CC BY
22
УДК 517
НЕКОТОРЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЛИСТНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВО ВНЕШНОСТИ ЕДИНИЧНОГО КРУГА ФУНКЦИЙ
Арсланов Ф.Х., канд. физ.-мат. наук, доцент
ФГБОУ ВО «КГЭУ» Контакты: arslanovf_53@mail.ru
Получены достаточные условия однолистности для функций аналитических во внешности единичного круга. Условия содержат ограничения на области значения функционала С—ттг.
ъ НО
Ключевые слова: аналитические функции, однолистные функции, метод подчиненности, геометризация условий однолистности, внутренний радиус области, достаточные условия однолистности.
В настоящей статье рассмотрим условия однолистности для функции
ПО = ? + ь0+ ^..... п > 2, ЯеЕ- = {?: |?| > 1}.
Условия однолистности включают ограничения на область
значений функционала с ут^.
Используя метод подчиненности, дополненный методом симметризации, в статье [1] осуществлена геометризация достаточного условия однолистности Беккера
р"(0 С Пс)
<
1
М
- &Е- (1)
2
7
в наиболее общем случае. Напомним, что геометризация условия (1) означает выделение таких областей, что принадлежность им образов Е- при отображении функцией ^ СО/^ (О обеспечивает выполнение условия (1) и, значит, однолистность функции F(<;•). Приведем результат из работы [1].
Теорема 1. Предположим, что выполняются следующие соотношения
,, ,, *
Фоили < Фо(О^еЕ- (2)
с однолистной функцией Фо (£), причем ограничен внутренний радиус:
й(Фо(Е-), Фо(0)<До<+® ,?еЕ-.
Если Но < п - 1, то функция F(£) будет однолистной в области
Е-.
Соотношение Ф( <;■) -< Фо ( О, ?еЕ- означает, что регулярная в области (^еЕ- функция Ф(<7) подчинена однолистной функции Фо ($) (что равносильно Ф(Е-) с Фо (Е-)); запись [Ф^)]* ■< Фо (О означает следующее: область [Ф(Е-)]*, получающаяся из односвязной области Ф( Е-) с помощью некоторой совокупности симметризаций относительно прямых и лучей [2], содержится в области Фо (Е-).
В качестве следствий теоремы 1 в работе [1] получены улучшения констант в конкретных условиях однолистности. Поэтому будет интересным найти аналогичные эффекты, связанные с геометризацией условия однолистности, представленного в следующем утверждении, являющимся обобщением условия Беккера.
Теорема 2 [3; 4]. Аналитическая в области Е-\{да} функция
= ? + ¿о + ¿1 + ••• будет однолистной, если выполняется условие
8
ь ПО
^ к|2(1-Я)(М2-1)Я' 0 ^Я ^ 1 (3)
причем константа В (Я) для каждого фиксированного значения Я из отрезка [0; 1] определяется из уравнения
1 -В С е " 2(1-г) = 0. (4)
■'О (1-г 2 У у '
и является неулучшаемой константой.
Следуя работе [1], установим следующий результат. Теорема 3. Пусть для подчинений (2) внутренний радиус области Фо (Е-) ограничен сверху числом йо. Если при этом справедливо неравенство йо < й(п), причем
И(п) = В ^ при п = 2; п—В при п > 31 , (5)
1
где В (Я), Я > -, есть корень уравнения (4), то функция F ( однолистная в области Е-.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Фо & = ВЩ) = ^ + +1+1 + - < I 2 I < 1.
Тогда для производной функции ф0 ( г) в силу (2) и с использованием результатов работы [5] получаем оценку:
I Фо (*) 1^0 п ^ (6)
Если же рассматривается симметризационная подчиненность, то это неравенство будет иметь место в силу импликации
9
[фо(2)]* < Фо (1) ^ К (фо(Е),Фо(2)) < Но,
которая является следствием результатов Полия Г. и Сеге Г. [2, С.101]
Проинтегрировав неравенство (6) по отрезку от нуля до г, получим
г N Ко 1 1 + ИП и
Ф (я) < — 1п——, геЕ.
^^ — 2 1-|г|п
Далее оценку модуля функции ф0 (г) с использованием неравенства [6]
1+ п 2 п 1 1п— < 7 , о <г < 1, Я>
1-гп (1—г 2п)я ' ' 3'
и неравенства
пгп-1 (1 - г2) < 1 - г2п, п > 1, о < г < 1, можно продолжить следующим образом:
I ( < Коип Но 1г1п Г7ч
1фо(2)1 - (1-|г|2п)Я - пя|г|я(п-1)(1-|г|2)Л. (7)
п —2
Теперь, если взять Я = —- при п > 3, то неравенство (7) при-
ведет к оценке
ПО
<Ко
пЯ к|2(1-Я)(к|2-1)Я'
Отсюда в силу неравенства Ко < К(п) и определения (5) величины К(п) по теореме 2 следует однолистность функции F(£) в области Е-.
