О бифуркациях периодической траектории с односторонним касанием линии разрыва векторного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ройтенберг В.Ш. ©

Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики, Ярославский государственный технический университет

О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ С ОДНОСТОРОННИМ КАСАНИЕМ ЛИНИИ РАЗРЫВА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Аннотация

Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле на двумерном многообразии, имеющее периодическую траекторию, проходящую через точку линии разрыва поля. При этом положительная полутраектория, начинающаяся в указанной точке имеет с линией разрыва кубическое касание, а отрицательная полутраектория трансверсальна этой линии. Предполагается также, что других особых точек траектория не содержит. Описаны бифуркации в окрестности такой периодической траектории.

Ключевые слова: кусочно-гладкое векторное поле, периодическая траектория, бифуркации, бифуркационные многообразия.

Keywords: piecewise smooth vector field, periodical orbit, bifurcations, bifurcation manifolds.

Изучению бифуркаций динамических систем, задаваемых кусочно-гладкими векторными полями, посвящен ряд работ, например, книги [1; 2]. В статьях автора [3-6] рассматривались нелокальные бифуркации рождения устойчивых периодических траекторий. Интерес представляют и бифуркации перерождения периодических траекторий, при которых у них меняется число дуг скользящих движений [7; 8]. Одну из таких бифуркаций мы и рассмотрим ниже.

На ориентируемом компактном двумерном C¥ -многообразии M с разбиением D на компактные двумерные C¥ -подмногообразия Mi, i e{1,..., n}, такие, что M = M1 и... и Mn, Mi n Mj = ЭMг. пЭМ;. при i, j e{1,.., n}, i Ф j, рассмотрим кусочно-гладкое векторное поле X = (X1,..., Xn)eXr(M,D), где Xr(M,D) - прямая сумма банаховых пространств Xr(Mi) векторных полей класса Cr на Mi с Cr -топологией (r > 4) [4; 5].

Для удобства формулировок дадим (в рамках этой статьи) названия некоторым особым точкам на линиях разрыва. Пусть точка z0 принадлежит M0 =ЭЫ+ пЭЫ_ для

некоторых i+,i_e{1,...,n}. Выберем локальные C¥-координаты (x,y) в окрестности O точки z0 так, чтобы x(z0) = y(z0) = 0, а O nM_ = {z e O : y (z) < 0}, O nM+ = {z e O : y(z) > 0} . Такие координаты будем называть правильными. В этих координатах

Хг± (x, y) = P ± (x, y, X) Э / Эх + Q ± (x, y, X) Э / Эу , (1)

где P±, Q±e Cr.

Будем называть z0 сжимающей трехсепаратрисной особой точкой поля X0, если координаты (x, y) можно выбрать так, что P+ (0,0, X0) > 0, Q+ (0,0, X0) = 0, ЭQ+ (0,0, X0)/ Эx > 0, а Q~ (0,0, X0) > 0. Точка z0 является внутренней точкой траектории поля X0+, касающейся в z0 линии M0. Положительную (отрицательную) полутраектории L+, начинающиеся в точке z0, будем называть выходящей (входящей)

© Ройтенберг В.Ш., 2016 г.

касательной сепаратрисой точки г0. Отрицательную полутраекторию поля Х0_ , начинающуюся в г0, будем называть входящей трансверсальной сепаратрисой точки г0.

Будем называть г0 сжимающей точкой поворота поля Х0, если координаты (х, у)

можно выбрать так, что Р + (0,0, Х0) > 0, (0,0, Х0) = 0, Э0+ (0,0, Х0)/ Эх < 0, а Q~ (0,0, Х0) > 0. Отрицательную полутраектории поля Х0_, начинающуюся в г0, будем называть (входящей) сепаратрисой точки г0.

Будем называть г0 сжимающей проходимой особой точкой поля Х0, если в некоторых правильных координатах

Р+ (0,0,Х0) > 0, Q + (0,0,Х0) = ЭQ+ (0,0,Х0)/Эх = 0, Э^+ (0,0,Х0)/Эх2 > 0, (2)

Q (0,0,Х0) > 0.

Пусть Ь : г = ) - траектория поля Х, а (Ь ) - наименьшее (наибольшее) из чисел ^ (^), для которых дуга t2) <^ЭМг пЭМг при некоторых г+,г_е{1,...,п}, а в ее точках

г вектор Х0+ (г) (Х0_(г)) не касается ЭМг пЭМг и направлен внутрь М_ (М+ ). Дугу ^[а, Ь] назовем дугой устойчивого скользящего движения на траектории Ь .

