CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 4.
УДК 512.558 DOI 10.22405/2226-8383-2016-17-4-167-179
О ^/-ПОЛУГРУППАХ И ^/-ПОЛУКОЛЬЦАХ
О. В. Чермных (г. Киров) Аннотация
В статье изучаются dW-полукольца. Полученные результаты верны также для drl-uo-лугрупп, поскольку dW-полукольцом будет drZ-полугруппа с нулевым умножением. Указанные алгебры имеют связь с двумя проблемами: 1) существует ли абстрактная конструкция, объединяющая как булевы алгебры, так и решеточно упорядоченные группы? (Г. Биркгоф); 2) рассмотреть решеточно упорядоченные полукольца (Л. Фукс). Одной из возможных конструкций, удовлетворяющей условиям первой проблемы, является ^/-полугруппа, определенная К. L. N. Swamy в 1965 г. Как решение второй проблемы в 1981 г. Rango Rao ввел в обиход /-полукольцо. Для последней алгебры мы используем название dr /-полукольца.
В настоящей статье основным объектом исследования является drZ-полукольцо. Нами обобщаются результаты Swamy, полученные им для drZ-полугрупп, а в некоторых случаях уточняются. Известно, что любое drZ-полукольцо раскладывается в прямую сумму S = L(S) ф R(S) положительно упорядоченного drZ-полукольца L(S) и /-кольца R(S). Указывается условие, при котором L(S) обладает наименьшим и наибольшим элементами (теорема 2). В теореме 3 найдены необходимые и достаточные условия разложения drl-полукольца в прямую сумму /-кольца и брауэровой решетки, а в теореме 4 — /-кольца и булевой алгебры. Теоремы 5 и 6 характеризуют /-кольцо и аддитивно сократимое ^/-полукольцо в терминах симметрической разности. Наконец, мы показываем, что произвольная конгруэнция па drZ-полукольце является отношением Берна.
Ключевые слова: полукольцо, drZ-полугруппа, drZ-полукольцо, решеточно упорядоченное кольцо.
Библиография: 11 названий.
ON ^/-SEMIGROUPS AND dr/-SEMIRINGS О. V. Chermnykh Abstract
In the article drZ-semirings are studied. The obtained results are true for drZ-semigroups, because a drZ-semigroup with zero multiplication is drZ-semiring. This algebras are connected with the two problems: 1) there exists common abstraction which includes Boolean algebras and lattice ordered groups as special cases? (G. Birkhoff); 2) consider lattice ordered semirings (L. Fuchs). A possible construction obeying of the first problem is drZ-semigroup, which was defined by K. L. N. Swamy in 1965. As a solution to the second problem, Rango Rao introduced the concept of /-semiring in 1981. We have proposed the name drZ-semiring for this algebra.
In the present paper the drZ-semiring is the main object. Results of K. L. N. Swamy for drZ-semigroups are extended and are improved in some case. It is known that any drZ-semiring is the direct sum S = L(S) ф R(S) of the positive to drZ-semiring L(S) and /-ring R(S). We show the condition in which L(S) contains the least and greatest elements (theorem 2). The necessary and sufficient conditions of decomposition of dr/-semiring to direct sum of /-ring and Brouwerian lattice (Boolean algebra) are founded at theorem 3 (resp. theorem 4). Theorems 5 an 6 characterize /-ring and cancellative dr/-semiring by using symmetric difference. Finally, we proof that a congruence on dr/-semiring is Bourne relation.
Keywords: semiring, dr/-semigroup, dr/-semiring, lattice ordered ring.
Bibliography: 11 titles.
1. Введение
Статья посвящена изучению drí-полуколец, а поскольку dH-полукольца с нулевым умножением суть dr¿-полугруппы, то результаты верны и для них. Появление этих алгебр тесно связана с двумя следующими проблемами.
1) Г. Биркгоф ( [1], проблема 105): "Существует ли абстрактная конструкция, объединяющая булевы алгебры и решеточно упорядоченные группы?"
2) Л. Фукс ( [2], проблема 37): "Рассмотреть решеточно упорядоченные полукольца".
Начнем с проблемы Фукса и кратко отметим некоторые подходы к ее решению. Во-первых,
это исследования положительно упорядоченных полуколец, имеющих тесные связи с положительными конусами упорядоченных ¿-колец. Во-вторых, в монографии Дж. Голана [3] исследуются решеточно упорядоченные полукольца. Под решеточно упорядоченными полукольцами Голан понимает аддитивно идемпотентные полукольца, образующие важный, но не достаточно широкий класс.
В 1981 году о решении проблемы Фукса заявил Rango Rao [4]. Под названием ¿-полукольца им были рассмотрены алгебры, базирующиеся на drí-полугруппах, введенные в обиход К. L. N. Swamy в 1965 году [5]. Класс drí-полугрупп (dually residuated lattice ordered semigroup) дает примеры абстракций, включающих как булевы алгебры, так и ¿-группы, следовательно, мы получаем одно из решений проблемы Биркгофа (см. также [6], [7]). Особенностью drl-no-лугрупп является удачное определение бинарной операции разности. Идейные предпосылки, приведшие к dH-полугруппам, можно найти среди брауэровых алгебр и решетках с делением (residuated lattice); на последние [8] явно указывал Swamy.
