Скобка Ли для нелокальных теней Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№ 114

УДК 528.8.04

СКОБКА ЛИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕНЕЙ1

А.М. ВЕРБОВЕЦКИЙ, В.А. ГОЛОВКО, И.С. КРАСИЛЬЩИК

По заказу редколлегии

Вводится канонический способ построения скобки Ли для теней нелокальных симметрий и описываются ее свойства. Доказано, что эта скобка в определенном смысле удовлетворяет тождеству Якоби.

1. Введение

Нелокальные аналоги симметрий возникают как естественное обобщение высших симметрий в геометрическом подходе к нелинейным уравнениям в частных производных. Например, оператор рекурсии Ленарта для уравнения КдФ, примененный к галилеевой симметрии, на первом шаге дает локальную (масштабную) симметрию, но начиная со второго шага получаются объекты нелокальной природы. Это означает, что полученные выражения содержат новые нелокальные переменные V), связанные с неизвестной функцией и как ъих — и (или, говоря неформально, ю = 0~ги), и т.д.

Эти нелокальные объекты зачастую понимают и трактуют подобно симметриям, и не редкость, например, прочесть, что «первая нелокальная симметрия уравнения КдФ является наследственной», т.е. действием коммутатора порождает всю иерархию высших уравнений КдФ. Трактовка их как истинных симметрий ведет к парадоксам и даже к «духам» [7], что часто происходит при работе на координатном языке.

Дело в том, что действие операторов рекурсии на симметриях не дает в общем случае симметрий, а лишь их обобщения, объекты, которые были названы тенями в работе [6]. В отличии от симметрий, которые являются векторными полями на дифференциальном уравнении <§ (или на накрывающем многообразии § в нелокальном случае), тени являются дифференцированиями вдоль проекции накрытия т: <э —> <§ (см. [6] и краткое описание в пункте 2 ниже). Таким образом, из-за своей природы они не могут быть прокоммутированы в изначальном виде. Описание корректного способа коммутирования нелокальных теней и является основной целью этой статьи.

Наш подход на результате, впервые опубликованном в [4] (а также [б] и [5]). А именно, в [4] было доказано, что любая тень может быть поднята в какое-то другое накрытие. Точнее,

если X — тень в накрытии т: £ —>■ £, то существуют некоторые новое накрытие т*: £ —» £ и такая тень X в этом накрытии, что ограничение X на алгебру функций на £ совпадает с X. Накрытие т, ассоциированное с тенью <р по конструкции из [4], определено единственным образом с точностью до эквивалентности, но тень X не единственна. Ниже мы строим заново чисто геометрическим способом накрытие тх и определяем каноническое поднятие X тени X в это накрытие. Коммутатор двух теней определяется как [X, У] = ХоУ—УоХ, где «тильда» обозначает каноническое поднятие. Свойства этого коммутатора исследованы в я. 3.

Наша конструкция базируется на понятии ¿-накрытия, которое является аналогом касательного расслоения в категории дифференциальных уравнений и, как оказалось, полезно для приложений [2].

*Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ и ИЛУО (Нидерланды) № 047.017.015 и РФФИ и консорциум Е.1.М.8.Т.Е.1.1Ч. (Италия) № 06-01-92060-КЭ_а.

2. Основные понятия

Напомним коротко необходимые факты из геометрии дифференциальных уравнений в частных производных, которые потребуются для дальнейшего [1].

Геометрические структуры. Пусть £ — бесконечно продолженное дифференциальное уравнение, вложенное в пространство </°°(7г) бесконечных джетов, причем 7г: Е —> М — гладкое векторное расслоение. Обозначим через &{£) алгебру гладких функций на £. Напомним, что £ снабжено интегрируемым п-мерным, п = сПтМ, распределением которое называется распределением Картана и натянуто на полные производные. При этом существует естественная проекция тт^ : £ —*■ М, и для в € £ ограничение

Дифференциальные 1-формы, принадлежащие ^Л1 (<£’), называются формами Картана.

Симметрия уравнения £ — это вертикальное относительно проекции тх^ векторное поле на £, которое сохраняет распределение Картана. Множество всех симметрий образует алгебру Ли над К, обозначаемую как вут^, причем существует взаимно однозначное соответствие между вут^ и гладкими сечениями </> € Г(7г^э(7г)) = >с(£), удовлетворяющими уравнению

где 1$ — оператор линеаризации £. Соответствующая сечению ір симметрия обозначается и называется эволюционным векторным полем с производящим сечением <р. Благодаря этому соответствию кег £# приобретает структуру алгебры Ли:

называется скобкой Якоби.

