О бифуркациях петли сепаратрисы двумерной кусочно-гладкой динамической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-3

В. Ш. Ройтенберг

О БИФУРКАЦИЯХ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ ДВУМЕРНОЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Аннотация.

Актуальность и цели. Бифуркации в типичных одно- и двухпараметри-ческих семействах гладких динамических систем на плоскости практически полностью изучены. Для приложений представляют значительный интерес и кусочно-гладкие динамические системы на плоскости. Для них различных типов бифуркаций гораздо больше, чем для гладких динамических систем. Некоторые из них уже описаны. Однако продолжение исследования бифуркаций в типичных двухпараметрических семействах двумерных кусочно-гладких динамических систем представляется по-прежнему актуальным.

Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений.

Результаты. Рассматривается двумерное кусочно-гладкое векторное поле X. Пусть S - точка на линии разрыва поля, и в двух ее полуокрестностях V1 и V2 поле совпадает с гладкими векторными полями соответственно Х1 и Х2. Для векторного поля Х1 точка S является седлом с ненулевой седловой величиной и инвариантными многообразиями, трансверсальными линии разрыва. В точке S векторное поле Х2 трансверсально линии разрыва и направлено внутрь V1. Выходящая и входящая сепаратрисы седла S, начинающиеся в V1, не содержат особых точек и вместе с S образуют петлю. Для двухпараметриче-ских деформаций общего положения рассматриваемых векторных полей в окрестности петли получены бифуркационные диаграммы.

Выводы. Описаны бифуркации петли сепаратрисы рассматриваемой особой точки на линии разрыва векторного поля.

Ключевые слова: динамическая система, кусочно-гладкое векторное поле, петля сепаратрисы седла, бифуркации, бифуркационная диаграмма, периодическая траектория.

V. Sh. Roytenberg

ON THE SEPARATRIS LOOP BIFURCATIONS OF TWO-DIMENSIONAL PIECEWISE-SMOOTH DYNAMIC SYSTEM

Abstract.

Background. Bifurcations in generic one- and two-parameter families of smooth dynamical systems on the plane are almost completely studied. For applications, piecewise-smooth dynamical systems in the plane are of considerable interest. There are much more different types of bifurcations for them than for smooth dynamical systems. Some of them are already described. However, the continuation of the study of bifurcations in generic two-parameter families of two-dimensional piece-wise-smooth dynamical systems seems to be still relevant.

© Ройтенберг В. Ш., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Materials and methods. We use methods of the qualitative theory of differential equations.

Results. We consider a two-dimensional piecewise smooth vector field X. Let S be a point on the line of discontinuity of the field, and in its semi-neighborhoods V1 and V2 the field coincides with smooth vector fields, respectively, Х1 and Х2. For the field Х1, the point S is a saddle with nonzero saddle value, whose invariant manifolds are transversal to the line of discontinuity. At the point S vector field Х2 is transversal to the line of discontinuity and directed inwards V1. The outgoing and incoming separatrixes of the saddle S that start at V1 do not contain singular points and form a loop together with S. For generic two-parameter deformations of the considered vector fields in the neighborhood of the loop, bifurcation diagrams are obtained.

Conclusions. Bifurcations of the separatrix loop of singular point on the line of discontinuity of the vector field are described.

Keywords: dynamical system, piecewise-smooth vector field, separatrix loop, bifurcations, bifurcation diagram, periodic trajectory.

Введение

Исследованию локальных и нелокальных бифуркаций двумерных кусочно-гладких динамических систем посвящено значительное число работ (см., например, книги [1, 2] и статьи [3-6]). Однако остается много неизученных бифуркаций. Здесь мы рассмотрим одну из них.

Пусть M - связное компактное ориентируемое двумерное Cr+1 -многообразие (r > 3), D = (Mj,M2,...,Mm) - разбиение M на компактные

Cr+1-многообразия, пересекающиеся между собой только по компонентам края. Кусочно-гладким векторным полем класса Cr на многообразии M с разбиением D называется элемент X = (X1,X2,...,Xm) банахова пространства Xr(M,D):=^m=!Xr (Mi), где Xr(Mi) - банахово пространство векторных полей класса Cr на Mi с Cr -нормой. Траекториями векторного поля X называются траектории дифференциального включения z е X* (z), z е M , где X* (z) = (X! (z)} при zе intMi, и X* (z) - выпуклая оболочка векторов X1 (z),XJ (z) при zе Mt nMj (i Ф j ) [1, с. 95]. Точки zе dMi ndMj ,

в которых векторы X1 (z) и XJ (z) не касаются dMi ndMj и направлены оба либо внутрь Mi, либо внутрь Mj, будем называть простыми.