В настоящей статье при исследовании drí-полуколец (¿-полукольца в терминологии Rao) выделяются важные идеалы drí-полукольца S — множество всех аддитивно обратимых элементов R(S) и положительно упорядоченное drí-полукольцо L(S). Найдены условия, при которых L(S) удовлетворяет дополнительным условиям, а также выясняется, когда drl-полу-кольцо является ¿-кольцом, брауэровой решеткой, булевой алгеброй, аддитивно сократимым полукольцом. Доказывается, что любая конгруэнция на drí-полукольце есть отношение Берна.
Свойства dW-полугрупп и drí-полуколец и их доказательства помимо пионерских работ Swamy можно найти в [9], [10].
2. Основные понятия
Под полукольцом будем понимать систему (S, +, ■, 0), которая является коммутативной полугруппой с нулем относительно сложения, полугруппой относительно умножения и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Такое определение является более общим, чем у Голана [3], не предполагается наличие единицы и мультипликативности нуля.
Определение. Алгебра (S, +, ■, V, Л, —, 0) называется drl-полукольцом, если выполняются условия:
1. (S, +, ■, 0) — полукольцо;
2. (S, V, Л) — решетка (с порядком
3. сложение + дистрибутивно относительно V и Л;
4. для любых a,b G Sa — b — наименьший элемент z G S такой, что b + z ^ a;
5. (a — b) V 0 + b ^ a V b для любых a,b G S;
6. a(b — c) = ab — ас и (a — b)c = ac — bc для любых a,b,c G S;
7. ab > 0 для любых а,Ь > 0 из S.
Данное определение принадлежит Р. Ranga Rao [4] и основывается на определении drl-полугруппы, введенной в обиход К. L. N. Swamy [5]. Определение drí-полугруппы (dually residuated lattice ordered semigroup) мы получим из определения dH-полукольца, если не будем учитывать аксиомы, в которых задействована мультипликативная операция. Отметим, что определение drí-полугруппы в [5] содержало условие а — а > 0, которое, как показал Т. Kovar [11], вытекает из остальных аксиом.
Примеры.
1. Решеточно упорядоченное кольцо (l-кольцо) с обычной кольцевой разностью является dH-полукольцом.
2. Пусть N — полукольцо целых неотрицательных чисел с обычными сложением, умножением и отношением порядка. Определим а — b = 0, если а ^ Ь, и как обычную разность целых чисел в противном случае. Тогда (N, +, ■, —, <) — drí-полукольцо. Подобным образом получаем drí-полукольца на множестве R+ неотрицательных действительных чисел и его подполукольцах. Эти алгебры являются как положительно упорядоченными, так и линейно упорядоченными drí-полукольцами.
3. Любая drí-полугруппа с нулевым умножением является dW-полукольцом.
4. Пусть (L, V, Л) — конечная дистрибутивная решетка; для произвольных a,b £ L определим разность следующим образом: а — b = Л{г £ L : г Vb > а}. Алгебpa (L, +, ■, V, Л, —, 0) становится dr¿-полукольцом, если в качестве сложения и умножения взять V и Л соответственно. Таким же образом мы получаем drí-полукольцо, отталкиваясь от полной
V
5. Пусть (В, V, Л) — произвольная булева решетка. Алгебра (В, +, ■, 0, V, Л, —) становится dH-полукольцом, если сложение и умножение совпадают соответственно с V и Л, а разность определить как а — b = а Л b^, гд е Ь^ — дополнение к эле менту Ь. Несложно показать, что такая разность в случае булевой решетки совпадает с разностью из предыдущего примера.
6. Пусть L = {0,а,г} — трехэлементная цепь. Положим а + а = г, 0 — нейтральный, г — поглощающий элементы относительно +. Тогда однозначно определяется разность, и (L, +, <, —, 0) становится dr¿-полугруппой. Для получения drí-полукольца возможно только нулевое умножение.
7. Решетка L называется брауэровои, если для любых ее элементов a, b множество всех таких х £ L, что b V х > а, имеет наименьший элемент а — Ь. Брауэрова решетка является дистрибутивной. Положив х + у = х V у мы получим dW-полугрупnv (L, +, V, Л, —). Если умножение определить совпадающим с Л, то получим dr¿-полукольцо, обобщающее примеры 4) и 5). Отметим, что в [5, theorem 4] утверждается, что если drí-полугруппа (L, +, <, —, 0) как решетка (L, <, —) брауэрова, то + необходимо совпадает с V. В условии этого утверждения требуется совпадение операций вычитания в брауэровой решетке и drí-полугруппе. Поскольку порядок в брауэровой решетке определяет операцию —, то естественно возникает вопрос: если dW-полугруппа (S, +, <, —, 0) как решетка (S, <) является брауэровой (без условия совпадения операций вычитания), то будет ли верно а + b = а Vb для произвольных a,b £ S? Отрицательный ответ дает предыдущий пример.
Операции взятия точных граней договоримся считать "более сильными" нежели сложение и вычитание, поэтому будем писать, к примеру с — а V b вместо с — (а V Ь). В свою очередь с V ab будет означать с V (ab).
Поскольку f5, theorem 1] в коммутативной ¿-полугруппе акспома 4) определения 2 равносильна системе трех условий (г) х + (у — х) > у\ (гг) х — у < х V z — у\ (Hi) (х + у) — у < ж, то класс всех drZ-полуколец является многообразием.
