О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ «ВОСЬМЕРКА» КУСОЧНО-ГЛАДКОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ С СИММЕТРИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-8

В. Ш. Ройтенберг

О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ «ВОСЬМЕРКА» КУСОЧНО-ГЛАДКОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ С СИММЕТРИЕЙ

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучение бифуркации в типичных одно- и двухпа-раметрических семействах кусочно-гладких динамических систем на плоскости представляет значительный интерес как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Этим исследованиям посвящено большое число научных работ. В приложениях часто встречаются динамические системы с симметрией. Однако бифуркации кусочно-гладких систем с симметрией пока изучены мало. Поэтому исследование бифуркаций в типичных семействах таких динамических систем представляется актуальным.

Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Основной метод состоит в исследовании поведения функций последования и соответствующих функций расхождения при разных значениях параметров.

Результаты. Рассматривается двухпараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей на плоскости, «сшитых» из гладких векторных полей, заданных, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях. Векторные поля семейства предполагаются инвариантными при преобразовании симметрии относительно начала координат. При нулевых значениях параметров векторное поле имеет орбитно устойчивую периодическую траекторию Г, гомеоморфную «восьмерке», касающуюся в начале координат О оси х и сверху и снизу. В случае общего положения описываются бифуркации в окрестности U контура Г. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности в U векторных полей семейства.

Выводы. Описаны типичные двухпараметрические бифуркации в окрестности рассматриваемой периодической траектории.

Ключевые слова: кусочно-гладкое векторное поле, симметрия, периодическая траектория, бифуркация, бифуркационная диаграмма.

V. Sh. Roytenberg

ON BIFURCATIONS OF A PERIODIC TRAJECTORY "EIGHT" OF A PIESEWISE SMOOTH VECTOR FIELD WITH SYMMETRY

Abstract.

Background. The study of bifurcation in typical one- and two-parameter families of piecewise smooth dynamical systems on the plane is of considerable interest, both from a theoretical and applied point of view. A large number of scientific papers are devoted to these studies. In applications, dynamic systems with symmetry

© Ройтенберг В. Ш., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

are often found. However, bifurcations of piecewise smooth systems with symmetry have so far been little studied. Therefore, the study of bifurcations in typical families of such dynamical systems seems relevant.

Materials and methods. We use methods of the qualitative theory of differential equations. The main method is to study the behavior of Poincare mappings and the corresponding divergence functions for various parameter values.

Results. We consider a two-parameter family of piecewise-smooth vector fields in the plane that are "stitched" from smooth vector fields defined respectively in the upper and lower half-planes. The vector fields of the family are assumed to be invariant at the transformation of symmetry with respect to the origin. At zero values of the parameters, the vector field has an orbital stable periodic trajectory Г, home-omorphic to the "eight", tangent to the x axis at the origin and above and below. In the generic case, bifurcations are described in a neighborhood U of the contour Г. A bifurcation diagram is obtained - a partition of a neighborhood of zero on the parameter plane into classes of topological equivalence in U of vector fields of the family.

Conclusions. Generic two-parameter bifurcations in a neighborhood of the considered periodic trajectory are described.

Keywords: piecewise smooth vector field, symmetry, periodic trajectory, bifurcation, bifurcation diagram.

Введение

Исследованию бифуркаций двумерных кусочно-гладких динамических систем посвящено много работ, например книги [1-2] и статьи [3-5]. Динамические системы, моделирующие различные процессы, часто имеют естественную симметрию. В статье [5] рассматривались локальные бифуркации обратимых кусочно-гладких систем. Здесь мы исследуем некоторые бифуркации систем, инвариантных при симметрии плоскости относительно начала координат.

2 2 2

Пусть D = (R +, R_) - разбиение плоскости R на полуплоскости

R+ := {(x,y) е R2 : y > 0} и R+ := {(x,y) е R2 : y < 0}, а X+ и X_ - векторные поля класса Cr (r > 2) соответственно в R + и R_ . Кусочно-гладким векторным полем X = (X +, X_) на R2 с разбиением D назовем класс всех (воЛ 2

обще говоря, разрывных в точках оси x) векторных полей X на R таких, что Х( x, y) = X+ (x, y) при y > 0 и X(x, y) = X_ (x, y) при y < 0. Будем рассматривать векторные поля, инвариантные относительно отображения S: (x,y) ^ (_x,— y), т.е. такие, что

X_ (x, y) = —X + (—x, —y) для всех (x, y) е R_ . (1)

Множество всех таких векторных полей обозначим Х£.

Траектории поля X е Х£ определим согласно Филиппову [1] как траектории дифференциального включения (x, y) е %(x, y), где %(x, y) = {Х(x,y)} , если y 0, и %(x,y) - выпуклая оболочка векторов X + (x, y) и X _ (x, y), если y = 0. Точки (x,0), в которых векторы X + (x,0) и

_ 2

X (х, 0) не касаются оси х и направлены оба либо внутрь R+ , либо внутрь 2

будем называть простыми точками поля.