Тот факт, что отображения (1) являются изоморфизмами, приводит к следующим утверждениям:

1. Любое векторное поле X на, М может быть единственным образом поднято до векторного поля ЧоХ на £ так, что X е сЬк^&Х) = X. Более того, для любых двух

векторных полей выполняется равенство

Т.е. МЫ имеем плоскую СВЯЗНОСТЬ В расслоении 7ГОО.

2. Любое векторное поле X на £ единственным образом раскладывается в сумму X = X" + Хь, где поле X” касательно к слою проекции я-«,, а поле Xь лежит в <ё>.

3. Для любой функции / 6 £) может быть определена дифференциальная 1-форма (/■*?/ с помощью с1‘#/(Х) = д}{Х'>).

По определению, <!<#/ € ^А1(<#’), и отображение <!<#■. ¿?(£) —>■ <^Л1(<^’) называется дифференциалом Картана.

(1)

(2)

(3)

Скобка

{<Р,Ф} = Э^ф) - д,р(ір)

(4)

(5)

Накрытия. Расслоение т: £ —> £ называется накрытием над £, [6], если:

1. Многообразие £ снабжено интегрируемым п-мерным распределением

2. с1т(Я) С

3. Для любой точки в € £ ограничение <1т^ —» %-ф) является изоморфизмом.

Можно показать, что £ само является бесконечно продолженным уравнением, которое называется накрывающим уравнением. Симметрии £ называются т-нелокальными симметриями уравнения £.

Определение 1. Пусть т: £ £ — накрытие над £. Рассмотрим дифференцирова-

ние X: &{£) —> ¿?(£), т.е. такое К-линейное отображение, что

*(/«) = ¡Х(д) + дХ(/)

для любых /, д £ &{£). Оно называется т-тенью, если

<#У оХ = X о^У

для любого векторного поля У на М.

Сечение р: £ —> £ называется с&-сечением, если с1р(‘&е) = ^р(в), 0 £ £.

Мы используем обозначение эут,. £ для т-нелокальных симметрий уравнения £ и вут* £ для теней. Поскольку любая симметрия X е зутТ£ является дифференцированием из &(£) в себя, ограничение

: &{£) (6)

является тенью2. Таким образом, мы получаем ¿^(#)-гомоморфизм зутт £ —* вут* £, который является эпиморфизмом, по крайней мере, локально. Его ядро вут" £ состоит из вертикальных относительно г нелокальных симметрий.

Замечание 1. Благодаря вложению т*: ¿?(£) —» ¿?(£), любую локальную симметрию

X: &(£) —> &{£) уравнения £ можно понимать как тень т* о X в накрытии т.

Для описания г-теней более эффективным с вычислительной точки зрения является следующий способ. Вследствие определения накрытия и свойства (5) любой дифференциальный оператор Д в полных производных над £ может быть единственным образом поднят до оператора А в полных производных над £ таким образом, что

р* о А = Д о р* (7)

для любого ^-сечения р. Напомним, что оператор является оператором в полных производных.

Предложение 1. Существует взаимно однозначное соответствие между т-тенями и решениями уравнения

Ъ(Ф) = 0, (8)

где (р е Г((7Г00 От)*(7г)) = к(£).

2Мы считаем, что алгебра &{&) вложена в &(&) с помощью г*.

Координаты. Выберем локальные координаты х1,... ,хп в окрестности Щ на М и координаты и1,...,и171 в слое проекции 7г|^. Тогда возникают адаптированные координаты и3а в </°°(7г), определенные соотношениями

и-П1) =

где в = (в1, . . . , в771) - локальное сечение 7Г, 2<*,(^): М —> <7°° (7Г) — его бесконечный джет,

а а — ¿1*2 ... ¿|сг|, га = 1,п, — мультииндекс. В этих координатах полные производные имеют вид

А

= ?Ш = £ + У>

V / дх1 4-'

'.Л

диІ

(9)

Тогда ^ задается с помощью уравнений

Д^“)=0, а = 1............../, М^О, (10)

для некоторых гладких функций ^1,..., Fг на -/°°(7г), где Дг = о ■ • • о Для ограничения полных производных на £ нужно выбрать внутренние координаты в £ и выразить операторы (9) в терминах этих координат.