Для удобства приведем простейшие свойства dr/-полугрупп. Пусть S — drZ-полугруппа, a,b,c £ S, тогда справедливы утверждения:
а — а = 0,а — 0 = 0 lemma 1
а < b ^ а — с < b — с, с — b < с — a lemma 3
а < b & а — b < 0 ^ b — а > 0 lemma 7
а < b ^ (b — а) + а = b lemma 8 a + (b — с) > (а + Ь) — с
а — (Ь — с) < (а — Ь) + с lemma 13
а — (Ь + с) = (а — Ь) — с = (а — с) — b lemma 6
а V b — с = (а — с) V (Ь — с) lemma 4 а Л b — с < (а — с) Л (Ь — с) с — а V b < (с — а) Л (с — Ь)
с — а Л b = (с — а) V (с — b) lemma 5
а V b + а Л b = а + b lemma 9
Ссылки даны на утверждения из статьи Swamy [5]. При отсутствии ссылки утверждение и доказательство можно найти в [9].
Элементы а+ = а V 0 и а- = а Л 0 называются положительной и отрицательной частями элемента, а. Введенная терминология оправдывается тем, что для любого элемента a drl-полукольца выполняется а = а+ + а— кроме то го, а+ > 0 и а- < 0, и равенства достигаются в точности тогда, когда а < 0 и а > 0 соответственно.
Важную роль при изучении drZ-полуколец, в частности при факторизации, играет симметрическая разность, которую можно рассматривать как новую операцию: а * b = (а — b) V (Ь — а).
Пусть S = (S, +, ■, V, Л, —) — drZ-полукольцо. Отображение (р : S ^ Т в drZ-иолукольцо Т, сохраняющее все пять бинарных операций, назовем гомоморфизмом. Множество Ker р всех элементов, отображающихся в ноль при гомоморфизме, называется ядром, гомоморфизма р. Отношение эквивалентности на drZ-полукольце S, стабильное относительно всех бинарных операций, называется конгруэнцией на S.
Введенные определения являются стандартными понятиями для универсальных алгебр. Отметим, что произвольная конгруэнция р на drZ-полукольце S определяет факторполукольцо S/p, являющееся dr/-полукольцом. Легко показать, что любой гомоморфизм drZ-полукольца является изотопным отображением, сохраняет симметрическую разность и ноль.
Определение. Непустое подмножество А drZ-полукольца S называется идеалом,, если выполняются условия:
1. если а,Ь £ А, то а + b £ А;
2. если а £ A,s £ 5, то as, sa £ А;
3. если b * 0 < а * 0,а £ А, то b £ А.
Стандартно устанавливается замкнутость идеала относительно всех операций ^/-полукольца. В отличие от произвольного полукольца, в частности, ограниченной дистрибутивной
решетки, конгруэнции на dH-полукольце характеризуются своими классами нуля, или равносильно, ядрами естественных гомоморфизмов [4, theorem 1.1]. Именно, каждой конгруэнции соответствует идеал, являющийся классом нуля, а каждый идеал А dri-полукольца S однозначно определяет конгруэнцию а = Ь(А) ^^ а * b & А. Класс нуля при этом совпадает с А, а для совпадения двух конгруэнций на S достаточно совпадения их классов нуля.
Суммой идем,лов А ъ В dri-полукольца S называется множество
А + В = {а + b : а & А,Ъ & В}.
Понятно, что пересечение идеалов dri-полукольца снова будет идеалом. Более сложным оказывается доказательство, что сумма двух идеалов является идеалом [4, remark 1.6]. Отметим, что сумма и пересечение идеалов являются точными гранями в решетке идеалов drl-полукольца, а сама решетка дистрибутивна [4, remark 1.8].
Лемма 1. В drl-полугруппе справедливо неравенство с — а V b < (с — а) Л (с — Ь).
Доказательство. Вытекает из определения разности и
а V b + (с — а) Л (с — b) = (а V b + (с — а)) Л (а V b + (с — Ь)) = = ((а + (с — а) V (Ь + (с — а))) Л ((а + (с — b)) V (Ь + (с — Ь))) > > (а + (с — а)) Л (b + (с — Ь)) > с Л с = с.
□
Предложение 1. Множество L(S) = {а & S :0 — а = 0} являет,ся идеалом, drl-полу-кольца S, и L(S) являет ся положительно упорядоченным drl-полукольцом, с наименьшим 0
Доказательство. Покажем замкнутость L(S) относительно сложения. Для элементов dri-полугруппы выполняется х — (у + z) = (х — у) — z [5, lemma 6], поэтому для a,b & L(S)
0 — (а + b) = (0 — а) — b = 0 — b = 0,
откуда а + b & L(S). Далее, используя х — (у — z) < (х — у) + z f5, lemma 13], получаем а > 0 — (0 — а) = ^ ^^^ любо го а & L(S), поэтому а * 0 = (а — 0) V (0 — а) = а V 0 = а. Пусть t * 0 < а * 0 для некоторого а & L(S). Поскольку х < у влечет z — х > z — у [5, lemma 3], то 0 — t * 0 > 0 — а * 0 = 0 — а = 0. По предыдущей лемме и f5, lemma 13] 0 < 0 — t V (0 — t) < (0 — t) Л (0 — (0 — t)) < (0 — t) Л t, откуда 0 — t > 0 и t > 0. Второе неравенство дает нам 0 — t < 0 следовательно 0 — t = 0 и t & L(S). Наконец, as, sa & L(S) для любых a & L(S),s & S. □
Напомним, что подмножество А полугруппы называется строгим, (полустрогим)., если из а + b & А (а + Ь,а & А) следует b & А. Очевидно, строгое подмножество является полустрогим.
