О некоторых диофантовых уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа показала, что существует возможность повышения результатов инвестирования путем объединения различных методик из разных областей знаний в одну комплексную систему. Использование описанной модели позволяет существенно повысить диверсификацию инвестиционного портфеля, включающего инструменты российского рынка ценных бумаг, значительно расширяя набор возможных портфелей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Markowitz Н. М. Portfolio Miction Journal of Finance. 1952. Vol. 1, A'sl. P. 77-91.

2. Бурении A. H. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов : учеб пособие. М, : 1 Федеральная книготорговая компания, 1998. С. 239-259.

3. URL : http//www.micex.ru (официальный сайт ММВБ) (дата обращения: 15.03.2011).

УДК 511

В. Н. Поляков

О НЕКОТОРЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЯХ

В данной статье дополняются и обобщаются результаты Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, касающиеся уравнений

ax2 — my2 = zn (1)

при n > 3.

Немного истории. Уравнение ax2 — my2 = z3 (2)

впервые рассмотрел Л. Эйлер, предложив следующий комплект формул x y z

x = au3 + 3muv2, y = 3au2v + mv3, z = au2 — mv2 (3)

(u и v произвольные числа).

Однако уже сам Л. Эйлер заметил, что его формулы не могут дать полного решения уравнения (2).

Далее на рассматриваемые здесь уравнения обратил внимание Ж. Лагранж. Он видоизменил вывод формул Л. Эйлера для уравнения (2) и предложил метод своеобразного перехода от уравнения (1) с одним значением п к другому, при котором решение уравнения с п = к используется для решения уравнения с п = к + 1 и т. д. При этом оказывается, что метод Ж. Лагранжа дает только один комплект формул для х, У и £ и кроме этого у него всегда действует предположение, что а = 1.

п

уравнения рассматриваем независимо друг от друга.

Теорема 1. Для уравнения (2), кроме формул Л. Эйлера, справедливы и следующие формулы для компонент его решений:

х = аи3 — ти«2 у = 3аи2у — т«3 £ = аи2 — т«2

(4)

Теорема 2. Для отыскания решений уравнения х2 — ту2 = г4 пригодны, следующие три комплекта формул:

х=

У = г =

и4 + 6 ти2«2 + т2«4 4 и3« + 4тиу3

22 и2 — ту2

(5)

х = и4 — т2«4 у = 2и3« — 2ти«3 ; г = и2 — т«2

х = и4 — 2ти2«2 + т2«4 У = 0

г = и2 — т«2

(6)

(7)

Теорема 3. Решения уравнения ах2 — ту2 = г5 можно вычислять по любом,у из трех комплектов формул для компонент:

х = а2и5 + Юати3«2 + 5m2uу4 у = 5а2и4« + 10ати2«3 + т2«5

22 г = аи2 — т«2

х = а2и5 + 2ати3«2 — 3т2и«4

у = 3а2и4« — 2ати2«3 — т2«

23

25

22 г = аи2 — т«2

х = а2и5 — 2ати3«2 + и^и«4 у = а2и4« — 2ати2«3 + т2«5

22 г = аи2 — т«2

(10)

Теорема 4. Решения уравнения х2 — ту2 = г6 определяются по любому из четырех комплектов формул для его компонент:

х= у=

г=

и6 + 15ти4«2 + 15т2и2«4 + т3«6 6и5« + 20ти3«3 + 6т2и«5

22 и2 — т«2

(11)

х у

= и6 + 5ти4«2 — 5т2 и2«4 — т3«6 = 4и5« — 4m2uу5

г=

22 и2 т«2

(12)

х у

г

и6 — ти4«2 — т^и2«4 + т3«6 2и5« — 4ти3«3 + 2m2uу5

22 и2 т«2

(13)

х = и6 — 3ти4«2 + 3т2u2у4 — т3«6 у=0

г = и2 — т«2

(14)

Теорема 5. Решения уравнения ах2 — ту2 = г7 можно вычислять по формулам любого из четырех комплектов:

х = а3и7 + 21a2mu5у2 + 35am2u3у4 + 7т3ш6 у = 7а3 и6« + 35a2mu4у3 + 21am2u2у5 + т3«7 г = аи2 — т«2

(15)

х у

= а3и7 + 9а2ти5«2 — 5ат2и3«4 — 5т3и«6 = 5а3и6« + 5a2mu4у3 — 9am2u2у5 — т3«7

г=

22 аи2 — т«2

х = а?и7 + а2ти5у2 — 5ат2и?у4 + 3т? иу6

у = 3а?и6у — 5а2ти4у? + ат2и2у5 + т?у7 ; (17)

22 г = аи2 — ту2

х = са?и7 — 3а2ти5у2 + 3ат2и?3уА — т?иу6

у = 7а? и6 у — 3а2ти4у? + 3ат2и2у5 — т?у7 . (18)

22 г = аи2 — ту2

Доказательство. Заметим, что и ранее вывод формул 1-го комплекта проводится в духе рассуждений Л. Эйлера, относящихся к уравнению (2).

Пусть А = у/а, М = л/т и пусть п = 7. Положим

Ах + Му = (Аи + Му)7, Ах — Му = (Аи — Му)7.

ху

мулы (15), формулу для г найдем, подставив найденные значения х и у в уравнение. Для вывода формул (16) полагаем

Ах + Му = (Аи + Му)6 • (Аи — Му), Ах — Му = (Аи — Му)6 • (Аи + Му)

и действуем аналогично предыдущему случаю и т. д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Эйлер Л. Алгебра. СПб., 1768.

2. Диксон Л. Введение в теорию чисел. Тбилиси, 1941.

УДК 519. 83

В. В. Розен

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ СБАЛАНСИРОВАННЫХ ПОДМАТРИЦ ЗАДАННОЙ МАТРИЦЫ

В работе [1] показано, что для игры двух игроков с упорядоченными исходами задача нахождения ситуаций равновесия в ее смешанном расширении сводится к нахождению сбалансированных подматриц матрицы ее функции реализации. Здесь мы рассматриваем задачу нахождения сбалансированных подматриц для произвольной матрицы (все предварительные понятия содержатся в работах [1, 2]). Описание множества всех

85