Эксплуатация авиационных систем по состоянию (математические модели и техническая реализация) Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА № 127

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов

УДК 629.797.004

ЭКСПЛУАТАЦИЯ АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ ПО СОСТОЯНИЮ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ТЕХНИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ)

Е.Ю. БАРЗИЛОВИЧ|, А.А. БУКРЕЕВ, В.П. ПАРФЕНОВ, В.А. ОСТАШКЕВИЧ

Рассматриваются модели оптимального управления состоянием авиационных систем и схема его реализации.

В последнее время в отечественных и зарубежных публикациях все большее внимание уделяется рассмотрению вопросов теории и практики эксплуатации авиационной техники по состоянию.

И это не случайно. Успехи, достигнутые в области совершенствования конструкции самолетов, широкое применение при конструировании принципа "безопасности при разрушении", повышенная прочность элементов конструкции, к которым привел этот принцип, успехи в обосновании безопасного срока службы агрегатов, многократное резервирование систем, улучшение контролепригодности и широкое применение неразрушающих методов контроля сделали возможным пересмотр некоторых аспектов технической эксплуатации, в частности, принципов определения ограничений на продолжительность эксплуатации агрегатов, назначения объема и периодичности профилактических работ на объектах авиационной техники.

Как известно, система технической эксплуатации авиационной техники определяется принципом назначения продолжительности эксплуатации изделий (ресурс, предельная величина параметра, отказ) и принципом выбора программы управления состоянием авиационной техники в течение ее эксплуатации (наработка, контроль положения, параметра, профилактические работы не проводятся и др.).

Однако при всех системах технической эксплуатации знание фактического состояния авиационной техники, обеспечение безопасности полетов, эффективность использования самолетов и экономичность эксплуатации всегда являются весьма актуальными.

В статье предполагается рассмотреть модели эксплуатации авиационной техники, в основе построения которых лежит исходная количественная информация о техническом состоянии воздушных судов.

При этом предполагается, что в момент контроля состояния систем или комплекса систем известны значения параметров, характеризующих износ или разрегулировку системы, или состояние (работает, не работает) систем комплекса, обладающих определенной степенью избыточности.

По результатам контроля принимаются следующие решения:

- не вмешиваться в работу системы до очередного момента контроля;

- восстановить (отрегулировать) систему до выхода ее параметров за допустимые пределы;

- осуществить аварийное восстановление (замену, регулировку);

- назначить момент очередного контроля.

Принимаемые при этом решения должны быть в определенном смысле наилучшими, оптимальными.

Нас будет интересовать оптимизация этих решений по критерию минимальных средних удельных затрат времени на техническое обслуживание системы или комплекса авиационных систем. При этом мы должны также интересоваться и тем, какая обеспечивается надежность системы (комплекса) в полете, непосредственно определяющая безопасное функционирование системы (комплекса).

Модель управления состоянием авиационной техники при известных контролируемых параметрах

Назовем управление состоянием системы полным, если оно осуществляется на основе дискретного измерения определяющих параметров системы в момент 1п, где п = 0, 1, 2, ... - шаг контроля.

Далее для удобства изложения будем обращаться к рис. 1, где изображена реализация монотонного возрастающего случайного процесса 8(1) с приращениями хп, п = 1, 2, ... в равноотстоящие моменты контроля. Таким образом, мы наблюдаем некоторую последовательность случайных величин х1, х2, ..., хп, ... . Назовем функцию ф(х1, х2, ..., хп), принимающую значение 0, 1, 2, ..., правилом остановки (наблюдений). Будем считать, что если ф(х1, х2, ..., хп, ...) = т, то есть мы имеем х1 = х1, х2 = х2, ., хт = хт, то процесс наблюдения заканчивается на т-ом шаге. Если ф(х1, х2, ..., хщ, ...) = 0, то это означает, что принято решение вообще не производить наблюдений над случайными величинами.

Рис. 1

Ниже будем считать, что все случайные величины приращений имеют одинаковое распределение.

Введем теперь следующий критерий оптимизации для отыскиваемого нами правила остановки наблюдений:

С

Уп+і(Хі, ..., Xn, Xn+l) =

— , tn+1 < t

n+1

C + A

(1)

t.