Идеал L(S) является полустрогим, но не строгим. Действительно, из а, а + b & L(S) вытекает 0 = 0 — (а + Ь) = (0 — а) — b = 0 — b, следовательно, b & L(S). Ненулевой аддитивно обратимый элемент а не лежит в L(S), хотя а + (0 — а) = 0 & L(S), поэтому L(S) не является строгим.
Рассмотрим конструкцию еще одного важного идеала dH-полукольца.
Предложение 2. В drl-полукольце S справедливы, утверждения:
1. множество R(S) = {0—а : а & 5} совпадает с множеством всех аддитивно обратимых элементов из S;
2. если д £ R(S) и а < д, то а £ R(S);
3. если g,h £ R(S), то д V h £ R(S); в частноети, д * 0 £ R(S);
4- R(S) — идеал в S.
Доказательство. (1) Пусть а + b = 0. Тогда а = а — (а + b) = (а — а) — b = 0 — b а а £ R(S). Обратно, покажем, что для любого а £ S элемент 0 — а имеет противоположный. Заметим, что в силу f5, lemma 5] 0 — а- =0 — а Л 0 = (0 — а) V (0 — 0) = (0 — а)+. Поскольку (х — у)+ у = х для х > у [5, lemma 8], и а- < 0, то (0 — а)+ + а- = (0 — а-) + а- =0. Таким же образом (0 — (0 — а))+ + (0 — а)- = 0, т.е. элементы (0 — а)+ и (0 — а)- имеют противоположные. Следовательно, 0 — а = (0 — а)+ + (0 — а)- аддитивно обратим.
(2) Отметим, что из доказательства пункта 1) следует, что любой отрицательный элемент из S лежит в R(S). Пусть g £ R(S) и h — противоположный к нему элемент. Из а < g следует а + h < g + h = 0, и в силу отрицательности элемент а + h лежит в R(S). Используя полустрогость множества R(S), получаем а £ G(S).
(3) Пусть h + f = 0 ^отда g V h + f = (g + f) V 0 = (g + f)+ Элемент g + f лежит в R(S), поэтому (g + f)+ £ G(S). Поскольку множество R(S) ^^^отое, то g V h £ R(S).
(4) Пусть 0 < a * 0 < g * 0 для некоторого g £ R(S). Очевидно, a+ < a * 0, поэтому a+ < g * 0. По 3) g * 0 £ R(S), поэтому a+ £ R(S). В сипу отрицательности а- £ R(S) получаем а = а+ + а- £ R(S). ^^^^тец, если а £ R(S), s £ S, то очевидно as, sa £ R(S). □
3. Теоремы о разложении
Скажем, что полукольцо S является прямой суммой идеалов А и Л, если А + В = S и разложение s = а + b,a £ А,Ь £ В, однозначно для любого элемента s £ S. Обозначим прямую сумму как S = А ф В.
Теорема 1. [10] Любое drl-полукольцо является прямой суммой drl-полукольца, с наименьшим элементом и I-кольца.
Доказательство. Пусть S — произвольное dW-полукольцо. Покажем, что S = R(S)®L(S). Пусть s £ S, и g — противоположный элемент к 0 — s. Тогда s = s + (0 — s)+ g и элемент I = s + (0 — s) ^^^ит в L(S). ^^^^^гательно, 0 — (s + (0 — s)) = (0 — s) — (0 — s) = 0 no предложению [5, lemma 6]. Получили, s = g + l для g £ R(S), I £ L(S). Пусть s = g\ + l\ для некоторых g\ £ R(S),h £ L(S). Из g + I = g\ + h получаем 0 — (g + I) = 0 — (g\ + h), откуда (0 — I) — g = (0 — l\) — g\ и, следовательно, 0 — g = 0 — gi-B силу аддитивной обратимости элементов g и gi получаем g = gi, что влечет I = li. □
Договоримся использовать обозначение а = аг + а+ для однозначно определенных ar £ R(S^ а+ £ L(S). В дальнейшем мы будем использовать такое свойство: если А — идеал drl-полукольца, и а £ А, то аг,а+ £ А. Действительно, аг =0 — (0 — а) £ А и а+ = а — аг £ А.
Поскольку теорема справедлива для drl-полуколец с нулевым умножением, мы получаем, что любая drl-полугруппа есть прямая сумм,а, drl-полугруппы с наименьшим элементом и абелевой, l-группы. Отметим, что для такого разложения drZ-полугруппы в f5, theorem 8] используется равенство
0 — (х + у) = (0 — ж) + (0 — у) (S1)
в качестве необходимого и достаточного условия. В своей следующей статье [6, theorem 1.3] Swamy возвращаясь к этой теореме, указывает еще одно условие, равносильное (51): для каждого элемента, s drl-полугруппы элемент 0 — s аддитивно обратим. Как было доказано выше,
указанные условия справедливы в любом dri-полукольце, следовательно, в произвольной drl-полугруппе.
Далее Swamv указывает критерий разложимости dH-полугруппы в прямую сумму абелевой ¿-группы и dH-полугруппы с наименьшим и наибольшим элементами f5, theorem 7]. В качестве необходимых и достаточных условий указываются:
Утверждение оказывается ошибочным, условие (Б2) не будет выполняться в ^¿-полугруппе из примера 6: 0 = (г + 0) — (а + а) = (г — а) + (0 — а) = а. Докажем уточненный полукольцевой аналог утверждения.