1. Постановка задачи и результаты

Рассмотрим семейство векторных полей Хе = (Х+, Хе ) еХ£ , зависящих от параметра е, принадлежащего некоторой окрестности нуля Е в двумерном евклидовом пространстве. Пусть в координатах

X± (х, у) = (± (х, у, е), б± (х, у, е)), где функции Р± и б± принадлежат классу Сг . Будем предполагать, что поле Х0 = (Х+, Х0 ) в точке О = (0,0) удовлетворяет следующим условиям.

Условие 1. Р + (0,0,0) > 0, б + (0,0,0) = 0, дб + (0,0,0)/ дх > 0 . Из условия 1 следует, что в точке О начинается положительная (отрицательная) полутраектория Г+ (Е_) векторного поля Х+, касающаяся в О оси х. Ввиду (1) Ь+ = £(Е+) (Ь_ = £ (Е_)) - положительная (отрицательная)

полутраектория векторного поля Х_ , касающаяся в О оси х. Предположим, что выполняется и условие 2.

Условие 2. Через точку О проходит периодическая траектория Г+ векторного поля Х0 , содержащая дуги 1+ и Ь_ и пересекающаяся с Я2 \ {О} только в простых точках поля.

Из условия 2 следует, что Г+ - простая замкнутая кривая. Вследствие симметрии через точку О проходит и периодическая траектория Г = £(Г+) векторного поля Х0, содержащая дуги Ь+ и 1+, пересекающаяся с Я2 \ {О}

только в простых точках поля (рис. 1). Тогда Г = Г+ и Г - также периодическая траектория.

Лемма 1. Существуют такие числа 0 < и§ < йд и такое С1 -отображение Х+ : [0, и0) ^ [0, й0), что х+ (0) = 0 , У и е [0, и0) (%+ )'(и) > 0 , а положительная полутраектория поля Х0, начинающаяся в точке (и,0), и е [0,щ), следующий раз пересекает дугу [0,м"0)х{0} в точке (%+ (и),0). Доказательство леммы приведено в разд. 2.

Обозначим := (%+ )'(0). При < 1 траектории поля Х0 , начина-

+

ющиеся в точках достаточно малой отрицательной полуокрестности Г

и Г_, ю -предельны соответственно к Г+ и Г_ (рис. 1).

2 ^

Пусть п :(_1,1) ^ intR+ - такое С-отображение, что У и е (_1,1) |'(и) ^ 0, дуги п(— 1,1) и 1+ пересекаются в единственной точке |(0), причем репер (г|'(0),Х+ (п(0))) положительно ориентирован.

8 = 0

Рис. 1. Траектории поля Xq , < 1, Xext < 1

Так как Г \ {О} пересекается с осью х только в простых точках поля, а дуга Г+ и Г_ (17+. и Г_) траектории Г имеет положительную полуокрестность, принадлежащую целиком (К_), то существует такое Сг -отображение х_ : [_пь0] ^ (_1,0], что х_(0) = 0, Упе [_пь0] (%_)'(п) > 0, а положительная полутраектория поля Х0, начинающаяся в точке Ц(п),

п е [_П1,0], следующий раз пересекает дугу п(_1,0] в точке п(Х_ (п)). Обозначим ^ех! := (Х0)'(0). При < 1 траектории поля Х0, начинающиеся в точках достаточно малой положительной полуокрестности Г, ю -предельны к Г (рис. 1).

Из условия 1 следует, что существуют число а > 0, окрестность нуля

Е' в Е, и Сг -функция х: Е' ^ (_а, а), х(0) = 0 такие, что х, у, 8) е [_а, а] х [0, а] х Е':

Р+ (х, у, 8) > 0, д-д+ (х, у, 8) > 0, sgn (+ (х,0,8) = sgn(х _ х(8)). (2)

Из условий 1 и 2 следует, что найдется такая окрестность нуля Е* с Е' в пространстве параметров, что положительная (отрицательная) полутраектория поля Х+, 8еЕ", начинающаяся в точке О+ = (х(8),0) (О_ = (_х(8),0)),

пересекает дугу П(_1,1) в точке Ц(п+ (8)) (Ц(п_(8))), где п±()е Сг, п± (0) = 0. Обозначим п(8):= п+ (8) _ п_ (8). Будем считать, что выполняется следующее условие.

Условие 3. Векторы дх(0)/ д8 и Эг2(0) / д8 линейно независимы.

Тогда в некоторой окрестности нуля Е сЕ в пространстве параметров можно ввести такие Сг -координаты (81,82), что х(8) = 81, п(8) = 82. Далее мы будем отождествлять точку 8еЕлг с ее координатной строкой 8 = (81,82) и считать, что Е"/ = (_§1,81)2 = (_§1,81)х(_§1,81), где 0<81 <а .

