CC BY
4
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.925.4:514.742.4
ББК 22.161.6
Р 65
Ройтенберг Владимир Шлеймович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского
государственного технического университета, Ярославль, e-mail: vroitenberg@mail.ru
О некоторых бифуркациях обратимых кусочно-гладких динамических систем на плоскости
(Рецензирована)
Аннотация. Изучаются обратимые динамические системы, заданные кусочно-гладкими векторными полями на координатной плоскости (x, y), для которых линия разрыва у=0 совпадает с множеством неподвижных точек инволюции системы. Рассматриваются типичные однопараметрические возмущения такого векторного поля. Описаны бифуркации особой точки О векторного поля, лежащей на этой линии в двух случаях. В первом случае точка О - грубый фокус гладких векторных полей, совпадающих с кусочно-гладким векторным полем в полуплоскостях y>0 и y<0. Во втором случае О - точка касания третьего порядка траекторий соответствующих гладких векторных полей.
Ключевые слова: обратимая динамическая система, кусочно-гладкое векторное поле на плоскости, особая точка, бифуркация.
Roytenberg Vladimir Shleymovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: vroitenberg@mail.ru
On some bifurcations of reversible piecewise smooth planar dynamical systems
Abstract. There are quite a few works in which local bifurcations ofpiecewise-smooth vector fields on the plane are considered. In a number of papers, local bifurcations of smooth vector fields on the plane that are reversible with respect to involution were also studied. In this paper, we consider reversible dynamical systems defined by piecewise-smooth vector fields on the coordinate plane (x, y), for which the discontinuity line y=0 coincides with the set offixed points of the involution of the system. We consider generic one-parameter perturbations of such vector fields. The bifurcations of the singular point O lying on this line are described in two cases. In the first case, the point O is a rough focus of smooth vector fields that coincide with a piecewise smooth vector field in the half-planes y>0 and y<0. In the second case, O is the third-order tangent point of the trajectories of the corresponding smooth vector fields.
Keywords: reversible dynamical system, piecewise smooth vector field on the plane, singular point, bifurcation.
Введение
Пусть M - замкнутая окрестность точки O = (0,0) на координатной плоскости, заданная неравенством x2 + y2 < 1, D = (M+, M~) - разбиение M на части M+ и M~, определяемые, соответственно, неравенствами y > 0 и y < 0 (r > 2). Пусть X+, X~ - векторные поля на M класса Cr (r > 2). Кусочно-гладким векторным полем X = (X+,X~) на M с разбиением D назовем класс всех (вообще говоря, разрывных на линии M0: y = 0) векторных полей X„ на M, таких, что X„ (x, y) = X+ (x, y), если y > 0, и
X„ (x, y) = X~ (x, y), если y < 0. Множество всех таких векторных полей обозначим Xr (M, D) . Траектории векторного поля X eXr (M, D) будем определять по Филиппову [1], как траектории дифференциального включения £ е%(£), где £ = (x, y), Х(x, y) = {X„(x,y)}, если y Ф 0, и %(x, y) - выпуклая оболочка векторов X+ (x,y) и X~ (x, y), если y = 0.
Локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости рассматриваются в большом числе работ, например, в [1-9].
Векторное поле X = (X+, ) еХr(M, D), где X1 (x, y) = (P± (x, y), Q± (x, y)) называется обратимым (относительно инверсии R :(x, y) ^ (x, -y)), если при всех (x, y) е M" X- (x, y) = -RX+ (R(x, y)) [10]. В координатной записи это условие имеет вид:
P (x, y) = P+ (x, -y), Q- (x, y) = - Q+ (x, -y). (1)
Множество обратимых векторных полей из Хr (M, D) обозначим XR (M, D).
Траектории векторного поля X = (X+, X- ) е XR (M, D) либо совпадают с траекториями векторных полей X+ м+ и X- , либо «сшиваются» из дуг траекторий этих векторных полей. Точка S0 = (x0,0) - особая точка поля X = (X +,X-)еХR(M,D) , если Q + (x0,0) = 0 . В особых точках линии разрыва M0 траектория может продолжаться не единственным способом, а в остальных точках M0 траектория продолжается единственным образом как при возрастании, так и при убывании времени.
В статье [10] были исследованы два типа бифуркаций кусочно-гладких векторных полей из XR (M, D) в окрестности особой точки на M0. В настоящей работе будут рассмотрены бифуркации особых точек на M0 двух других типов.
Заметим, что бифуркации особой точки на линии y = 0 неподвижных точек инверсии R гладких обратимых систем изучались в работах [11-13].