Теорема 2. йг1-полукольцо Б есть прямая сумма, 1-кольца, и с!г1-полукольца, с наименьшим, и, наибольшим элементами тогда и только тогда, когда выполняется условие
Доказательство. Пусть в dr¿-полукольце S выполнено уеловие (S3), которое влечет г + г = г. Применив свойство а — (Ь + с) = (а — Ь) — с = (а — с) — b [5, lemma 6], получим:
0 = (0 — г) — (0 — г) = (0 — (г + г)) — (0 — г) =
= ((0 — г) — г) — (0 — г) = ((0 — г) — (0 — г)) — г = 0 — г. Отсюда следует, что г & L(S), и для произвольного а & L(S) имеем а — г & L(S). Кроме того,
а — i = а — (i + i) = а — (а + (i — а)) = (а — а) — (i — а) = 0 — (i — а) & R(S).
Значит, а — г & R(S) ПL(S) = {0}, откуда г > а. Получили, что г — наибольший элемент в L(S). Обратно, пусть S = L ® R, rn i = г + г — наибольший элемент положительно упорядоченного dri-полукольца L. Тогда для любого а & L выполняется а + (г — а) > 1, поэтому а + (г — а) = г. Для произвольного аддитивно обратимого элемента b & R и любого элемента х & S верно b + (х — b) = b + (х + (0 — Ь)) = х, поэтому условие (S3) справедливо для г и любого элемента из S. □
Элемент s dH-полукольца S назовем поглощающим, если а + s = s для любого а & S. Отметим, что элемент г, удовлетворяющий свойству (S3), является поглощающим элементом
Предложение 3. Пусть в — drl-полукольцо. 1. Если а + х = х для некоторого х € Б, то а € Ь(в); 2_ 8 — поглощающий элемент в Б в — наибольший, элемент в Б; 3. если в Б есть поглощающий элемент,, то Б = Ь(в).
Доказательство. (1) Пусть а + х = х, тогда а + хг + х+ = хг + х+, откуда а + х+ = х+. Поскольку 0 — а = (0 — х+) — а = 0 — (х+ + а) = 0 — х+ = 0, то а € Ь(Б).
(2) Если а+в = в для каждого а € Б, то по (1) Б = Ь(Б). Тогда а — в = а — (в + а) = 0 — в = 0, откуда получаем а < в. Обратно, пусть а < в, тогда 0 — а > 0 — в = 0. Следовательно, каждый аддитивно обратимый элемент отрицателен, что означает R(S) = {0}. Таким образом, 8 < а + в < на + 8 =
(а + Ь) — (с + с) = (а — с) + (Ь — с), (3i)(Va)(a + (i — а) = i + i).
(S 2)
(S 3)
(3i)(Va)(a + (i — a) = i + i).
(S 3)
L(S).
(3) (1) □
Условие (S2) в совокупности с
(та + nb) — (а + Ь) = (та — а) + (nb — b),m,n £ N, (*)
используется Swamy для характеризации разложимости ^/-полугруппы в прямую сумму коммутативной Z-группы и брауэровой решетки f5, theorem 6]. Покажем, что можно обойтись без (*)
Лемма 2. Пусть S — drl-полукольцо. Равносильны условия:
1. S удовлетворяет (S2);
2. L(S) = [а £ S :(а + а) — а = 0};
3. L(S) — множество всех аддитивно идемпотентных элементов;
4- а + b = а V b для любых a,b £ L(S).
Доказательство. (1) ^ (2). Если а £ L(S),to0 — а = 0, поэтому
(а + а) — а = ((а + а) — а) + (0 — а) = (а + а + 0) — (а + а) = 0.
Если (а + а) — а = 0, то 0 — а = ((а + а) — а) — а = (а + а) — (а + а) = 0.
(2) ^ (3). Пусть а £ L(S), тогда (а+а)—а = 0, откуда а+а < а. Учитывая положительность элементов из L(S), получаем а + а = а. Очевидно, любой аддитивно идемпотентный элемент из S лежит в L(S).
(3) ^ (4). Пусть a,b £ L(S) — аддитивно идемпотентные эле менты. Из а < а + b,b < а + b следует а + b < а V b + а V b = а V а из положительности а < а + b,b < а + Ь, откуда получаем а V b < а + Ь.
(4) ^ (1). Поскольку условие (52) справедливо в любом /-кольце, то достаточно показать его справедливость для элементов а, Ь, с из L(S). По предложению 1 и того факта, что идеал замкнут относительно разности, получаем а — с,Ь — с £ L(S), следовательно, (а + Ь) — (с + с) = а V b — с = (а — с) V (Ь — с) = (а — b) + (Ь — с). □
Следствие 1. Если каждый элемент, drl-полукольца, S является аддитивно идемпо-тентным, то (S, <) — брауэрова решетка.
Теорема 3. drl-полукольцо S есть прямая сумма, l-кольца, и брауэровой решетки в точности тогда, когда для любых a,b,c £ S выполняется условие
(а + Ь) — (с + с) = (а — с) + (Ь — с). (S 2)
Доказательство. Пусть выполнено (S2). С учетом теоремы 1 достаточно показать, что х + у = х V у для любых х,у £ L(S). А это следует го леммы 2. Обратно, пусть S = L ф R для /-кольца R и брауэровой решетки (L, +, Л). Очевидно, условие (S2) выполняется в R. Для a,b,c £ L имеем: (а + Ь) — (с + с) = а V b — с = (а — с) V (Ь — с) = (а — с) + (Ь — с), поэтому (S2) выполнено в S. □
Пусть элемент а £ S удовлетворяет свойству (а + а) — а = 0. Тогда (аг + аг) — аг = 0, откуда аг = 0 и а £ L(S). Из положительности элемента а следует а + а > а, а из равенства (а + а) — а = 0 вытекает а + 0 > а + а. Поэтому а есть аддитивный идемпотент. Обозначим через
B(S) = [а £ S :(а + а) — а = 0}
множество всех аддитивных идемпотентов из S. Множество B(S), как показано в лемме 2, не всегда совпадает с L(S). Кроме того, оно не обязано быть выпуклым (пример 6), следовательно, B(S) не всегда является идеалом.
