CC BY
23В. Н. ПОЛЯКОВ
УДК 511
Об одном диофантовом уравнении, его аналогах и обобщениях
Данная статья навеяна чтением интересной работы [1], посвященной так называемому ал-хусайнову уравнению
х4 + у2 = г2, (1)
впервые попавшему в поле зрения математика X века н.э. Ал-Хусайна и в дальнейшем изредка привлекавшему внимание ряда известных математиков и у нас в стране и за рубежом.
Наиболее глубокие результаты (при том, что х, у, г должны быть числами натуральными) получены автором работы [1]. Но вот что нам хотелось бы сказать по существу дела.
Во-первых, несмотря на впечатляющее обилие формул (или комплектов формул) для компонент х, у, г решений уравнения (1), содержащихся в [1], мы можем здесь предложить и свои формулы для отыскания решений как уравнения (1), так и его обобщения, здесь предложенного, а именно уранения
х4 + ту2 = г2 (2)
при т Е N (или даже т Е Ж).
Заметим, что все формулируемые здесь теоремы (их число можно было бы и увеличить) пересекаются с результатами нашей работы [2].
Теорема 1. Для компонент х, у, г решений уравнения (2) справедливы формулы:
/
22 х = и2 — ту2,
< у = 4и3у + 4тиу3, (1)
г = и4 + 6 ти2у2 + т2у4;
2 2 x = u — mv2,
y = 2u3v — 2muv3, (11)
4 2 4
z = u4 — m2v 4;
22 x = u2 — mv 2,
< y = 0, (III)
z = u4 — 2mu2v2 + m2v4.
Примечания:
1. При m =1 получаем результаты об уравнении (1) (конечно, не в таком количестве, как в [1]), но у нас для x, y, z получаются не обязательно натуральные значения.
2. В приведенных только что формулах u и v могут иметь любые целочисленные значения, а иногда и рациональные. Например, для уравнения (1) решение (2,3,5) получается из нашего второго комплекта формул
3 1
при u = 3, v = 2.
Заметим, однако, что при рациональных значениях u и v решения не всегда будут целочисленными.
В работе [1] отмечено, в частности, следующее решение уравнения (1): (21, 420, 609). Это решение можно получить из нашего второго комплекта формул теоремы 1 при u = 5, v = 2. Но мы можем указать и другие решения уравнения (1) (с x = 21): (21, 1160, 1241), (21, 4620, 4641) , (21, 97240, 97241).
Во-вторых, с нашей точки зрения, в математической литературе незаслуженно обойдено вниманием уравнение, аналогичное уравнению (1), а именно уравнение
x4 — y2 = z2 (3)
и его обобщение
x4 — my2 = z2. (4)
Между тем уравнение (3), так же как и уравнение (1), можно связать с пифагоровыми треугольниками. Действительно, если задача решения уравнения (1) (при х,у,г Е М) может формулироваться как задача нахождения прямоугольных треугольников, у которых один из катетов является квадратом натурального числа, то для уравнения (3) задача отыскания его решений может трактоваться как задача о прямоугольных треугольниках с гипотенузой, равной квадрату натурального числа. Такие треугольники существуют и заслуживают изучения.
Теорема 2. Для компонент х, у, г решений уравнения (4) справедливы формулы
/
х = и2 + ту2,
чу = 4и3у — 4 тиу3, {IV)
г = и4 — 6 ти2у2 + т2у4;
/
22 х = и2 + ту2,
< у = 2и3у + 2тиу3, {V)
4 2 4
г = и4 — т2у4;
/
х = и2 + ту2,
< у = 0, {VI)
г = и4 + 2ти2 у2 + т2у4.
Из формул двух первых комплектов теоремы 2 при т = 1 следует существование бесконечного множества пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза является квадратом натурального числа.
Вот некоторые из решений уравнения (3) в натуральных числах: (5,7,24), (5,15,20), (10,28,96), (10,60,80), (13,65,156), (13,119,120).
В-третьих, кроме уравнения (1) можно было бы рассматривать и уравнения, в которых х содержалось бы в шестой или восьмой или десятой степенях и т.д.
Приведем здесь, например, наши результаты об уравнениях
(5)
х6 + у2 = г2
и
х6 + ту2 = г2.
(6)
Теорема 3. Для компонент х, у, г решений уравнения (6) справед-
ливы формулы
22 х = и2 — т«2,
< у = 6и5« + 20ти3«3 + 6т2и«5, г = и6 + 15ти4«2 + 15т2и2«4 + т3«6;
22 х = и2 — т«2,
у=
г =
4и5 V — 4т2и«5,
и6 + 5ти4«2 — 5т2и2«4 — т3«6;
22 х = и2 — т«2,
< у = 2и5« — 4ти3«3 + 2т2и«5,
25
г =
х=
и6 — ти4 V2 — т2и2«4 + т3«6;
22 и2 — т«2,
<у = 0,
г = и6 — 3ти4«2 + 3т2и2«4 — т3«6.
(V//)
(V///)
(/X)
(X)
Например, для уравнения (5) мы по трем первым комплектам формул теоремы 3 получаем следующие решения: (5, 7812, 7813), (5, 1560, 1565), (5, 300, 325) соответственно.
Библиографический список
1. Кожегельдинов С. Ш. Ал-хусайново уравнение х4 + у2 = г2 // Мат. заметки, 2011. Т. 89, вып. 3. С. 365—377.
2. Поляков В. Н. О некоторых диофантовых уравнениях // Чебышевский сборник : тр. VIII междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2011. Т. 12, вып. 2.
3. Диксон Л. Е. Введение в теорию чисел. Тбилиси : Изд-во АН ГрузССР, 1941.
УДК 517.51
А. В. ШАТАЛИНА, Л. В. БОРИСОВА
О сходимости процессов Лагранжа в областях Келлога—Альпера
Пусть О — ограниченная односвязная область с гладкой границей Г. АС — множество аналитических в О и непрерывных в О функций с равномерной нормой и обычным модулем непрерывности ш{/, £).
Функция г = однолистно и конформно отображает внешность
единичного круга | > 1 на дополнение области О до расширенной плоскости так, что бесконечно удаленные точки переходят друг в друга, причем > 0. М = {гк,п} - матрица узлов интерполирования,
М е Г,к = 0,1,... ,п — 1; п = 1, 2,...
Определение. Матрица будет называться правильной, если узлы гк,п любой п-й строки при отображении Wk,n = 1{^к,п) переходят в вершины правильного п-угольника, вписанного в единичный круг.
Назовем функцию мажорантой модуля непрерывности, если
ш)- непреывная, полуаддитивная и неубывающая на [0, то), причем ш(0) = 0. Множество таких функций обозначим через Для каждой