Теорема. Пусть векторное поле Х0 е С (М, Б) имеет периодическую траекторию Г0, содержащую сжимающую проходимую особую точку г0 и не содержащую других особых точек. Тогда существуют окрестность и периодической траектории Г0, окрестность V векторного поля Х0 и Сг_ -диффеоморфизм g : (_5, 5)2 хЬ ® V, где ё> 0,

Ь- окрестность нуля в некотором подпространстве банахова пространства Xг (М, Б), со следующими свойствами:

1) Положительные полутраектории векторных полей Х еV, начинающиеся в точках и , не выходят из и .

2) Окрестность V можно представить в виде (рис. 1) V = и5=0 В{ и и5=1 Ег, где

В0 = ^{(0,0)}хЬ), В = Ме/):£ = /£)}, /:(0,5)хЬ ® (0,5), / е С1, /£,/) = 0£2) равномерно относительно /е Ь, В2 = {g(е, /): £1 = 0, 0 < е2 < 5},

В3 = {g(е,/):е = 0, _5<е2 < 0}, Вг = &(е,!):е = /£,/)}, П :(_5,0)хЬ ® (0,5), / е С1, П (е2, /) = 0(е\) равномерно относительно / е Ь при г = 4,5, /4 (е2, /) < / (е2, /),

Е = ^(е,/): _5< е <5, /) <£1 < 5 },

где п(е2,/) = я5(е2,/) при _5<е2 <0, /(0,/) = 0, п(е2,/) = я(е2,/) при 0<е2 <5, Е2 = ^(£,/): 0 < £2 < 5, 0 < £1 < /£,/)} Е = {g(е,/): _5< £1 < 0}, Е4 = {g(е, /): _5 < £2 < 0, 0 < £1 < /)}, Е4 = ^(е, /): _5 < £2 < 0, /4 (£2, /) < £1 < /5 (£2, /)}.

3) Схемы векторных полей Хе г = 1,...,5, и Хе В] = 0,1,...,5, в и изображены на рис. 1. Векторные поля Х е В1 и В4 и В5 и Е2 и Е4 и Е5 имеют в и две особые точки -сжимающую точку поворота и сжимающую трехсепаратрисную точку. Векторные поля Х е В2 и В3 имеют в и единственную особую точку - сжимающую проходимую точку. Векторные поля Х е Е3 не имеют в и особых точек. Векторные поля Х е V имеют в и единственную периодическую траекторию ГХ, к которой О-предельны все остальные траектории, начинающиеся в и; ГХ содержит дугу скользящих движений при Х е В4 и Е4 и Е5 и не содержит такой дуги для остальных Х е V .

Рис.1. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов

Доказательство. Из условий (2) по теореме о неявной функции следует существование Сг-1 -функции х: У1 ® К, где У1 - некоторая окрестность поля X0, такой, что

х(Х0) = 0 и "X е У1 ЭQ + (х(X), 0, X) / Эх = 0. Сделав замену координат хХ = х - х(X), уХ = у и вернувшись к прежним обозначениям координат, мы можем считать, что векторное поле X е У1 в окрестности точки z0 имеет вид (1), где уже Р±, Q± е Сг-1,

Q + (0,0, X0) = 0, 8§п ЭQ+ (х, 0, X)/ Эх = sgn х . (3)

Согласно [9, 595] существуют такие Сг-1-функции Р+, Q+ :(-V, V)2 х У1 ® К, что Р+ (х, у, X) = Р+ (х, у, X) , Q+ (х, у, X) = Q+ (х, у, X) при (х, у) е (-V, V) х [0, V). Выбрав окрестность У2 е У1 и число V > 0 достаточно малыми, будем также иметь

"(х, у) е (-V, V)2 "X е У2 Р+ (х, у, X) > 0, Э^+ (х, у, X)/ Эх2 > 0, (4)

"х е (-V, V) "X е У2 Q" (х,0, X) > 0. (5)

Ввиду (3) и (4) на множестве (-V, V)2 х У2 определена Сг-1-функция Я = Q+ / Р+, при

этом

Я(0,0, X0) = 0, sgn ЭЯ(х,0, X)/ Эх = sgn х, Э2Я(х,0, X)/ Эх2 > 0. (6)

Мы можем считать, что координаты выбраны так, что

Э2 Я (0,0, X0)/ Эх2 = 1. (7)

