CC BY
31
Производная функции Ф(г) меняет знак * двух тощах: » точке ,'1S 2,|QS Щ МиЩуса на плюс и в точку y1- S.lüuy с плюса на ми Ж §ледовательЩ в точке ГЇ функция Ф(ґ) имеет минимум и Ф(2,2005) - -0.S45, a * точке гШ мар симум- rtpn отам ФшД009}^ 0,5S9.
' ГЙложенйа точек экстремумов
функций ф(0 = Фй#) <ИЛ!1' что то же самое, точек перемены знака их про. изводных) определены с помощью программных средств MathCAD.
ЛИТЕРАТУРА
1 Баскаков В.А- Об операторах класса Sl7t, построенных па ядрах Фейера Н I IpmííiHe-ние функционального анализа в ™°РИИ
приближений; - Тверь: ТгГУ, 2001 .-С 5-12.
2. Абакумов Ю.1\ Кярымова ЕЛО., Ко-
ган С,С. Тригонометрические операторы Цскаков* Обшие | ^5°д*
математического моделирования (1руды
и петита га I [ р1 [ кла Д н ь]Х м атематических исследований). Вып. 2. - Петрозаводск,
2000-С. 87-104,
3. Абикумов Ю.Г. Об одном феномене, связан ком с приближением периодических ШШкШЙ класса IV1 ИЧ/ Энергетика в современном мире. Вторая иа^№№№
научно - практическая &енференииж 1езисы
до». -Чт* МУ, 2003. - с. 148-149.
4. Коган Е.С. Некоторое методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторам и функций классов Ирм а: Автораф. лне... канд. физмат. Наук / В С, Коган; Красноярск, 2005,
5. Корнейчук Н.П- Точные константы в теории приближении. - М.: Наука, 19У/-
О НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИНАХ, 1АПП._иис
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ
СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА
УДК БІ7.5Ї
Т.Ю- Шерстюк, ассистентка каф.
«Математика», ЧитГУ
Научные интересы: теория аппроксимации линейны % операторов
Аппроксимирующие последовательности операторов
ЛЙ; „ . , HÍ
dt
¿ртД ?Ш 2 —L , / (t + х) - sin - —
•*•1 сяо. ¡to——^—— í—гл--------і»*,
-'sin TT f _ гл(-~L
-П (eos t - cos - i=l
будем называть операторами Баскакоеа Для
м tm к * і ■ *5 f |:í), .х)щМ$§£р), х)
{в дальнейшем обозначении верхний мулы индекс опускаем) получены оценки (с точностью ДО q(jt2)) величин,
м.
(г 2ЧГ*
щ —
Ч п
f 7г\ /_2,— п }
где г > 0: Мв где Ф(г) = 4я2"'
= п-2Ф(г) + с(г1-2)1м(^,—) = ,Г2(4г1- Ф(г)) + о{п2) ,
г-1
ш fj №рЩ
Г-1
ABOUT SEVERAL ENORMITIES, WHICH IS CHARACTORIZE APPROXIMATE PROPERTY OF BASKAKOVS OPERATORS
Approximate consistencies of operators
_ frLr
M lnmKt'' J {/(f), x) =-------------
' im
nt
t~Vt
/(/ + .*)-sin- ■ V 2
tt f ¿xki
sin “ - (cos t - cos----------------■)
2 j=| n
-dt
we will called Baskakov's operators. Valuations of enormities jWn
(with accuracy from of/r2)) for
Ml"1"'•*■-■*-'</(/),*) - M .(/(0, x),
where r > 0 (we lower lop multi index in far designations):
\ » j
t-/
\ 2 2Й if Г , 2p\
1 f
I nj ^ я у
were got
M
ifj = + o{n~2), Щ
where Ф(г) = 4лг1т~1 PI kf J
1-1
w i \
sm и
-du
В ряде работ (см. [ 11 л цитируемую таьт литературу) рассматриваются ащффкт ^имнр\тапдаё нЩследовательно<?ти оператора
ГТ ' 2
Н31п гг* ?(! + ффх
I п\ -\
м
|лгР,, кг„уЛ„ >
(/({),*) = -
¿=Г
ЛГ71
м
ж .
О пер агоры Мд" ^*" к'~ '"л 1" 1 н
лальнеЩле№ &вапжг&
мн Баскакова; Будем считать, что параметры т>0 (целое) н к{ -Целый
(0 < А, < кг <-■ <К с^) зафиксировав
" &1Ш&. "¿"»МИ --= М„ (/(0,-1).
í _
С учетом того, что 2 кк.
С05I - С05■
Ч 2зт
(як. г ! С * Т\ (■як. _ж+ \ (
и \ 2 / ЫН 1» 2 У
операторы Баскакова преобразуются к виду
/Г
м, £$&*)=м }/(>+Фт (М,
т
П<
где = ■
"л со -
-Я"
. я*,-
5111 ----
И П
2 т
. ■* 72 £
5Ш —
2
Ш1 тП
5111
,
як.