1. Постановка задачи и результаты

Рассмотрим семейство векторных полей X£ = (X^,...,Xm)еХr(M,D), зависящих от параметра £, принадлежащего некоторой окрестности нуля E в двумерном евклидовом пространстве. Будем предполагать, что отображения Mi X E э (z, £) ^ X£ (z) принадлежат классу Cr . Векторные поля X£ : Mi ^ TMi продолжим до векторных полей X£ : M ^ TM так, чтобы и

отображения М хЕ э (г, е) ^ Х1Е (г) принадлежали классу Сг . Пусть точка So е М0 :=М-+ пМ- =ЭМг+ пдМ- при некоторых -+,-+ е {1,...,п}. Для краткости будем писать М±, Хе и Х+ вместо , Х'е± и Х]+. Выберем

в окрестности Уд точки £0 в М Сг+1 -координаты х = (Х1, х^): У ^ R2 так, чтобы точки с координатой Х2 < 0 (Х2 ^ 0) принадлежали М_ (М+ ), а 50 имела координаты Х1 = Х2 = 0. В этих координатах

Х± (г) = ^ ¡2=1 Р± (Х1, Х2, е)д / дхк , где Р± - Сг -функции.

Пусть поле Х0 = (Хд,...,Хт) удовлетворяет следующим условиям:

У1. Точка 50 является грубым седлом векторного поля Х+. У2. Собственные подпространства линейного оператора dXо (£0): М ^ 7£0М трансверсальны подпространству Т$0М0 с Т$0М+ .

У3. Для собственных чисел X0 > 0 и X0 < 0 линейного оператора dXо (£0) седловая величина X0 + Х2 < 0 (седловой индекс у0 = -Х2 / X0 > 1).

У4. Вектор Х_ (£0) не касается М0, направлен из М_ и не принадлежит собственному подпространству линейного оператора dX+ (£0), соответствующему собственному значению X0 .

Ввиду условий (У1) и (У4) в некоторой окрестности точки £0 на М0 определено касательное С -векторное поле Х0 такое, что Х0(г) = тХ_(г) + (1 -т)Х+ (г) при некотором т = т(г)еR и Х0(£0) = 0. Пусть Х§( г) = Р0( Х1)д / дХ1.

У5. X0 := дР0 (0) / дХ1 < 0.

У6. Существует траектория ¿ц поля Х0 со следующими свойствами: ее пересечение с М+ содержит положительную полутраекторию векторного поля Х+, ю -предельную к £0, и отрицательную полутраекторию этого векторного поля, а -предельную к £0, она не пересекается с краем дМ многообразия М , а с дМ- пдМj (- Ф у) может пересекаться только в простых точках.

Из У1 по теореме о неявной функции следует, что существуют окрестность у с У точки £0 и окрестность Е1 нуля в Е такие, что Уее Е1 поле

Х+ имеет в у единственную особую точку - седло £е с координатами

Х1 = ХХ1 (е), Х2 = ХХ2 (е), где Х- (-)е СТ, Х- (0) = 0, - = 1,2, при этом dX'+(£е)

имеет собственные значения Х^е) > 0, Х2(е) < 0, Xк (-)е СТ-1, Xк (0) = ^к, к = 1,2. Пусть у(е) := -X2 (е) / Х1 (е).

Выбор координат х1; Х2 задает на М ориентацию. Пусть П :(-1,1) ^ тХМ+ - такое С~ -вложение, что п(0)е а репер (Х+ (п(0), П (0)) положительно ориентирован. Если окрестность Е1 достаточно мала, то выходящая (входящая) сепаратриса седла Сг-1 гладко зависит от ее Е1 [7] и потому пересекает п(-1,1) в точке ц(у+ (е)) ((е))),

где ( ) е Сг-1, (0) = 0. Обозначим V(е) := (е) - у- (е). Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие. У7. Векторы ЭХХ2 (е) / де и ду(е)/ де линейно независимы. Из У7 следует, что в некоторой окрестности Е2 точки 0 е Е1 можно

выбрать Сг-1-координаты (е1, е2) так, что Х2(е) = -е1, V(е) = е2. Рисунок 1 иллюстрирует выбор параметров (е1,е2). Будем отождествлять точку ее Е2

с ее координатной строкой: е = (е1, е2) и считать Е2 = (-8*, 5*) при некотором 5* > 0.

Рис. 1. Выбор параметров

В координатах условие У2 означает, что дР+ (0) / дх1 Ф 0. Можно считать, что координаты Х1, Х2 выбраны так, что дР2+ (0)/дх1 > 0.

Пусть у0 = у01д / дх1 + у02 д / дх2 (к = 1,2) - собственный вектор dX0 ($0), соответствующий собственному числу X0 > 0. Ввиду условия У4 Я := у01 / у0 2 - Р- (0) / Р2- (0) Ф 0 . Величина sgn Я не зависит от произвола

в выборе координат.