Пример 1. Рассмотрим эволюционное уравнение

дк\ дхк

Тогда функции х, £, щ, г = 0,1,..., можно взять в качестве внутренних координат, где

Щ = Ь,х ... Ж1

г раз

а полные производные на имеют вид

л ОО л л ОО л

(п)

¿=0 1 г=0

Оператор линеаризации для системы (10) является I х т-матричным оператором вида

£— д

■т ди’-

Следовательно, вектор-функция = (уз1,..., </?т), ^ Є является симметрией3 тогда и

только тогда, когда

д,(^) = о, а = 1,...,;.

о-

диі

Соответствующее эволюционное векторное поле имеет вид

где сумма берется по всем внутренним координатам.

Пример 2. Для уравнения из примера 1 условие того, что у? 6 является симметрией,

имеет вид

3Мы отождествляем симметрии с их производящими сечениями там, где это не приводит к недоразумениям.

д

а самими симметриями будут векторные поля

оо

ъ = '£1У-м-ди-¿=1

Если /г 6 &(£) — гладкая функция на £, тогда дифференциал Картана дается формулой

П

^А(Л) ¿аЛ 1=1

В частности, формы

П

<4 = = <*< - X)

1=1

где — внутренние координаты, порождают модуль ^Л1 (<£’), причем для эволюционных уравнений эти формы имеют вид

= <1щ — щ+1 (1х — -0^.(/) <#.

Пусть теперь г: £ —» <# является накрытием с локальными координатами г»1,..., г»Г вдоль слоев проекции г. Тогда полные производные на £ могут быть представлены как

А = А + А?

а=1

с условиями

или

[Д, £>,-] = О, г<3,

А(4) + £ А?ВЛ = 0,(Л>) + ± А°дЛ

а=1 а=1

для всех 1 <; г < ^ ^пи/З = 1,.,.,г. Накрывающее уравнение описывается соотношениями (10) вместе с дополнительными условиями

дуа

дх

(12)

и их продолжениями.

Если Д = ИЕ^.ЛН является дифференциальным оператором на <#’, тогда его поднятие на £ имеет вид

Д =

В частности, уравнение для г-теней принимает вид

Я/?а

X;— Дг(^) = 0, « = 1,...,/,

ди1

(13)

где уз = (уз1,..., у?т) — функция на £. Тенью, соответствующей решению уравнения (13), будет

(суммирование проводится по множеству всех внутренних координат). Хотя в координатной форме она выглядит точно также, как формула для эволюционных векторных полей, оператор Эц, в действительности не является векторным полем, а лишь дифференцированием

из &{£) в &(£).

Замечание 2. Симметрии накрывающего уравнения £ отождествляются с (т +/^-компонентными вектор-функциями (у)1,..., (рт, ф1,..., фг), чьи первые т компонент удовлетворяют уравнениям (13) и дополнительным условиям

Я Да _ Я Да

Д(^°) = ^2~д^В(г^ + 2* = 1,а = (14)

3,<Г а &

Элементам эут" $ соответствуют решения, у которых все =0, а гра удовлетворяют уравнениям

_ ЯДа

Д(^°) = ^2 г = 1,..., га, а = 1,..., г. (15)

3. Основные конструкции и результаты

Для дальнейшего изложения нам понадобится более геометрическая интерпретация симметрий и теней.

I-накрытие. Пусть <§ — уравнение. В касательном расслоении Т£ —У рассмотрим под-

расслоение £: —> <£, соответствующее вертикальным относительно векторам. Со-

ответствующий модуль сечений — это модуль

= {Х £ %{£) | Х(/) = 0, / е С°°(М) }

векторных полей, вертикальных относительно проекции ТГоо. В локальных координатах его элементы имеют вид

Х = 'ЕХ°ТТ' х° <1б>

],<? Чсг

Предложение 2. Расслоение £: 5£(£) —> <§ имеет естественную структуру накрытия.

Доказательство. Прежде всего заметим, что пространство Ып(У(^)) послойно линейных функций на Л?(<?) отождествляется с модулем ^А1^) форм Картана на <£\ если (в, ь) £ где в £ £ и

является вертикальным вектором в точке в, то для функции Д £ 1лп(.£?(<?)), соответствующей си £ ^к1 {<£), мы положим

Д,(в,у)=*ьш0, (17)

где гуш обозначает подстановку.

