О некоторых диофантовых уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

В работе получены формулы для компонент ж, у и г решений уравнений аж2 ± ту2 = гп отдельно для четных и отдельно для нечетных значений п. Даны обобщения и дополнения некоторых результатов Л. Эйлера и Ж. Лагранжа.

1. Введение

В данной работе дополняются и обобщаются результаты Л, Эйлера и Ж, Лагранжа, касающиеся уравнений

впервые рассмотрел Л, Эйлер [1], предложив следующий комплект формул для компонент х, У и г решений этого уравнения:

УДК 511

ах2 — ту2 = гп,

(1)

при п > 2.

Немного истории. Уравнение

2 2 3

ах — ту = г ,

(2)

х = аи3 + Зтию2,

у = 3аи2у + ту3,

22 г = аи2 — ту2

(3)

иу

Однако уже сам Л, Эйлер заметил, что его формулы могут не дать полного решения уравнения (2),

Далее на уравнения вила, (1) обратил внимание Ж, Лагранж, Он видоизменил вывод формул Л, Эйлера для уравнения вида, (2) с а = 1 и предложил метод своеобразного (“ лестничного “) перехода от уравнения

с одним значением и к другому, при котором решение уравнения с и = к используется для решения уравнения с и = к + 1 и т. д.[2]

При этом оказывается, что метод Ж, Лагранжа не дает полного решения уравнения (4), так как он позволяет получить только один комплект формул для х, у и г, Заметим еще, что метод Ж, Лагранжа хорош с теоретической точки зрения, но не всегда удобен на практике.

Мы дадим здесь еще один комплект формул для компонент решений уравнения (2) и получим формулы для х, у и г для уравнений (1) с и > 2, рассматривая отдельно случаи четного и нечетного значений показателя степени у г и не пользуясь, в отличие от Ж,Лагранжа, решениями уравнений с меньшим, чем рассматриваемое уравнение показателем степени г.

Далее мы рассмотрим здесь уравнения вида,

““

и

Ж,Лагранжу) предполагаем, что а =1.

2. Уравнения ах2 — ту2 = гп

Теорема 1. Решения уравнения

х2 — ту2 = га

(4)

ах2 + ту2 = га

(5)

2 2 2к

х — ту = г

можно находить по формулам:

Теорема 2. Для отыскания решений уравнения

пригодны формулы:

г = аи — ти .

\

Мы докажем лишь теорему 2, так как доказательство теоремы 1 чуточку проще и проводится аналогично.

Доказательство. Следуя Л, Эйлеру, положим у/а = А, у/т = М (считая, ат

па множители. Л, Эйлер использовал множители Ах ± Му, а мы будем пользоваться множителями Ах ± еМу (двойными или паракомплекеными числами, здесь е2 = 1),

ху

жим

Ах + еМу = (Аи + еМу)2к+1 = А2к+1и2к+1 + С2к+1А2к и2к еМу+

+С%к+1А2к-1и2к-1 М2у2 + С1к+1А2к-2и2к-2еМ 3у3 + С?,к+1 А2к-3и2к-3М4у4+

+С52к+1А2к-4и2к-4еМ5ь5 + Сбк+1А2к-5и2к-5М6у6+

... + С2к+1А2к-(2к-1)иМ2к у2к + еМ2к+1у2к+1.

Отсюда попятным образом, то есть приравнивая “вещественные“ и “мнпмые“

Ах Му,

А

М

есть к а и т — получим формулы первого комплекта для х и у. Формула для г

ху

и соответствующих преобразований.

Замечание 1. Из формул теоремы 1 при к =1 получаются формулы Ж.Лагранжа [2] для, уравнения х2 — ту2 = г2. Вот они:

х = и2 + ту2,

2иу,

22 г = и — ту2.

Второй комплект формул для этого уравнения:

х = и2

у = о.

22 х = и2 — ту2,

22 г = и2 — ту2.

ху

г

частных случаев. Вообще же для, получения формул второго комплекта надо положить (для, и = 2к + 1)

Ах + еМу = (Аи + еМу)2к (Аи — еМу)

и действовать подобно предыдущему случаю. Для получения формул, третьего комплекта нужно использовать равенство

Ах + еМу = (Аи + еМу)2к-1(Аи — еМу)2

и так далее. Всего таким образом, можно получить [п/2] + 1 существенно

х у г

Замечание 3. Из формул, полученных при доказательстве теорем,ы, 2, при к =1, получаются формулы Л. Эйлера, (3) для, уравнения (2). Формулы, второго комплекта при этом, выглядят так:

Эти формулы следуют из нашей теоремы 1, но могут быть получены и непосредственно.