п
зш
лк, - *
-$+7? 2
При исследовании пф&тЩртя этт^ш операторами функции в точке разрыва ¡-и производной и в близи этой точки важную роль играют величины
II и Г
Поясним ооозначен ия **
^ - 2к - периодическая функция, равная £ при ^ — 2л —
периодическая функция, рйЁная £ при. 1е[-;г;0], равная! нулю при 1е[0;;г)'
(‘+ -2тг - периодически функция, такая,
4X0 ¿' = ¿‘_ + ;|| „
В рамках предлагаемой заметки огранидтвдея случаем ¡-2. Нашей ближайшей целью являются оценки (с ТОЧ-
2г^
постыо до о(л:)) величии МЛ Г г
»
м.
2 г
ц%— , где г > 0 . (Заметим, случаи , ~ « ) 1—1 разобран Е. С- Коган [3]).
Зная, что
Щп (/(* “%)>Щ = Шп (/(0,0)0). имеем
Далее, в силу четности ядра
М.
«Жь1
п). )
= М.
к ш и
2 \ О
;
Л
V
2г
-!Г, —
2г
ЩШЛ +^я | г-_. + 2,т ¿»;Ш
= ^'Ч^2,=^ + 0(" )■
п л '■
Делаем замену
л/
н = — , имеем = ,и„
1
0 2 Г2г0 2
[—М
; »? 1 UJ 1 л ;•' л
€1
5111
2
I/ ' Э1П 2 »■
л:/1
1 1 и ГГ зш - Ц
4 «-где
л ;=[
\
5Ш
иЛ п к>
31П
пк.
+
и
I л ",
/• - 2 и - 4 ч
■+р(Л )
к3 31П : м
)Я
2 - П ЗШ
пгШ
жк.
п п
5Ш
тгк.
V «
В этих обозначениях ^ хя(ц)Ф* ■ Для 1»(и) ймеем
э(Нш
4»*
г=1
2чт4
Е1 3111 и
■ 1['
, 5Ш - ,„
л н л ¡=1
(тгк и '' . { як. и :■
, , , ап —«-*&—+■-
тг ‘ Лг, - [1' I и V ^ 11}
п1 (*=*7 — 1
+ оСп'3)
При ¿¿ведом ^ 0 выполняется л"гя(1г) “> 4л",п ']Д^Г
вш 1 и
П№-"1
при
Учитывая теорему Лебега о пределыюм переходе под шпаком интеграла (ьторое ее условие. очевидно, тоже выполняется), получим окончательно
М, к Л]=»^НЯ1 - тгТ р+ *#
Ч Л ад ПЙР-*И
р—1
Обозначим
ш
Оценим теперь #„(^1 т**Н^'Ч(С' л) К‘ '*) л
Получаем для первого слагаемого
М.
! 1-
= */,
I »
Г
:М
I*
2Л
п
* ^ ,0
2 ^
=м„
№Т4р
& -гГ8“ *Г“Г-» ':;Г “«5
можно записать в сил> ^ ,
1 п
= —■ * -г —С 11 я
2г 2г
— Л" н--------1 ^ "
п П
п П 5 лч л п гл -1 А/ Гг № ОГ/Г1"1'1) (последнее уста-
новлено Т. В, Дубровиной [2]).
Итак, «.№)■ ^ + .(.-1), следоватея^о
м.
¿| , ^| = л * {4г1 - ФЩ} + 0{пг ).
V*' п1
рассмотрим графики функции Ф(г) = 4к
зщ и
----сЫ.
п# -”г)
При т^ Ц Щ = 1 имеем
- * . “)
$Ш " и _
(*'- 1(21
ФЙ^4да рь-
(¡и .
Визуально определим точкуг экстремум а; б точке г Ф(0.12) -1,5; данная точкаЯвляется минимумом.
При т = 2, кх= 1, А, =2 имеем
1 , г 1 зш2 и
ж я I-2- - и2 )■ [4лг
1,2 значение функции
* (г) 1
зна-
В данном случае видим, что функция имеет два экстремума, в точке г « 1 чеине функции 0(1) щ ,2 - это точка минимума, а в точке г « 4,7 значение функции Ф(5) -0,3-это точка.максимума.
При Шщ $* У 1а к2 = 2' кг = 3 имеем
Ф(г) = 144' л-5 *
га
;х и
К1П“ ы
* (лг2 -1г]-(4л:2 -Е(:)- 1р7Г2 -И1)
¡¿и.
По графику видно, что функция имеет и миниЛ Н максимум. Мини-м™ ф|нкци(Е находится в точке г * 0,8; Ф(0,5) з -1.8. Максим™ функции в точке/’ ~ 3& Ф(0,8) - 0,3.
Графики функции
Вестник ЧитГУ№ 3 (40) 2005
Ф(г) =
= 4^"-'Г1^Л
1-^
ЙІЇ1" и
■аи
и> п(рЧ[)
определены с помошыо ¡программное средств МаІ^САО.
ЛИТЕРАТУРА
1, Басклков В.А- 05 оператор класса
£'гл, по строен мы к пя ялр^ Фейра
//Применение функционального анал^. в теории приближений - Тверь: Тв1>. -001. 0Ь,- 5-13 -
2. Дубровина Т.В. |ценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова
и некоторых других методов суммироЕ^анпя рядов Фурье. //Автореферат дис. ... ка!!Д. фиэ.-мат. наук. - Красноярск, 2005. - 13 с,
3, Коган Е-С- Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Прм& Н Автореферат дне. ... канд, физ.-мат, наук. — КраСЕЮ-
ярск, 2005.
