CC BY
55
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика
№ 91(9)
УДК 528.8.04
ПРОСТОЙ МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛОКАЛЬНОСТИ СИММЕТРИЙ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
И. С. КРАСИЛЬЩИК
Описывается простой метод доказательства локальности бесконечных серий симметрий систем нелинейных эволюционных уравнений, обладающих масштабной инвариантностью. Метод основан на использовании формулы Грина и градуировок, ассоциированных с масштабными симметриями.
1. Введение
Одним из важнейших признаков интегрируемости систем с бесконечным числом степеней свободы является наличие у них бесконечных серий (или иерархий) симметрий в инволюции. т.е. таких эволюционных потоков
'U‘t — 14x1 * * * 5 ^ж...ж)э (1)
которые (а) коммутируют между собой и (Ь) переводят решения рассматриваемой системы в её же решения. Интегрируемость, в свою очередь, влечёт за собой наличие решений соли-тонного типа, возможность их точного построения, существование нелинейной суперпозиции и другие важные и интересные физические свойства.
Классическим примером интегрируемой системы является знаменитое уравнение Кортевега-де Фриза
и£ — Них 'У'ххх: (^)
которое обладает двумя сериями симметрий.
Первая из этих серий определяется функциями <р (т.е. функциями, стоящими в правой части уравнения (1)) вида
<р\ = их, (рз =и3 + ии1,...,(р%п_1,...,
где щ обозначает к-ю производную по х. Все функции га_1; п = 1,2,... зависят только от переменных и = щ, щ,..., «2п-1 и могут быть получены рекурсивно действием так называемого оператора рекурсии Ленарта
Я = В1 + \и+ \и^1' ^2п+1 = Щ<Р2п-1), (3)
где
Л ^ V"' ^ / Л\
ОХ к> о ОПг
— оператор полной производной по переменной х.
Вторая серия начинается с галилеевой симметрии (р\ = + 1, применение к которой
оператора рекурсии (3) даёт масштабную симметрию уравнения Кортевега-де Фриза — 1щ + [1и+^х)и\ + \и. Применяя, однако, оператор Я к симметрии мы получим выражение, содержащее неустранимое слагаемое вида ^и\В~1{и). Это означает, что, начиная с третьего члена, все симметрии второй иерархии нелокальны. Аналогичные эффекты наблюдаются и при анализе других интегрируемых систем.
Выяснение локальности крайне важно для анализа интегрируемости и, как правило, весьма нетривиально. Достаточно, например, упомянуть доказательство локальности первой иерархии уравнения Кортевега-де Фриза, приведённое в книге П. Олвера [2] или более общее (и более изящное) доказательство из [4]. Возможно, наиболее интересным является
доказательство, основанное на использовании схемы Магри (общее алгебраическое описание см., например, в [Ю]), но, во-первых, оно применимо только к системам, обладающим би-гамильтоновой структурой (которой, например, нет у уравнения Бюргерса), и, во-вторых, требует — в качестве вспомогательного шага — установления 1-ацикличности пуассонова комплекса, ассоциированного с одной из гамильтоновых структур, а это само по себе непросто (ср., например, с [6]).
Приводимая ниже схема доказательства ацикличности весьма проста и основывается на двух фактах — формуле Грина и существовании дополнительной градуировки в полиномиальных функциях на пространстве масштабно-инвариантного дифференциального уравнения.
2. Предварительные факты
Напомним необходимые для дальнейшего определения и результаты из геометрии дифференциальных уравнений, ограничившись случаем систем эволюционных уравнений с одной пространственной переменной, см. [1].
— такая система, где и1,... ,ит — неизвестные функции и к — порядок. Рассмотрим оператор полной производной по х
называемый линеаризацией уравнения Е (здесь Е — единичная т х т-матрица).
Теорема 1. Вектор-функция (р — (у?1,..., (рт) тогда и только тогда является симметрией уравнения (5), когда
Пусть £
(5)
(6)
(ср. с (4)) и с каждой системой вида (5) свяжем оператор
(7)
называемый оператором полной производной по переменной Рассмотрим оператор
действующий на вектор-функции = ((р1,..., (рт) переменных х, і, и?, и определим оператор
¿є — Е • — ір
(9)
1еЧ> = 0.
Напомним, что дифференциальная форма
и) — X сіх ■+■ Т (іі
(10)
(п)
а функция X называется сохраняющимся током. Закон сохранения называется тривиальным, если
Х = ох(Р), Т = Д(Р)
для некоторой функции Р.