1. Грубые особые точки на линии разрыва
Особую точку S0 = (x0,0) назовем квазиседлом, если P + (x0,0)dP + (x0,0)/dx > 0, и квазицентром, если P + (x0, 0)dP + (x0, 0) / dx < 0 .
Фазовый портрет в некоторой окрестности квазиседла S0 имеет вид, изображенный на рисунке 1a. Через точку S0 проходят траектории поля L+ и L векторных полей X + |м + и X- M- , касающиеся в этой точке линии M0 : y = 0 и являющимися дугами траекторий поля X . Положительные (отрицательные) полутраектории траекторий L+ и L, начинающиеся в точке S0, будем называть выходящими (входящими) сепаратрисами квазиседла S0 .
Квазицентр S0 = (x0, 0) является траекторией поля X, а все остальные траектории, проходящие через точки некоторой окрестности S0, являются замкнутыми (рис. 1b).
Рис. 1. Грубые особые точки: а) квазиседло; Ь) квазицентр
Из теоремы о неявной функции следует, что особая точка квазиседло (квазицентр) является грубой относительно возмущений поля X в пространстве XГЕ (М, П): найдется такая ее окрестность V (£0), что любое векторное поле X = (XX+, XX ~ ) еХ гк (М, П), где век-
торные поля XX± достаточно близки к векторным полям X± в С1 -топологии, будет иметь в V(S0) единственную особую точку S0, также являющейся квазиседлом (квазицентром).
2. Формулировка результатов
Рассмотрим семейство векторных полей Xs = (X'!:., X' ) еХ ^ (М, D), где е е (-е0, е0) . Пусть Х±(х,у) = (Р±(х,у,а),01 (х,у,а)), где Р± (г = 1,2) - Сг -функции на Ы х(~е0,е0) , г > 2.
Предположим, что точка О = (0,0) является грубым фокусом векторного поля Х0 , (а вследствие (1) и поля Х—), то есть выполняются следующие условия:
L0
' дР+(0)/ & Q (0)/ ах
имеет комплекс-
(А) Р+ (0) = 0, 0+ (0) = 0; матрица J =
дР+ (0)/су д0+ (0)/су^
ные собственные значения Я, Я с ненулевой действительной частью.
Так как А := ёй J ^ 0, то по теореме о неявной функции найдутся такие число е1 е (0,е0] и окрестность Vs(O) = {(х, у): |х| <^,|у| <S} ^ М точки О, что для любого ее (-е1,е1) в Vs(O) существует единственное решение х = £(е), у = / (е) системы Р+ (х,у,е) = 0+ (х,у,е) = 0; при этом £(•),/(•) е Сг, £(0) = /(0) = 0, г = 1,2.
/'(0) = [(д0+ (0) / дх)дР+ (0) / де - дР+ (0) / дх)д0+ (0) / де] / А. (2)
Теорема 1. Пусть для семейства векторных полей Хе = (Х^, Х- ) е ХR (М, D) выполняются условия (А), ЯеЯ< 0 и /'(0) ^ 0. Тогда существуют окрестность V(О) точки О и число е е (0, е1 ] такие, что имеют место следующие утверждения.
1) Векторное поле Х0 имеет в V(О) единственную особую точку О, все остальные его траектории, начинающиеся в V(О), замкнутые (рис. 2б).
2) При ее (—е,е), /'(0)е <0 поле Хе имеет в V(О) единственную особую точку - квазицентр, все остальные его траектории, начинающиеся в V(О), замкнутые (рис. 2а).
3) При ее (—е,е), / '(0)е > 0 поле Хе имеет в V (О) квазиседло и устойчивый
(неустойчивый) грубый фокус, лежащий в М+ (М—). Одна из выходящих сепаратрис квазиседла совпадает с входящей сепаратрисой, образуя замкнутую траекторию, лежащую в V(О) и ограничивающую вместе с фокусами ячейку, в которой все траектории а (а)
предельны к неустойчивому (устойчивому) фокусу. Все остальные траектории поля Хе, начинающиеся в V(О), замкнутые (рис. 2в).
Случай Яе Я > 0 сводится к случаю Яе Я < 0 обращением направления времени на траекториях.
Рис. 2. Бифуркации особой точки, удовлетворяющей условиям (А) Доказательство теоремы 1 приведено в п. 3.
Предположим теперь, что векторное поле Х0 удовлетворяет в точке О следующим условиям:
(Б) 0+ (0) = д0+ (0)/дх = 0, д20+ (0)/дх2 * 0, Р+ (0) * 0.