Введем функцию q1 = - Я(0,0, •): У2 ® К. Ясно, что dq1(X0) Ф 0 . Поэтому существуют такие окрестность У3 е У2 поля X0, окрестность нуля Ь1 в подпространстве кег dq1(X0) банахова пространства Xг(М,Б), число 8Х >0 и Сг-1-диффеоморфизм g1 хЬ1 ® У3,

что "(е,¡1)е (-3,3)хА ^(^(е,¡1)) = вх.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

^ = R( x, у, X). (8)

dx

Его интегральные кривые, лежащие в полуплоскости y > 0, задают в координатах (x, у) дуги траекторий поля X . Для достаточно малого числа a > 0 и некоторой окрестности V4 с V3 при любых uе (-a, a), vе (-а, а), Xе V4 определено решение Y(x,u,v,X), x е (-2а, 2а), уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию Y(u, u, v, X) = v, при этом Y е Cr-1. Так как R(0,0, X0) = 0 , то

Y'(a, 0,0, X0) = -Y'v(a, 0,0, X0) R(0,0, X0) = 0. (9)

Обозначим h(s) точку с координатами x = a, у = Y(a,0,0, X0) - s . Если s > 0 достаточно мало, то r() : (-s, s ) ® intMt и трансверсально траекториям векторных полей X!+ при X е V4. Отсюда и из (5) следует, что можно выбрать такие окрестность V5 с V4 и число 0 < s0 < s , что определено отображение точки r(s), s е (-s0, s0), по траекториям поля X е V5 в точку окрестности z0 с координатами x = f1(s, X), у = 0, при этом /(•, •) е Cr-1, Э/1 (s, X)/ds > 0. Для некоторых окрестности V6 = ^1(-52,52)хL2 с V5 и числа u1 е (0,a) определена функция

f (u,X) = f1 (Y(a,0,0,X0)-Y(a,u,0,X),X) , uе (-u1,u1), Xе V6.

Из (9) следует, что при этом можно считать

| df (u,X)/du |< 1/2 . (10)

При Xе g1({0}хL1), то есть при Q (0,0,X) = 0, ввиду (3)-(4) интегральные кривые уравнения (8) являются дугами траекторий поля X!+, поэтому f (•, X) - отображение по траекториям поля X. Определим функцию q2 : V6 ® R положив q2(g1(e1,l1)) = f (0,g1(0,/1)). Нетрудно проверить, что dq1( X0) и dq2( X0) линейно независимы. Поэтому найдутся такие окрестность V7 с V6 поля X0, окрестность нуля L3 в подпространстве Л = ker(dq1(X0), dq2(X0)) пространства Xr (M, D), число d3 > 0 и Cr-1-диффеоморфизм g : (-d3, d3)2хL3 ® V7, что

"(e, /) = (£1,^2, /) е (-d„d3)2 х L3 qk (g (e, /)) = ek, k = 1,2. (11)

Пусть u е (0, u1). Вследствие (10) f (-u, X0) > -u , f (u, X0) < u . Выберем число u0 так, чтобы -u <-u0 < f (-u, X0) , f (u, X0) < u0 < u . Пусть T - период Г0, z = Z(t)-уравнение Г0, а числа t0 = 0 < t1 < ... < tk-1 < tk = T таковы, что дуги Z\fi-1, ti ] с M^ , i = 1,..., k, а их концы Z(ti-1), C(ti) е 3M; . Нетрудно построить окрестность i7 периодической траектории Г0 (аналогично соответствующей конструкции в гладком случае \10, 99]) со следующими свойствами: U ограничена двумя простыми замкнутыми кривыми Г- = Uk=1 Г- и Г+ = Uk=1 Г+, состоящих из гладких дуг Г± с Mj с концами на ЭМ; и трансверсальных ЭМ; ; Г- и Г- пересекают дугу у = 0, соответственно, в точках с координатой x = xX^ = -u0 и x = xXo = u0; векторное поле X0ji в точках Г± трансверсально Г± и направлено внутрь U .