, tn+1 ^ tz

n+1

Эта запись объясняется так: наблюдая процесс 8(1) до момента 1п включительно мы решаем далее, какие средние удельные потери будем иметь, если остановим процесс в момент 1п+1; здесь С - средние потери возвращения процесса в ноль, если 8(1п+1) < Ь, а С + А - среднее время его возвращения в ноль при 8(1п+1) > Ь1, где Ь - допускаемая граница изменения процесса 8(1), 12 -момент выхода процесса 8(1) за уровень Ь. Так как числитель дроби в правой части (1) случаен, то мы будем отыскивать оптимальное правило ф*, минимизирующее средние удельные затраты, т.е. будем искать

minM[yn+i(xi, ..xn, xn+i)].

j*

Приступим к решению задачи, опираясь на идеи, изложенные в [1]. Запишем выражение для средних удельных потерь:

C

M[yn+i(xi, ..., Xn, Xn+i)] = -P{xn+1 < L - S(tn)} +

^n+1

+

f C A Л ---------1------

V ^n+1 ^n+1 J

C

[1 - P(xn+1 < L - S(tn)}] =------------ +

^n+1

+ — [1 - Р(хп+1 < Ь - 8(1П)}]. (2)

^п+1

Покажем (чтобы потом воспользоваться результатом), что имеет место

М[уп+1(Х1, ..., Хп, Хп+1)] < Уп(Х1, ..., Хп-1, Хп),

если процесс наблюдения будем останавливать не позже момента ф*, т.е. при

п < ф*(Х1, ..., Хп), (3)

и если

С

1 - Р{Хп+1 < Ь - Б(1п)} < — . (4)

А • п

Действительно, подставляя (4) в (2), убеждаемся, что наше утверждение верно. И наоборот, что имеет место

М[уп+1(Х1, ..., Хп, Хп+1)] > Уп(Х1, ..., Хп-1, Хп),

если процесс наблюдения будем останавливать не раньше момента ф*, т.е. при

п > ф*(Х1, ..., Хп), (5)

и если

С

1 - Р{Хп+1 < Ь - Б(1п)} > — . (6)

А • п

Подставляя в (2) выражение (6), убеждаемся, что и обратное утверждение справедливо. Пусть п* есть такое п, при котором имеет место знак равенства в (3) и (5). Покажем, что тогда

ф*(Х1, ..., Хп, Хп+1) = п*. (7)

Действительно, в нашем случае выполняются все условия оптимальной леммы Дж.Дуба [2], доказанной и в [1]* , откуда и следует, что утверждение (7) верно и п* нужно отыскивать как наибольшее п, при котором еще верно выражение (4). Найдем из (4) уравнение кривой оптимального упреждающего допуска (кривая 1 на рис. 1).

Из (4) имеем

С

Б[Ь - Б(1п)] > 1 - — .

А • п

Взяв от обеих частей этого равенства функцию, обратную Б, получаем

Ь - Б(1п)] > Б-1 ('- АП)■

или

. Гь С ^

S(tn)] > L - F [‘ a . П

* Более простое доказательство леммы Дж.Дуба содержится в работе [3] с участием одного из авторов настоящей статьи.

На рис. 1 прямая 2 - аппроксимирующая линия для кривой 1, более удобная для практической реализации в системах контроля (с целью уменьшения объема памяти ЭВМ при контроле

многих параметров).

Т.«

№

500

№

100

0

о,г о,б 1,о 0 /А

^цсл.А

Рис. 2

На рис. 2 показана эффективность оптимального управления по состоянию для процесса 8(1;) с функцией распределения приращений Б(х) экспоненциального типа с единичным средним. Верхняя кривая есть изменение среднего времени до выхода процесса 8(1) за уровень Ь при таком управлении, а нижняя кривая - при управлении согласно оптимальному правилу, при котором использовалась только информация о моментах выхода процесса за фиксированный уровень Ь.

Эксплуатация по состоянию с учетом критерия "готовность (стоимость)

- эффективность (безопасность)"

Рассмотрим сложную техническую систему с избыточностью по надежности. Эта избыточность меняется в зависимости от выполняемых системой задач. Мы рассмотрим сначала общую математическую схему эксплуатации такой системы.

Пусть система состоит из N элементов (блоков, подсистем и т.д.). Обозначим через Уі(1;), і = 1, ..., N параметр, характеризующий по принципу "да" - "нет" состояние і-го элемента в процессе работы системы:

(Г\ О пи •• Л • Г Г .. ОЛ О Г \ Л /X/.. \ Л УУ О Г Л Л ОГЛ .

0, атее і - ие уеаі аі о еті оаааі аі її аіо ї,

; а..о......' те,.,.

1 аіоїо еаіїі тео^аа.

Пусть 0і(1:) есть наработка і-го элемента системы к моменту 1. Следовательно, в произвольный момент 1 работа системы может быть описана вектором

уф = {Уі(0, 0і(1), ..., Упф, 0п(1)}.