Пусть теперь X — векторное поле на М и Д € Определим поднятие

поля X на ¿£{£) как

%ХЦШ) = ¿^о;, (18)

где 1,ух = (I о ° <1 — производная Ли. Очевидно, что Ь<#хш снова будет формой

Картана. Имеем А?к] = ^[х,У] и

Ь/ъхШ — + ¿/ А — /Ь^хш,

поскольку г^х^> — 0 для любого X и любой формы Картана ш. Следовательно, (18) задает

структуру накрытия. □

Определение 2. Накрытие £: ££{$) —> £ со структурой накрытия, определенной с помощью (18), называется ¿-накрытием.

Предложение 3. Сечение ср: <§ —> ££{§) является -сечением I-накрытия тогда и только тогда, когда ip является симметрией <§.

Доказательство. Этот факт непосредственно следует из определения (18). □

Следствие 1. Если <р является с€-сечением Í-накрытия и со = d^h, h е &(&), то

<Р*Ш = ЗД- (19)

Доказательство. Достаточно заметить, что для ^-сечений мы имеем

= Da(4¿)

для wj = du{ - Y,i uíi dx\ a d*h = dh/duiU3a. □

Замечание 3. Отображение d^ \ h >-» fd^h является тенью в ¿-накрытии.

Если уравнение & задано в виде F(x, и,..., и3а,...) = 0 и — координаты, соответствующие dtfuí., то накрывающее уравнение Jf(S') имеет вид

F(x, и,..., <,.,.) = О,

Т. — Ú = о-

Отметим следующее функториальное свойство ¿-накрытия. Предложение 4. Пусть

ТГоо

м

М'

— коммутативная диаграмма гладких отображений с /, являющимся морфизмом уравнений4,. Тогда касательное отображение df: &(&) -* также является морфизмом уравнений.

Пусть теперь т: <§ —> & — накрытие. Тогда можно рассмотреть следующую коммутативную диаграмму

(20)

&{£)

где все стрелки являются накрытиями. Здесь =й?(<^) = £ х# Л?(£), и отображение £ существует вследствие универсального свойства суммы Уитни.

Аналогично предложению 3, справедливо следующее

Предложение 5. Сечение (р\ § —> является Чо-сечением накрытия т*(£) тогда и

только тогда, когда <р является т-тенью.

4Т.е. dfi'é’) с <é”

Скобка Ли для теней. Дадим следующее

Определение 3. Пусть т:1ч^иг':Гч^ являются накрытиями, а <р — г-тенью. Будем говорить, что поднята в т', если существует такая т'-тень (р', что — Э^.

Рассмотрим теперь тень в накрытии г: & —У £ как ^-сечение <р: & —У ( предло-

жение 5). Тогда мы имеем следующую коммутативную диаграмму

4 —2- Х(£)

где 4, = (# х &(£) и Тч> = <р*(0-

Теорема 1. Любая тень ¡р может быть поднята в накрытие т^.

Доказательство. Пусть Н — функция на <£?, ш — и — соответствующая послойно линейная функция на ££ (£’). Положим

ЭФ! = <?•(/„). (21)

Очевидно, ф является т^-тенью и, согласно уравнению (19), поднятием тени (р. □

Определение 4. Тень ф, заданная равенством (21), называется каноническим поднятием тени <р.

Размерность канонического накрытия такая же, что и начального накрытия т, и локальным координатам уа в слоях т соответствуют координаты г»“ = > удовлетворя-

ющие уравнениям

_ яла _ ала

^ = <*>

р

Действие поднятой тени на переменные ьа имеет вид

Э*(«“) = <• (23)

Замечание 4. Заметим, что нулевая тень 0 поднимается нетривиальным способом. Вследствие (23), ее поднятие имеет вид

Э6 = £<^, (24)

а

где новые нелокальные переменные удовлетворяют уравнениям

^0 - У" ^1/ (25)

дхг дуР 0

Р

(сравни с (24)).

Если 5 = {</?!, — множество т-теней, определим накрытие Г5: #5 —>■ £ как сумму

Уитни ... ,т1рг В силу естественности проекций —>• £ч>{ все тени ф{ можно рассматривать как 75-тени, И соответственно определены КОМПОЗИЦИИ Э(р. о Эч>1.

Лемма 1. Разность

[Эи.Э„] = ЭлоЭи-ЭлоЭи (26)

является (т о Тя)-тенью.