Теорема. Пусть выполняются условия 1-3 и А,^ < 1, ^х! < 1. Тогда существуют окрестность и периодической траектории Г и число 8е (0,81) со следующими свойствами:

1) положительные полутраектории векторных полей Хе, ее (- 5,5) , начинающиеся в точках ди, входят в и;

2

2) бифуркационная диаграмма семейства Хе, ее (- 5,5) , в и пред-

2

ставляет собой разбиение области параметров (- 5,5) на множества Во = {(0,0)}, В,-, Ег-, I = 1,2,...,9 (рис. 2), где

Е = {е: е! е (0,5), 0 < е2 < Р^)}, В! = {е: е1 е (0,5), е2 =Э1(ех)},

Е2 = {е: е1 е (0,5), р^) < е2 < Р2(е1>}, В2 = {е: е! е (0,5), е2 = в2 (е1)},

Е3 = {е: е1 е (0,5), ^(е^ < е2 < 5},

вк : (0,5) ^ (0,5), вк е С1, вк (+0) = Р* (+0) = 0, к = 1,2, ^1(61) <^2(е1), В3 = {0} х (0,5), Е4 = (-5,0) х (0,5), В4 = (-5,0) х {0}, Е5 = {е: е1 е (-5,0), в5 (е1) < е2 < 0} В5 = {е: е1 е (-5,0), е2 = в5 (е1)}, Еб = {е: е1 е (-5,0), вб(е1) < е2 < в5 (е1)}, В6 ={е: е1е (-5,0), е2 =вб(еl)}, Е7 = {е: е1 е (-5,0), ву(е1) < е2 < вб(е1», Ву = {е: е1 е (-5,0), е2 = ву^)},

в, :(-5,0) ^(-5,0), в, е С1, в,(-0) = в/(-0) = 0, J = 5,6,7,

ву(е0 < вб(е0 < в5(е1), Е8 = {е:е1 е (-5,0), -5< е2 < ву^)}, В8 = {0} х (-5,0), Е9 = (0,5) х (-5,0), В9 = (0,5) х {0}.

/N

В, В5 вй

в,

E4 Bo E3

e9

в,

Bs

в.

в,

Во Е,

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма

Схемы фазовых портретов векторных полей Хе в и имеют вид, изображенный на рис. 3. Векторные поля Хе при ееЕг- - грубые в и . Доказательство теоремы приведено в разд. 2-6.

Рис. 3. Перестройки фазовых портретов

2. Функции соответствия, функции последования и функции расхождения

Лемма 2. Существуют числа и е (0, а) и 82, 0 <82 < тт{п, 81}, такие,

2

что положительная (отрицательная) полутраектория поля Х8 , 8е (_82,82) , начинающаяся в точке (п,0), п е [81, и ] (п е [_81, и ]) как полутраектория поля Х+ (Х8_), первый раз пересекает дугу п(—1,1) в точке п(/8+ (п)) (П(/8_ (п))), где для функций соответствия /± имеем

/± (п) = п± (8) + г± (п, 8), (3)

г± (-,-)е Сг, г± (±81,8) = (г± )п (±81,8) = 0 ,

(г±)п(п,8)>0 при 8е(_82,82)2,пе (±81,п], (4)

(г±Уи11 (п,8) > 0 при 8е (_82,82)2, пе [±81,п]. (5)

Доказательство. Пусть Па := [-а,а] X[0, а]. Из условия (2) следует, что

в Па X (-5j, 5j )2 определена функция R = Q + / P +, а траектории поля X+ в Па совпадают с интегральными кривыми уравнения y = R(x, y, e). Считая числа а и 5j выбранными достаточно малыми, получим, что для любого u е [ej,а) это уравнение имеет решение y = Y(x,u,e), xе [u,а], удовлетворяющее начальному условию Y(u,u,e) = 0, при этом Yе Cr , 0 < Y(x,u,e) <а для x е (u, а]. Обозначим q>j(u, e) := Y (а, ej, e) - Y (а, u, e). Мы можем считать,

что Па пп(-1,1) = 0 . Если числа v > 0, 62 е (0,5j), достаточно малы, то

2

траектория поля Xe , eе (-62,62) , начинающаяся в точке (Y(а, ej, e) - v,0), vе [0,v), первый раз пересекает дугу п(-1,1) в точке n(92(v,e)), где

Ф2(-,")е Cr,

(Ф2); (v, e)) > 0, 92(0, e) = u+ (e). (6)

Согласно [6, с. 120] имеем:

/ ра /

Yu(а,u,e) =-R(u,0,e)F(u,e), где F(u,e) = exp I Ry(x,Y(x,u,e))ds . (7)

Ju

Вследствие (2), где, напомним x(e) =ej, имеем R(ej,0, e) = = Q+ (ej ,0, e) = 0, R'x (ej ,0, e) = (Q+ )'x (ej ,0, e) / (P+ (ej, 0, e))2 > 0 . Отсюда и из (7) получаем Yj (а, ebe) = 0, Y^u (^ebe) = -[R(u,0,e)Fj(u,e) + +Rx(u,0,e)F(u,e)] = -R'x(eb0,e)F(ebe) < 0 . Поэтому

9j(ej, e) = 0, (9j)u (eb e) = 0, (ф^ (eb e) > 0. (8)

При достаточно малых u > 0 и 62 е (0, u) траектория поля

2 _

Xe , eе (-62,62) , начинающаяся в точке (u,0), u е [ej,u ], первый раз пересекает дугу П(-!Д) в точке n(/e+ (u)), где /+ (u) := 92(9j(u,e),e). Из (6) и (8) следует, что /+ удовлетворяет условиям (3)-(5). Функция / получается аналогично /+. Лемма 2 доказана.