По теореме о неявной функции получаем, что существуют числа е1 е (0, е0] и 5 > 0 такие, что для любого ее (-е1,е1) на интервале (-5, 5) существует единственное решение х = <(е) уравнения 50+ (х, 0, е) / дх = 0 ; при этом <(•) : (-е1, е1) ^ Я является Сг-1 -функцией, а <(0) = 0. Определим Сг-1-функцию / :(-е1,е1) ^ Я, положив
I (е) = -0 + (<(е),0,е) -д20(0)/ дх2.
Теорема 2. Пусть для семейства векторных полей Хе = (Х+е, X~е) е Xгк (М, Б) выполняются условия (Б) и I'(0) * 0. Тогда существуют окрестность V(О) точки О и число е е (0, е1 ] такие, что имеют место следующие утверждения.
1) Векторное поле Х0 имеет в V(О) единственную особую точку О, а векторные поля Хе при е е (-е,е), I'(0)е < 0, не имеют в V(О) особых точек. Все траектории векторных полей Хе, ее (-е,е), I '(0)е < 0, выходят из V (О) как при возрастании, так и при убывании времени.
2) Векторное поле Хе при е е (-е, е), I'(0)е > 0, имеет две особые точки - квазицентр и квазиседло, две сепаратрисы которого образуют замкнутый контур, ограничивающий вместе с квазицентром ячейку из замкнутых траекторий. Все остальные траектории Хе выходят из V(О) как при возрастании, так и при убывании времени.
При д20(0) / дх2 > 0 фазовые портреты векторных полей Хе изображены на рисунке 3. При д20(0)/ дх2 < 0 они получаются обращением направления времени на траекториях.
/'(0)г«0 е = 0 f'(0)s> 0
Рис. 3. Бифуркации особой точки, удовлетворяющей условиям (Б)
Доказательство теоремы 2 приведено в п. 4.
3. Доказательство теоремы 1
Без ограничения общности можно считать, что координаты (х, у) выбраны так, что д01 (0) / дх > 0 . Так как О (0) = 0, то из теоремы о неявной функции следует, что число 5 можно считать выбранным так, что существуют такие число е2 е (0, е1] и Сг -функция <р1:(-е2,е2) ^ (-5,5), что:
У(х,е) е (-5,5)х(-е2,е2) вви0+(х,0,е) = ввп(х-<(е)), д0+(х,0,е)/дх > 0, (3)
< (е) = - (д0+ (0) / дх)-1 (д0+ (0) / де) е + о(е). (4)
Используя (4), получаем:
Р+ (< (е), 0, е) = [(д0+ (0) / дх)дР+ (0) / де - дР+ (0) / дх)д0+ (0) / де] (д0+ (0) / дх)-1 е + о(е). (5)
Ввиду условий (А) А<0. Поэтому из (3) и (5) следует, что найдется такое ее (0,е2], что:
Vs е (-ад) sgnР+ (^(s),0,s) = -sgn[f '(0)s]. (6)
Будем также считать, что s выбрано так, что
Vs е (-s2,s2) sgn f (s) = sgn[f'(0)s]. (7)
Из (3) и (6) следует, что при f '(0)s < 0 ( f '(0)s > 0) в Vs(O)nM0 существует единственная особая точка S0 (s) = (фх (s), 0), являющаяся квазицентром (квазиседлом).
Выберем числа 0 < u1 < u2 <S так, что отрицательные полутраектории L+ и L+ поля X0 | M +, начинающиеся в точке M0 с координатами соответственно Xj = u1 и Xj = u2, не выходят из VS(O) nM + и кончаются в точках M0. Тогда Lx = Lj u R(Lj) - замкнутая траектория поля X0. Обозначим V(O) область в Vs (O), ограниченную этой траекторией и содержащую точку O. Так как O - единственная особая точка поля X0, то траектории векторных полей X^ M+ и Xs - , начинающиеся в точках множеств V(O) n M + и V(O) n M-, отличные от O, являются дугами с концами в точках M0. Следовательно, все траектории векторного поля X0, начинающиеся в точках V(O) \ O, замкнутые.
Выбрав se (0,s2) достаточно малым, получим, что Vs е (-s,s) отрицательная полутраектория L+ s поля Х^ +, начинающаяся в той же точке, что и L+, также не выходит из VS(O) nM + и кончается в точке, принадлежащей M0, а L2s = L+ s uR(L+2 s) - замкнутая траектория поля Xs, ограничивающая область Ds, содержащую окрестность V(O) .
