О некоторых моделях оптимальной эксплуатации авиационных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД

№ 121

УДК 629.519.248

О НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ОПТИМАЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ

АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ

, А.Е. БАЙКОВ, В.Ю. ДАНИЛОВ, Ю.В. ЛОНЧАКОВ, В.А. ОСТАШКЕВИЧ

С позиций управляемых случайных процессов рассматривается ряд моделей эксплуатации авиационных систем.

Сначала рассмотрим приложения управляемых процессов восстановления к задачам оптимальной эксплуатации по ресурсу.

Пусть в длительную эксплуатацию поступила новая система. Режим ее эксплуатации зададим управлением 8 (с учетом профилактических работ, функционального контроля, ремонта системы). Обозначим через Х(б) случайное время до отказа системы, после чего она заменяется на новую. Рассмотрим следующие характеристики системы до момента отказа: объем работ Л^), выполненных системой; затраты на эксплуатацию системы Л2(8).

После истечения времени Х(б) процесс многократно повторяется (до бесконечности).

В общем случае числовых характеристик может быть больше, чем две, т.е. имеем

Лф = (Лі(й), ..., Пш^)).

Если зафиксировать бп, то можно предположить, что случайный вектор (Х^п), Л(8п)} не зависит от совокупности (Х^О, Л^)}, 0 £ і £ п - 1. Будем считать интервал (Х(8п-1), Л(8п)) п-м циклом работы системы, п = 1, 2, ... . При 81 = 82 = ... = 8п = ... имеем дело с процессом восстановления.

Сначала рассмотрим работу системы на конечном отрезке времени Т, а затем примем, что Т стремится к бесконечности.

Если £ Т < ^, то суммарные значения характеристик ЛшОО определим (с точностью до

неопределяемого множителя 01, і = 1, ..., ш) как

Л (Т) = лЮ + ..+л (ч)+0л (%Т+1)

hm ) = hm (Sü) + ... + hm (SNr ) + 0mhm (SNr +1 )

где 0 < 0 < 1.

Сформулируем задачу оптимального управления. Пусть

T hj(T) = zj(u, T), 1 < j < m,

где u = (So, Si, ..., Sn, ...).

Пусть s0 - подмножество множества s стратегий u таково, что для этих стратегий существуют постоянные Zj(u) такие, что для любого e > 0

P{|zj(u, T) - Zj(u)| < e} ® 1, при T ® ¥.

Задача заключается в том, чтобы найти такую стратегию u e s0, для которой вектор {z1(u), ..., zm-1 (u)} принадлежал бы выпуклому множеству Ф, а функция zm(u) была бы минимальной.

Это частный случай общей задачи математического программирования, связь которой с задачами оптимального управления изложена в [1].

Предположим, что множество векторов {t(s), y1(s), ..., ym(s)} выпукло, где t(s) - ограниченное по всему множеству s положительное математическое ожидание случайной величины X(s),

/j(s) = M[hj(s)], s e S, 1 < j < m.

Считаем, что величины /j(s), 1 < j < m конечны для любого s e S; обозначим

y(s) = (y1(s), ..., Ym(s)).

Определим y* (s) как

Е.Ю. БАРЗИЛОВИЧ

У С*) = -^т , 1 £ J £ т; х(*)

Пусть выполнены следующие естественные условия.

1. Последовательность случайных векторов

{Ш, Л1(В1), ..., Пт(зО)}

удовлетворяет для любой последовательности управлений {8П} закону больших чисел в следующем виде

£#(s,) - IM £i(s()

i=0

если

i=0

л

л

i=0

> e^ t(s, ) ® 0 при любом e > 0 и n ® ¥.

n f

если S c(s, ) ® ¥ , то P

i=0

f n n

Sh (s, ) - M Sh(s, )

i=0 i=0

2. Справедлива следующая оценка сверху

M[|hj(s)|] < cc(s); s e S,

где c - константа (c > 0).

Пусть

V n • ym (s) V • ym (s)

y (s ) = min m = lim min m ,

seH T(s) e®0 seHe T(s)

где s* - элемент множества S; H - множество s, для которых ( y*(s) , ..., y**-1 (s) ); He - множество s, для

^ y* Ч ^ y* 4

которых ( y (s), ., ym-1 (s) ) принадлежит е-окрестности Фе множества Ф (е-окрестностью Ф называется совокупность векторов, каждый из которых либо входит в Ф, либо находится на расстоянии, не превосходящим e, от некоторого вектора из множества Ф).

Известно, что стратегия u = (s, s, ..., s, ...) является решением поставленной задачи и принадлежит S0.

