляющим идеалом частично ^-упорядоченной алгебры A над частично упорядоченным полем будем называть такой ее выпуклый идеал I, что факто-ралгебра A/I линейно упорядочена относительно индуцированного порядка.

Если A — решеточно ^-упорядоченная алгебра над частично упорядоченным полем F, х Е A и х = 0 то каждый из /-идеалов J(х) алгебры A, максимальных среди /-иде^ов, не содержащих элемента х, будем называть значением элемента х, а также нижним, идеалом скачка в решетке L(A) всех /-идеалов A

Во втором параграфе доказана теорема, благодаря которой можно сделать

//

Теорема 1. Если A — решеточно K-упорядоченная, алгебра, над направленным полем,, удовлетворяющим условию (*), то всякий нижний идеал, скачка, J(х), определяемый элем,ентом х Е A, х = 0, является спрямляющим, I-A

Также во втором параграфе доказано утверждение, раскрывающее взаимосвязь между произвольным /-иде^ом и спрямляющими /-идеалами /-алгебры.

Предложение 1. Всякий /-идеал, I решеточ но K-упорядоченной алгебры, A над направленным полем, F с условием, (*) является, пересечением, спрямляющих /-идеалов, а именно, I = П J(х).

xeA\I

В третьем параграфе изучены свойства декартовой суммы линейно упоря-

/

алгеброй. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2. Для всякой решеточно К-упорядоченной алгебры А над направленным полем Р с услови ем (*) существует решеточный из ом орфизм, из А в декартову сумму линейно К-упорядоченных алгебр.

1 Свойства векторных решеток и частично К-упорядоченных алгебр

По аналогии с определением частично упорядоченного действительного векторного пространства (см. [9], стр. 445) сформулируем определение частично упорядоченного векторного пространства над частично упорядоченным полем Р.

Определение 2. Частично упорядоченным, векторным пространством, V над частично упорядоченным, полем, Р называется векторное пространство V над полем, Р, на, котором, задано отношение порядка ^ такое, что:

1. (V; +; ^) — частично упорядоченная, группа;

2. для, любых элементов х Е V, А € Р из неравенств х ^ Ов V и А > 0 в Р следует Ах ^ 0 в V.

Если в определении 2 группа (V;+; ^) является /-группой, то векторное пространство V называется решеточно упорядоченным.

Из этого определения видно, что результаты теории частично упорядоченных групп применимы к любому частично упорядоченному векторному пространству над частично упорядоченным полем. В частности, для любого решеточно упорядоченного векторного пространства над частично упорядоченным полем верны утверждения следующей леммы.

Лемма 1 ([9], гл. XIII, § 3-4; [8], гл. V, § 1, § 4). В 1-группе С для, любых элементов х,у,г Е С верны, соотношения:

г + (х Л у) = (г + х) Л (г + у) и г + (х V у) = (г + х) V (г + у); х + у — (х Л у) = х V у, х = х+ + х-, |х| = х+ — х-;

\х + у1 ^ |х| + 1у1 и — |х| ^ х ^ |х|.

Далее рассмотрим свойства модулей элементов, а также точных верхних и точных нижних граней элементов векторных решеток, связанные с умножением вектора на элемент поля.

Лемма 2. Пусть V — решеточно упорядоченное векторное пространство над направленным полем, Р. Тогда для любого элемента А Е Р существуют положительные верхние грани элементов А и — А, и для, любой такой верхней грани а Е Р верно неравенство |Ах| ^ а^ для каждого х Е V.

Доказательство. Так как порядок ^ в частично упорядоченном поле Р является направленным, то для элементов А, —А Е Р найдется элемент А, являющийся их верхней гранью, то есть удовлетворяющий условиям А ^ А и А ^ — А. Кроме того, в силу направленности порядка на поле Р, существует такой элемент а Е Р, что а ^ А; и а ^ 0. Ясно, что а Е Р является положительной верхней гранью элементов А и —А.

