CC BY
28
О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА ДОСТАТОЧНО ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
УДК 517.51
Т.Ю. Шерстюк, ассистентка каф. «Математика», ЧитГУ
Научные интересы: исследование функций линейными операторами.
Тригонометрическими операторами Баскакова называют аппроксимирующие последовательности
m г( ) • 2 nt
f (t + x) • sin
Ml" ]( k'-k*' km }( f (t), X) = -
2m-1П sin2
pn
[ m ](ki, k2,* km )
í—
2
2
П 2nki
(cos t - cos----------)
2 1=1 n
( f (tX X ) = Mn ( f (t X X )
-dt.
В данной статье для М
(в дальнейшем обозначении верхний мультииндекс опускается) получены оценки (с точностью до о(пт1))
величин M
M
2r
, Mn
2r t+ —
v n
, где r > 0:
v n /
2r
= (-iyn-'Ф,.(r) + o(n-),MnI t+,— = n-1(2іr-(-1)'F(r))+o(n-),
n
где
m 00 í
Ф, (r) = 2l p-1П kj íll -
j=1 r V
^ t1 2 sin2 u
m
П(Р2kj -12)
j=1
dt.
ABOUT SEVERAL CHARACTERISTICS OF APPROXIMATION TRIGONOMETRIC BASKAKOV'S OF ENOUGH PLAIN CONSISTENCIES
Approximate consistencies of operators
nkf
M
[ m ](ki, k2 ,* km )
(f (t), X) = -
2 m-1П sin 2
1=1
n
pn
1-77
f (t + X) • sin
nt
2
Л, 2pk , 4
sin II (cos t - cos---------------)
2 it n ’
-dt
Í \
Mn
are called trigonometric Baskakov/s operators. In the article valuations of enormities Mn
r , 2r A
2r
v n /
+ 5
n
, where got (with accuracy from o(rr)) for
Mm^--km )(f(t),x)=Mn (f(t),x) , where r > 0 (top multiindex is lowered in far designations):
=1
n
Мп
ґ г 2г Л і -
V п
2г
(-1Уп-гФг (г) + а(пг), Мп ІІ+— = пг (2ггг - (-1) г ^ (г))+а(я-),
т і
where Фг (г) = 2г р2т-'П Ц
У =1 г '
1-----
і 81П і
т
П(р 7 -'2)
3 =1
* * *
Тригонометрическими операторами Баскакова называют аппроксимирующие последовательности (относящиеся к методам суммирования рядов Фурье)
Мит№Л’ • кт)(/(/), х) =-
^П^ "7 р /( + х) •
г=1
п
. 2 пі
Б1П — 2
біі? — П(С057-соэ27 ) 2 =1 п
-йі
В предложенной статье обобщаются результаты, полученные в [2], и используются введенные в этой работе обозначения.
Для удобства чтения приведем некоторые обозначения уже оговоренные в [2].
В дальнейшем обозначается:
t - 2п - периодическая функция, равная t при 1 е]-Р;Р], t_ - 2п - периодическая функция, равная нулю при 1 е [0;Р] и равная t при 1 е]-Р;0[, t+ - 2п - периодическая функция такая, что t = t_ + t + .
Так же как и в [2] мы далее в обозначении операторов Баскакова не пишем верхний мультииндекс, считая, что параметры т и к( зафиксированы (при этом г < 2т +1).
' 2гл
Мы дадим оценку величин Мп
Ґ о л 2г
І- —
V п /
и Мп
С — п
, где г > 0 . Эти величины
оценим с точностью до о(п г). Е. С. Коган [1] решила эту задачу для г=1, в [2] разобран случай 1=2.
