CC BY
8
Вестник КГЭУ, 2017, № 2 (34) УДК 517
Математика
О НЕКОТОРОМ ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ОДНОЛИСТНОСТИ ФУНКЦИЙ, МЕРОМОРФНЫХ В КОЛЬЦЕ
Арсланов Ф.Х.
Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия
arslanovf_53@mail.ru
Резюме. Получено достаточное условие однолистности для функций /(¿), мероморфной в круговом кольце = [г|1 < z < ф} и, в частности, аналитической в
Достаточное условие однолистности сформулированы в виде ограничения на область значения функционала Здесь функция [/^'.г] — 'ч/ \ЮIf \л)) —
есть производная Шварца функции Условия утверждения
достаточны для однолистности функции на граничных окружностях кольца, локальной однолистности в кольце. Эти свойства функции дают основание к применению обобщенного принципа соответствия границ, на основании которого следует однолистность функции в замкнутом кольце. Утверждение усиливает ранее полученные аналогичные результаты.
Ключевые слова: мероморфные функции, аналитические функции, однолистные функции, плотность гиперболической метрики, производная Шварца, круговое кольцо, достаточные условия однолистности.
A SUFFICIENT CONDITIONS OF UNIVALENCE FUNCTIONS, MEROMORPHIC
IN THE RING
F.Kh. Arslanov
Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia
arslanovf_53@mail.ru
Abstract. Received sufficient condition of univalence for functions f(z) approximations for a meromorphic in a circular ring -£"(1, Q] = iz 1 < z < Q} and, in particular, the analysis in £"(1, A sufficient condition of univalence formulated as limitations on the scope of functional
values {/,z}. Here the function i/(z)..z} = (/"Or)//'GO)'--(l/2 Xf" (z) //' (z))2 is a
derivative of Schwartz function /(z]. Mostly approval contained conditions that ensure univalence function on the boundary circles rings and its local univalence in the ring. These properties of functions give rise to application functions of generalized principle of consistency with the borders, on the basis of which it should be univalence functions in a closed ring. The assertion reinforces earlier findings related to similar restrictions on the scope of values derived Schwartz.
Keywords: meromorphic functions, analytical functions, univalent function, density of hyperbolic metric, derivative Schwartz, circular ring, sufficient conditions of univalence.
Пусть функция
есть производная Шварца функции /вычисленная в точке г, рд - плотность гиперболической метрики области О. Из работ Мартио и Сарваса [1], Осгуда [2] следует существование постоянной о. > 0, для которой неравенство
зир«а»[1(№).г}|Ро 001
(1)
влечет однолистность функции f{.z) в однородной области произвольной связности.
В данной работе рассматриваются условия вида (1) и в качестве области О-круговое кольцо = {г\1 < |г| < С?}.
Используя метод квазиконформного разбиения области, в работе [3] обосновано достаточное условие однолистности в О = вида (1):
, /? = агсвт^^(агсэтО = 0).
(2)
Тем самым получена нижняя оценка
а0 < а.
Пример функции /{") — , являющейся неоднолистной в = [г11 < \г\ < ф}, дает верхнюю оценку величины я
а < =
1п _2М„Й *
— ----—е 71 Б1п1э
7Г 1п (2
Отметим, что при ф —» -Ьоо величина :: - : . . Как следует из достаточного условия однолистности Нехари
и утверждения Хилла [4] для точной верхней оценки величины а. в этом случае должно быть £>о -> 2. Поэтому возникает задача об увеличении приведенной в (2) величина Ид.
Используя луночный подход, развитый в работах [5; 6; 7], установим достаточное условие однолистности функций, аналитических в круговом кольце
с
Обозначим через Д (—я,/?) луночку, ограниченную двумя дугами окружностей, проходящих через точки - Л и Л, образующими внутренний угол яя. Угол - это минимальный неотрицательный угол, который образует с отрезком дуга окружности, при надлежащая луночке. Лемма[8]. Пусть функция /(X) мероморфна в области Д(—Л,Я,а,/?), О < а < 1, непрерывно продолжимая на границу этой области. Если выполнено неравенство
зир^[1{/(г),г}|рд 2(г)] < 2а
(3)
то функция /(-0 однолистная в Д(—Л,Я,а,/?} - замыкание Д(—я,/?). Постоянная 2пг точная.
Теорема. Пусть мероморфная в (?) функция непрерывно
продолжима на границу кольца и локально однолистная на граничных
окружностях Сг = [г \ = 1} и С^ = {е \ \г\ = ф}. Если верно неравенство
(4)
где
то функция /(г) однолистная в Е[
Доказательство. Докажем простоту кривых = f(_C1) и Г^ = Сначала убедимся в том, что Г^ простая кривая, то есть для произвольных точек = к = 1,2, имеет место неравенство f(,Z■\) Ф /(,¿2). При этом можно
К 2
= + дз, 0 < <р < так как этого всегда можно
добиться поворотом кольца (?) на
угол
причем функция /(?'' будет удовлетворять условиям теоремы и однолистная
одновременно с функцией /(-О-
В кольцо впишем луночку А|= Д 1, (см. рис. 1),
ограниченную половиной окружности и дугой окружности, касающейся
окружности Сд. Вычисления приводят к равенствам:
В силу свойства монотонности плотности гиперболической метрики, которое в данном случае выражается неравенством
.Зг : : - г; £ г;,
из неравенства (4) теоремы будет следовать неравенство (3) леммы с я — Поэтому функция будет однолистной в Д1. Таким образом, Г^ является
простой кривой.