Из леммы 1 известно, что х = х+ +х-. Применяя второй пункт определения 2 к неравенствам а — А ^ 0и х+ ^ 0, получим, что ах+ ^ Ах+. Используя неравенства а + А ^ 0 и х- ^ 0, по второму пункту определения 2 заключаем, что ах- ^ —Ах-, поэтому —ах- ^ Ах-. По лемме 1 из полученных неравенств следует, что ах = а(х+ — х-) = ах+ — ах- ^ Ах+ + Ах- = Ах то есть а^ ^ Ах.

По второму пункту определения 2 из того, что а + А ^ 0 и х+ ^ 0, получаем, что ах+ ^ — Ах\ а го того, что а — А ^ 0и х- ^ 0, имеем ах- ^ Ах- и, значит, —ах- ^ — Ах-. Отсюда по лемме 1 заключаем, что а^ = ах+ — ах- ^ — Ах+ — Ах- = —Ах.

Из соотношений ах ^ Ах и а^ ^ —Ах по определению точной верхней грани следует, что а^ ^ Ах V (—Ах) = |Ах|. □

Лемма 3. Пусть V — решеточно упорядоченное векторное пространство над частично упорядоченным пол,ем Р, которое удовлетворяет условию (*). Тогда для любых элементов х,у Е V и А Е Р, А ^ 0 верны равенства:

А(х Л у) = Ах Л Ау, А(х V у) = Ах V Ау.

Доказательство. Пусть х,у е V, А Е Р и А ^ 0. Поскольку х Л у ^ х и

А ^ 0, то то второму пункту определения 2 А(х Л у) ^ Ах Так как х Л у ^ у,

то аналогичные рассуждения дают неравенство А(х Л у) ^ Ау. Из полученных соотношений по определению точной нижней грани получаем А(х Л у) ^ Ах Л Ау. Используя данное неравенство и лемму 1, получаем, что А(х V у) = А(х + у) — А(х Л у) ^ Ах + Ау — Ах Л Ау = Ах V Ау.

Так как в частично упорядоченном поле Р выполнены соотношения А ^ 0 и 1 ^ 0, то го них, в силу равенства 1 = АА-1, то условию (*) следует неравенство А-1 ^ 0.

По определению точной нижней грани имеем Ах Л Ау ^ Ах, откуда с учетом неравенства А-1 ^ 0, то определению 2 заключ аем, что А-1 (Ах Л Ау) ^ х.

С помощью аналогичных рассуждений можно получить неравенство

А-1 (Ах Л Ау) ^ у.

Из выписанных соотношений и определения точной нижней грани имеем

А-1 (Ах Л Ау) ^ х Л у.

Применим к этому выражению и неравенству А ^ 0 определение 2. Тогда Ах Л Ау ^ А(х Л у). Учитывая полученные выше неравенства, получаем требуемое А(х Л у) = Ах Л Ау

С помощью леммы 1 данное выражение преобразуется в следующее: А(х V у) = А(х + у) — А(х Л у) = Ах + Ау — Ах Л Ау = Ах V Ау. □

К

которое понадобится нам в дальнейшем.

Предложение 2. В 1-алгебре А над частично упорядоченным пом,ем для любых элементов х,у Е А выполняются неравенства |xy| ^ X и |yx| ^ |х|.

Доказательство. Если а > 0 а Е А, то по условию (3) определения 1 выполняются неравенства аЬ ^ а и —аЬ ^ а для любого Ь Е А. Следовательно, = аЬ V — (аЬ) ^ а.

Используя лемму 1, получаем |xy| = |(х++x-)y| = ^+у+x-y| ^ |x+y| + |x-y|. Так как х+ ^ 0 и —х- ^ 0, то |x+y| ^ х+ и |x-y| = К—х-^ ^ —х-. Отсюда, учитывая лемму 1, имеем |xy| ^ х+ — х- = |х|. Аналогично доказывается неравенство |yx| ^ |х|. □

К

алгебр, которые будут необходимы нам при дальнейшем изложении.

Предложение 3 ([10], предложение 3). Следующие условия на идеал, I 1-алгебры А над частично упорядоченным полем, Р эквивалентны,:

^ I _ выпуклая подрешетка в А;

2) если х Е I, у Е А и у ^ X, то у Е I для любых х Е I, у Е А.