Определение 5. Тень [Э^, Э^], заданная равенством (26), называется коммутатором или скобкой Ли теней Эч>{ и 9^. Сечение Для которого

[Эщ, Эщ\ — (27)

называется их скобкой Якоби.

Пусть гиг' являются накрытиями; предположим также, что дана коммутативная диаграмма

я

<?----

г т'

ё — <г,

где д, д — отображения, сохраняющие распределения Картана. Будем говорить, что г-тень <р (д,д)-связана с т'-тенью <р', если

% О д* = д* О Э^.

Если д = ¿<1, будем говорить, что тени ^-связаны.

Предложение 6. Пусть т: & -» £ и т': —>■ &' — накрытия и пусть <р, (р1 — (д,д)-

связанные тени. Рассмотрим их поднятия ф и ф' в накрытия —> £ и т'^г. ¿у —> <§” соответственно ( теорема 1). Тогда существует, и притом единственное, отображение д^: -*

сохраняющее распределение Картана и такое, что фиф' являются (д, д ^)-связанными.

Рассмотрим теперь два таких множества т-теней 5 и 5', что £' С 5. По определению накрытия т$ существует сюръективное отображение сохраняющее распределения Кар-

тана и такое, что диаграмма

коммутативна.

Предложение 7. Для любых теней ipif ipj € S' коммутатор [9Vi, Bv], построенный в ts, является gs, s'-связанным с соответствующим коммутатором, построенным в ту.

Это утверждение в действительности означает, что коммутатор теней зависит только от самих теней, а не от множества S, к которому они принадлежат.

Введем следующее обозначение. Зафиксируем некоторое множество т-теней S = S1 — {^i,..., (рг} и обозначим накрытие fs: &s & через т^’°, а накрытие т5 = т о fs — через т\. Тогда в накрытии т| возникает новое множество теней

вместе с накрытиями т5’ : и г|: <%2 ~* & и Т-Д- Таким образом, мы получаем

следующую коммутативную диаграмму накрытий

1,0 2,1 3,2

~ Тс ~ Тс ~ Т3

------ ^51------------^2^—

(для удобства обозначений мы формально положим <§ — ¿>з° и т = т|). Любую т^-тень можно рассматривать как тг3-тень для г ^ г', когда же нужно подчеркнуть, что у? является тенью в Тд, мы будем использовать соответствующий индекс: <р = <рг.

Принимая во внимание замечание 4, введем понятие тривиальной тени. Рассмотрим в накрытии т^Г1 нулевую тень и ее каноническое поднятие в накрытие т0: £0 —>

Определение 6. Пусть Уип С &(<^о) — идеал, порожденный функциями на ё0, послойно линейными по отношению к проекции

т — Т5'0 о • • • о т^-1’1-2 о т0 : ¿о ■

1. т^-тень (р1 называется тривиальной, если существует такое отображение д: <£5. —> <£о, что <рг д-связано с некоторой т-тенью, которая принимает значения в /цп-

2. Две тени <рг и ф1 эквивалентны, если их разность тривиальна.

Для эквивалентных теней мы используем обозначение (р ~ ф (или </? ф, чтобы подчеркнуть, что они рассматриваются в накрытии тг8). Основные свойства этого отношения эквивалентности перечислены в следующем результате.

Предложение 8. Пусть т: ё —* <§ — накрытие, а5 = {<^1, — множество т-теней.

Тогда:

1) если <р ф, то (р ~г' Ф Для любых г' ^ г;

2) если <р = Агфх -I-----Ь- ХкФк, то

(р ~ Х\фх +----1- Акфк]

3) если <р ~ ф и <р' ф', то {ц>,ф} {<р',Ф'};

4) для любых А1,..., А* £ К

\}Р, Ахф\ + • • • + Акфк] ~ А1 [у>, ^1] +-1- Ак[<р, Фк]-

Нашим основным результатом является

Теорема 2. Для любых теней ¡рх, <р2 и </?3 тень

<Р2, <Рз) — {{^1.^2}, Рз} + {{^2) ¥>з}, ^1} + {{^з, </>1}, ^2} является тривиальной.

Доказательство. Пусть тени <р8, « = 1,2,3 находятся в различных одномерных накрытиях т3: —¥ <§, заданных уравнениями

дъи8

-д-Г = А, г = 1,... ,п,

где Л? — функции на <#а.