Второй комплект формул для уравнения такой:

Если обратиться к уравнению

2 2 4

х — ту = г ,

то первый комплект формул для него таков

х = и4 + 6ти2у2 + т2у4,

у = 4и3у + 4тиу3,

22 г = и — ту2.

4 2 4

х = и4 — т у ,

у = 2и3у — 2тиу3,

22 г = и2 — ту2.

Есть п третий комплект формул:

А 0 0 0 /1

х = и4 — 2ти2у2 + т2у4,

у = 0

22 г = и — ту2.

Для получения формул второго комплекта полагаем

х + еМу = (и + еМу)3 (и — еМу),

а для получения формул третьего комплекта следует взять

х + еМу = (и + еМу)2(и — еМу)2

и проделать необходимые и понятные преобразования. Рассматривать представление вида,

х + еМу = (и + еМу)(и — еМу)3

нет необходимости, так как при этом получаются формулы типа формул вто-

у.

3. Уравнения ах2 + ту2 = гп

Теорема 3. Решения уравнения

2 2 2к

х + ту = г

можно находить по следующим формулам,:

х = и2к — С2к ти 2к-2у2 + С4к т2и2 к-4у4 — Сб,к т3и2 к-6у6 + С^к т4и2 к-8у8— — С10т5и2к-1°у10 + ... + (—1)к-1СЦт2тк-1и2у2к-2 + (—1)ктку2к,

1 „,2к 1у — С23кти2к 3у3 + С2,кт2и2к 5у5—

3„,2к—7„,7 | | ( 1М-1 п2к-1^ к- 1„.„/2к-1

— С1кт3и2к 7у7 + ... + (—1)к 1 С2кк 1тк 1иу2

и2 + ту2.

Теорема 4. Для, отыскания решений уравнения

ах2 + ту2 = г2к+1

пригодны следующие формулы:

х = ак и2к+1 — С2к+1ак-1ти2к-1у2 + С4к+1ак-2т2и2к-3у4 — Сбк+1ак-3т3и2к-5у6+ +С8к+1ак-4т4и2к-7у8 — С10+1ак-5т5и2к-9у10 + ... + (—1)к С^^^1^21 , у = С2,к+1 аки2к у — С23к+1ак-1ти2к-2у3 + С2,к+1ак-2т2и2к-4у5—

— С12к+1ак 3т3и2к 6у7 + ... + (—1)ктку2к+1, г = аи2 + ту2.

Доказательство. Для доказательства теоремы 4 следует воспользоваться подходом, аналогичным тому, что был использован для доказательства теоремы

2, но применить обычные комплексные числа, положив

Ах + 1Му = (Аи + гМу)2к+1.

Расписав вторую часть равенства, получим

Ах + гМу = А2к+1и2к+1 + гС),к+1А2к и2к Му — С1к+1А2к-1и2к-1М 2у2—

—гС1к+1А2 к-2и2 к-2М 3у3 + С2,к+1А2 к-3и2к-3М4у4 + гС1к+1А2 к-4и2 к-4М 5у5—

у

г

—Сбк+1А2к-5и2к-5М6у6 — гС72к+1 А2к-6и2к-6М7у7 + С^к+1А2к-7 и2к-7 М8у8+ +гС9к+1А2к-8и2к-8 М9у9 — С!0+1А2к-9и2к-9М 10у10+

... + (—1)к СЦ+1 АиМ2к у2к + (—1)к гСЦЦМ^у2^1.

Ах Му, х у А М

ат

Замечание 4. При к = 1 из формул теоремы 3 получаем аналог формул Ж. Лагранжа для уравнения х2 + ту2 = г2 :

22 х = и2 — ту2,

у = 2иу, г = и2 + ту2.

Второй комплект формул для этого уравнения таков:

х = и2

у = 0

X = и2 + ШУ2,

22 г = и2 + шу2.

При к = 1 из формул теоремы 4 получаем аналог формул Л, Эйлера для

2 2 3

уравнения ах2 + шу2 = г3; вот они:

х = аи3 — Зшиу2, у = 3аи2у — шу3, г = аи2 + шу2.

Второй комплект формул здесь таков:

х = аи3 + шиу2, у = аи2 у + шу3, г = аи2 + шу2.

Далее можно получить формулы для уравнений с п = 4, 5 и так далее,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Эйлер Л, Алгебра, Санкт-Петербург, 1768 г,

[2] Диксон Л, Е, Введение в теорию чисел, Изд-во АН Груз, ССР, 1941 г.

Саратовский государственный университет им, Н.Г. Чернышевского, Поступило 22.10.2011