1
10
В случае п, равного 2, из первого неравенства в (7) получаем такую оценку:
ПО
НО
(1 — |г|2)Я к|2(1-я)(к12-1)Я'
1
В этой оценке наилучшим значением Я является - Поэтому
при выполнении неравенства йо < й следует однолистность
функции F(^) в области F-' Теорема доказана.
Для конкретных мажорант Фо ( <;■) теорема 3 выглядит более наглядно. Напомним, что, если область Фо = Р(с, является прямоугольником с центром симметрии в начале координат длинами сторон с и то функция (см., напр., [7, С. 83])
Ф0 = V-2Х1-Я222)' = 1+2 (8)
где
1
Г ёх
К(Я) = I —
есть эллиптический интеграл первого рода, однолистным образом отображает область F- на прямоугольник Р(с, причем Я = Я(с, определяется из уравнения
7(1 -х2 )(1 — Я2х2)
Я2) = ЙК(Я). (9)
1
11
Так как прямоугольник является выпуклым в направлении осей симметрии, то [8, С. 211] максимум внутреннего радиуса дос-
с
тигается в начале координат и равен
к (X)'
Теорема 4. Предположим, что функция F удовлетворяет условиям
С1 < Яе [е^тЦ] < с2, ¿1 < 1т [вЧ^Ц] < й2, (10)
где у - произвольное вещественное число. Пусть с = С2 - С1 и й = ^2 - ¿1. Тогда функция F будет однолистной в области Е если верно неравенство
С <Я(п),
К(Л)
причем Я = Я (с, й) является решением уравнения (9), а величина И(п) определена в (5).
£
Если С2 = - С1, ^2 = - ¿1, то величина в теореме 4 не может быть больше, чем 2( п - 1). Действительно, рассмотрим функцию
РО(О = Со ехР [ЙТ1 ф0(*")<Ъ] а, = с + Ьо тя^<Т" + ■••,
где $еЕ~, | | = 1, а функция Ф0определена в (8). Нетрудно проверить, что функция Fo ( удовлетворяет неравенствам (10). Необ-
2
ходимое условие однолистности ([9], С. 471) | ап | <- для функций вида F ( = ^ + ап -1 + ■■■) будет нарушено, если ^^ > 2(п - 1).
При й ^ да, что соответствует Я ^ 0, прямоугольник Р(с, й) переходит в полосу Р(с, да) = -1 < Яеш < || с максимальным
12
значением внутреннего радиуса, равным j-. Тогда из теоремы 4 получим следующее следствие.
Следствие. Пусть функция F(^) = ? + + -(п-1) + -удовлетворяет условию
Ree< С(п), (11)
где у - произвольное вещественное число. Если С(п) = -й(п), то
4
функция F(^) будет однолистной в области F-.
Условие однолистности вида (11) рассматривалось в работе [6]. С применением признака однолистности для аналитических функций, включающего ограничения на производную Шварца, в работе [6] обоснована достаточность условия (11), но с правой частью, равной
( П 7/3 П 1
С(п) = Ьгс4/3+1 = 1'0® ■" пРип = 2; -пприп > 3 |.
Для п = 2, 3, ■, 12 вычисления приводят к неравенству С(п) < <23С(п), а для больших значений п справедливо асимптотическое
соотношение С(п) = 2С(п) + 0^^. Следовательно, утверждение, приведенное в следствии, улучшает результат работы [6].
Источники
1. Аксентьев Л.А., Маейр Ф.Ф. Применение методов подчиненности и симметризации к достаточным признакам однолистности аналитических функций // Труды семинара по краев. задачам. Казан. ун-т, 1983, вып. 19, 14-28.
2. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960. 180 с.
3. Арсланов Ф.Х., Насыров С.Р. О соединении достаточных условий однолистности аналитических функций, обобщающем условие Беккера // Изв. вузов. Математика. 1991. №4. С. 78-79.
13
4. Арсланов Ф.Х., Насыров С.Р. Некоторые обобщения условий однолистности Беккера для аналитических функций. Труды семинара по краев. задачам. Казан. ун-т, 1992, вып. 27, 37-47.
5. Митюк И.П. Оценки в некоторых классах аналитических функций // Метрические вопросы теории функций. Киев, 1980. С. 90-99.
6. Кудряшов С.Н., Паталах А.Ф. Инварианта Шварца и признаки однолистности меро-морфных функций // Математический анализ и его приложения. Ростов -на-Дону: Рос-товск. ун-т, 1983. С. 41-49.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1973. 736 с.
8. Полиа Г., Сеге Г. Изопереметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1062. 336 с.
9. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.
SOME SUFFICIENT CONDITIONS UNIVALENCE ANALYTICAL IN THE EXTERIOR OF THE UNIT DISK FUNCTIONS Arslanov F.H.
The article gives univalence sufficient conditions for functions analytic in the exterior of the unit circle. Conditions include limitations on the values of the functional qF"(q)/F'(q) area.
Keywords: analytic functions, univalent functions, subordination method, geometri-zation univalence conditions, the inner radius of the area, sufficient conditions un-ivalence.
Дата поступления 14.05.2016.
14