Скобка первых двух теней имеет вид

2д(Р2 а ( \ 1^1

где и>\ т — новые нелокальные переменные, удовлетворяющие уравнениям

_ а гди) I ц/ в к — 12 3

Для первого члена в ^ [}Р\, <Р2, <Рз) мы получаем

{{ч>и Ы- Ы = Э^и^уЫ + £-4 - ^з({^1, ЫЬ

!дги3

1^{^1,^2> 2%1М -2 д{¥>1,У?2} 1 Э{у>1,у>2}

^3 дги1 дго2 гУз1 дм;2 Шз2 9г«2 ’

где новые нелокальные переменные Юы и гй£г, й, к, I = 1, 2, 3 определены с помощью уравнений

и)

дхг -т.тч**./ ■

и

а /а , „..8Л.\ , .... дА‘

дгаі, = . , , дАі

“ = %„„,}(А') + -

<Л» + ^¿7) + ®«'ош.

я я ял*

+ »1^(ЭЯ(А*)) + ^£;(ЭИ(А') + «-?э^)

соответственно.

Окончательно мы имеем

/д

(^.Ы^з) - [^і + ш

а з а 1 <Эи>3 ’

+ «4^ + ™2^]М + Кг - ®?2 + 0|^) = / ^

3 ^3

12 <Эги3:

где § означает циклическую перестановку индексов 1,2,3, причем можно ввести новую нелокальную переменную а32 = ги|2 — йі\2 + й>21 > определенную уравнением

^^■12 і л 3 \ Г РЧ 2 ^ 3 5

~дх^ = Э^‘*^}(А) - +

~ і 5 з 9 .. 3. о 9Д3 з дА\

9и + ”2Л? + “’2з^1('4‘) + “125и? - °12а^’

ЧТО И приводит к тривиальности ¿/(<¿>1, ^>2, <Рз)- О

В заключение этого раздела укажем связи построенного коммутатора с классической скобкой Ли (или Якоби) симметрий. Напомним (уравнение (6)), что с помощью ограничения нелокальной симметрии ір Є зутт £ на подалгебру ^(<о) С &{£) мы получаем отображение р: БутТ<§‘ —> эуш* £ из алгебры Ли нелокальных т-симметрий в модуль т-теней. С другой стороны, вследствие вложения сР(£) С &{£), любую локальную симметрию уравнения £ можно также рассматривать как т-тень, и мы получаем отображение і: вут^ -* Буш* £.

Предложение 9. Пусть т: & —>■ £ является накрытием. Тогда:

1) для любых <рі, ір2 Є 8утТ <§ справедливо р{ірі,<р2} ~ (р(</?і), р(<£2)};

2] для любых <рі, ір2 Є вутё справедливо і{<рі, <^2} — {¿(^і)) ¿(^г)}-

В обоих случаях фигурные скобки в левых частях обозначают классическую скобку Якоби, а в правых частях — коммутаторы теней.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Предположим, что накрытие т задано уравнениями

дгиа

—— = А?, а=1,...,г = ±тг,

где А“ — функции на $. Векторные поля на <§, соответствующие симметриям , <р2 имеют вид

к = 1-2-

а

где вектор-функции ^ = (,Р£,..., .Р1™), С* = (СУ*,..., СУ£) удовлетворяют уравнениям

— 0,

Я Да.

Д(<2£) = ^

где к = 1,2, г = 1,..., п, а = 1..., г. Следовательно, для р{<р 1, <¿>2} имеем

- Е (*«>§ - *«)§)+Е (<*£ - ад£у СЧ

в,о- " а а

С другой стороны, = .Р*, И канонические ПОДНЯТИЯ р(<рк) являются ПОЛЯМИ

ЕШ)£г+Е-*я=.

где нелокальные переменные в канонических накрытиях удовлетворяют уравнениям

ДМ) = ^?(Д) + ЕЖ4^, к = 1,2. (29)

Р

Следовательно,

/ ярі ч

р{¥>і,¥>зИ - ш ),р(ъ)У = Е ((с? - <3°)

Вычитая (29) из (28), мы видим, что разности А*, = (СУ* — т\,... ,Єгк — удовлетворяют уравнениям

Д(дг) = £ ■

Р

т.е. тень (30) тривиальна.