Рис. Луночка ограниченная половиной окружности С1
Для обоснования простоты кривой Г^ нужно рассмотреть луночку
Д2= Д (— а2,~ — ограниченную половиной окружности С^ и дугой
окружности, касающейся окружности Для луночки Д^, как и для луночки Д^, внутренний угол
= 2 агс1ап
0-1
.
Аналогично первой части доказательства заключаем, что условие (3) является достаточным для однолистности функции /(-О в Д2. Следовательно, Г^ является простой кривой.
Таким образом, ^ и Г^ являются жордановыми замкнутыми кривыми. В силу условия (4) функция /(г) локально однолистная в Действительно, если
предположить, что некоторая точка ^ ^(1,0) есть нуль производной, то в окрестности точки будет иметь место представление
что противоречит условию (4). Получили, что функция /"(X) является локально однолистной в Е\\,0\. Тогда по теореме 3 из работы [9] функция будет
однолистной в Е\\,0\. Теорема доказана.
При Ч-го получаем:
а,
~ и а1
Более того, для любого значения Q £ (1, ~|-сс)справедливо неравенство
Действительно, последнее неравенство после равносильных преобразований преобразуется в неравенство
arctan-1 arcsin-1 —- < -, Q > 1,
(3+1 e+i тг
справедливость которого установлена в работе [7].
Литература
1. Martio O., Sarvas J. Injectivity theorems in plane and space // Ann. Acad. sci. fenn., ser. AI, Math. 1978/79.V. 4, No. 2. P. 383-401.
2. Osgood B. G. Univalence criteria in multiplyconnected domains// Trans. Amer. Math/ Soc.-1980. V. 260, No 2. P. 459-473.
3. Севодин М. А. Метод квазиконформного продолжения и геометрические свойства общего решения обратных краевых задач. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 1982. С. 121.
4. Hille E. Remarks on a paper by Leev Nehari // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55, No, 6. P. 552-553.
5. Аксентьев Л. А., Шабалин П.Л. Условия однолистности в звездных и выпуклых областях. Тр. семинара по краевым задачам. Казан. ун-т, 1983, вып. 20, C. 35-42.
6. Аксентьев Л.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение // Изв. вузов. Математика. 1983, № 2, C. 6-14.
7. Севодин М.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности регулярных в круговом кольце функций. Тр. семинара по краевым задачам. Казань. Казан. ун-т, 1982, вып. 19, P. 184-191.
8. Lehto O. Remarks on Nehari's theorem abOut the Schwarzian derivative and schlicht functions// J. anal. Math. 1979. V. 36. P. 184-190.
9. Авхадиев Ф.Г. Особые случаи принципа соответствия границ. Тр. семинара по краевым задачам. Казань. Казан. ун-т. 1976. Вып. 13. С. 13-23.
References
1. Martio O., Sarvas J. Injectivity theorems in plane and space // Ann. Acad. sci. fenn., ser. AI, Math.-1978/79. V. 4, No. 2. P 383-401.
2. Osgood B. G. Univalence criteria in multiplyconnected domains// Trans. Amer. Math/ Soc. 1980. V. 260, No 2. P. 459-473.
3. Sevodin М.А. Kvazikonformnogo Method of continuing and geometric properties of general solution of inverse boundary value problems. Dees. ... Cand.Physical and mathematical sciences.Kazan, 1982. 121.
4. Hille E. Remarks on a paper by Leev Nehari // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55, No, 6. P. 552-553.
5. Aksentiev l.A., Shabalin P.L. Odnolistnosti Conditions in stellar and convex areas. Tr. seminara po kraevy'm zadacham. Kazan': Kazan un-t, 1983, vol. 20, P. 35-42.
6. Aksentiev l.A., Shabalin P.L. Conditions odnolistnosti with kvazikonformnym prolongation and their application // Izv. vuzov. Matematika, 1983, no. 2, P. 6-14.
7. Sevodin М.А., Shabalin P.L. Regular odnolistnosti conditions in a circular ring fun ctions. Tr. seminara po kraevy'm zadacham. Kazan': Kazan un-t, 1982, vol. 19, P. 184-191.
8. Lehto O. Remarks on Nehar i's theorem abOut the Schwarzian derivative and schlicht functions// J. anal. Math. 1979. V. 36. P. 184-190.
9. Avhadiev F.G.Special cases the principle of consistency with the borders. Tr. seminara po kraevy'm zadacham. Kazan': Kazan un-t, 1976. vol. 13, P. 13-23.
Сведения об авторе
Арсланов Фарит Халилович - кандидат физико-математический наук, доцент
кафедры «Высшая математика» Казанского государственного энергетического университета.
Author of the publication
Farit Kh. Arslanov - Cand. Sci.(phys.-math.), Kazan State Power Engineering University.
Дата поступления 17.02.2017.