Выбрав окрестность V7 достаточно малой, можно считать, что для всех X е V7 , i = 1,...,k векторное поле X0ji в точках Г± направлено внутрь U,

f (u, X) < u0 + x(X) < u , -u < -(u0 + x(X)) < f (-u, X) . (12)

Мы можем также считать, что при u е \-u, u ], X = g(e, /) е V7

df (u,X)/de2 > (1/2)df (0, X0)/de2 = 1/2, (13)

|Э/(и,X)/Эвк \ <N = 2(|ЭД0,Xo)/Эе1+1), k = 1,2. (14)

Вследствие (6) и (7)

Я( х, у, g (е, ¡)) = -е + с(е, ¡) х2 + х3 w1 (х, е, ¡) + yw2 (х, у, е, ¡), где с, w1, w2 е С1, с(0,0) = 1.

Обозначим / = . В уравнении (8) при /I > 0 сделаем замену переменных х = /их1, у = /I у1. Получим уравнение

^ = Я^, у/е, ¡), (15)

dx1

где

Я1( х1, у/е, I) = -1 + с(/ ,е2,1) х' + х1, у1, /¿,е2, I),

w( xl, у^/е1) = w1(Ix1,I2,e2,1) + у:^1^ /3 у 1,1, е2,1).

Мы можем считать столь малым, что функция w определена и принадлежит классу С1 при -чЩ, </<л[33 , -83 < е2 < , -и /1 / | < х1 < и /1 /1, если / Ф 0 и -¥ < х1 < ¥ , если / = 0, -2 < у < 2 .

Если число ¿>4 е (0, д3) и окрестность нуля Ь4 е Ь3 в Л достаточно малы, то уравнение Я1(х1,0,/,е2,1) = 0 имеет при (/,е2,1)е х(-34,34)хЬ4 относительно

х1 два решения х+ (/,е2,1) и х- (/,е2,1), где х±е С1, х± (0,0,0) = ±1,

Я1(х1,0,/,е2, ¡) < 0 для х- (/,е2, ¡) < х1 < х+ (/,е2, ¡), (16)

Я1(х1,0,/,е2, ¡) > 0 для х1 < х- (/,е2, ¡) и х1 > х+ (/,е2, ¡). (17)

Пусть У1 (х1,и,/,е2,1) - решение уравнения (15), удовлетворяющее начальному

33

хи

условию У1 (и, и, /, е2,1) = 0 . Ясно, что 11 (х1, и,0,0,0) = -х1 + + и - —, и потому

х3 2 1

1 (х , х+ (0,0,0), 0,0,0) = 1 (х ,1,0,0,0) = -х1 + + - = - (х + 2)(х1 -1)2.

Отсюда по теореме о неявной функции следует, что если д4 и Ь4 выбраны достаточно малыми, то при (/,е2,¡)е (-^4)х(-34,34)хЬ4 уравнение 11(х1,х+ (/,е2,¡),/,е2,¡) = 0 имеет решение х1 = х* (/,е2,1), такое, что х* е С1 и х* (0,0,0) = -2 , при этом

0 < У1(х1, х+ (/,е2, ¡),/,е2, ¡) < 2 для х* (/,е2, ¡) < х1 < х+ (/,е2, ¡). (18)

Тем самым, дуга Ь*: у1 = У1 (х1, х+ (/, е2,1), /, е2,1), х* (/, е2,1) < х1 < х+ (/, е2,1), принадлежит траектории поля Xг+, а потому и поля X.

Обозначим и± (е, I) = х± (л[ё\, е2,1 )\[е, и* (е, I) = х* Ц/е", е2,1 . При достаточно малых и Ь4

■¡е/2<и+ (е,¡)<, -1,^д/е"<и-(е,¡)<-^/2, -2,^>/е~<и*(е,¡)<-1,5^ .

(19)

Эе и+ (е, ¡) Эе и- (е, ¡) , Эе и* (е, ¡) (20)

Эе1 4>1е1 Эе1 4у]е1 Эе1 2^/е,

Ввиду (3), (16) и (17)

Q+ (и,0, g(е, I)) < 0, если и- (е, I) < и < и+ (е, I), (21)

Q + (и, 0, g(е, I)) > 0, если -и < и < и- (е, I) или и+ (е, I) < и < и. (22)

Из (3) - (5) и (19) следует, что для поля X = g(е, /) точка 2- (е, /) с координатами х = и_ (е, /), у = 0 - сжимающая точка поворота, а точка 2 + (е, /) с координатами х = и+ (е, /), у = 0 - сжимающая трехсепаратрисная особая точка, для которой дуга Д - ее входящая касательная сепаратриса.