Второе утверждение очевидно. □

Замечание 5. Нужно подчеркнуть, что наши конструкции не приводят к структуре алгебры Ли в модуле всех т-теней. Мы только представили корректный способ коммутирования выбранного множества теней, который обладает рядом естественных свойств (предложение 8 и теорема 2) и находится в соответствии с классической скобкой Якоби (предложение 9).

Замечание 6. Определение 5 легко обобщается на случай теней в разных накрытиях. В самом деле, пусть т: £ —> ё и т1: ё1 —У & — накрытия и у>, <£>' — тени в накрытиях гит' соответственно. Тогда и (р и ір1 можно рассматривать как тени в сумме Уитни накрытий г и г' и коммутировать описанным выше способом.

Предложение 10. Предположим, существует эквивалентность д: £ —>■<#' и ір д-связана с ір1. Тогда поднятия <р и (р1 как тени в сумме Уитни эквивалентны в смысле определения 6.

Неформально говоря, это означает, что конструкция «чувствует схожесть теней».

Пример 3. Рассмотрим уравнение КдФ

иі — IXххх И'М'х

(31)

и продемонстрируем «руками», как действует мастер-симметрия КдФ.

Уравнение КдФ обладает бесконечной серией локальных симметрий, получающихся при действии оператора рекурсии

Я = -О2 + ~и + Ае 1 на щ, являющейся трансляцией вдоль х. Несколько первых членов серии имеют вид

где

Я

Я

Я

Я

<Рз = Щ + 1ии5 + 7ихЩ + Щ-и2из + т#гі2гг3 + ^ищи 2 + Ци3гіі + |§г^

с 1Г) с о

^2 = + уМіИ2 + §ггиі

<^і = м3 + гшх </?о = «1,

7 о 35 ,

<Р4 = щ + Згш7 + 12ихЩ + -и и5 + 28и2и5 + 21ищщ + 42щи^ + —и и3+

2 18

161

35

217

35

+ ——и{иг + ЗЬии2и3 + —и щщ + —-щи2 + —и щ +

35

-гш;

6 ”1"'' 1 ' 3 6 х " 72 6

Нелокальная серия начинается с галилеевой симметрии, которая переходит при действии оператора рекурсии в масштабную, также являющуюся локальной. Все следующие члены становятся нелокальными и фактически являются симметриями. Несколько начальных из них имеют вид

где

Г

о

| Я

о

1- я

о

1“ я т Я

Фа

Фз = ¿<¿>3 + \х<р2 + 2Йх((рх) + | ии2 + §їПг + 100 + §<¿>0^1,

ф2 = ¿¥>2 + 1Х<Р і + |«2 + |«2 + |^о^о

фх = іір\ + |®у>о + Iм

Фо — І(ро + 1)

, л 1 8 16 40 32 2 80 2

^4 = І(р4 + -Хфз + -Щ + —ищ + —ихЩ + —и и2 + —и2 +

16

16

+ + —и + -<^2^0 + -Р1Ш1 + —<^0^2,

а новые нелокальные переменные ги0) ЭД1 и т2 задаются уравнениями

А,М =«, ¿,Ц) -1,2

ДМ = и2 + |и2, } Д(гУх) = им2 + I«3 -

1Л<2 | АвМ = К“3 ~ 3«?),

А(гог) = \и2и2 + |^2 - мхиз-

—гш| + |гг4.

В качестве примера вычислим скобку ф2 и ф3. Поскольку эти тени находятся в разных накрытиях, нужно перейти к сумме Уитни соответствующих накрытий. Имеем

{^2,^з} = %(^3) - Эфа(гр2) + ао|~ + 01|~ ~ (32)

где ао, ах и Ь0 — новые нелокальные переменные, удовлетворяющие уравнениям

Дв(оо) = ф2, дх{аг) = иф2, Г)Х(Ь0) - ф3. (33)

Если взять тень вида

- э*,№) + ^ + “1^-- (34)

являющуюся не чем иным, как |,04, с коэффициентами

5 5 5 1 1 1 1

а'0 = Ь(и4 + -ии2 + -и\ + —и3) + ~х(и2 + -и2) + г¿1 + -иги0 + -адь

0 О 1о О 4 У О

5 15 1 11

а[ = г(гш4 - «1^3 + -и2и2 4- -и\ + — и4) + -х(ии2 - -и\ + ^3) +

1 2 5

+ ищ + —и ги0 + -го2,

, , 7 14 35 2 7 2 35 2 35 4.