Определим функции последования %+ := (/ ) j ° /e+ . Доказательство леммы 1. Для функции последования %+ имеем Х+ (0) = 0. В точках u 0 она дифференцируема и

(Х+ )'(u):= = (Г+)u((u,0)) > 0. Так как (r+ )'и (0,0) = 0, то по правилу

(/Г)'(u) (r-)u (u,0)

Лопиталя lim(x+ )'(u) = lim (Г+ )u ^ = . Поэтому X+ -

u^+0 u^+0(r-)u (u,0) (r-)uu (0,0)

Cj -функция на [0, %q (u)], причем

^int = (Х+ )'(0) = (r+ Уии (0,0) / (r- Уии (0,0) > 0. (9)

Лемма 3. Существуют такие числа и е (0,1) и 63 е (0,62), что при 2-

ее (-63,63) и(е):= /е (-£j) >-и , а положительная полутраектория поля Хе , начинающаяся в точке ц(и) (соответственно, ^п(и)), и е [-м,и(е)], первый раз пересекает дугу Sn(-1,1) (соответственно п(-1,1)) в точке Sn(ge (и)) (соответственно n(ge (и))), где ge (и) - Cr -функция от (и, е), ge ("(е)) = и+ (е),

0 < (ge)'(и) < 1 при всех ее (-63,63)2, и е [-и,й(е)]. (10)

Доказательство. Так как и(0) = 0 , а периодическая траектория Г, выходя из точки п(0), первый раз пересекает дугу Sn(-1,1) в точке Sn(0), то найдется такое число и* > 0, что положительная полутраектория поля Xq , начинающаяся в точке П(и) (^П(и)), и е [-и* ,0], первый раз пересекает дугу

SП(-1,1) (П(-1,1)) в точке Sn(goo (и)) (n(goo (и))), где goo (и) - Cr -функция, goo(0) = 0 , goo (и) > 0 . Тогда найдется такое число и е (0,и*], что

gQo( goo (и)) = Х- (и) при и е [-и, 0]. Так как [(goo)'(O)]2 = (х- )'(0) = ^xt <1,

то 0 < gQo (0) < 1. Пусть gQo (0) < q < 1. Мы можем считать, что gQo (и) < q при

всех и е [-и,0]. Если число 63 е (0,62) достаточно мало, то для ее (-63,63)2

и- (е) = /е (-е1) > -и . Ввиду компактности отрезка [-и, 0] число 63 можно

выбрать так, что определено отображение п(") ^ Sn( ge (и)), и е [-и, й(е)],

по траекториям Хе , ее (-63,63) , такое, что go = goo и выполняется (10).

На отрезке [-и, и* (е)], где и* (е) = g-1 ° ge"1(u+ (е)), определена функция последования хе := ge ° ge .

Определим теперь функции расхождения:

d (и, v, е) := /+ (и) - (v), ее (-62,62)2, и е [е1, и], v е [-е1, и], d+ (и,е):= d(и,и,е), ее (-62,62)2, ие [|е^, и],

d- (и, е) := х- (и) - и, ее (-63,63)2, [-и, и* (е)].

Их роль следующая. Если d(и,v,е) = 0, то из точки (и,0) выходит положительная полутраектория поля Хе, идущая в точку (v, 0). Если d+ (и, е) = 0 (соответственно d- (и, е) = 0), то через точку (и,0) (соответственно п(и)) проходит периодическая траектория поля Хе .

Вследствие (3) и равенства и+ (е) - и- (е) =: и(е) =е2 имеем

, v, е) = е2 + r+ (и, е) - r_ (v, е). (11)

Лемма 4. Числа и и 62, u и 63, определенные в леммах 2 и 3, можно считать выбранными так, что для всех ее (-64,б4)2, где 0 <64 < тт{б2,63} : d£2(и,V,е) > 0 при и е [еьи ], Vе [-е^и], (12)

d+ (й, е) < 0, (ё+)

ии (u, е) < 0 при и е [| е1 |, и ], (13) d-(-и,е) > 0, (ё-)и (и,е) < 0 при и е [-и,и*(е)] . (14)

Доказательство. Согласно (4) г± (±е1,е) = 0. Следовательно, (г± )е2 (0,0) = 0, потому и и 62 можно считать выбранными так, что

|(г± )'е2(и,е)| < 1/3 для ее(-62,62)2, и е[±е1, и]. (15)

Из (11) dе2(u, V, е) = 1 + (г+ )е2(и, е) - (г_)е2^, е). Отсюда и из (15) получаем (12).

Вследствие (11) (ё+ )'т (0,0) = (г+ )ии (0,0) - (г- )'т (0,0). Из (9) и условия < 1 получаем (ё+ )ии (0,0) < 0, а потому и второе неравенство в (13) при достаточно малых и и 62 . Ввиду (11) и (4) d+ (0,0) = (ё+ )и (0,0) = 0 . Отсюда и из второго неравенства в (13) следует, что d+ (и ,0) < 0. Потому и и 62

можно считать выбранными так, что при ее (-64,64)2 выполняется первое неравенство в (13).