Лемма 3. Пусть Б = {5, +, ■, 0, v, Д} — йг1 -полукольцо, В (Б) — множество всех аддитивных идемпотентов из Б.
1. а + Ъ = а V Ь для любых а,Ь € В(Б).
2. В(Б) замкнуто относительно операций +, V, Д.
Доказательство. (1) Пусть а,Ь € В(3). № аксиомы 5) определения ^/-полукольца получаем (а — Ь) + Ь = аVЬ. Тогда а+Ь = (а+Ь) VЬ = аVЬ+Ь = ((а — Ь) + Ь) + Ь = (а — Ь)+ Ь = аVЬ.
(2) (1) а,Ь € В (Б) получаем а Д Ь + а Д Ь = а Д Ь Д (а + Ь) = а Д Ь. □
Предложение 4. Пусть В (Б) — множество всех аддитивных идемпотентов йг1-по-лукольца Б.
1. В (Б) — брауэрова реш етка ■ (а + Ь) — с = (а — с) + (Ь — с) для любых а,Ь,с € В (Б);
2. В(Б) — идеал (1г1-полукольца, Б ■ Ь Д I € В(Б) для любых Ъ € В(Б), I € Ь(Б).
Доказательство. (1) Импликация ^ доказывается также как и в лемме 2. Обратно, с учетом леммы 3 достаточно показать замкнутость В(3) относительно разности. А это вытекает из условия, если положить а = Ь: а — с = (а + а) — с = (а — с) + (а — с).
(2) Импликация ^ очевидна в силу выпуклости идеала. Пусть сейчас 0 * I < Ь для Ь € В (Б ),1 € Б. Тогда из I V (0 — 1) < Ь получаем 1Г V (0 — 1Г) < Ьг = 0 откуд а 1Г = 0 и I € Ь(Б). Имеем I < Ь, поэтому I = I Д Ь € В (Б). Наконец, если Ь € В (Б) и § € Б, то
Лемма 4. Для, произвольных элементов йг1 -полукольца, а Д Ь = 0 влечет а + Ь = а V Ь.
Теорема 4. Пусть Б — йг1-полукольцо, удовлетворяющее условиям (Б2) и (Б3). Тогда, равносильны утверждения:
1. Б есть прямая сумма, I-кольца, и булевой алгебры;
2. г — (г — а) = а для любого а € Б;
3. (г — а) Д а = ((г — а) Д а + (г — а) Д а) — (г — а) Д а для любого а € Б.
Доказательство. (2) ^ (1). По теоремам 2 и 3 Ь(в) является ограниченной брау-эровой решеткой их + у = х V у для любых х,у € Ь(Б). Пусть а € Ь(Б), тогда г — а Д (г — а) = (г — а) V (г — (г — а)) = (г — а) V а = (г — а) + а = г, откуда 0 = г — г = г — (г — а Д (г — а)) = а Д (г — а) Поскольку а V (г — а) = а + (г — а) = г, то г — а является дополнением элемента а в решетке Ь(Б). Брауэрова решетка дистрибутивна, поэтому Ь(Б) — булева решетка.
(1) ^ (2). Пусть 5 = Ь ® Д для булевой алгебры Ь и /-кольца К. Из
получаем г = 0, и следовательно г € Ь. Тогда для а € Ь выполняется условие (2): г — (г — а) = г — г Д а^ = г — а^ = г Д а^ = а. Условие (2) очевидным образом выполняется для произвольного а € К, а значит и для любого элемента из Б.
(3) ^ (1) Условия (52) и (Б3) гарантируют, что в прямой сумме Б = Ь(в) ® Я(3) слагаемое Ь(Б) является ограниченной брауэровой решеткой. Пусть а € Ь(Б), тогда (г — а) Д а € Ь(Б) и
вЪ, Ъв € В (Б).
□
Доказательство. Следует из равенства а + Ь = а V Ь + а Д Ь.
□
I + г = г = г + г = (I + I) + (г + г),1 € Ь,г € К,
поэтому правая часть равенства (3) равна нулю в силу совпадения операций + и V в L(S). Из (г — а) Л а = 0 по лемме 4 получаем (г — а) V а = (г — а) + а = г. Следовательно, г — а является дополнением элемента а. Брауэрова решетка дистрибутивна, поэтому L(S) — булева алгебра.
(1) ^ (3). Пусть S = L ® R для булевой алгебры L и ¿-кольца R. Покажем, что для любого элемента а & R (г — а) Л а оказывается аддитивно обратимым элементом. Действительно, (г — а) Л а < а & R С R(S), поэтому (г — а) Л а & R(S) по предложению 2. Отсюда получаем, что условие (3) верно для а & Д. Если а & L, то (г — а) Л а = (г Л а^) Л а = 0, что влечет справедливость условия (3) для а & L и следовательно для любого элемента из S. □
сле дствие 2. dvl-полукольцо S является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда S имеет наибольший элемент, а + а = а и i — (г — а) = а для любого а & S.