Пусть s е (-s, s), f '(0)s < 0 и s достаточно мало. Тогда векторное поле Xs имеет в V(O) единственную особую точку - квазицентр S0(s) . Поэтому траектории векторных
полей X
+ и XZ
M+ s
_ , начинающиеся в точках множеств Dа пМ+ и Dа пМ , отлич-
М ' е е '
ные от S0 (е), являются дугами с концами в точках М0. Следовательно, все траектории векторных полей Хе, начинающиеся в точках V(О) и отличные от S0(е), замкнутые.
Пусть е е (—е, е), /'(0)е > 0 и е достаточно мало. Тогда поле Хе имеет в V(О) следующие особые точки: квазиседло S0(е), устойчивый фокус S+ (е) = (^(е), /(е)) и неустойчивый фокус S— (е) = (^(е), -/(е)). Поскольку ЯеЯ< 0, то при достаточно малом е3 отрицательная полутраектория V— (е) поля Х++ +, начинающаяся в точке S0(е), не выходит из V(О) п М + и кончается в точке М0 с координатой х1 = п(е) > <р(е) (подробнее об этом см. в [9]). Кривая Ь(е) := V— (е) ^R(V— (е)) является замкнутой траекторией поля Хе, ограничивающей область Ое е V(О), содержащую оба фокуса; остальные траектории из Ое а-предельны к S+ (е) и а-предельны к S— (е). Все остальные траектории поля Хе, начинающиеся в точках V(О) \ Ое, не выходят из Dе \ Ое. Поскольку в Dе \ Ое нет
и X;
начинающиеся в точках в
особых точек, то траектории векторных полей Х~+ (Ое \Gа) пМ + и (Ое \Gа) пМ—, являются дугами с концами в точках М0. Поэтому траектории Хе, начинающиеся в точках V(О) \ Ое, замкнутые.
4. Доказательство теоремы 2
Мы можем считать, что координаты х, у выбраны так, что Р+ (0) > 0. Для определенности пусть д20 + (0)/ дх2 > 0. Случай д20 + (0)/ дх2 < 0 рассматривается аналогично.
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 2 (261) 2020 Считаем, что числа 5 и выбраны столь малыми, что: V(х,y) е V(O) := (-5,5)х (-5,5) Vs е (-ег,ех) P+ (х,y,s) > 0, 52Q+ (х,y,s)/дх2 > 0. (8)
Vs е (-е,, е,) sgn f (s) = sgn[f '(0)s]. (9)
Из условий (Б) и второго из неравенств (8) следует, что
при 0 < <5 Q + (х, 0,0) > 0. (10)
Выбрав достаточно малое ее (0, е,), будем иметь:
Vs е (-s,s) Q+ (+50,0, е) > 0. (11)
Из (8)-(10) и определения функции f получаем, что:
при хе (-5,5), ее (-s,s), f '(0)е <0 Q + (х,0,е) >0, (12)
при х е (-5,5) ее (-s,s), f '(0)е > 0 sgn Q + (х,0,е) = sgn[( х -<(е))( х -<(е)), (13) где -5 < (р1 (е) < <(е) < <2(е) < 5 .
Из (8), (10), (12) и (13) следует, что в окрестности V(O) поле Хе, ее (-s,s), при f '(0)е < 0 не имеет особых точек, при е = 0 имеет единственную особую точку O, при f '(0)е > 0 имеет две особые точки - квазицентр ^(е) = (<(е), 0) и квазиседло
^(е) = (<2 (е), 0).
Пусть х = £(t), y = j(t) - уравнения траектории поля Х+, начинающейся в точке O,
£(0) = 77(0) = 0 . Из условий (Б) следует, что j(0) = 7j(0) = 0 , j(0) = (P + (0))2 д2Q + (0)/ дх2 > 0. Поэтому существует такое t* > 0 , что
Vt е (0, t*) (£(t), j(t)) е V(O) n intM+, Vt е [-t* ,0) j(t) е V(O) n intM- . (14) Таким образом, через особую точку O проходит единственная траектория поля Х0 v(O), состоящая из положительной полутраектории поля Х+ m+nV, начинающейся в точке O и касающейся в ней M 0 , и симметричной ей отрицательной полутраектории поля
Xq-
M-nV(O) '
Отсюда и из (10) и (12) следует, что через каждую точку дуги М0 п V(О)
проходит единственная траектория поля Хе для ее (-е,е), I '(0)е < 0, входящая в М+
при возрастании времени и выходящая из М + при убывании времени. Учитывая первое из неравенств (8), получаем, что все траектории поля Хе, ее (-е, е), I '(0)е < 0, выходят из V (О) как при возрастании, так и при убывании времени.