Теорема. Пусть выполняются условия У 1-У7. Тогда существуют окрестность и петли Г0 = Ь0 и , граница ди которой состоит из двух кусочно-гладких кривых, и число 5е (0,5*) со следующими свойствами:

2

1. Положительные полутраектории векторных полей Хе, ее (- 5,5) , начинающиеся в точках ди входят в и.

2. Бифуркационная диаграмма семейства векторных полей Хе,

ее (- 5,5)2, в и представляет собой разбиение области параметров (- 5,5)2 на множества Во = {(0,0)}, В1, Е1 (I = 1,...,4 при Я < 0 и I = 1,...,5 при Я>0), где при Я<0 Е1 = {е:е1 е (0,5),-5<е2 <в1(е1)}, В1 = {е:е1 е (0,5),

82 =Р1(е1)}, Р1:(0,5) ^(0,5), ^е С1, Р1С+0)=Р/(+0)=0, Е2 = {е:е1 е (0,5), Р^)<е2 <5}, В2 = {0}х(0,5), Е3 = (-5,0)х(0,5), Въ = (-5,0)х{0}, Е4 = (-5,0) х (-5,0), В4 = {0} х (-5,0) (рис. 2).

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма в случае Я < 0

При Я > 0 Е1, В1, В2, Е2, Е3 , В3 определяются так же, как в случае Я < 0, Е4 = {е: е1 е (-5,0), р4(е1) < е2 < 0}, Е5 = {е: е1 е (-5,0), - 5 < е2 < <Р4(е1)}, В5 = {0}х(-5,0) В4 = {е:е1 е (-5,0), е2 =?4(е1)}, Р4 :(-5,0) ^

^(-5,0), Р4е С1, Р4(-0) = р/(-0) = 0 ( рис. 3).

Схемы фазовых портретов векторных полей Хе в и имеют вид, изображенный на рис. 2 в случае Я < 0, на рис. 3 - в случае Я > 0, причем векторные поля Хе при ее Е^ - грубые в и, а при ее В1 (IФ 0) - первой степени негрубости в и .

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма в случае Я > 0 3. Доказательство теоремы

Так как у(0) = у0 , то можно считать, что

Уее (-5*,5*)2 у(е)>у> 1 > 1/у> 1/у(е). (1)

Поскольку Р2+ (0) = 0, а дР2+ (0) / дх1 > 0, то существуют такие числа а > 0, Ь > 0, 0 <61 <шт{Ь,5*} и Сг-функция

х* : (-2Ь, 2Ь) х (-51,51)2 ^ (-а, а), х* (0,0) = 0, что Уе е (-51,51 )2 У(х1, х2) е (-2а, 2а) х (-2Ь, 2Ь) дР2+ (х1, х2, е) / дх1 > 0,

sgn( Р+ (х1, х2, е) = sgn( х1 - х* (х2, е)). (2)

Так как Р^ (х1 (е), -е1, е) = 0, то

Уее (-51,51)2 5с1 (е) = х*(-е1,е). (3)

01е *

Сделаем замену координат: (х1, х2) ^(У1 = х1 - х1 (х2, е), У2 = х2 + е1). Точки с координатами У2 -е1 ( У2 >е1) принадлежат М- (М+). Ввиду (2) и

(3) в новых координатах Х+(z) = (уьУ2,е)д / ду + (л,У2,е)д / ду2, где

01+ и 02 _ Сг 1 -функции, область определения которых содержит множе-

2

ства (-а, а) х (-Ь,Ь) х (-51,51) такие, что л у2, е) е (-а, а) х (-Ь,Ь) х х(-51,51)2 0+ (0,0, е) = 0,

д0+ (Л,У2,е)/ду >0, (4)

sgn 0+ (Л, У2, е) = sgn у. (5)

Пусть также X- (г) = О- (у, у2, е)д / ду + 0Т (у, У2, е)д / ду2 . Ввиду У4 можно считать а , Ь и 51 выбранными так, что

Уее (-51,51)2 У(у,У2)е (-а,а)х(-Ь,е1] О-(Л,У2,е)>0. (6) Вследствие (5) имеем

д0+ (0,0, е)/ду2 = 0. (7)

Поэтому для собственных векторов ук (е) = у1 (е)Э / Эу + (е)Э / Эу2

линейного оператора аХ+($е), соответствующих собственным числам

Хк (е), к = 1,2, имеем уравнение у^ (е)д02 (0,0, е) / ду - Ук (е)Хк (е) = 0. Ввиду

(4) можно считать, что Ук ( ) е Сг-1, у1 (е) > 0 , у2 (е) < 0 . Вследствие (7) имеем

ае1(д0+ (0,0, е)/ду;) = -(д0+ (0,0, е)/ду2)(д0+ (0,0, е)/ду).