Сопоставим форме вида (11) вектор-функцию фх — Ы>1, ■ ■ ■ , 'Фт), где
ъ = (13)
называемую производящей функцией этой формы.
Таким образом, производящая функция — это результат применения к х-компоненте формы ш оператора Эйлера-Лагранжа 5 = (¿^г,■••, ¡^т), где
/- = У'(-1)^*оЛ (14)
Ы ди3-
г г
— я вариационная производная.
Теорема 2. Форма (11) является законом сохранения уравнения (5) тогда и только тогда, когда её производящая функция удовлетворяет уравнению
(■еФх = 0, (15)
где — — Е-Д+— оператор, сопряжённый к линеаризации. Закон сохранения тривиален тогда и только тогда, когда фх — 0.
3. Основной результат и некоторые примеры
Мы ограничимся исследованием локальности действия операторов вида
ЛГ = П1-1 оф, (16)
где гр — (гр1,..., трт) — производящая функция закона сохранения, действующих по правилу
Здесь
(1>, <р) = фцр1 + • • • + фтУ™ (17)
— естественное спаривание между производящими функциями законов сохранения и симметриями.
Применим к выражению (17) оператор полной производной по £:
ЩФ, Ч>) = (А^, <Р) + {Ф, Ау>),
откуда, в силу теорем 1 и 2, получаем
А (Ф,<р) = -{£*рф,ч>) + (ф,£Г(р).
Напомним, что формула Грина для дифференциальных операторов в полных производных (см., например, [12]) имеет вид
(а,АЪ)-(А*Ъ,а) = £>ж(Тв|6), где Та>ь — некоторая функция. Иными словами,
А (</>,¥>) = Ох(Тф^).
Таким образом, мы доказали следующее утверждение:
Предложение 1. Если —симметрия, а ф — производящая функция закона сохранения уравнения (5), то форма
и>Ф,<р = (ф, <р) dx + dt (18)
является законом сохранения этого уравнения.
Его следствием является
Предложение 2. Результат применения оператора N — D~loф к симметрии <р локален тогда и только тогда, когда закон сохранения соф)!р тривиален.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 (уравнение Бюргерса). Рассмотрим уравнение
— WUix “I- tlxx' (19)
Оно обладает оператором рекурсии
R = Dx + -u + -uiD~l (20)
JIemma 1. У уравнения (20) есть единственный нетривиальный закон сохранения
u> — u dx 4- {щ + \u2) dt
с производящей функцией ф = 1.
Поэтому форма (18) имеет вид u>itV, = (pdx + Ti^dt, т.е. в нашем случае всякая симметрия является и сохраняющимся током. Следовательно, к ср можно применить оператор Эйлера-Лагранжа и, в силу леммы 1, 6<р = const. Покажем, что для симметрий, не зависящих от х и t, эта константа равна нулю.
Введём градуировки (веса), полагая
[х] = -1, [i] = -2, [Mfc] = k + 1 (21)
и считая вес любого полинома от этих переменных равным сумме соответствующих весов. Относительно этих весов уравнение (19) становится однородным, и всякое полиномиальное решение уравнения (10) можно также считать однородным.
Легко показать, что любая симметрия уравнения Бюргерса, не зависящая от х и t, является линейной комбинацией симметрий вида
<Рк = + члены более низкого порядка, к — 1,2,...
Поэтому [рк] = к + 1 и, следовательно, если градуировка элемента 5(<р¿) определена, то
[¿М] = [<Рк] - [«] = к > 0.
Но это невозможно по лемме 1. Таким образом, 6(ipk) = 0 и, значит, D“1 (<£>*) — локальная величина.
Пример 2 (уравнение Кортевега-де Фриза). Уравнение (2) является однородным относительно градуировок
[ж] = -1, [*] = -3, [ufe] = к + 2.
Как и в предыдущем примере, все полиномиальные симметрии (равно как и производящие функции законов сохранения) можно считать однородными относительно этих градуировок.
Простые вычисления показывают, что любая симметрия, не зависящая от i и t, есть линейная комбинация симметрий вида
фк — U2k-\ + члены более низкого порядка, к — 1,2,...,
а производящие функции законов сохранения порождены элементами = 1 и Фк = и2к + члены более низкого порядка, к = 1,2,...