Обозначим через А множество всех возможных состояний элементов системы, образованных по принципу "да" - "нет" для каждого элемента (например, все элементы системы исправны, неисправен один элемент и т.д. из N элементов). Очевидно, что в множестве А содержится некоторое подмножество А0, при попадании в которое вектора у(1) система не может выполнять стоящую перед ней задачу с заданной эффективностью (безопасностью). Опишем изменение

системы при работе с учетом производимого на ней технического обслуживания на основании наблюдения за состоянием составляющих вектора V.

Считаем, что перед применением система полностью прошла предусмотренное нормами техническое обслуживание (все элементы системы работоспособны, счетчик отсчета времени наработки системы установлен на нуль, то есть 1;0 = 0). В процессе применения системы предусмотрим контроль элементов в моменты 1; = 1А1, 1 = 1, 2, ... . Такой контроль может осуществляться автоматически (по отработанной программе) и практически мгновенно. В результате контроля определяются вектор п(1) и наработка системы.

Область А0 применительно к выполняемой системой задаче вводится в вычислительное устройство.

Если в процессе контроля и сравнения вектора п(1) с границей области А0 обнаруживается, что в момент 1; (1 = 1, 2, .) система не может выполнять стоящую перед ней задачу с приемлемой эффективностью (безопасностью) в силу отказа одного или нескольких ее элементов (в этом случае п(Ъ) е А0), то автоматически выдается команда о прекращении функционирования системы для выполнения поставленной задачи или перед системой ставится другая задача, которую она может выполнить и при наличии происшедших в ней отказов.

Если же составляющие вектора п(1) не принадлежат в момент контроля области А0, то это значит, что либо не отказал ни один из элементов системы, либо произошли отказы некоторых элементов, но они не повлияли на снижение эффективности (безопасности) системы ниже приемлемого уровня, и система продолжает выполнять задачу. При этом вырабатываются рекомендации (например, вычислительным устройством, имеющимся в системе) по наиболее рациональному использованию исправных элементов системы. Вычислительное устройство может также выдавать информацию о выполнении системой задачи с приемлемой эффективностью (безопасностью), начиная с любого момента контроля. Информация выдается в виде двух цифр, означающих условную вероятность выполнения системой задачи при условии, что ее состояние в момент 1; известно, и условное среднее время, в течение которого система способна выполнить задачу при условии, что в момент 1; известно состояние ее элементов.

Введем потери, связанные с эксплуатацией системы. Это могут быть потери, выраженные в единицах стоимости, времени, трудозатрат и т. д.

Пусть при подготовке системы, в процессе которой проверяется работоспособность всех ее элементов и в случае необходимости происходит восстановление (в основном путем замен) неработоспособных элементов, расходуются средние затраты С1. Если оценивать обслуживание системы по критерию "стоимость - эффективность", то под С1 будем понимать средние затраты стоимости на проверку системы, включающие затраты на амортизацию аппаратуры, проверки самих элементов системы, стоимость ремонта замененных элементов, простоя системы и расходы на денежное довольствие обслуживающему персоналу и др. Следует отметить, что все эти расходы, как правило, бывают пропорциональны времени проверки. Поэтому проводимая ниже оптимизация технического обслуживания системы по критерию стоимости с учетом эффективности эквивалентна оптимизации по критерию "готовность - эффективность" или "стоимость -безопасность".

Введем теперь затраты, связанные с невыполнением системой задания (при п(Ъ) е А0). Обозначим средние затраты, связанные с невыполнением системой задания, через С2. Если величине С2 придать смысл стоимости, то это есть стоимость расхода ресурса системой, расхода энергии или горючего и масел, денежное содержание обслуживающего персонала, отнесенное ко времени "холостого функционирования", плюс стоимость проверки, подробно описанная выше, и стоимость брака "продукции", порожденного неисправно функционирующей системой.

Очевидно, всегда С2 > С1. Наша задача заключается в том, чтобы некоторым оптимальным образом по составному критерию "стоимость - безопасность" разбить область А возможных

состояний системы {v(tk), tk} k = 1, 2, ... на три непересекающиеся подобласти: А0, А1з А2. Подобласть А0 мы уже определили выше. Подобласть А1 - подобласть состояний системы, при нахождении в которой она способна выполнить задачу с заданным уровнем безопасности (эффективности). После выполнения задачи система может быть в случае дефицита времени и острой необходимости в ее повторном использовании направлена на выполнение задачи без подготовки. Обнуление счетчика времени наработки системы происходит только после проведения на ней подготовки.