Так как $е - седло, то det(дQг+ (0,0, е) / ду;) < 0 . Используя (4), получаем

да+ (0,0, е)/ дУ2 > 0. (8)

Поэтому 51 , а и Ь можно считать выбранными так, что

sgn 0+ (0,У2, е) = sgn У2 при всех (у2,е) е (-Ь,Ь) х (-51, 5^2 . (9)

Ввиду (5), (6) и (9) точка Те = 0-е1(0, е1) является грубой особой точкой поля Хе типа 2а при е1 > 0 и типа 2б при е1 < 0 [1, с. 164]. При е1 = 0

Те = $е .

2 1 Сделаем замену координат (^ = у - у (е) У2, ^ = - у + у (е) У2). При

достаточно малых 52 е (0,51) и с > 0 локальное неустойчивое (устойчивое) инвариантное многообразие ЖЮс($е) (Щ'0с($е)) седла $е , ее (-52,52)2, задается в новых координатах уравнением ^ = 21, е), < с (21 = 22, е),

< с ), где функции м>; е Сг-1, м>; (0, е) = 0, ] = 1,2, 3^(0,е)/ дг2 = = д^2 (0, е) / д21 = 0, дуга ЖЦ,с ($0) (($0)) с координатой 21 е (0, с)

е3е

(Z2 е (0,с)) принадлежит Lq . Сделаем замену координат (z1;^ (uj = zj - wi (Z2, e), U2 = ^2 - W2 (zj, e)). В координатах uj , U2 W/0c (Se) (WoC (Se)) задается уравнением U2 = 0 ( uj = 0), при этом точки дуги Woc(Sq) (Wfoc(Sq) ) с координатой uj е (0,с) (U2 е (0,с)) принадлежат Lq .

Пусть n1e :(-b,b) ^ M, ее (-52,52)2, где n1e (и ):= x_1 ° ö-e1(0, u ). Мы можем считать, что дуга T|io(0,b) не пересекается с Го . Точка T|ie(и) имеет координаты

2j uj = —v (е)и + aj(u,е), U2 = vj(e)u + а2(и,e), (10)

r—1

где aj е C , аj (и, e) = o(u) равномерно относительно e, j = 1,2.

Если числа d е (0, с) и 63 е (0,62) достаточно малы, то V^ (—63,63) определено отображение n2e : [0,d] ^ M, n2e (и):=

x"1 о

^le о ö—e о 03£|(d, и));

при этом дуга П2о[0, d ] принадлежит int M+ , а дуга П2о(0, d ] лежит с той же стороны от петли Го, что и дуга п(0,1). При достаточно малом 64 е (0,63) Veе (—64,64) дуга П2e[0,d] также принадлежит intM+ . Согласно [4, с. 5152] существуют такие числа dj е (0,d), а> 0 и 65 е (0,64), что положительная полутраектория поля X+, eе (—65,65)2, начинающаяся в точке с координатами uj = p, U2 = q, p, q е (0, dj), первый раз пересекает дугу ^2e [0, d)

в точке n2e(7l(P,q,e)), где f(p,q,e) = pY(e)q(/j(e) + r[(p,q,e)), T,^е C1,

1 (e) > 0 , | dmr1 (p,q,e) / dpdqjdek | < pa—, 0 < i + j + k < m < 1. Отсюда и из представления (10) для координат точки r|ie (и) следует существование такого и > 0, что положительная полутраектория поля X+ , начинающаяся в точке nie(и), ие (0,U), первый раз пересекает дугу n2e[0,d) в точке

n2e(fi(u,e)), где f[(u,e) = иY(e)+1(/1(e) + r1(u,e)), /, r1 е C1, /(e) >0, при некотором C > 0 | dmr1 (u,e) / duidek | < Cua—i, 0 < i + k < m < 1. Ввиду (5) и (9) дуга

траектории поля X+ , eе (—65,65 )2, между точкой r|ie (и), где и е (0,U), если ej < 0, и и е [ej,U), если ej > 0, и точкой ^2e (fl(u, e)) является и дугой траектории поля X+. Так как точка ^2e (0) находится на выходящей сепаратрисе седла Se, то числа 65 е (0,65) и d2 е (0, d) можно выбрать так, что

Veе (—65,65) определено отображение n2e(и) ^n(f2(u,e)), ие [0,d2), по траекториям векторного поля Xe такое, что f е C1, f (0, e) = v+ (e), (f2)U (и,e) > 0. При достаточно малых Uq е (0,U) и 0 <67 <min{uQ, 65} f+ (и,e):= f(fi(и,e),e) определена для (и,e)е (0,uq]x(—67,67) , причем f+ (u,e) = v+ (e) + иY(e)+J(/+ (e) + r+ (u,e)), где /+,r+ е C1, /+ (e) >0 ; при некото-

ром С+ > 0 | дпг+ (и,е)/ дпгдек | < С+иа~г, 0 < I + к < п < 1, а отображение Г|1е(и) ^ п(/+ (и,е)), рассматриваемое для и е (0,ио], если ее (-67,0]х(-5у,67), и для ие[е1,ио], если ее (0,67)х(-57,67), является отображением по траекториям поля Хе (см. рис. 1).