Ь0 = ¿(«6 + -гш4 + у+ —ии2 + -и2 + — ииг + —и )+

15555 11 15

+ дх(щ + -ии2 + -и\ + —и3) + -Из + 2иЩ + -(«2 + 2и2)ад0 + диъо1 + 9^2,

удовлетворяющими уравнениям (33), мы получим, что разность (32) и (34) имеет вид

г / /1 2 / < ' \, / ' \\ д^2

«2,« ~ з* = («о - а„)^ + («. - ~ (¡>о - 6„)^,

т.е. становится тривиальной тенью (поскольку мы можем ввести новые нелокальные переменные Ог = г = 1, 2 и &о = Ьо — Ь'0, которые удовлетворяют уравнениям

Дт(а») = 0, г = 1, 2, £)Х(Ь0) = 0 (35)

и определяют тривиальное накрытие). Таким образом, мы получаем, что рассматриваемая скобка эквивалентна \ф4-

Аналогичным способом можно получить следующее:

г т 2А; +1

{Ф2, <Рк} = —д— ¥>*+1» « = 0,..., 3,

2к — 4

{^2,^} = —~—Фк+и к = 0, ...,3.

4. Выводы

Область приложений конструкции коммутатора для теней гораздо шире, чем описанная в этой статье. А именно, как показано в [2] и [3], операторы рекурсии и гамильтоновы структуры (или, в общем случае, вариационные мультивекторы) можно понимать как тени в I-

и ¿‘-накрытиях соответственно. Пусть R, Я! — операторы рекурсии, a XR, XR> — соответствующие им тени. В локальном случае имеем

[XR,XR>] — Х|я,я'],

где {R, i?'J обозначает скобку Нийенхейса. Аналогично, если Хн, ХН’ являются тенями, соответствующими мультивекторам Н и Н', то

[Хн, ХН'\ = Xih,h'\,

где [Н, Н'] является скобкой Схоутена. В нелокальном случае описанные выше равенства могут быть приняты за определения скобок Нийенхейса и Схоутена соответственно. Так мы получаем критерий интегрируемости нелокальных структур. Детальное описание соответствующей теории будет дано в дальнейшем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров А. В., Вербовецкий А. М., Виноградов А. М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики; под ред. А. М. Виноградова и И. С. Красильщика. — М.: Факториал, 1997.

2. Kersten P., Krasil'shchik I., Verbovetsky A. A geometric study of the dispersionless Boussinesq type equation // Acta Appl. Math., — 90:1 — 2006. arXiv:nlin.SI/0511012

3. Kersten P., Krasil'shchik I., Verbovetsky A. Hamiltonian operators and ¿‘-coverings // J. Geom. and Phys. — 50 — 2004. arXiv:math.DG/0304245

4. Хорькова H. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Математические заметки. Т. 44.

Был. 1. 1988.

5. Krasil'shchik I. The long exact sequence of a covering: three applications // URL:http//diffiety.ac. ru/preprint/2003/06_03.pdf

6. Krasil'shchik I., Vinogradov A. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math. V. 15 # 1-2 — 1989.

7. Olver P. J., Sanders J., Wang J. P. Ghost symmetries // J. Nonlinear Math. Phys. V. 9 # 1 — 2002.

ON THE LIE BRACKET FOR NONLOCAL SHADOWS

Verbovetsky A.M., Golovko V. A., Krasil'shchik I.S.

We give a canonical construction for the Lie bracket of nonlocal shadows in the framework of the geometry of differential equations.

Сведения об авторах

Вербовецкий Александр Моисеевич, 1966 г.р., окончил Московский институт нефти и газа им. Губкина (1987), кандидат физико-математических наук, доцент Независимого Московского Университета, автор более 20 научных работ, область научных интересов — когомологические методы в геометрии дифференциальных уравнений, гамильтонов и лагранжев формализм в теории поля.

Головко Валентина Александровна, окончила МГУ им. М. В. Ломоносова (2004), аспирантка физического факультета МГУ, автор двух научных работ, область научных интересов — нелокальная геометрия дифференциальных уравнений.

Красильщик Иосиф Семёнович, 1948 г.р., окончил МГУ им. М. В. Ломоносова (1971), доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики МГТУ ГА, член Московского и Американского математических обществ, автор более 70 научных работ, область научных интересов — когомологические методы в геометрии дифференциальных уравнений.