Обозначим ё(и,е, /) = /(и, g(е, /)) _ и . Вследствие (22) и (18) ограничение функции

/(•, X) , X = g(е, /), на промежутки и+ (е, /) < и < и и _и < и < и* (е, /) дает отображение по траекториям поля X . Поэтому ё(и,е, /) = 0 при и+ (е, /) < и < и или _и < и < и* (е, /) тогда и только тогда, когда через точку с координатами х = и , у = 0 проходит периодическая траектория поля X = g(е, /); в частности, выходящая сепаратриса точки г + (е, /) совпадает с ее трансверсальной входящей сепаратрисой, если ё1 (е, /) = 0, где ё1 (е, /) = ё (и+ (е, /), е, /).

Аналогично (9) 7и'(а, и+ (е, /), 0, g (е, /)) = 0, поэтому

a

— f (u, g (e, l)) au

u = u+ (e, l)

0

и

aa — f (u+ (e, l), g (e, l)) = — f (u, g (e, l))

aek aek

k = 1,2.

(23)

u = u+ (e, l)'

Из равенства f (u+ (0, l), g (0, l)) = 0 и из (23) получаем, что при некотором eе (0,d>)х(-d4,d4)

f (u+ (e, l), g (e, l)) и вследствие (14)

Из равенства

aa

ei ^ f (u, g(e l)) + e2 ^ f (u, g(e , l)) ae1 ae2

| f (u+ (e, l), g(e, l))|< N(e +1 e21).

u=u+ (e, l)

(24)

(25)

a a a

—dl (e, l) = — f (u+ (e, l), g (e, l)) -—u+ (e, l), ae1 ae1 ae1

используя (23) и оценки (14) и (20) получаем, считая d4 < 1/(16N2) ,

d[(e, l) <--^ + N < 0.

ae1 Ve

Так как f (0, g(e, l)) e =0 = e2, а в силу (19) lim u (e, l) = 0, то

1 e®+0

lim d1 (e, l) = e2 .

e1 ®+0

Мы можем считать, что d4 < 1/16. Выберем число K > max{1, 16N2}. 0 < d < d4 / K . При e2 е (0, d), Ke22 < e1 < d из (19) и (25) получаем

d1(e,l) < Ne1 -^/2 + Ne2 < Ne2 -(1/2(N-4K/4)e2 < 0. Из (26) - (28) следует, что существует такая С1-функция g :(0, d)хZ ® (0, d), что "(e2,l)е (0,d)хZ 0<g(e2,l)<Ke22 и

sgnd1(e,l) = sgn(g(e2,l)-e1) при ee (0,d)х(0,d). (29)

Из (26) и (27) получаем, что

sgn d1 (e, l) < 0 при e e (0, d)х (-d, 0]. (30)

Ввиду (29) и (30) выходящая сепаратриса точки z + (e, l) и ее трансверсальная входящая сепаратриса принадлежат одной периодической траектории, если e1 = g(e2, l) (на

(26)

(27) Пусть

(28)

—d2(e, l) > 0, если ee (0,d)х (-d,0). (34)

бифуркационное диаграмме Xe B1). Вследствие (10) dd(u,e,l)/du < 0. Отсюда и из (29) и

(12) получаем, что d(•, e, l) при e2 е (0, d), 0 <e1 <g(e2, l) имеет на промежутке

u+ (e, l) < u < u единственный нуль up. Через точку с координатами х = up, y = 0 проходит

периодическая траектория, к которой ¿»-предельны все остальные траектории, начинающиеся в окрестности U .

Обозначим d2(e, l) = f (u+ (e, l), g(e, l)) -u-(e, l). Из (13), (14), (24) и (19) получаем

d2(e,l)>V^/2-Ne1 +e2/2>(1/2-N7döV^ + e2/2 >0 при ee (0,d)х[0,d). (31) Аналогично (28)

lim d2 (e, l) = e2 < 0 при e2 e (-d, 0) . (32)

e®+0

Аналогично (28) , (31) и (26) получаем

d2(e,l)>4£j2-Ne1 + Ne2 >(1/2-Njd^je + Ne2 >(s[K/4-N)|e2|>0, (33)

если e2 e (-d, 0), Ke22 < e1 < d5,

и

_d_ de1

Из (32)-(34) следует, что существует С1-функция g5 :(-d,0)хL ® (0,d) такая, что "(e2, l) e (-d, 0) х L 0 < g5(e2, l) < Ke22 и

sgn d2 (e, l) = sgn(e1 - g5 (e2, l)) при e e (0, d) х (-d, 0). (35)

Из (29) - (31) и (35) следует, что при ee E1 f (u+ (e,l),g(e,l)) принадлежит промежутку (u- (e, l) , u+ (e, l)). Поскольку Q+ (х, 0, g(e, l)) < 0, а Q (х, 0, g(e, l)) > 0 при х e (u- (e, l), u+ (e, l)), то через точку z+ (e, l) проходит периодическая траектория ГX поля X = g(e, l), содержащая дугу скользящих движений y = 0, f (u+ (e, l), g(e, l)) < х < u+ (e, l). Нетрудно убедиться, что все остальные траектории, начинающиеся в окрестности U имеют с ГX общую положительную полутраекторию.