Уменьшив при необходимости а , и0 и соответственно 67, аналогично

получим функцию /- (и, е) = у- (е) + и1/У(е)+1(/- (е) + г- (и, е)), (и, е) е (0, и0) х

2 1 х(-67,67) , где 1-, г-е С , 1- (е) > 0; при некотором С-> 0

| дтг- (и, е)/ Ъидек | < С и , 0 < / + к < т < 1, такую, что отображение П1е(и) ^п(/-(и,е)), рассматриваемое для ие (0,и0], если ее (-67,0]х х(-67,67), и для и е [е1,и0], если ее (0,67) х(-67,67), является отображением по траекториям векторного поля -Хе (см. рис. 1).

Обозначим /_ 1(-,е) функцию, обратную к функции /- ( ,е). Введем

функции /(и, е) := /-1(/+ (и, е), е) и

Д(и, е) := /+ (и, е) - /- (и, е) = = е2 + ит(е)+1(/+ (е) + г+ (и, е)) - и1/у(е)+1(/- (е) + г- (и, е)). (11)

Функция /(,е) на промежутке (0,при ее (-67,0]х(-67,67) и на промежутке [е1,и0] при ее (0,67)х(-67,67) является функцией последова-ния по траекториям поля Хе . В этих случаях равенство /(ир, е) = ир (Д(ир, е) = 0) равносильно тому, что через точку Г|1е (ир) проходит замкнутая траектория поля Хе . Эта траектория является устойчивой гиперболической, если /и (и р, е) < 1 (Д'и (ир, е) < 0) .

Из (11) и (1) следует существование таких чисел 6§ е (0,67) и К > 0,

что

У(и, е) е (0, и0] х (-68,68)2 дД(и, е)/ди <-Ки1/Х< 0, (12)

дД(и, е)/ де2 > 1/2 > 0. (13)

Обозначим Д1(е):=Д(е1,е), ее (0,68)х(-68,68). Из (11) следует, что Д1 (+0, е2) = е2, ЪД1 (+0, е2) / Ъе1 = 0 . Поэтому Д1 (е) можно продолжить до

12 С -функции на (-68,68) , положив при Д^е):=е2 при е1 < 0 . Из (13) и равенств Д1 (0) = дД1 (0) / де1 = 0 по теореме о неявной функции получаем, что существует такое 69 е (0,68), что для любого е1 е (-69,69) уравнение Д1 (еь е2) = 0 имеет относительно е2 единственное решение е2 = Р1 (е1), при

этом р1(0) = 0, в1 ()е С1, р/(0) = 0, для е1 е (0,69) 0<р1'(е1)< 1 и потому Р1 (е1) е (0,69). Из (13) и равенства Д(е1,(е1,Р1 (е1))) = 0 имеем

№ 1 (53), 2020 Физико-математические науки. Математика

Veе (0,69)х(—69,69) sgnA(ebe) = sgn(e2 — ßi(ej)). (14)

Поскольку A(+0,e) = 0 при eе (—69,0]х{0} , то из (9) получаем, что

A(u,e)<0 для всех ие (0,uq], eе (—69,0]х{0}. (15)

Из (15) следует, что и* = f (uq,0) < uq . Если петля Го с M+ , то нетрудно построить C1-гладкую простую замкнутую кривую Г+ с int M+, пересекающуюся с дугой T|io[0, uq] в единственной точке T|io(u*) и ограничивающую вместе с Го цилиндрическую область U + с intM+, не содержащую особых точек поля X+ ; при этом в точках z еГ+ вектор Xq (z) не касается

Г+ и направлен внутрь U + . Если петля Г не содержится в M+, то аналогично можно построить простую кусочно-гладкую замкнутую кривую Г+ = Uj=1 BjBj+i , состоящую из C1 -гладких дуг BjBj+1 с dMc . (Bs+i = Bj)

при некоторых G е {1,...,n} и трансверсальных dMc,, с концами

j

Bj,Bj+1 едM0 ^ ; при этом Г+ пересекается с дугой T|io[0,uq] в единственной точке Пю(и*), Г+ и Г ограничивают цилиндрическую область U +, не содержащую особых точек поля Xq ; в точках z е BjBj+1 вектор Xq (z) не касается дуги BjBj+i и при z Ф Bj+1 направлен внутрь U + .

