CC BY
36
2008 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА № 135
серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов
УДК 621.396
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ БЕЗОПАСНОСТЬ ПОЛЕТОВ СТРУКТУРАХ С ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ, С САМОВОССТАНОВЛЕНИЕМ И ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
А.А. КОПЦЕВ
Статья представлена профессором, доктором физико-математических наук Козловым А.И.
Разрабатываются алгоритмы, оптимального управления в структурах с избыточностью, с самовосстановлением и при ударных воздействиях.
Во многих современных технических объектах (цифровые вычислительные системы, цифровые пилотажно-навигационные комплексы, различные автоматы и в др.) отсутствуют непрерывные выходные (и даже промежуточные) параметры, традиционно подвергавшиеся контролю. Все эти объекты, как правило, обладают либо функциональной, либо структурной избыточностью.
Наша задача заключается в определении таких моментов управления в структуре избыточной системы (до ее отказа), которые обеспечивали бы ее высокую эффективность и минимальные средние эксплуатационные затраты.
Будем считать систему отказавшей, если при отказе некоторого элемента (или некоторых элементов) она либо полностью прекращает свое функционирование, либо функционирует так, что эффективность ее становится ниже заданного уровня.
Пусть система состоит из п элементов, а ее поведение описывается двоичным вектором
Разобьем все пространство состояний процесса Х(і) на два непересекающихся подпространства Х+ и Х_ таких, что, если Х(і)є Х+, то система считается исправной, если Х(і)є Х_,
неисправной (момент перехода процесса Х(і) из Х+ в Х_ есть момент отказа системы).
Пусть процесс Х(і) безошибочно наблюдается в моменты ік =кИ, где И - шаг наблюдения, к=0,1,2...
Тогда в моменты ік наблюдаем последовательность случайных векторов хк (к=0,1,2,...) и в каждый момент ік знаем всю траекторию процесса (о0, о1,..., ок) = Хк
В момент ік (к=0,1,2...) по траектории процесса Хк можно принять одно из двух решений: продолжать наблюдение до момента ік+1 или остановить систему в момент ік и возвратить ее в состояние х0.
Если в момент ік произошел отказ системы, то она всегда возвращается в состояние х0.
Управление в структуре с избыточностью
Х ( і )={01 (і ) , 02 ( і ) ...0п ( і )} ,
где хк (і) =
1 < к < п
Пусть Ук =
где С1 - средние затраты (стоимости, времени, энергии, работы и т.д.) на восстановление системы, если в момент принятия решения система исправна; С2 - средние затраты на восстановление отказавшей системы.
Назовем величину v - правилом остановки, если: v = inf {к : Хк ё Ак}, где А -некоторое упреждающее множество ( A е X+ ).
После определения v средние удельные потери вычисляются, как у (v ) = £ P {v = к} Ук.
к=1
Правило v оптимально, если y (v*) = miny (v).
Для отыскания v* необходимо найти распределение величины для произвольных множеств Ак, а затем отыскать минимум величины у(у), варьируя последовательность множеств Ак. В общем случае это невозможно. Однако в силу свойств избыточной системы монотонно менять свою структуру, постепенно истощая свой ресурс, вероятность ее отказа возрастает с ростом К.
Правило v* в этом случае находится из условия [1,3]:
К \1 \£ Ук-1, n ^
MI ук / (x0, x1,.. .хк-1 \ I = < , которое для монотонных структур всегда выполняется.
1> Укn >v .
В [2] авторами доклада v* было определено для систем с различными типами резервирования, систем, элементы которых соединены по параллельно-последовательной и по ветвящейся схеме, а также для избыточных систем более произвольной структуры.
Оптимальное управление в структурах при ударных воздействиях
Под ударным воздействием будем понимать практически мгновенное изменение условий функционирования системы любой природы (появление сильных механических воздействий, например, при грубой посадке летательного аппарата, полетах в возмущенной атмосфере; резкое воздействие на систему быстро изменившихся климатических условий: переходов давлений, температур; появление выбросов вредных веществ и т.д. и т.п.). Каждое ударное воздействие, происходящее случайно во времени, вызывает в системе повреждения, которые, накапливаясь, могут приводить к ее разрушению. Для предотвращения разрушения систем предусматривается предупредительное восстановление (либо путем быстрой регулировки, либо замены, либо путем медленного и практически непрерывного восстановления ее свойств).
В современных комплексах часто бывает так, что при отказе некоторых систем продолжающие функционировать системы берут на себя выполнение функций отказавших систем.
Примером непрерывного восстановления заданных свойств может служить полет воздушного судна в режиме автоматической посадки при воздействии возмущенной атмосферы (резкие порывы ветра, попадания в воздушные "ямы"). При каждом резком воздействии внешней среды система автоматического управления самолетом "медленно" возвращает его на заданную траекторию посадки. Однако очередное внешнее воздействие добавляет новое отклонение к еще оставшемуся отклонению от заданной траектории полета. При накоплении таких отклонений до определенной предкритической величины и на определенной высоте полета пилот должен взять на себя дальнейшее управление самолетом.