Известно, что симметрическая разность произвольного ¿-кольца инвариантна относительно сдвигов. Ниже мы рассмотрим два результата, описывающие сдвиги симметрической разности в dW-полукольцах.
Теорема 5. Для drl-полукольца, S равносильны условия:
1. S 1-кольцо;
2. а * b = (х — а) * (х — Ь) для любых а, j b, х & Sj
3. а * b = (а — х) * (Ь — х) для любых а, j b, x & Sj
4- а * b = (0 — а) * (0 — Ъ) для, любых а, b & S;
5. а * 0 = (0 — а) * 0 для любо го а & S.
Доказательство. Импликации (1) ^ (2), (1) ^ (3), (2) ^ (4) очевидны.
(3) ^ (4). а * Ь = (а - (а + Ь)) * (Ь - (а + Ь)) = (0 - Ь) * (0 - а).
(4) ^ (5). При Ь = 0 получаем а * 0 = (0 - а) * (0 - 0) = (0 - а) * 0.
(5) ^ (1). Пусть а Е Ь(Б), тогда а * 0 = (0 - а) * 0 = 0 * 0 = 0, откуда получаем а = 0. Следовательно, Б — ¿-кольцо. □
Напомним, что полукольцо Б называется аддитивно сократимым, если из а + с = Ь + с следует а = Ь для любых а,Ь,с Е Б. Аддитивно сократимые полукольца, и только они, вложимы в кольца — свои кольца разностей. Легко понять, что аддитивная сократимость ^¿-полукольца 5 равносильна аддитивной сократимости Ь(Б) и влечет отсутствие ненулевых аддитивных идемпотентов.
Пусть Л — кольцо разностей полукольца Б. Напомним, что элементами кольца Л являются классы упорядоченных пар [а, Ь],а,Ь Е Б, и [а,Ь] = [с,д\ а + й = с + Ь. Положим [о, Ц <я [с,д\ а + й < с + Ь. Стандартно проверяется, что Л становится ¿-кольцом с порядком <д и точными гранями [а,Ь]Уп[с,^ = [(а+^У(с+Ь),Ь+^и [а,Ь]Ая[с,^ = [(а+^Л(с+Ь),Ь+^.
Отметим, что при вложении ^¿-полукольца 5 в свое кольцо разностей порядок <д продол-<
Теорема 6. йН-^мукольцо Б аддитивно сократимо тогда и только тогда, когда а * Ъ = (а + х) * (Ъ + х) для любых а,Ъ,х Е Б.
Доказательство. Равенство а*Ь = (а+х)*(Ъ+х) верно в произвольном ¿-кольце, поэтому достаточно его обосновать для элементов из Ь(Б). Пусть а,Ъ,х Е Ь(Б). Из а + х > х следует ((а + х) - х)+ х = а + ж, поэтому (а + х) - х = а в силу аддитивной сократимости. Аналогично, (Ь + х) - х = Ь. Тогда
(а + х) * (b + х) = ((а + х) — (b + х)) V ((Ь + х) — (а + х)) = = (((а + х) — х) — b)) V (((b + х) — х) — а) = (а — b) * (b — а) = а * Ь.
Обратно, пусть а + х = Ъ + х для а,Ъ,х & S. Тогда 0 = (а + х) * (b + х) = а * Ъ, откуда получаем а = Ь, и S — аддитивно сократимо. □
Как из теоремы 5, так и из теоремы 6, получается
Следствие 3. f6, theorem 2.1] drl-полукольцо S с наибольшим элементом является I-кольцом тогда и только тогда, когда а * Ъ = (а + х) * (Ь + х) для любых а,Ъ,х & S.
Пусть S — произвольное полукольцо и А — его идеал. Отношение на S
а =а Ъ а + и = Ъ + v для некоторых u,v & А
является конгруэнцией на S и называется отношением, Берна,. Значение отношения Берна при изучении полуколец заключается в следующем. Известно, что класс нуля любой конгруэнции на полукольце является полустрогим идеалом, и если А — полустрогий идеал полукольца S, то отношение Берна =а является наименьшей среди конгруэнций с классом нуля, равным А. Следующее утверждение показывает, что произвольная конгруэнция на drZ-полукольце есть отношение Берна.
Предложение 5. Пусть А — идеал drl-полукольца, S. Тогда, а * b & А тогда и только тогда, когда а + и = Ъ + v для некоторых u,v & А.
Доказательство. Пусть А — идеал и а * b & А Тогда а = Ъ(А). Понятно, что b = b(A), поэтому (а — b) = (b — Ь)(А), откуда а — b & А Из А э (а — b)r = ar — br = и следует ar = br + и для подходящего и & А Далее (а — b)+ = а+ — Ь+. Из определения dr/-полукольца вытекает а+ + (b+ — а+) V0 = а+ VЬ+. Так как Ь+ — а+ > 0, то а+ + (b+ — а+) = а+ VЬ+. Таким же образом справедливо равенство Ъ+ + (а+ — b+) = а+ VЬ+. Следовательно, а+ + (Ь+ — а+) = Ъ+ + (а+ — Ь+). Окончательно, а + (b+ — а+) = ar + а+ + (b+ — а+) = br + и + b+ + (а+ — b+) = b + и + (а+ — Ь+). Учитывая b+ — а+ ,и + (а+ — Ь+) & А, получаем а =а Ь.