Будем считать 69 столь малым, что Veе (—69,69)2 Г+ пересекается с дугой nio[0,uq] в единственной точке r|ie(ur(e)), где ur(e)е (и* /2, uq) . Уменьшив при необходимости 69 , из (15) будем иметь

Veе (—69,69)2 Vuе [и*/2, и0] A(u,e) < 0. (16)

Аналогично Г+ мы можем построить простую замкнутую кривую Г = Uj=1 AjAj+1 , состоящую из C1-гладких дуг AjAj+i с MG при некоторых Gj е {1,...,n} и трансверсальных dMc , с концами Aj, Aj+1 е dMc , ; причем MCi = M—, A1 = A/+1 =0—01(a1,0), A2 = 0—0(а2,0), — a < a1 < 0 < a2 < a, Г—

не пересекает открытую дугу А1А2 между точками А1 и А2 на М0 , Г и Г0 ограничивают область и , не содержащую особых точек поля Х0, У г е А;.А;.+1 вектор Х^1 (г) не касается А. А.+1 и для г Ф А1, А2 при у = 1 и для 2Ф А.+1 при 1 = 2,...,I направлен внутрь и .

Множество и = и~ и и + и Г0 - цилиндрическая окрестность петли Г0 . Пусть А{ГЯ - дуга между точками А1 и Те на М0 . При достаточно малом 59 Уее (-¿9,59 )2 и \ А{ГЯ не содержит особых точек поля Хе , кроме точки

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 8е при ее (-69,0)х(-69,69), все положительные полутраектории поля Хе , начинающиеся в точках ди = Г-иГ+, входят в и, все отрицательные полутраектории поля X-, начинающиеся в точках дуги А1 А2 , выходят из и

в точках дуги А1А2 . Тогда множество и \ АТе \ гце (е1, иг (е)) односвязно и имеет место

2

Лемма 1. Любая положительная полутраектория Хе, ее (-69,69) , начинающаяся в точке и и при ее (-69,0]х(-69,69) отличная от седла <£е и его входящих сепаратрис, обязательно пересечет либо дугу АТе либо дугу

П1е (е1, иг (е)).

Из (12), (14) и (16) следует

Лемма 2. При е1 е (0,69), Р1(е1)<е2 <6 (ее (-69,0]х(0,69)) существует устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Ге поля Хе, проходящая через точку дуги Г|1е (еь иг (е)) (гце (0, иг (е))), а все другие траектории, пересекающие эту дугу к ней ю -предельны. При е1 е (0,69), е2 = Р1 (е1) через точку Г|1е (е1) проходит замкнутая траектория Ге поля Хе, а траектории, пересекающие дугу Г|1е (еь иг (е)) ю -предельны к ней. При е1 е (0,69), -69 <е2 <Р1 (е1) (ее (-69,0]х(-69,0)) не существует замкнутых траекторий, пересекающих дугу П1е[еьиг(е)) (гце(0,иг(е))). При ее (-69,0]х{0} траектории, пересекающие дугу Г|1е (0, иг (е)), ю -предельны к петле сепаратрисы точки Sе.

2 - 1

Ввиду (5) и (6) Уее (-61,61) на дуге ((-а, а) х {е1}) с М0 опреде-

Х0 г^т

е класса С такое, что

Х^? (г) = тХ+ (г) + (1 - т) X + (г) при некотором т = т( г, е) еК . При е = 0 оно уже было введено в условии У5. Из (5) и (6) следует, что при г еЛе := 9-е1((-а,0) х{е^) т(г, е) е [0,1], и потому дуга Ле состоит из особых точек и линейных особенностей [1] векторного поля Хе . Мы можем считать

61 столь малым, что точка А1 е Ле при всех ее (-61,61)2 .

Обозначим а:=д<2г+ (0)/ ду,-. Вектор (V1 (0), 1) - собственный вектор

матрицы (аг / ), соответствующий собственному значению . Пусть

ч ■ »ы у ]

Я* := V]1 (0) - (0)/б2- (0), (17)

тогда sgn Я* = sgn Я .