Поэтому [фк\ — 2А: + 1 и
№*)] = Ы - М = 2/г - 1. (22)
С другой стороны, [фк] = 2к. Сравнивая последнее равенство с (22), мы приходим к выводу, что 6((рк) = 0, т.е. П~1(фк) — локальная величина.
Пример 3 (модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза). Это уравнение имеет
вид
— И У/х "Ь У'ххх (^3)
и обладает оператором рекурсии
Я = ° “■
Его однородность обеспечивается весами
И = -1» М = -3, Ы = к + 1.
Симметрии, не зависящие от х и £, порождаются функциями
'•Рк = «2А;-1 + члены более низкого порядка, к = 1,2,... и, следовательно, [«<£>*;] = 2к + 1. Поэтому
[¿(ирк)] = [и<Рк] ~ М = 2к- (24)
С другой стороны, базисом производящих функций законов сохранения служат функции ф0 — 1 и
Фк = к + члены более низкого порядка, к = 1,2,...
Значит,
[ф0] = 0, [фк] = 2к - 1, к > 0.
Сравнивая эти градуировки с равенствами (24), мы видим, что величина шрк всегда принадлежит образу оператора Ох. Следовательно, результат применения оператора И~1 о и к симметрии модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза — локальная величина.
4. Заключение
Сделаем несколько заключительных замечаний.
Замечание 1. Возможность присвоения весов и рассмотрения однородных относительно этих весов компонент эквивалентна наличию у уравнения масштабной симметрии (масштабной инвариантности). Так у уравнения (2) этой симметрией является
х ь-> ах, £ 1-> ЗЫ, и 1-> —2аи,
У (19) —
х ах, 11—2at, и ь-> —аи,
а у уравнения (23) —
х ах, £ н-» За#, и — аи,
где а £ М.
Замечание 2. Анализируя примеры 1-3, можно сформулировать и доказать достаточно общий результат относительно локальности иерархий, порождаемых операторами рекурсии. Прежде чем это делать, сформулируем условия, которым должно удовлетворять рассматриваемое уравнение. Именно, мы будем предполагать, что уравнение £:
1. Является скалярным эволюционным уравнением, не зависящим явно от х и
2. Имеет нечётный порядок, равный 2к + 1;
3. Обладает оператором рекурсии вида
Л = + а2к-1^хк 1 + • • • + а\Их + а$ + ц>\Ох 1 о фг, + • ■. ■ 4- <рпОх 1 о фП1 (25)
где а0, ■ ■ ■, а2к-г — произвольные функции на пространстве уравнения, <¿>1,..., <рп — симметрии, а ф\,..., фп ■— производящие функции законов сохранения;
4. Допускает масштабную симметрию, которой соответствуют веса
[х] = аф 0, [£] = Р, [и] = 7.
Заметим, что независимость уравнения от х влечёт за собой наличие у него симметрии щ (трансляция по ж).
Теорема 3. В условиях 1-4 серия симметрий, порождаемая оператором рекурсии (25) из трансляции щ, локальна, если либо все производящие функции ф{ отличны от 1, либо вес 7 переменной и чётен.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, докажем вспомогательный результат.
Лемма 2. Любая отличная от 1 производящая функция закона сохранения уравнения £ с точностью до постоянного множителя имеет вид
ф = и2з + члены более низкого порядка.
Доказательство леммы 2. Это следует из точности вариационного комплекса на пространстве джетов (см., например, [12]): функция ф имеет вид ф = 8(Х) тогда и только тогда, когда оператор £ф является самосопряжённым, ¿ф = а это в скалярном случае возможно только для операторов чётного порядка. Остальное — результат элементарных вычислений. □
Доказательство теоремы 3. Пусть — симметрия из иерархии, порождённой оператором (25), т.е. (р = Я1(и 1). Тогда, очевидно,
= Щы+1 + члены более низкого порядка
и, следовательно,
[ф\= 7 - (2Ы + 1)а.
С другой стороны, если ф ф 1 — производящая функция закона сохранения, то
[ф] = 7 - 21а
в силу леммы 2. Поэтому
27 — (2кг + 23 + 1)а, если ф ф 1,
7 — (2Ы + 1)а, если ф = 1,
[ф<р\ = и, следовательно,
[6(ф(р)] =
7 — (2Ы + 2,7 + 1)а, если ф ф I,
— {2Ы + 1)а, если ф — 1.