Эта стратегия отыскивается следующим образом. Для стратегии u существуют такие вещественные числа 10, 11, 12, ..., 1m, при которых задача минимизации ym(s) при условии, что (y (s), ..., y*-1(s) ) e Ф, эквивалентна задаче минимизации суммы по множеству S:

L(s) = 1c + Sl Vj(s).

(1)

j=i

Утверждение (1) позволяет свести задачу отыскания оптимизации с неаддитивной функцией убытка к задаче оптимизации с аддитивной функцией убытка.

Рассмотрим задачу выбора оптимального интервала предупредительной замены элемента с возрастающей интенсивностью отказа.

Пусть Б(1) = Р{Х < 1} — функция распределения времени безотказной работы элемента (случайной величины X). Замены элемента могут происходить до и после отказа. Факт отказа сразу же становится известен. После отказа немедленно элемент заменяется (аварийно).

Если элемент заменяется до отказа, то в среднем на замену затрачивается время Т1, если после отказа, то среднее время замены элемента (с учетом времени устранения последствий отказа и времени на поиск отказавшего элемента) равно Т2. Очевидно, Т1 < Т2.

Оптимальный интервал замены будем считать случайной величиной У с функцией распределения 0(1), т.е. рассматриваем вначале общий случай.

Пусть х - средняя длительность цикла между заменами элемента. Тогда вероятность застать элемент в любой момент времени исправным

Р = 1 - (Р{Х < У}Т2 + Р{Х > У}Т1 )/х.

На основании (1) максимизация Р означает максимизацию функции

Л = le + 1i[P{X < Y}T2 + P{X > Y}Ti ] = j {1 [1 - F(t)] + (1 + 1i)(T2 - Ti)F(t)} [1 - G(t)]dt + (le + 1i)Ti.

В случае, когда 10 и 10 + 1 имеют один знак, решение уравнения (1) вырожденное. Решение вырождено и при 10 < 0, 10 + l1 > 0. Невырожденное решение будет только в случае 10 > 0, 10 + l1 < 0.

Так как рассматривается элемент с возрастающей функцией интенсивности отказов (ее всегда можно аппроксимировать монотонной кривой), то функция F'(t) / 1 - F(t) - монотонно возрастающая. Поэтому уравнение

1с[1 - F(t)] + (l + l1)(T2 - T1)F'(t) = 0 (3)

в интервале изменения 11 / 10 имеет единственный корень g = g (11 / 10).

Так как при t < g выражение (3) положительно, а при t > g отрицательно, то оптимальным будет выбор

Г0 где t < g;

G(t) = j ' (4)

[1 где t > g.

Запишем выражение для P через функции F(t), G(t):

J F (t )dG(t )T2 + J G(t )dF (t )T

P = 1 --------------0---------------0------------------------.

I [1 - 0(і)] [1 - Г (і)] сіі +Т21 Г (і )сІО(і) + Т110(і )СГ (і)

0 0 0

Подставив в это выражение 0(1) в виде (4), дифференцировав его по у и приравняв полученный результат к нулю, найдем уравнение для определения единственного экстремума функции Р(у):

Т 1

— = 1 -----------------------------------. (5)

Т2 Г '(у) уГ ,

2 1 - Г(у)+Г-УУ [1 - Г(')]с»

1 - Г (у) і

Пример. Пусть интенсивность отказов элемента

Г '(і)

1(1) =---= а1а + Ь,

1 - Г (і)

їдеас

а = 0,00015 ----^,

їдеасП

b = 0,003

Ti / T2 = 0,5, a = 0,85.

Решив уравнение (5), найдем у = 140 ч.

Таким образом, оптимальная предупредительная замена элемента осуществляется по истечении 140 ч его безотказной работы. Если же элемент отказал ранее, то он заменяется аварийно и с момента окончания замены ему назначается вновь оптимальный ресурс 140 ч, и далее описанная процедура замен повторяется.

Существуют и другие методы решения задачи об оптимальном выборе интервала предупредительной замены, связанные с неполной информацией о функции распределения Б(1) - времени безотказной работы элемента. Условно их можно разделить на две группы: минимаксные и адаптивные. Приведем два результата, иллюстрирующих их применение.

Минимаксный подход применяется в следующей ситуации.

Пусть

81 = 11 <1Р(1), 82 = 112 <1Р(1);

0 0

к2 - класс функций распределений с фиксированными моментами 81 и 82.

Решается задача

tmn max

FeK,

(c1F(t) + c2F(t))/ j F(u)du .

Правило предупредительной замены, являющееся решением этой задачи, следующее: 1 = ¥, если

8,12-д/( ^/2)2— а21, или Г Ф + ^Цф)2

щ/ ñ > 1 — 2s/Si ; t лежит в интервале

\2 2 + s

в про-

тивном случае, где а = ^8-, — 812 .