Начнем с оценки Мп
п
. Имеем (см. [2], распространение на произвольное г
очевидно)
М„
п
V у
: (-1) г Мп
2^г Л
і------
п
/+
я
Перепишем Мп (/ (і), х) в виде Мп (/ (і), х) = тп 11 (і + х)юп (і )йі, где
п
j=i
sin
2p n
W(t )=-
. 2 nt sin — 2
sin22 П
2 j=1
/ ( pk \ ( pk.
sin J t sin j t +-
n 2 n 2
V \ 0 V /y
Далее получим M n
' 2 гл
t------
v n A
mn IIt -
2 r ’ n
2 r n
w n (t) dt +O (n-2 m-1).
Обозначим Jn = mn [í t - — ft>n (t)^t. Произведем замену t = — (отсюда t = — ) n n J \ n n 2 n
2rV
n
J
W,.,
2t
n
— dt. Для удобства вернемся к обозначению подынте-
грального аргумента символом t (вместо т).
Получим: Jn = mn К1 - -
2/ _v 2'+Y (2t ^
zn (t )dt, где zn (t)=m
—w
n n'+1 n
vn y
• 2 P kj
Для zn (t), раскрывая ¡i n и выделяя главный член в выражении sin ---------------, полу-
n
чим
zn(t) =
2'p 2m-i П k
j=1
-+ о (n-2 m-'-2)
t' sin21
21 m l —
n v _
( p к . t \ ( p к . \ \
sin J sin J t +
1 n n n n
V V ) /
Производя преобразования аналогично тому, как это сделано в [2], получим, что при каждом ^ > 0
n'zn (t) ® 2 ' p2m-1 П к]
t' 2 sin21
=1 П(р 2 к]-12)
j=1
Переходя к пределу под знаком интеграла (теорема Лебега), получим
v n у
m i
= (-1)' n - 2' p2 m-1П к2 II1 -
j=1 r 1
v t' 2 sin21
-dt + о(n - .
П(Р2kj -12)
j=1
m ^ /
Если обозначить ф. (r) = 2 P 2m-1П k2 [ í 1 - Г
v t' 2 sin21
j=1
П(Р2кj -12)
j =1
-dt, то можно запи-
n
P n
P n
2г
ч"’ п /
("1У'п- Фг(г) + о(п"1).
Ґ Л
Оценим теперь Мп
2г
+ ’
п
Будем использовать, что Мп получаем М
л 2г
С -п
"Мп
£ -п
. Для первого слагаемого
( 1 2г Л = мп / ( 2г Л 1 л = Мп / ( 2г Л 1 л
і — і + ,0 і + " і1,0
п п п
\ V \ / 0 V \ / 0
+мп (і1,0) + о (п-2 т"1);
V
" г1 = £ с^і'"к
^ 2 г^
/
к = 0
п
" і1 .
Так как t - 2п - периодическая функция, равная t при 1 е]-Я";Я"]. Последнее
равенство можно записать в следующем виде: М п при і є
Ґ 2гу і + —
V п У
■Ґ ,0
2і г'
= — + 0( п-2”"1) п1
2г 2г
■ж +-, ж-
пп
Используя равенство, установленное Т.В. Дубровиной [3], Мп(Ґ,0) = 0(п 2т 1), а также Мп (і, 0) = 0, Мп (1,0) = 1, получаем:
Мп
ґ ' 2г Л і — п
-- п" 2'г' + 0(п т ) .
Следовательно,
Мп|і+,— |= п"2У"НУ'п-ф»(г)+0(п“2т"1)+о(п') = п" (2У"НУ'Фф+о(пг).
ЛИТЕРАТУРА
1. Коган Е. С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов ЫрМ а // Автореферат дис. ... канд. физ. -мат. наук. - Красноярск, 2005.
2. Шерстюк Т.Ю. О некоторых величинах, характеризующих аппроксимативные свой-
ства операторов Баскакова // Вестник Читинского государственного университета: Выпуск 40. - Чита: ЧитГУ, 2006. - С. 130136.
3. Дубровина Т.В. Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье // Автореферат дис. ... канд. физ. -мат. наук. - Красноярск, 2005. - 13 с.