В координатной записи поле Х° имеет вид Х°( г) = б°( У1, е)д / ду1, где

б0 (У1, е) = [61+ (У1, е1, е) - б- (у, е1, е)т(у, е)][1 - т(у, е)]-1, т (у, е) = (у, еь е) / 62 (у1, еь е),

и потому

б0 (у, е) = [ап - а21(ет (0) / б- (0))]у + а^ + г(У, е1, е?), (18)

г (0,0, е2) = дг (0,0, е2)/ ду =дг (0,0, е2)/ де1 = 0. Из У 5 и (18) получаем

X0 =д00(0,0)/дЛ = ац -а21(б-(0)/(0)). (19)

Так как X0 < 0 , то мы можем считать а и 51 выбранными так, что

Уу е (-а,а) Уее (-5Ь51)2 дб0(уье)/ду < 0 . (20)

Вследствие (18) и (8)

дб0(0,0)/ де1 =д01+ (0)/ ду2 > 0. (21)

Из (18)—(21) и условия X0 < 0 по теореме о неявной функции получаем, что при некотором 5ю е (0,59)

Уу е (-а, а) Уее (-8^, 5Ю)2 00( У1, е) = -8ви(у1 - у* (е)), (22)

дб°(Л*(е),е)/ду < 0, где у*: (-5lо,¿8о)2 ^ (-а / 2,а / 2),

у* (е) = (-а12 / X0 + а3 (е))е1, а3 е С1, а3(0) = 0. (23)

Таким образом, при ее [0,5ю)х(-5ю,5ю) Ле- устойчивая линейная

особенность поля Хе , при ее (-5ю,0)х(-5ю,5ю) ^ге=01е1(У1*(е),е1) -устойчивая особая точка класса 1а [1, с. 164], Ле \ N состоит из двух устойчивых линейных особенностей Ае и Л+, в точках которых соответственно У1 < у* (е) и У1 > у* (е). Мы можем считать 5ю столь малым, что точка N принадлежит дуге А{Гг .

При достаточно малом 5ю одна из выходящих (входящих) сепаратрис седла 5е поля Х+, ее (-5ю,0)х(-5ю,5ю), первый раз пересекается с дугой А{ГЕ (А?Те ) в ее внутренней точке С- (С+) с координатой

у = у-(е) = е1 (V1 (0) + о(1)) (у =е1 (у2(0) + о(1))). (24)

Обозначим эту сепаратрису (Ь1е). Вторую выходящую (входящую)

сепаратрису обозначим £2е (12е).

Из (23), (24) , (17) и (19) получаем

у- (е) - у* (е) = (1(0) + аХ2/ X0 + о(1) )е1 =

°11vl (0) + a12 - a21 (Qf (0) / Q- (0)))

A,0

Г X0vj (0)-^(Qf (0)/Q- (0)) + Л A,0 ()

+ o(1)

=

=

It+°(1)

v

£1. (25)

Поэтому 6ю можно считать выбранным так, что

Уе е (-610,0) х (-610,6ю) sgn(у- (е) - у* (е)) = sgn Я* = sgn Я . Следовательно, при Я < 0 (Я > 0) сепаратриса Ьие идет в точку Се ,

принадлежащую Ье (Ь+), а точка N лежит внутри дуги СеТе (А1С ).

Пусть сначала Я < 0. Возьмем 6е (0,610). Поскольку 0 < Р1 (6) <6, то мы можем ввести множества Д, Д , Е]- (] = 1,...,4) так, как они описаны в теореме.

Пусть отрицательная полутраектория поля Хе , ее (-6,0)х(-6,6), начинающаяся в точке Се (С+), выходят из и в точке А- е А А2

(А+е А А2). Дуги СеТе и П1е [е1, 0) принадлежат области в и, ограниченной простой замкнутой кривой, состоящей из дуг С^Бе и С-5е, соответственно сепаратрис Ьие и Ь|е, дуг С+ л— и С- А- траекторий поля Х- и дуги А-А+ с АА2 . Сепаратриса Ь2е не может пересекаться с этой областью. Согласно лемме 1 она либо пересекает дугу Г|1е (0, иг (е)) (при е2 > 0), либо идет в седло ^ (при е2 = 0) либо первый раз пересекает дугу АТе в точке

на А1Се . Отсюда, из лемм 1 и 2 и из структуры линейных особенностей и особых точек на дуге АТе получаем описанные в теореме структуры фазовых портретов векторных полей Хе, ее (-6,6) , при Я < 0 (см. рис 2). Из

этого описания следует, что векторные поля Хе и Хе', е, е'е (-6,6)2, топологически эквивалентны в и тогда и только тогда, когда е и е' принадлежат одному элементу разбиения области параметров.

Рассмотрим случай Я > 0. Точка N имеет координаты

и = и* (е), и2 = и* (е), где и* (•), 1 = 1,2, - Ст 1 -функции на (-6ю,0)х(-610,610). Покажем, что

и* (е) = (К1 + о(1))-1 , К1 > 0 ; и* (е) = (К2 + о(1))-1 , К2 < 0 . (26)

2

Отображение 9зе ° 92е можно представить в виде и = у1 - Vl (0)у2 + +о(|у + |е|), и2 =-у1 +Vl1(0)у2 + о(|у| + |е|). Отсюда и из (23) получаем (26)

с Kj =-öj2 / X0 - v2(0) < 0 и К2 = öj2 / X0 + vj(0). Следуя выкладкам из (25),

имеем К2 = X0R* / X0 < 0.