Подобласть А2 - подобласть состояний системы, при нахождении в которой она еще способна выполнить задачу с заданным уровнем эффективности, но должна пройти в полной мере техническое обслуживание (в объеме подготовки, с обнулением счетчика времени после завершения подготовки) и быть возвращена в область А1. Если же в условиях дефицита времени подготовки такого обслуживания системе пройти не удается, то принимается во внимание значение двух показателей - условной вероятности выполнения задачи в течение фиксированного времени и условного среднего времени успешного (с безопасностью или эффективностью не ниже заданной) выполнения задачи. По этим двум показателям принимается решение о направлении системы на выполнение задачи или на ее техническое обслуживание. В случае направления системы на выполнение задания без подготовки счетчик времени не обнуляется, производится, например, контроль элементов системы с меньшим интервалом по времени.

Введем критерий, по которому будем осуществлять эксплуатацию системы. Этот критерий связан с безопасностью или эффективностью системы (через времена переходов из области А1 в А2 и в А0 и из А2 в А0) с затратами на обслуживание системы (или ее готовностью) через величины С1 и C2.

Этот критерий определим как

M[y(Ao, A1, A2)] = yt, (8)

где

ÍCj /t, áñee á i її áíó t íñóü áñó áeáí Ї áóáoí ü á Ї áeáñó üA2;

yt = i

I C2 /1, áñeé á i її áí ó t íñóü áñó áeáí Ї áóáoí ü á Ї áeáñó ü A0.

Наша задача сводится теперь к определению таких областей

4*

2

для которых

МГУ(Д„ Л* ,)] тіп М[у(А0, Л А

A*, A*(Ao u A* и A = A),

M[y(Ao, A*, A*)] = min M[y(Ao, A*, A*)], Ao u A1 u A2 = A, (9)

и в рассматриваемом случае оптимальное правило эксплуатации системы определяется неравенством, аналогичным неравенству (4), которое и является искомым алгоритмом работы вычислительного устройства системы.

Условная вероятность выполнения задания системой при условии наблюдения состояния ее элементов, стоящая в левой части выражения (4), в данном случае запишется так:

Р0(0 = 1 - РЦуО), 1] е А0 / [п(1:1), Ъ], 1 = 0,к -1},

где

1 > 1к-1,

а соответствующее условное среднее время функционирования системы с заданной эффективностью или безопасностью есть

М[ Т ] = ] ¿>(1Ж (10)

гк-1

где Т - время функционирования системы с заданной эффективностью или безопасностью с момента 1к-1.

Отметим, что для каждой выполняемой системой задачи должна быть составлена схема соединения ее элементов по надежности. Чаще всего такой схемой является параллельнопоследовательная схема соединения элементов системы.

Для каждой задачи должен быть задан также свой уровень эффективности (безопасности). Это означает, что я-ая задача характеризуется своим значением подобласти А0, я = 1, 2, ..., Q, где Q - число решаемых системой задач.

Покажем, как в случае решения за это время функционирования системой ряда последовательных задач должна осуществляться ее оптимальная эксплуатация с использованием алгоритма, аналогичного (4).

Пусть число задач, решаемых системой, равно п, причем при решении я-ой задачи используется N ее элементов

Я = 1, ..., п, N < N.

Здесь допускается, что, например, при решении я-й и я+1-й задачи может быть использована часть одних и тех же элементов. Все элементы с начала функционирования системы включаются в работу. Система функционирует непрерывно до момента вывода ее на профилактику или до такого момента времени, в который система не может решить хотя бы одну из п поставленных перед ней задач. Последовательность решения задач во времени при этом нас не интересует.

Пусть , я = 1, ..., п, п - подобласть состояний системы, при попадании в которую вектора Уч(1;) = ^0), 01(1), ..., Уы (1), 0^ (1)} система не может с заданной эффективностью (безопасностью) выполнить я-ю задачу.

Тогда для я-й задачи алгоритм, аналогичный (4), запишется так:

Р|К(1к), 1к] є 49) / ^(10, 1і, і = 0, к -1 ]} <

с

<^---------------. (11)

С - с„„ )(к -1) ^ '

Пусть 4? и ^9) - соответствующие моменты первого выполнения (11) и первого наблюдения события [пя(1:), 1] є Л(д') (с точностью до шага контроля).

Тогда момент вывода системы на техническое обслуживание (предупредительную профилактику или ремонт) определяется как

тіп(4*?,£>, ..., ^),

где отсчет времени ведется с начала работы системы, т.е. с 1:0 = 0.