При e1 = g5(e2, l) (X e B5) выходящая сепаратриса точки z + (e, l) и входящая сепаратриса точки z- (e, l) принадлежат одной периодической траектории, содержащей дугу скользящих движений y = 0, u- (e, l) < х < u+ (e, l).

Обозначим d3(e, l) = f (u+ (e, l), g (e, l)) - u* (e, l). Аналогично (35) доказывается существование С1-функции g4:(-d,0) х L ® (0,d) такая, что "(e2, l) e (-d,0) х L

0 < g (e2, l) < g> (e2, l) и

sgnd3(e,l) = sgn(e1 -g4(e2,l)) при ee (0,d)х(-d,0). (36)

Из (36) следует, что при e1 = g4(e2, l) ( X e B4) положительная полутраектория, выходящая из точки z + (e, l) содержит входящую касательную сепаратрису L* этой точки. Поведение траекторий при X e E5, изображенное на рис.1, также следует из (36). При Xe E4 из (36) получаем, что

d (u* (e, l), e, l) = f (u+ (e, l), g (e, l)) - u* (e, l) = f (u* (e, l), g (e, l)) - u* (e, l) = d3 (e, l) < 0. Вместе с (10) и (12) это дает существование единственного нуля функции d(, e, l) на интервале (-u, u* (e, l)) и, соответственно, гиперболической периодической траектории, к которой ^-предельны остальные траектории, начинающиеся в U .

Поле X = g(e, l)) e E3 (e e (-d, 0) х (-d, d)) не имеет особых точек, а f (•, g(e, l)) является диффеоморфизмом по траекториям поля X . Поле X e B0 = g({(0, 0)}х L) ,

X e B2 = g(|0}x (0,d) xL) и X e B3 = g(|0}x (-d, 0) xL) имеет единственную особую точку с координатами xX = yX = 0, а f (•, g (e, l)) является инъективным отображением по траекториям поля ( df (0, g (e, l))/ Эх = 0). Из (10) и (12) следует, что в этих случаях f (•, g (e, l)) имеет единственную (устойчивую) неподвижную точку. Соответственно, X имеет в U устойчивую периодическую траекторию Г X, к которой ¿y-предельны остальные траектории, начинающиеся в U . При X e B0 rX проходит через особую точку, а случаи ee B2 и ee B3 отличаются только тем, что траектория, проходящая через особую точку находится по разные стороны от TX.

Литература

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

2. di Bernardo M., Budd Ch. J., Capneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise smooth dynamical systems // Appl. Math. Sci. V. 163. London: Springer, 2008. 483 p.

3. Ройтенберг В.Ш. О рождении устойчивой замкнутой траектории из гомоклинической траектории седла кусочно-гладкого векторного поля // Ярославский педагогический вестник. 2013, № 4. Т. 3 (Естественные науки). С. 44 - 49.

4. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого тройного цикла // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 9. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2014. С. 54-67.

5. Ройтенберг В.Ш. О рождении предельных циклов из контура, образованного сепаратрисами седла и сшитого седло-узла кусочно-гладкого векторного поля // Вестник Костромского государственного ун-та им. Н.А. Некрасова. 2014, Т. 20, № 2. С. 26-30.

6. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сепаратрисного контура кусочно-гладкого векторного поля // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: Сб. трудов ХХVII Международной науч. конф. в 12 т. Т. 1. Тамбов. Тамбовск. гос. тех. ун-т, 2014. C. 14-16.

7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях перерождения замкнутых траекторий кусочно-гладких векторных полей // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 4. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2004. С. 75 - 81.

8. Ройтенберг В.Ш. Об одной бифуркации трехмерных кусочно-гладких векторных полей // Вестник Адыгейского государственного ун-та. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2014, № 1 (133). С. 16-23.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, М.: Физматлит, 2001. 611 с.

10. Андронов А.А. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.