Но из предложения 1 и леммы 2 следует, что [5(ф(р)\ — 7 — 2 ва для некоторого й£2и это завершает доказательство. □
Замечание 3. Предположение 2 о нечётности порядка уравнения В не слишком сужает область применимости теоремы 3, поскольку уравнения чётных порядков не могут быть интегрируемыми «в полном смысле этого слова» — набор их законов сохранения всегда конечен (ср. с примером 1, см. также [3,7]).
Замечание 4. Также, по-видимому, достаточно общий характер носит гипотеза 2 о виде оператора рекурсии. Об этом свидетельствуют как многочисленные экспериментальные данные (см. [9]), так и некоторые факты общего характера (см. [5]).
В более общей ситуации, когда уравнение (5) является произвольной эволюционной системой, можно сформулировать гипотезу о виде оператора рекурсии в этом случае. Именно, пусть <р = (¡р1,..., 1рт) и ф — (-01,... ,фт) — симметрия и производящая функция закона сохранения соответственно. Положим
cp1Dx 1 0 ф1 . Ч>1Вх1офт\
ipmD~1 0 фі . •• ч>то-1офт)
и рассмотрим операторы вида
І
где Д — матричный (т х т)-дифференциальный оператор в полных производных, а ^ — операторы вида (26). Для систем, обладающих такими операторами рекурсии и свойствами, аналогичными 2-2, также справедлива теорема 3 в соответствующей формулировке.
Об операторах рекурсии и локальности порождаемых ими иерархий см. также работы [8,11,13].
Замечание 5. Очевидно, результат, аналогичный теореме 3, можно сформулировать и доказать также и для иерархий законов сохранения (точнее, их производящих функций).
Благодарности. Автор благодарен А. Вербовецкому и С. Игонину, которые обнаружили серьёзную ошибку в первой версии текста, а также П. Керстену, многолетняя совместная работа с которым дала импульс к написанию этой статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред.А. М. Виноградова и И. С. Красильщика — М.: Факториал, 1997.
2. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.:Мир, 1989.
3. Хорькова Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Мат. заметки. — 44:1 — 1988.
4. Dorfman I. Dirac Structures and Integrability of Nonlinear Evolution Equations — Wi-ley:England, 1993.
5. Enriquez B., Orlov A., Rubtsov V. Higher Hamiltonian structures (the s/г case) // JETP Letters — 58:8 — 1993.
6. Getzler E. A Darboux theorem for Hamiltonian operators in the formal calculus of variations // Duke J. Math. — 111.— 2002. 7. Igonin S. Conservation laws for multidimensional systems and related linear algebra problems // J. Phys. A: Math. Gen. — 35 — 2002. (http://www.arxiv.org/nlin.SI/0203051).
8. Kersten P. H. М., Krasil'shchik I. S. Symmetries and Recursion Operators for Classical and Supersymmetric Differential Equations / Mathematics and its applications, vol. 507 // Kluwer Acad. Publ., 2000. 9. Kersten P. H. М., Krasil'shchik I. S., Verbovetsky A.M. Hamiltonian operators and f*-coverings — J. Geom. and Phys. — 50 — 2004. (http://www.arxiv.org/math. DG/0304245).
10. Krasil'shchik I. S. Schouten brackets and canonical algebras // Lect. Notes Math. — Springer-Verlag,— 1334. —1988.
11. Sergyeyev A. Why nonlocal recursion operators produce local symmetries: new results and applications — E-print (http://www.arxiv.org/nlin.SI/0410049).
12. Vinogradov A.M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus / Translations of Mathematical Monographs, vol. 204 // Amer. Math. Soc., 2001.
13. Wang P. W. Symmetries and Conservation Laws of Evolution Equations — Amster-dam:Vrije Universiteit, 1998.
A SIMPLE METHOD TO PROVE LOCALITY OF SYMMETRIES FOR EVOLUTION
EQUATIONS
I. S. Krasil'shchik
We describe a simple method to prove locality of symmetries for systems of evolution equations. The method is valid for scale invariant systems and uses Green’s formula and gradings associated with scale symmetries.
Сведения об авторе
Красильщик Иосиф Семёнович, 1948 г.р., окончил МГУ им. М. В. Ломоносова (1971), член Московского и Американского математических обществ, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор более 70 научных работ, область научных интересов — когомологические методы в геометрии дифференциальных уравнений.