Таким образом, мы считаем, что система не может быть использована по назначению, если она не в состоянии выполнять любую из поставленных перед ней задач.

Возможно здесь и другое предположение: система не может быть использована по назначению, если она не в состоянии выполнить задачу, стоящую перед ней в фиксированный момент времени.

В этом случае с момента начала работы системы нужно для каждой задачи вести вычисления по алгоритму (11). Напомним, что в вычислитель, помимо аргумента времени, должна вводиться и информация о фактическом состоянии элементов, участвующих в выполнении каждой задачи.

В этом случае в вычислителе по-прежнему содержится информация о возможности выполнения системой любой задачи с момента последнего контроля ее состояния. Если к моменту 4? для я-й задачи не выполняется (11), то вывод на техническое обслуживание системы осуществляется в момент їк* .

О технической реализации математических моделей эксплуатации авиационных систем по состоянию

На рис. 3 показана возможная инженерная разработка - функциональная схема реализации приведенного выше способа управления техническим состоянием сложной аппаратуры.

Аппаратура 1 имеет контрольные выходы 2, с которых снимают контролируемые сигналы и подают их на входы 3 измерительного прибора 4. Измерительный прибор 4 по сигналам с программного устройства 5 производит операции измерений в заданные моменты времени. Величина измеренного сигнала оценивается в анализаторе 6, куда с программного устройства вводятся значения номинала и допуск на измеряемый параметр. Если параметр находится в пределах допуска, то анализатор 6 выдает на индикаторное устройство 7 команду "Годен". Однако такое решение является недостаточным для управления (с помощью цепи 8) состоянием аппаратуры.

Рис. 3

Поэтому сигналы управления поступают по цепи 8 от управляющего объекта 9. В роли управляющего объекта 9 может выступить человек-оператор или кибернетическое устройство. В схеме предлагается дополнительно с программного устройства 5 вводить в анализатор 6 значение упреждающего допуска 10, имеющего величину 0 < у < 1 значения допуска для измеряемого параметра. При нахождении параметра на уровне у от значения этого допуска и выше вплоть до границы допуска выдается решение 11 на индикатор 7 для управляющего объекта 9 (решение о регулировке параметров сложной аппаратуры), при превышении параметров допуска фиксируется отказ аппаратуры.

Если к моменту измерений контролируемый параметр не превысил значения у до допуска, то регулировочные воздействия на аппаратуру 1 не назначаются.

По мере накопления статистических данных контролируемые значения упреждающих допусков корректируются.

ЛИТЕРАТУРА

1. Derman C., Sacks J. Replacement of periodically inspected equipment // Naval Research Logistics Quarterly. V. 7, N 4, 1960.

2. Дуб Дж. Вероятностные процессы. - М.: Физматгиз, 1956.

3. Коваленко И.Н., Москатов Г.К., Барзилович Е.Ю. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1973.

4. Барзилович Е.Ю., Захаренко С.К. Сравнительная оценка оптимальных методов управления монотонно возрастающим случайным процессом с независимыми приращениями // О надежности сложных технических систем. - М.: Сов. радио, 1966.

5. Букреев А.А., Парфенов В.П., Осташкевич В.А. и др. Оценка точности и достоверности результатов при оптимальном управлении векторным случайным процессом. // Терроризм и экономическая безопасность государства. / Под ред. проф. Барзиловича Е.Ю. - М.: ТЕИС, 2006.

THE OPERATION OF AVIATION SYSTEMS

Barzilovich E.Y., Bukreev A.A., Parfenov V.P., Ostashkevich V.A.

The article consider.

Сведения об авторах

Барзилович Евгений Юрьевич, 1932 г.р., окончил Киевское высшее инженерное авиационное военное училище ВВС (1956), доктор технических наук, профессор, автор более 350 научных работ, области научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта, организация производства на транспорте.

Букреев Александр Александрович, 1962 г.р., окончил МАИ (1985), соискатель кафедры АРЭС МГТУ ГА, автор 6 научных работ, область научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта.

Парфенов Валерий Павлович, 1954 г.р., окончил Куйбышевский авиационный институт (1977), сотрудник аппарата Совета Федерации Федерального собрания Российской Федерации, автор 10 научных работ, область научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта.

Осташкевич Владимир Александрович, 1981 г.р., окончил МГТУ ГА (2005), кандидат технических наук, автор 21 научной работы, область научных интересов - эксплуатация воздушного транспорта.