Предложение 4 ([10], теорема 1). Множество всех 1-идеалов решеточно К А Р

полной подрешеткой решетки всех ее идеалов.

АК

направленным полем, Р, удовлетворяющим условию (*). Если 3 — 1-идеал в А и а Е А, а > 0, то множество С = {у Е А | у Л а Е 3} является, 1-идеалом, алгебры, А, содержащим 3.

Доказательство. Пусть у е 3, тогда у е 3 и 0 ^ у Л а ^ у. Так как 3 — выпуклый идеал, то |у| Л а Е 3 и, значит, у Е С Таким образом, 3 С С.

Покажем, что С — /-идеал в А. Пусть у Е С и г Е С. Обозначим 0 ^ у Л а = с1 Е 3 ж 0 ^ |г| Л а = с2 Е 3. Рассмотрим ^ — г| Л а. По лемме 1 и определению точной нижней грани имеем ^ — гX а ^ (|y| + г) Л а ^ (|y| + г) Л (а + 0) =

^ ^ Л ^ + а) Л а = Ш + (|г|л а)) Л а = ^ + с2) Л а < Ш + с2) Л (а + с2) =

с2 + (у Л а) = с2 + с1 Е 3. Из задания множества С и выпуклости 3 имеем у — г Е С, то есть С — подгруппа в А.

Далее, из леммы 2 и определения точной нижней грани следует, что ^уЛа ^ а|y| Л а, оде а Е Р, а ^ 0и а ^ А. Так так поле Р является направленным, то существует элемент в Е Р такой, что в ^ а и в ^ 1• Тогда для элементов в Е Р, у ^ 0и а > 0 по определению 1 выполняются со отношения ау ^

в|y| и а < ва, из которых по определению точной нижней грани следует, что а|y| Л а ^ в у Л ва Отсюда то лемме 3, в силу того, что в ^ 1 ^ 0, получаем равенство в |y| Л ва = в (ІУІ Л а). Итак, |Аy| Л а ^ в (у Л а) = вс1 Е 3. Учитывая 3 Ау С С А

Если г Е А, то ^г^ |гy| ^ у по предложению 2. Отсюда по определению точной нижней грани получаем соотношение |yг| Л а ^ у Л а = с1 Е 3, из

3С

уг Е С. Значит, С — идеал в А.

Пусть г Е А, у Е С и |г| ^ |у|. Тогда |г| Л а ^ У Л а = с1 Е 3. Используя выпуклость идеала 3, заключаем, что г Е С. Таким образом, С является по предложению 3 /-идешгом в /-алгебре А □

2 Спрямляющие идеалы /-алгебр

Вначале сформулируем необходимое и достаточное условие, при выполнении //

Предложение 6 ([10], следствие 2). /-идеал 3 /-алгебры А над частично Р

для любых положительных элементов а,Ь Е А из а Л Ь Е 3 и а / 3 следует, что Ь Е 3.

//

/А

упорядоченным полем Р для элемента х Е А, х = 0 существу ют /-идеалы 3а(х) (а Е I), максимальные среди /-иде^ов, не содержащих элемента х.

А/

лем Р, х Е А, х = 0. Тогда множество {3а(х),а Е I} /-идеалов /-алгебры А,

/х

Доказательство. Пусть М = {3 — /-идеал в А | х / 3}. Множество М непусто, так как х Е {0}, и поэтому {0} Е М. Заметим, что по предложению 4 множество Ь(А) всех /-идеалов /-алгебры А решеточно упорядочено по включению. Так как М С Ь(А), то М частично упорядочено относительно индуцированного порядка. Для возрастающей цепочки 31 С 32 С ... С 3п С ... /-идеалов 3г Е М получаем, что 3' = и3п — /-идеал в А. При этом ясно, что х Е 3'. Поскольку 31 С 3' для любого г, то 3' — верхняя грань для /-идеалов рас-

М

элементы, которые обозначим через 3а(х). □

Теперь вместе с любым из /-идеалов 3а(х) (а Е I), существование которых было доказано в предложении 7, рассмотрим /-идеал (3а(х),х)г — наименьший /-идеал среди /-идешгов в А, содержащих 3а(х) и х. Тогда ясно, что 3а(х) ^ (3а(х),х)г.