Неравенства (14) следуют из определения d- и (10).

3. Бифуркационные кривые

Лемма 5. Существуют число 6е (0,64) и Сг -функции ру: (-6,6) ^ [0,6), 1 = 1,2, р: (-6,6) ^ (-6,0], ] = 5,6, такие, что вк (0) = в'к (0) = 0 для к = 1,2,5,6:

Уе1 е (0,6) 0<в1(е1)<02^), Vеlе (-6,0) вб(^1)<Р5(ех)<0,

Уее (0,6)х(-6,6) sgnd(еl,0,е) = sgn(е2-р^)), (16)

Vее (0,6)х(-6,6) sgnd(е1,е1,е) = sgn(е2 -р2(е0), (17)

Vее (-6,0)х(-6,6) sgnd(0,-е1,е) = sgn(е2-£5^1)), (18)

Vее (-6,0) х (-6,6) sgn d(-е1, -е1, е) = sgn(е2 -Рб(е0). (19)

Доказательство. Согласно теореме Уитни [7, с. 587-597] функцию d

можно продолжить до Сг -функции d, определенной на

_ _ _ _ 2

[-и,и]х[-и,и]х(-62,62) . Из (11) и (4) получаем при е1 > 0

ё (е1,0, е) =е2 -г- (0,е) = е2 -11 (г-)и (-е е)ё(. Отсюда, из (4) и (5) имеем

•Ю

ё(0,0,0) = 0, дУе=0ё(е1,0,е) = 1, д-ё(е1,0,е)|е=0 =-(г-)и(0,0) = 0. Теперь,

используя теорему о неявной функции, получаем существование

Сг -функции в1 : (_8,8) ^ (_8,8), р1(0) = Р' (0) = 0 такой, что d (0,81,8) =

2 —

= sgn(82 _ Р1 (81)) для 8 е (_8,8) . Поскольку при 81 > 0 d (£1,0, е) = d(£1,0, е) ,

то имеем и (16). Тогда при 81 > 0 sgn Р1 (81) = _ sgn d (81,0,(81,0)) = = sgn г_ (0, (81,0)), и потому Р1 (81) > 0.

Аналогично получаем существование функции Р2, Р5, Рб . Лемма 6. Числа и и 8 можно считать выбранными так, что существуют С -функции т :(_8,8)2 ^ (_м,м) и Ру:(_8,8) ^ (_8,8) такие, что

т(0) = 0, Р7(0) = 0, Р'7(0) = 0, У81 е (_8,0) Р7(81)<вб(8х), Уее (_8,0)2 т(е) е (_81, и)

Уее (_8,0)2 Упе [_81,й"] sgn(d+ )'и(п,е) = sgn(m(8)_п), (20) Уее (_8,0)2 sgnd+ (т(е),е) = sgn(е2 _р7(81)). (21)

Доказательство. Пусть d+ (п,е) := d(п,п,е). Так как 0+ )'и (0,0) = (d+ )'и (0,0) = 0, (d+ )'ип (0,0) = (d+ )пп (0,0) Ф 0, то числа и и 8 можно считать выбранными так, что

Уее (_8,8)2 Уп е [ п, п ] sgn(d+ )и (п, е) = sgn(m(8) _ п), (22)

где т :(_8,8)2 ^ ) - Сг -функция, т(0) = 0. Пусть М(е) := d+ (т(е),е). Так как М (0) = 0, а ввиду равенства

ме„ (0) = [(d+ )и (и, е)т'е„ (е) + (d+ )'е„ (и, е)]

е=0, = (d+ )ек (0,0), k = 1,2, и=т(0)=0

(11) и (4) М82 (0) = 1, М8 (0) = 0 , то 8 можно считать столь малым, что

Уее (_8,8)2 sgnМ(е) = sgn(82 _Р7(81)), (23)

где Р7 : (_8,8) ^ (_8,8) - Сг -функция, р7(0) = 0, Р7(0) = 0. Из (11) и (4) получаем Уее (_8,0)2 )'и(_е1,е)>0. Поэтому Уее (_8,0)2 т(е)е (_е1,и), М(е) = d+ (т(е),е) и (20) и (21) следует из (22) и (23). Ввиду (19) при 81 е (_8,0), 82 = Рб (81) d+ (_81, е) = 0 . Теперь из (20) получаем М (е1, Рб (е1)) > 0 . Отсюда и из (21) имеем Уе1 е (_8,0) Р7 (е1) < Рб(е1).

4. Особые точки на линии разрыва

Обозначим [О8 О+ ] отрезок оси х между точками О8 и О8 при 81 ф 0 . Если точка (х, 0) е [О_О+ ], то в выпуклой оболочке векторов Х_ (х, 0) и Х+ (х, 0) существует единственный вектор Х° (х, 0) = (Р0 (х, е), 0), касатель-

ный к [0-0+]. Из (2) и (1) согласно [1, с. ] следует, что Р0(х,е) обращается

нуль только при х = 0, в случае е1 > 0 (е1 < 0) (Р0)Х(0,е) > 0

((Р0)Х(0,е) < 0), т.е. 0 - грубая седловая особая точка поля Хе класса 1б, а

дуги [О-О) = [-еь0) х {0} и (00+] = (0, е1] х {0} принадлежат выходящим (входящим) сепаратрисам точки О .