Аналогично построению функций f±, используя (26), получаем, что при достаточно малом 5ц е (0,5ю) положительная полутраектория поля Хе , ее (-5ц,0)х(-5ц,5ц), начинающаяся в точке Иг, пересекает дугу п(-1,1)

в точке n( f* (е)), где f* (е) = v- (е)+1 е1 |1+11т(е)(1* + а4 (е)), l* < 0, а4 е С1, а4(0) = 0.

Рассмотрим С1 -функцию

Ä2 (е) := v+ (е) - f* (е) = е2 -1 ej | 1+11Y(e)(l* + а4 (е))

при ее(-511,0)х(-511,511) и А2(е):=е2 при ее [0,511)х(-511,511). При ее(-5ц,0)х(-5ц,5ц) выходящая сепаратриса £2е седла 8е первый раз пересекает дугу A{TZ тогда и только тогда, когда А2 (е) = 0. Так как ЭА2(0)/Эе2 = 1, ЭА2(0)/Эе1 = 0, ЭА2(е)/Эе1 > 0 при ее(-511,0) х(-511,511), то 5е (0,5ц) можно выбрать так, что

Уее (-5,5)2 sgn А2(е) = sgn^-ß4(el)), (27)

где ß4 :(-5,5)^(-5,0], ß2е С1, ß4(0) = ß4(0) = 0, 0^fa)< 1 при е1 е (-5,0).

Определим множества B0, Bj, Ej (j = 1,...,5) так, как они описаны

в формулировке теоремы. Как и в случае R < 0, используя дополнительно

(27), получаем описанные в теореме структуры фазовых портретов векторных 2

полей Хе , ее (-5,5) при R > 0 (см. рис. 3).

Библиографический список

1. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. - Москва : Наука, 1985. - 224 с.

2. Bernardo, M. di. Piecewise smooth dynamical systems / M. di Bernardo, Ch. J. Budd, A. R. Capneys, P. Kowalczyk // Appl. Math. Sci. - London : SpringerVerlag, 2008. - Vol. 163. - 483 p.

3. Guardia, M. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems / M. Guardia, T. M. Seara, M. A Teixeira. // J. of Differential Equations. - 2011. -Vol. 250, № 4. - P. 1967-2023.

4. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях кусочно-гладких векторных полей, имеющих петлю сепаратрисы седла, находящегося на линии разрыва / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 6. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2008.- С. 46-56.

5. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2. - С. 18-31.

6. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях предельного цикла, проходящего через точку пересечения линий разрыва векторного поля и касающегося одной из них /

В. Ш. Ройтенберг // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. - 2018. - Т. 50, № 1. - С. 21-34.

7. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение : пер. с англ. / Ж. Палис, В. Мелу. - Москва : Мир, 1986. - 301 с.

References

1. Filippov A. F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu [Differential equations with discontinuous right-hand side]. Moscow: Nauka, 1985, 224 p. [In Russian]

2. Bernardo M. di., Budd Ch. J., Capneys A. R., Kowalczyk P. Appl. Math. Sci. London: Springer-Verlag, 2008, vol. 163, 483 p.

3. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. J. of Differential Equations. 2011, vol. 250, no. 4, pp. 1967-2023.

4. Roytenberg V. Sh. Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teoriya i praktika: mezhvuz. sb. nauch. tr. [Mathematics and mathematical education. Theory and practice: interuniversity collected papers]. Issue. 6. Yaroslavl: Izd-vo YaGPU, 2008, pp. 46-56. [In Russian]

5. Roytenberg V. Sh. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2, pp. 18-31. [In Russian]

6. Roytenberg V. Sh. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo univer-siteta. Ser.: Matematika. Fizika [Bulletin of Belgorod State University. Series: Mathematics. Physics]. 2018, vol. 50, no. 1, pp. 21-34. [In Russian]

7. Palis Zh., Melu V. Geometricheskaya teoriya dinamicheskikh sistem. Vvedenie: per. s angl. [Geometric theory of dynamical systems. Introduction: translated from English]. Moscow: Mir, 1986, 301 p. [In Russian]

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88)

E-mail: vroitenberg@mail.ru

Roytenberg Vladimir Shleymovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, subdepartment of higher mathematics, Yaroslavl State Technical University (88, Mos-kovsky avenue, Yaroslavl, Russia)

Образец цитирования:

Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы двумерной кусочно-гладкой динамической системы / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2020. - № 1 (53). - С. 36-50. - БОТ 10.21685/2072-3040-2020-1-3.