Обратно, пусть а + и = Ъ + v для некоторых u,v & А Тогда аг + иг = Ъг + vr и а+ + и+ = Ъ+ + v+. № первого равенства получаем аг — Ъг & А и br — аг & А, следовательно, ar * br & А Из второго равенства вытекает 0 = а+ — (а+ + и+) = а+ — (b+ + v+) = (а+ — b+) — v+. Поэтому v+ = ((а+ — b+) — v+) + v+ > (а+ — b+) — (v+ — v+) = a+ — b+. В силу выпуклости идеала имеем а+ — Ь+ & А Точно также Ъ+ — а+ & Д следовательно, а+ * Ъ+ & А. Отсюда а * b = ar * br + а+ * Ь+ & А. □
Заключительное замечание сделаем относительно дистрибутивности произвольного drl-полукольца (или drZ-полугруппы) как решетки. Утверждение об этом имеется еще в первой работе Swamv [5, theorem 2]. Однако вместо доказательства автор утверждает, что что доказательство для drZ-полугрупп такое же, как и для решеток с делением [8] с обращением отношения порядка. В последующих работах по нашей тематике другие авторы, ссылаясь на Swamv, соглашаются с таким обоснованием дистрибутивности. В действительности, доказательство в [8, theorem 13.2] использует решеточную специфику и формально проходит только для положительно упорядоченых drZ-полугрупп. Дадим сейчас свое доказательство, основывающееся на известном критерии: дистрибутивность решетки равносильна отсутствию в ней подрешеток изоморфных Пентагону или диаманту.
Предложение 6. Любое drl-полукольцо является дистрибутивной решеткой.
Доказательство. Допустим, что drZ-полукольцо S содержит диамант или Пентагон относительно <. В каждом из этих случаев найдутся такие a,b,c & S, что а не сравним с элементом с,Ь Л с < а, и а ^ (а V Ь) Л (а V с). С последним неравенством получим противоречие. Действительно,
а — b Л с < (а V Ь) Л (а V с) — b Л с = = ((а V Ь) Л (а V с) — b) V ((а V Ь) Л (а V с) — с) < < (а V b) — b) V (а V с — с) = (а — b) V 0 V (а — с) V 0 = = (а — b Л с) V 0 = а — b Л с,
откуда получаем
а = (а — b Л с) + b Л с = = ((а V Ь) Л (а V с) — b Л с) + b Л с = = (а V Ь) Л (а V с).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Birkhoff G. Lattice theory. Am. Math. Colloquium Publications. 25. 1948.
2. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: "Мир"— 1965. — 342 с.
3. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scienificand tehnical. Harlow, 1992.
4. Rao P. R. Lattice ordered semirings // Math. Sem. Notes, Kobe Univ. 1981. Vol. 9. P. 119-149.
5. Swamv K. L. N. Dually residuated lattice ordered semigroups // Math. Ann. 1965. Vol. 159. P. 105-114.
6. Swamv K. L. N. Dually residuated lattice ordered semigroups, II // Math. Ann. 1965. Vol. 160. P. 64-71.
7. Swamv K. L. N. Dually residuated lattice ordered semigroups, III // Math. Ann. 1966. Vol. 167. P. 71-74.
8. Ward M, Dilworth R. P. Residuated lattices // Trans. Am. Math. Soc., 45. 1939. P. 335-354.
9. Ворожцова Т. А., Чермных О. В. Арифметические свойства drZ-полугрупп // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып 16. — Киров: Изд-во ООО "Радуга-ПРЕСС" - 2014. - С.74-81.
10. Миклин А. В., Чермных В. В. О drZ-полукольцах // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып 16. — Киров: Изд-во ООО "Радуга-ПРЕСС" - 2014. - С.87-95.
11. Kovar Т. Two remarks on dually residuated lattice ordered semigroups // Math. Slovaka, 49. 1999. no 1. P. 17-18.
REFERENCES
1. Birkhoff G. 1948 Lattice theory. Am. Math. Colloquium Publications.
2. L. Fuchs 1965, Partially ordered algebraic system,s. M .: Mir — P. 342
3. Golan J. S. 1992, The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scienificand tehnical. Harlow.
4. Rao P. R. 1981. "Lattice ordered semirings" Math. Sem. Notes, Kobe Univ. Vol. 9. pp. 119-149.
5. Swamv K. L. N. 1965, "Dually residuated lattice ordered semigroups", Math. Ann. Vol. 159. pp. 105-114.
6. Swamv K. L. N. 1965, "Dually residuated lattice ordered semigroups, II" Math. Ann. Vol. 160. pp. 64-71.
7. Swamv K. L. N. 1966, "Dually residuated lattice ordered semigroups, III" Math. Ann. Vol. 167. pp. 71-74.
8. Ward M, Dilworth R. P. 1939, "Residuated lattices" Trans. Am. Math. Soc., 45. pp. 335-354.
9. Vorozhcova T. A., Chermnvh О. V. 2014, "Arifmeticheskie svojstva drZ-polugrupp" Mate-maticheskij vestnik pedvuzov i, universitetov Volgo-Vjatskogo regiona. Vvp 16. Kirov: Izd-vo ООО "Raduga-PRESS"pp.74-81.
10. Miklin A. V., Chermnvh V. V. 2014. "O dWpolukol'cah" Matematicheskij vestnik pedvuzov i universitetov Volgo-Vjatskogo regiona. Vvp 16. Kirov: Izd-vo ООО "Raduga-PRESS"pp. 8795.
11. Kovar T. 1999 "Two remarks on dually residuated lattice ordered semigroups" Math. Slovaka vol 49 no 1. pp. 17-18.
Вятский государственный университет
Получено 11.05.2016 г.
Принято в печать 13.12.2016 г.