Пусть В ж С /-иде^ы алгебры А над полем, для которых В э С и В = С. Скажем, что идеалы В и С образуют скачок, если из включений С С 3 С В 3 = В 3 = С 3 А

АК

упорядоченным пол,ем Р, х Е Ь, х = 0. Тогда пара /-идеалов 3а(х) С (3а(х),х)г составляет скачок в решетке Ь(А).

Ь(А) /

/Ь системой идеалов.

Пусть Т Е Ь(А) и 3а(х) С Т С (3а(х), х)^ Для /-идеала Т есть две возможности: х Е Т или х Е Т. Если х Е Т, то, в силу максимальности /-идеала 3а(х) относительно свойства х Е 3а(х), из 3а(х) С Т следует, что 3а(х) = Т. Если х Е Т, то Т = (3а(х), х)1, поскольку Т С (3а(х),х)г и (3а(х),х)1 — наименьший / х /

3а(х) С (3а(х), х)[ образует скачок в решетке Ь(А). □

Будем говорить, что 3а(х) < (3а(х),х)г — скачок в Ь(А), определяемый элементом х (х Е А, х = 0). Каждый из /-идеалов 3а(х), рассмотренных в пред-

х

Ь(А) / К А

Р

Докажем, что всякий нижний идеал скачка, определяемый ненулевым эле//

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. [ТЕОРЕМЫ 1] Пусть 3а(х) < (3а(х),х)г — скачок в решетке Ь(А), определяемый элементом х = 0. Из леммы 4 следует, что всякий /-идеал в А, строго содержащий 3а(х), содержит и (3а(х),х)1. Рассмотрим множество С = {у Е А | |у| Л |х| Е 3а(х)}, которое по предложению 5 является /-идеалом /-^гебры А, и при этом 3а(х) С С. Если 3а(х) ^ С, то (3а(х),х)г С С и, значит, х Е С. Отсюда следует, что |х|Л|х| = |х| Е 3а(х), и поэтому х Е 3а(х), но это невозможно по построению 3а(х). Отсюда заключавм, что С = 3а(х).

Пусть теперь а,Ь Е А, а > 0 Ь > 0 а Е 3а(х) и а Л Ь Е 3а(х). Построим множество В = {у Е А | у Л Ь Е 3а(х)}, которое по предложению 5 является /-идеалом, содержащим 3а(х). При этом из а Е В и а Е 3а(х) следует, что 3а(х) ^ В. По доказанному выше имеем (3а(х),х)г С В, откуда получаем, что |х| Л Ь Е 3а(х) и, значит, Ь Е С = 3а(х). Следовательно, 3а(х) является по

/□

//

/

Доказательство, [предложения 1] Пусть I — /-идеал /-^гебры А и 3(х) — один из нижних идеалов скачка для элемента х Е А\Р/ построенный в предложении 7. Тогда х Е 3(х), а также I С 3(х) в силу максимальности

идеала 3 (х). Кроме это го, по теореме 1 3 (х) — спрямляющий идеал. Ясно, что I С Р| 3 (х). Есл и у Є Р| 3 (х), то у Є 3 (х) для любо го х Є А\/, и значит,

хЄЛ\І хЄЛ\І

в случае у Є I имеем у Є 3(у), противоречие. Поэтому, у Є I. Таким образом, I = П 3(х). □

хЄЛ\І

3 Разложение /-алгебр в декартову сумму

Рассмотрим /-^гебры Аі (і Є I) над частично упорядоченным полем ¥ и алгебру А = ^2іеІАі над полем ¥, являющуюся множеством всех функций /, определенных на I, таких, что для любого і Є I выполнено /(і) Є Аі7 а операции на А определены покоординатно, т. е. (/ + д)(і) = /(і) + д(і), (а/)(і) = а/(і), /д(і) = /(і)д(і) для /,д Є А, а Є ¥. Будем называть алгебру А кардинальной (или декартовой) суммой /-^гебр Аі (і Є I). При этом на А можно задать покоординатное отношение порядка: / ^ д тогда и только тогда, когда /(і) ^ д(і) в Аі для вс ех і Є I.