Рассмотрим теперь случай I'(0)е > 0. Пусть х = х(г, е), у = у(г, е) - уравнения отрицательной полутраектории поля Х++ , начинающейся в квазиседле £2 (е) = (< (е), 0). Из (14) следует, что е можно считать выбранным столь малым, что при всех ее (-е,е), I'(0)е > 0:
У г е [-4,0] (х (Г, е), у (Г, е)) е V (О), | у (-г*, е) - ) | < | ) |, и потому у(-4 ,е) < 0. С другой стороны, поскольку ^2(е) - квазиседло, то существует такое 7 е (-4,0), что у(г,е) > 0 при г е [Г,0). Поэтому существует такое 1_(е) е (-г*, 7), что у (I (е), е) = 0, а У г е (I (е), 0) у (г, е) > 0. Тогда Ь+ (е) = {(х (г, е), у (г, е)): (е) < г < 0} -дуга траектории поля Х++ + с концами на М0, а Ь(е) = Ь+ (е) и Я(Ь+ (е)) - замкнутая траектория поля Хе - петля сепаратрисы квазиседла ^2(е). Из (8) и (13) следует, что
х(£(е), е) < <р1 (е) . Поэтому квазицентр S1 (е) лежит внутри области D£ е V(О), ограниченной петлей Ь(е). Все траектории поля Хе, начинающиеся в Dа, отличные от Sl(е), замкнутые. Все отрицательные (положительные) полутраектории, не принадлежащие Dа, выходят из V(О) .
Примечания:
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
2. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, No. 8. P. 2157-2188.
3. Simpson D., Meiss J. Andronov-Hopf bifurcations piecewise smooth continuous flows // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 371. P. 213-220.
4. Han M., Zhang W. On Hopf bifurcation in nonsmooth planar systems // J. Differential Equations. 2010. Vol. 248. P. 2399-2416.
5. Guardia M., Seara T.M, Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. Differential Equations. 2011. Vol. 250, No. 4. P. 1967-2023.
6. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 4 (191). С. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. № 2 (42). С. 18-31.
8. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. 2017. Вып. 4 (211). С. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «полуфокус» кусочно-гладкой динамической системы // Математика и математическое моделирование. 2018. № 5. С. 58-71.
10. Ройтенберг В.Ш. Локальные бифуркации обратимых кусочно-гладких динамических систем на плоскости // Математика и математическое моделирование. 2020. № 1. С. 1-15.
11. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100, No. 1-2. P. 101-118.
12. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: 1. Theory // J. Differential Equations. 2000. Vol. 167, No. 1. P. 16-35.
13. Лерман Л.М., Тураев Д.В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах // Нелинейная динамика. 2012. T. 8, № 2. С. 323-343.
References:
1. Filippov A.F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. Moscow: Nauka, 1985. 224 pp.
2. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, No. 8. P. 2157-2188.
3. Simpson D., Meiss J. Andronov-Hopf bifurcations piecewise smooth continuous flows // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 371. P. 213-220.
4. Han M., Zhang W. On Hopf bifurcation in nonsmooth planar systems // J. Differential Equations. 2010. Vol. 248. P. 2399-2416.
5. Guardia M., Seara T.M, Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. Differential Equations. 2011. Vol. 250, No. 4. P. 1967-2023.
6. Roytenberg V.Sh. On the generation of a strange at-tractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.: Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
7. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type // University Proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2017. No. 2 (42). P. 18-31.
8. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a singular point of the "sewn beak" type // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.: Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 4 (211). P. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Roytenberg V.Sh. On singular "semifocus" type point bifurcations of piecewise smooth dynamical system // Mathematics and Mathematical Modelling. 2018. No. 5. P. 58-71.
10. Roytenberg V.Sh. Local bifurcations of reversible piecewise smooth planar dynamical systems // Mathematics and Mathematical Modelling. 2020. No. 1. P. 1-15.
11. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100, No. 1-2. P. 101-118.
12. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: 1. Theory // J. Differential Equations. 2000. Vol. 167, No. 1. P. 16-35.
13. Lerman L.M., Turaev D.V. On symmetry breaking bifurcations in reversible systems // Nonlinear Dynamics. 2012. Vol. 8, No. 2. P. 323-343.