Адаптивный подход применяется в задаче минимизации выражения

(k1F(t) + k2F(t) у IF(u)du .

/ 0

Построим последовательность t^, сходящуюся к t с вероятностью, равной единице, для произвольного начального приближения t0.

Пусть наблюдаются случайные величины zin = xm /\ tn, i = 1, 2 (где x1n, x2n - независимые реализации длительности безотказной работы).

Пусть an и cn - вещественные последовательности, удовлетворяющие условиям:

A с

an = — + 0(n-1), Cn = —ц + o(n-1+g), n h

где A, c - положительные постоянные.

Положим

Fin(t) = I(zm < t), Sin(t) = 1 - Fin(t), fn(t) = k{(t - Zin)|Cn}|Cn.

Здесь I() - индикатор события; k - функция, определяемая условиями: k - измерима по Борелю, ограниченна и равна нулю вне [0; 1];

i

I/ k(y)dy = I(j = 1), j = 0, ..., г - 1.

0

Пусть также tn = 0(n-g) - вещественная последовательность, тогда

tn+1 = (tn - anMn(tn)) \/ tn,

í

где Mn(t) = (k1 - k2)fn(t) |S2n (u) du - S1n(t) {k^2n(t) + k2S2n(t)}.

2 0

Перейдем к применению управляемого полумарковского процесса к решению задач эксплуатации авиационных систем по техническому состоянию.

Пусть имеется система с конечным числом состояний 1 = 0, 1, ..., Ь. Состояние "0" - новое, состояние "Ь" - отказ системы.

Если процесс изменения состояний системы во времени - управляемый полумарковский, то это означает, что для каждого состояния заданы:

- множество вероятностей-решений, т.е. вероятностей того, что в состоянии 1 будет выбрано решение к (1 = 0, 1, ., Ь; к = 0, 1, ... К);

||Р)||к - матрица вероятностей перехода вложенного процесса Маркова с учетом выбранного решения к;

ЦБ) - матрица распределений (функций распределений) времен пребывания процесса изменения состояний системы в состоянии 1 при известном следующем состоянии j с учетом выбранного решения к;

ггк - затраты в единицу времени, соответствующие принятом решению к.

Пусть - вероятность перевода параметра из состояния д в 1, - заданная матрица стационар-

ных переходных вероятностей для неуправляемой цепи.

Тогда

р = Е 4к

к=1

Обозначим через р ( = 0, 1, ..., Ь) стационарные вероятности пребывания вложенной цепи Маркова в состоянии).

Вероятности р удовлетворяют следующей системе уравнений

/=0 к=1

з=0

Пусть далее Т)^) - математическое ожидание безусловного времени пребывания исходного (полу-марковского) процесса в состоянии] при принятом решении к. Имеем

л(к) = "у р(к)ь(к)

Ч ¿—і V V ’

3=0

Введем обозначение

Іік хік,

тогда для средних удельных затрат и имеем следующее выражение

I К С I К Л-1

и = ЕЕТ (к Ч :

Ч 3

j=0 к=1

ЁЁЛ

V 3=0 к=0

(к) х 3 Х3к

(6)

У

где

ь к

ь к

Е хзк— ЕЕ Р(к)) = 0; Х)к > 0; ] = 0, 1, ..., Ь; к = 1, ..., К; ЕЕ хк = 1- (7)

к=1 г=0 к=1 г=0 к=1

Задача заключается в том, чтобы минимизировать (6) при ограничениях (7). Сведем эту задачу к задаче линейного программирования. Обозначим

С ^ к Л—

Е Е Т >'

V1=0 к=1

У* = Л? V

Ч хзк

В этом случае (6) и (7) примут вид

и = ЕЁ 3 ^к , Хік > 0, І = 0, 1, • ••, Ь; к = 1

К;

2=0 к=1

ьк

V V р (к) У3к ^ У]к _

¿-і ¿-і р3 „(к)

2=0 к=1

л

Ё

к=1

л

(к)

= 0, і = 0, 1, ..., Ь;

ЕЁ Уз* = 1.

(8)

(9)

2=0 к=1

Ч К~1 Ч

Рассмотрим частный случай. Пусть изменение состояний системы является управляемой цепью Маркова со стационарными переходными вероятностями. Тогда ) = 1, ) = )

ьк

и = ЕЁ-

2=0 к=1

(к)

(10)

а ограничениями являются выражения (7).

Пусть состояние системы полностью характеризуется одним выходным (обобщенным) параметром марковского типа 8(1к) с состояниями 1 = 0, 1, 2, ., Ь, контролируемым с интервалом времени А1 (рисунок).