Предложение 8. Декартова сумма А = ^2шАі частично К-упорядочен-ных алгебр Аі над пол,ем, ¥ является частично К-упорядоченной алгеброй над полем, ¥ относительно покоординатного порядка.

Лемма 5. Если {Ма, а Є I} — множество /-идеалов решеточно К-упорядоченной алгебры, А над частично упорядоченным полем, ¥ такое, что Р| Ма = {0}, то А /-изоморфна /-подалгебре декартовой суммы решеточно

а^І

К-упорядоченных алгебр Аа = А/Ма, а Є I.

Доказательство. Отметим, что для любого а є I по [11, теорема 10] Аа = А/Ма / ¥

Применяя к системе {Ма, а Є I} предложение 5 из [4, гл. II, § 3], получаем, что существует отображение ф /-группы {А, +) в декартову сумму /-групп Аа, действующее по правилу ф(х) = /х для любо го х Є А, где /х(а) = х + Ма Є Аа. При этом ф является /-гомоморфизмом указанных /-групп. Покажем, что ф — /-гомоморфизм /-^гебр А и ^21 Аа.

а^І

Если х, у Є А, X Є ¥, то ф(Хх) = Дх и ф(ху) = /ху, при этом по определению декартовой суммы имеем /\х(а) = Хх + Ма = Х(х + Ма) = Х/х(а) и /ху(а) = ху + Ма = (х + Ма )(у + Ма) = /х(а)/у (а) для любо го а Є I. Следовательно,

ф(Хх) = Хф(х)ъ /ху = /х/у, то есть ф(ху) = ф(х)ф(у). ___

Таким образом, ф является /-гомоморфизмом алгебр А и ^21 Аа. Отсюда по

а^І

[11, теорема 15] следует, что существует /-изоморфизм ф естественно упорядоченной факторалгебры А/Кег ф и Im ф, при этом Im ф является /-подалгеброй в ^2і Аа. Есл и х Є Кег ф, то /х = 0 то ест ь /х(а) = х + Ма = Ма для любо-

а^І

го а Є I. Поэтому х Є Ма для вс ех а Є I, откуда х Є Р| Ма = {0} и, значит,

а£І

x = 0. Так как Ker ф = {0}, то A /-изоморфна /-под^гебре декартовой /-суммы El Aa. □

/

картовой суммой некоторых линейно К-упорядоченных алгебр.

Доказательство, [теоремы 2] Используя предложение 1, для /-идеала {0} из A получаем, что {0} = П J(a) где нижний идеал скачка J(a), опре-

А\{0}

деляемый элементом a, является то теореме 1 спрямляющим /-идешюм в A, то есть A/J (a) — линей но К-упорядоченная алгебра. Следовательно, множество /-идеалов {J(a), a Е A\{0}} удовлетворяет условию леммы 5, и значит, алгебра A решеточно изоморфна /-под^гебре декартовой суммы линейно К-

A/J(a) a A\{0} □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Копытов В.М. Упорядочение алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1972. Т. 11, № 3. - С. 295-325.

[2] Агалаков С.А., Штерн A.C. Свободные произведения линейно упорядочиваемых алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1982. - T. XXIII. - № 3. -С. 5-9.

[3] Копытов В.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1977. - T. XVIII. - № 3. - С. 595-607.

[4] Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. - М.: Наука, 1984. -320с.

[5] Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. // Алгебра и логика. - 1977. - Т. 16. - № 1. - С. 40-45.

[61 Медведев Н.Я. О продолжении порядков алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1977. - T. XVIII. - № 2. - С. 469-471.

[7] Медведев Н.Я. К теории решеточно упорядоченных колец. // Математические заметки. - 1987. - Т. 41. - № 4. - С. 484-489.

[8] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. - М.: Мир, 1965.

[9] Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

[10] Кочетова Ю.В. О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. -2007. - Т. 57. - № 7. - С. 73-83.

[11] Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли. // Избранные вопросы алгебры: Сборник статей, посвященный памяти Н.Я. Медведева. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. -

С. 131-142.

Московский педагогический государственный университет.

Получено 22.04.2012