5. Окрестность контура Г

Так как %+ (и) < и , а %- (и) > и , то аналогично [5] можно построить окрестность и контура Г, не содержащую особых точек векторных полей Хд , с границей ди, состоящей из простых замкнутых кусочно-гладких кривых у+11, уЦ = £(у+11) и уех1, пересекающихся соответственно с дугой [-и, и] х {0} и дугой п[-и, и]) в единственной точке, и выбрать число 6 так,

что в точках ди траектории поля Хе , ее (-6,6) , входят внутрь и с дугой

П[-и,и] в единственной точке п(Хо (и)), а векторные поля Х± не имеют 2

в и п R± особых точек. Тогда любая положительная полутраектория поля

2 __

Хе , ее (-6,6) , начинающаяся в и, пересекает одну из дуг [-и,и]х{0} или

П[-и,и], а любая отрицательная полутраектория либо пересекает одну из

этих дуг, либо выходит из и .

6. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов

Определим множества Ег- и В у так, как указано в формулировке теоремы. Пусть ееЕ1 и В1 и Е2 . Так как

d(еь-£Ь£) е9 =0 =[/+ (£i)-/ Ml)]

в* =0 =

то с учетом (12) и (17) получаем, что /е (-е^ < /е+ (е1) < /е (е1), и потому -е1 < %+ (е1) < е1. Таким образом, положительная полутраектория поля Хе , выходящая из точки 0+, содержит простую дугу 0+Ые с концами в точках

0+ и Ые= (х+ (е1),0). Согласно (17) ё+ (е1,е) < 0. Из (3) и (4) получаем (ё+ )и (е1,е) < 0. Поскольку, кроме того, имеем (5), то при всех и е[е1,и] ё+ (и,е) < 0, и потому %+ (и) < и . Отсюда следует, при некотором т е N

-е1 < (х+ )т (и) <е1, т.е. все положительные полутраектории, начинающиеся в точках дуги [ е1, и ] х {0} , а в силу симметрии и дуги [ - и, -е1 ] х {0}, пересекаются с дугой (-е1, е1) х{0}. При ееЕ1 вследствие (16) /е+ (е1) < /е- (0), и потому -е1 < Х+ (е1) < 0 . Пусть дуга 0+ 0- - объединение дуг 0+Л- и [-е1, Х+ (е1)] х {0}. Тогда Ге = 0е+0е" и £(0+0-) - периодическая траектория

поля Х8 , являющаяся простой замкнутой кривой. Если ееВ1, то N8= О, а

дуга О8 Ы8 (S(О8 Ы8)) - положительная полутраектория поля Х8 , начинающаяся в точке О+ (О^). При ееЕ2 получаем /8+ (81) > /8_ (0), и потому

0 < Х+ (81) < 81. В этом случае кривая Г+ - объединение дуг О8Ы8 и

[Х+ (81), 81] х {0} является периодической траекторией поля Х8 . Но тогда

Г_ = £(Г+) также периодическая траектория Х8 .

Так как все положительные полутраектории, начинающиеся в точках дуг [ 81, и ] х {0} и [ _ и, 81] х{0}, пересекаются с дугой (_81,81) х{0}, то при ее Е1 (ее Е2) все они, за исключением одной, входящей в точку О , начиная

с некоторого момента времени совпадают с Г8 ( с Г+ или с Г_), а при ееВ1

все они начиная с некоторого момента времени совпадают с точкой О .

2_

При всех ее (0,8) х8 (и*(е)) = и+ (е) > п_(е) > и*(е). Учитывая (14), получаем для любого п е [_п, и* (е)] х_ (и) > п и при некотором т е N либо (1) и* (е) < (х_ )т (п) < п_ (е) либо (и) п_ (е) < (х_ )т (п) < п+ (е). В случае (1) определено (/_)_1 ° (х_)т (п), а в случае (и) определено (/_)_1 ° ^ ° (Х_ Т (п). Траектория, начинающаяся в точке п(п), пересекает в случае (1) дугу

[_81,Х+ (81)]х{0} , а в случае (и) дугу [_х+ (81),81]х{0}, и потому начиная с некоторого момента времени совпадает с Г8 при ееЕ1, с Г+ или с Г_ при ееЕ2 и с точкой О при ее В1.

Пусть ее В2 . Тогда х+ (81) = 81 и при всех п е (81,п] х+ (п) < п . Поэтому через точку О+ (О8 ) проходит периодическая траектория Г+ (Г_ ) поля Х8, а траектории, проходящие через точки (п,0) при п е (81,и ] (п е (_п, _81]) , ю -предельны к Г+ (Г_ ). Остальные траектории поля Х8 ведут себя так же, как в случае ееЕ1.