Рисунок

0

Разобьем область допустимых изменений параметра (0, Ь) на семь одинаковых частей. Затраты на регулировки параметра при эксплуатации системы следующие:

(к)

Т, / е 0, Ь — 1 ё апёё гдёгудг дсюсаеак — гдаадгдааёд аёиИ даадёёдг аад и пёпд а! д;

Тр,I = Ьё апёё гдёгудг дшагёак — ааадёёгг даадёёдг аад и пёпд а! д.

Здесь Тп - среднее время регулировки параметра до выхода его за аварийный уровень Ь; ТР - среднее время аварийной регулировки параметра (при выходе его за уровень Ь).

Обозначим через р = Тп / ТР. Тогда (10) запишем так

ь-1

Ь-1 ь-1

и = Ё хь, + Р ЁЁ

X,.

5=0

2=0 5=0

где

Х18 Р1018.

К определению момента оптимальной регулировки (остановки наблюдений) из статистики изменения параметра элементы матрицы

1Ы =

' 0,30 0, 20 0, 20 0,12 0,10 0,05 0,03 ^

0,10 0,30 0, 20 0,13 0,12 0,08 0,07

0,08 0,10 0,30 0, 20 0,12 0,10 0,10

0,05 0,10 0,10 0,30 0,20 0,15 0,10

0,05 0,10 0,10 0,15 0,30 0,20 0,10

0,02 0,08 0,10 0,10 0, 20 0,30 0,20

V 0 0 0 0 0 0 1 ,

При решении задачи (10) и (7) нужно найти соответствующие составляющие матрицы |Ру||, 1, ] = 0,

1, ..., Ь.

При р = 0,09 и приведенном выше виде матрицы Цд] в результате решения (10), (7) искомая матрица

!|Оч|| =

(1 0 0 0 0 0 ^

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

V1 0 0 0 0 0,

В каждой строке этой матрицы содержится один единичный элемент, остальные элементы строки нулевые. Часть единичных элементов расположена на главной диагонали матрицы, все остальные - в первом столбце. Нахождение единиц в первом столбце указывает на обязательную регулировку параметра в нулевое исходное состояние, на диагонали - отсутствие регулировки параметра.

Задача линейного программирования была решена для различных значений величины р для приведенного выше значения матрицы ^Ц. Уровни оптимальной остановки наблюдений і (это эквивалентно видам искомых матриц - решений |Ру||) для фиксированных значений величин р представлены ниже

р ... 0 < р < 0,01 0,05 - 0,08 0,09 0,10 - 0,20 0,4 < р < 1

1*. 1 2 3 5 6

На рисунке приведен пример использования правила оптимальной регулировки для параметра марковского типа при р = 0,09. Значение 1* = 3 соответствует оптимальному упреждающему допуску, имеющему вид прямой, параллельной оси абсцисс.

ЛИТЕРАТУРА

1. Барзилович Е.Ю., Воскобоев В.Ф. Эксплуатация авиационных систем по состоянию (элементы теории). -М.: Транспорт, 1981.

2. Арустамов М.А., Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности; Под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Радио и связь, 1983.

3. Надежность и эффективность в технике. Справочник в 10-ти т. Т. 8. Эксплуатация и ремонт; Под ред. В.И. Кузнецова и Е.Ю. Барзиловича. - М.: Машиностроение, 1990.

ABOUT SOME MODELS OF OPTIMUM OPERATION OF AVIATION SYSTEMS

Barzilovich E.Y., Baykov A.Ye., Danilov V.Yu., Lonchakov Yu.V., Ostashkevich V.A.

With position operated casual processes is considered row of the models to usages of the aircraft systems.

Сведения об авторах

Барзилович Евгений Юрьевич, 1932г. - 2007г., окончил КВИАВУ ВВС (1956), профессор, доктор технических наук, доктор экономических наук, автор более 350 научных работ, область научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта, эксплуатационная экономика.

Байков Александр Евгеньевич, 1961 г.р., окончил МИИГА (1987), кандидат технических наук, старший научный сотрудник 12 центра ГосНИИ ГА, автор 15 научных работ, область научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта.

Данилов Василий Юрьевич, 1967 г.р., окончил МАИ (1990), кандидат технических наук, автор 18 научных работ, коммерческий директор ОАО НПО «Сатурн» (г. Рыбинск), область научных интересов -организация производства и эксплуатация воздушного транспорта.

Лончаков Юрий Валентинович, 1965 г.р., окончил Оренбургское высшее военное училище летчиков им. И.С. Полбина (1986), ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1998), кандидат технических наук, командир отряда космонавтов ЦПК им. Ю.А. Гагарина, область научных интересов -эксплуатация воздушного транспорта, безопасность полетов.

Осташкевич Владимир Александрович, 1981 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры безопасности полетов и жизнедеятельности МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов воздушных судов гражданской авиации.