Ниже любое восстановление свойств системы будем называть самовосстановлением.
Оптимальный алгоритм управления в структуре при постоянном самовосстановлении системы
Пусть система подвержена ударным нагрузкам в некоторые случайные моменты времени t1, t2 и т.д. При ударах в системе возникают случайной величины повреждения (отклонения)
х(ґ1), х(ї2) и т.д., которые аддитивно накапливаются. Величины повреждений точно и мгновенно фиксируются (иногда для этого достаточно бывает зафиксировать силу удара). Суммарные повреждения в системе не должны превышать критический уровень Ь (иначе система откажет и будет мгновенно восстановлена: либо отрегулирована, либо заменена на новую). Система может быть восстановлена и в некоторый упреждающий момент Ту, при первом превышении накопленными повреждениями уровня у (у<Ь). Таким образом, система восстанавливается в случайные моменты Ту или X, где X - момент отказа системы, т.е. ее восстановление происходит
через тіп( Ту ,Х) единиц времени. Обозначим через g( Ту ,Х) - функцию потерь, зависящую от случайных аргументов Ту и X. Тогда для средних удельных потерь на цикле регенерации имеем
Р
(Уо,х)
M \ g (^х)]
м' тіп(їу,Х)]
Задача заключается в том, чтобы выбрать упреждающий уровень у0 (у0 < Ь) таким:
: тіпр
у
(у,х)
?(Го,Х):
Предположим, что повреждения х(^ ) = х1, х(12 ) = х2,... имеют одинаковую функцию распределения вида Р{хп < х] = 1 - е-тх, где т - средняя величина повреждения.
Обозначим через 01,02,... случайные интервалы времени между последовательными ударами. Будем полагать, что эти времена также имеют общую функцию распределения вида Р{0„ < ¿] = 1 -е-1, п = 1,2,..., где 1 - средний промежуток времени между двумя соседними ударами.
Пусть С - средние потери (времени, стоимости, трудозатраты) при предупредительной замене системы, а К - дополнительные средние потери из-за отказа системы.
Предположим, что в системе имеется прибор, изменяющий ее структуру, или обслуживающий аппарат, уменьшающий накопленные повреждения с постоянной скоростью а>0, где а=1.
На рис. 1 пунктирной линией обозначено и более медленное возможное самовосстановление с а=0,5.
Рис. 1
В [2] было показано, что для сформулированной задачи самовосстановления (при а=1) значение у0 определяется из уравнения
тк / (1-т) -ь (1-м)е 1 т)уо +1м/(1-м)е м(Ь Уо) (е 1 т)уо +(і-т)у0 -1)
= о.
Анализ приведенного уравнения позволил определить необходимые и достаточные условия существования единственного решения:
111
При л^т и ь <
Лц ~е(т-Л) -1 -(m-л) l
(т-л) ~те[т-Л)ь -л
или при 1=m и Ь <
(т-1) [2 (1+21) ]'
Это решение находится численными методами. После проверки написанных условий существования решения уравнения одним из методов его отыскания является графический. Для этого строят график средних удельных потерь <р(Л) (индекс X опускаем) в функциях у.
Эта функция для рассматриваемого случая имеет вид [2]:
~Ь + в-ц( 1-гУ
j(g) = -
Kg
1 +
2 г (2 ) ----------п, где Ь=С1К.
т/л(л-т) • те -т+'у'-т)
Графики функций р (1), /=1,2,3, приведенные на рис.2, были построены для вариантов: 1. (/=1) - 1=т=0,5; 1=1; С=1; К=50. 2. (/=2) - 1=0,5; т=0,8; 1=1; С=1; К=20 3. (/=3) - 1=0,8; т=0,5; 1=1; С=1; К=20.
Для всех трех вариантов скорость самовосстановления системы оставалась постоянной и равной единице (а=1). Из рис.2 видно, что
j (go )=15,56; j2 (go ) =486; j (go )=10,46
0,2
0,4 0,6
Рис. 2
0,8
1,0
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Derman С., Sacks J. Replacement of periodically inspected equipment. Naval Res. Legist. Qnart, 1960, 7, № 4.
2. Андронов A.M., Барзилович Е. Ю., Тимашев С.А. Надежность и эффективность в технике. Справочник в 10-ти томах, том 8 "Эксплуатация и ремонт". - М.: Машиностроение, 1990.
3. Барзилович Е.Ю., Коваленко И.Н., Москатов Г.К. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1973.
OPTIMUM MANAGEMENT IN PROVIDING SAFETY FLIGHT STRUCTURE WITH REDUNDANCY, SELF-RECOVERY AND UNDER STRIKING INFLUENCE
Koptcev АА.
They are developed algorithms, optimum management in structure with redundancy, self-recovery and under striking influence
Сведения об авторе
Копцев Анатолий Александрович, 1964г.р., окончил МГТУГА (1987), кандидат технических наук, директор Департамента проектирования аэродромных комплексов ЗАО «Научно-технологический и проектный институт транспортной инфраструктуры», автор более 20 научных работ, область научных интересов - управление сложными системами, навигация, радиолокация.