При ее Е3 из (12), а при ее В3 из (11) и (4) следует, что d+ (81,е) > 0 . В обоих случаях d+ (•, е) имеет единственный нуль и(е) е (81, и), при этом )п (и(е), е) < 0. Тогда через точку (и(е),0) ((_г?(е),0)) проходит устойчивая гиперболическая периодическая траектория Г+ (Г_), а все траектории, пересекающиеся с дугой (0, и ] х {0}([_п ,0) х {0}), ю -предельны к Г+ (Г_). Как и в случае ееЕ1, получаем, что все остальные траектории пересекаются либо с дугой (0,х+ (0))х {0} или с дугой (_х+ (0),0)х{0} или проходят через точку О . В первых двух случаях они ю -предельны соответственно к Г+ или Г_ . Через точку О проходят две траектории, одна ю -предельна к Г+, а другая к Г_ .

Пусть ееЕ4. Тогда для всех и е[е1, -е^ (и, е) < 0. Как и в случае ее В3 получаем, что (•,е) имеет единственный нуль и(е)е (-е^и), при этом (ё+ )и (иг(е), е) < 0 . Через точку (и(е),0) ((-и(е),0)) проходит устойчивая гиперболическая периодическая траектория Г+ (Г- ), а траектории, проходящие через точки (и,0) при и е (-е1,и] (и е (-и,е1]) , ю-предельны к Г+ (Г- ). Отрицательные полутраектории, начинающиеся в точках неустойчивой линейной особенности (е1, -е1) х {0} а -предельны к точке 0 , а положительные полутраектории, начинающиеся в точках (е1, -е^ х {0} , как полутраектории поля Х+ (Х-), ю -предельны к Г+ (Г-). Аналогично случаю ееЕ2 получаем, что траектории, пересекающие дугу п([-и, и*(е)], ю-предельны к Ге+ или Ге- .

Пусть ее В4 . Аналогично случаю ееЕ4, имеем гиперболическую периодическую траекторию Г+ (Г-), к которой ю -предельны траектории, проходящие через точки (и,0) при и е (-е^и] (и е (-и,е^), и траектории,

начинающиеся в точках дуги [е1, -е1] х {0} как траектории поля Х+ (Х-) . Ввиду (11) и (4) через точки 0+ и 0е проходит периодическая траектория Ге, и* (е) = и+ (е) = и- (е), х- (и* (е)) = и* (е). Из (14) получаем, что (Х-)т (и) ^ и*(е) при и е [-и,и*(е)), т.е. все траектории, пересекающие дугу П[-и, и* (е)), ю -предельны к Ге .

При всех ее (-6,6)х(-6,0) функция последования определена на и е [-и, и- (е)] и х- (и- (е)) < и- (е). Теперь из (14) следует, что х- имеет на [—и, и- (е)] единственную (устойчивую) неподвижную точку и0 (е) е (-и,и-(е)). Через точку п(и0(е)) проходит устойчивая гиперболическая периодическая траектория Ге , к которой ю -предельны все траектории, пересекающие дугу г|[-и, и- (е)].

При ееЕ5 иВ5 иЕ6 из (11), (4) и (19) следует, что е1 < (х+) 1 (-е1) < -е1. Поэтому отрицательная полутраектория поля Хе , вы-

ходящая из точки 0е , содержит простую дугу 0еМе с концами в точках 0- и Ме = ((х+ )-1(е1),0). Как и при ееЕ4, получаем, что существует устойчивая гиперболическая периодическая траектория Г+ (Г° ), проходящая через точку дуги (-е1,и)х{0} ((-и,е1)х{0}), к которой ю-предельны траектории, начинающиеся в точках дуги ((х+) 1(-е1), и] х {0} ((-и,-(х+ )-1(-е1)]х{0}) как траектории поля Х+ (Х-). Траектории, начинающиеся в точках дуги [е1,(х+ )-1(-е1)) х {0} ([-(х+)-1(-е1), -е1) х {0}) как

траектории поля Х+ (Х_), пересекают дугу ц(п_ (е),и) (£п(п_ (е),и)) и потому ю -предельны к Г8 .

Пусть ееЕз. Из (18) следует /8_ (_81) < /8+ (0), и потому 81 < (х+ )_1(_81) < 0. Пусть дуга О£О+ - объединение дуг О£М8 и

[е1,(х+) 1(_е1)] х {0}. Тогда Гп = О8О8 и £(О8О+) - периодическая траектория поля Х8 .

При ееВз из (18) имеем (х+ )_1(_81) = 0 и М8 = О. Поэтому

е2 =рб(е1) > 0. Отсю-

О8 М8 и (0, _81 ] х {0} (О8 О и (81, 0) х {0} ) является траекторией поля Х8 , ю -предельной к О .

Пусть ееЕ6 . Ввиду (18) 0 < (х+ )_1(_81) < _81. Простая замкнутая кривая Г+'п - объединение дуг О_М8 и [(х+ )_1(_81), _81] х {0} - является периодической траекторией поля Х8 . Но тогда Г_,п = £(Г+'п) также периодическая траектория поля Х8 .

При ее В6 из (19) и (21) й+ (_е1,е) = 0, й+ (т(е),е) да, из (20) и (13) получаем, что й(•,е) имеет на (_81,и) единственный нуль и(е), при этом й'п (и(е), е) < 0. Через точки О_ и (и(е),0) проходят периодические траектории, соответственно Г+'п и Г+, поля Х8 , причем Г+ - устойчивая гиперболическая траектория, а траектории, проходящие через точки (п,0), п е (_81,и), п Ф и(е), ю -предельны к Г+ . В силу симметрии через точки О8 и (_м(е),0) проходят периодические траектории, соответственно Г_'п и Г_ , поля Х8 , причем Г_ - устойчивая гиперболическая траектория, а траектории, проходящие через точки (п,0), п е (_п,81), п Ф_и(е), ю -предельны к Г_ .

Пусть ее Еу. Из (13), (19)-(21) получаем, что ,е) имеет на (_81,и) два нуля п (е), I = 1,2, _81 < г?1 (е) < £2(8) < и , й'п (¿¿1 (е), е) > 0, й'п (и(е), е) < 0. Таким образом, через точку (п (е), 0) ((г?2 (е), 0)) проходит неустойчивая

(устойчивая) гиперболическая периодическая траектория Г+'п (Г+), траектории, проходящие через точки (п,0) при п е (^(е),г?2 (е)), ю -предельны к Г+ и а -предельны к Г+'п при п е (_81, г?1 (е)), ю -предельны к Г8 и а -предельны к Г+'п , при п е (^(е), и ] ю -предельны к Г+ и выходят из и при убывании времени. В силу симметрии через точку (_г?1(е),0) ((_г?2(е),0)) проходит неустойчивая (устойчивая) гиперболическая периодическая траектория Г_'п (Г_), траектории, проходящие через точки (п,0) при п е (_г?2 (е), _И1 (е)), ю -предельны к Г_ и а -предельны к Г_,п при

u е (—wi(e), £1), ю -предельны к Ге и а -предельны к Ге'м, при u е (—u, —г?2 (£)) ю -предельны к Г— и выходят из U при убывании времени.

Пусть геВу. Тогда d+ (,£) имеет на (—£1,u) единственный нуль г?(г), а его кратность равна 2. Через точку (u(£),0) ((—u(£),0)) проходит двойной

цикл Г+ (Г—); траектории, проходящие через точки (u,0) при u е (u?(£),u)

(при u е (—u, —u?(£))), ю -предельны к Г+ (Г— ), выходят из U при убывании

времени, при u е (—£1, г?(г)) (при u е (—г?(г), £1)) а -предельны к Г+ (Г—) и ю-предельны к Г£.

При £еЕ8 ввиду (21) Vu е [—£1,u] d+ (u,£) < 0. При ееВ§, £еЕ9 и геВ9 имеем d+ (£1, £) = £2 — (£1, £) < 0 (d+ )u (£1, £) = — r )u (£1, £) < 0. Отсюда, из (5) получаем Vu е [£1,u] d+ (u,£) < 0. Поэтому при £еЕ8, £еВ8 и £еЕ9 траектории, проходящие через точки (u,0), < |u| < u , ю-предельны

к Г£ . При £еВ9 через точки O+ и O£ проходит периодическая траектория Г£ . Все остальные траектории, за исключением точки O , ю -предельны к Г£ .

Грубость векторных полей X£ , £еЕг- (i = 1,2,...,9) в U следует из полученного описания траекторий в U и достаточных условий грубости [1].

Библиографический список

1. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. - Москва : Наука, 1985. - 224 с.

2. Simpson, D. J. W. Bifurcations in piecewise-smooth continuous dynamical systems / D. J. W. Simpson. - Word Scientific, 2010. - 238 p.

3. Guardia, M. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems / M. Guardia, T. M. Seara, M. A Teixeira // J. of Differential Equations. - 2011. -Vol. 250, № 4 - P. 1967-2023.

4. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы седла кусочно-гладкой динамической системы / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 1. -С. 36-50.

5. Ройтенберг, В. Ш. Локальные бифуркации кусочно-гладких обратимых динамических систем на плоскости / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое моделирование. - 2020. - № 1. - С. 1-15.

6. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -Москва : Мир, 1970. - 720 с.

7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. - Москва : Физматгиз. - 1962. - Т. 1. - 607 с.

References

1. Filippov A. F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu [Differential equations with discontinuous right-hand side]. Moscow: Nauka, 1985, 224 p. [In Russian]

2. Simpson D. J. W. Bifurcations in piecewise-smooth continuous dynamical systems. Word Scientific, 2010, 238 p.

3. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. J. of Differential Equations. 2011, vol. 250, no. 4, pp. 1967-2023.

4. Roytenberg V. Sh. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2020, no. 1, pp. 36-50. [In Russian]

5. Roytenberg V. Sh. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and mathematical modelling]. 2020, no. 1, pp. 1-15. [In Russian]

6. Khartman F. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow: Mir, 1970, 720 p. [In Russian]

7. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya [Differential and integral calculus course]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, vol. 1, 607 p. [In Russian]

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88)

E-mail: vroitenberg@mail.ru

Roytenberg Vladimir Shleymovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Yaroslavl State Technical University (88 Moskovsky avenue, Yaroslavl, Russia)

Образец цитирования:

Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях периодической траектории «восьмерка» кусочно-гладкого векторного поля с симметрией / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 3 (55). - С. 98-113. - DOI 10.21685/2072-30402020-3-8.