CC BY
9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
К ВОПРОСУ ОБ ОДНОЛИСТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВНУТРЕННИХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ОСОБЕННОСТЯМИ
Арсланов Ф.Х., КГЭУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, arslanovf_53@mail.ru
Получено достаточное условие однолистности решения внутренней обратной краевой задачи, когда ее производная на единичной окружности имеет особенности степенного характера.
Ключевые слова: внутренняя обратная краевая задача, регулярные функции комплексного переменного, однолистные функции, оценки гармонических функций, достаточные условия однолистной разрешимости обратных краевых задач, условие Липшица.
Постановка и решение внутренних обратных краевых задач даны в работе [1], обзор достижений в исследовании условий однолистной разрешимости обратных краевых задач можно найти в работах [2-4]. В целях приложений актуальными являются исследования однолистности решения внутренней обратной краевой задачи с особенностями, то есть исследования однолистности функции
1 т
2 т ( 2 Уау ' 1
/(г) = с |П1--/о(*)32, С = 2 2 -1 , ау> 0 (1)
2 0 У = 1Ч у
где производная /0 (г) имеет представление
7
1 л „г'0 , _
,ч 11 Ро (0)^
и является непрерывной в замкнутом круге Е = {г : |г| < 1}. Отметим, что образом точки = вгфу при отображении w = /(г) является угловая точка кривой д/ (е ), образа единичной окружности с внутренним углом (1 — ау )л .
В ряде работ, посвященных исследованию однолистности (1), рассматривалось условие Липшица
р(к V)—р (к )(0") < а 0'—01,
где 9' и 9'' - произвольные числа, такие, что — п < 9', 9" < п, а функция ро (б) определена как
р о (0) = Яе1п/ (в*0 ) или р о (0) = 1п| /1
Определённые ограничения на константу А в условии Липшица и на величины ау гарантировали однолистность функции
(1) в области Е = {г : |г| < 1}.
В данной статье продолжим исследования однолистности функции (1). Получение достаточного условия однолистности основано на применении следующих утверждений.
Теорема 1 [5]. Регулярная в единичном круге Е = {г : |г| < 1}
функция /(г) = г + ^2г2 +... будет однолистной, если имеет место неравенство
"(вЙ).
/)
/'(г )
< Да)
а + -
1 — а
! I |2
1 — г
г е Е,
у
8
причем при а е
0;
константа А(а) равна —1—, а при ае|
1 -а I 3
константа А(а) есть единственное решение системы уравнений
ге
А(1-а)
Аг (1 + г Л 2
1 - г
Аг
а +
1 -а 1 - г 2 У
-1
-1 1
А(1-а)
N е
г
Аат(1 + т' , 1 -т.
ах,
А =
_ 3 -(1 + 5а)г2 + 3аг4
(2)
2г (1 -аг 2 ^
с неизвестными А = А(а) и г .
Лемма [6]. Пусть функция ^) регулярна в Е
^(о) = s'(о) =... = ^(п-1) = 0, п > 1, гармоническая функция
и(0) = Яеу(ег'0) суммируемая в (-л, л). Пусть функция и(к)(б) для некоторого к > 0 удовлетворяет условию Липшица
и(к )(01)-и(к )(02 )< ц 01 -02.
Тогда в области Ег = (г : |г| < г(< 1)} справедливы неулучшае-
и
мые оценки
ц
и* 1<-Цг мк'~п
п
(гп);
ц
|Ие 4? ^-¡^ Ык\»п
п
(гп I Ы* )<-к+Т тк (гп )
п
при к чётном;
п
) <-]ц1 Мк(гп), |Ие) <^тк
п
„.к+1
(гп )
1
3
2
9
при к нечётном, причём
4 ю г2у+1 л 4 ю (— 1)у г2у+1 4
— У -;—;т < _ г, т (г ) = — У -—--:—— < _ г .
+ 1)к+2 2 ' лууУ)(2у + 1)к+2 л
Теперь сформулируем и докажем утверждение статьи. Теорема 2. Пусть в (1) /(г) = г + апгп + ап+^п+1 +..., п > 2, функция р о (0) удовлетворяет условию
Ро(к)(01) — ро(к)(02 )< А 01 —02 , к > 1,
т
и ё = У ау . Если при каждом а е [о; 1) справедливы неравенства
ё < 1 (1 — а)А(а),
А < - аА(а)пк, л
где величина
А(а)
определена в теореме 1, то функция (1) является однолистной в замкнутом круге Е = {г : |г| < 1}.
Доказательство. Используя представление функции (1) дифференцированием и последующим логарифмированием получаем:
■ /"(г) т +
Отсюда следует неравенство
10
f fz)
f '(z )
m
< Zav
V=1
■ +
f (z)
f (z)
С учётом того, что \zv\ = 1, v = 1, m, получаем неравенство
f fz)
f '(z )
m
< Zav
V=1
■ +
f (z)
f
<
m
m
f (z)
Л
= 1
a
zj+ z
v=1
I |2 I |2
zJ - z
■ +
f (z)
f (z)
<
a.
2
1 - z
2
■ +
\v = 1 у 1 1 Таким образом, справедлива оценка
fö(z )
fö(z )
f fz)
f '(z )
2d
<-+
1 - z
2
f (z)
f (z)
(3)
Так как функция is (z ) = izfq (z)/ fo(z) имеет в точке z = 0 нуль порядка n и Reis(z) = p'(б), то с применением утверждением леммы получаем оценку
- к
s(z}< Ln - |zi
Отсюда следует неравенство
л т — к
< — Ьп к. 2
В силу ограничений в условии теоремы на величины ё, А и неравенства (3) имеем:
fo (z ) s(z )
fo (z ) z
z
zv - z
1
zv- z
11
/ ■(?)
/'(?)
< (1 а)А(а) + аА(а) = А(а) а
+ ■
1 - Ы
1 -а
, I |2 1 - 2
Тогда по теореме 1 функция (1) будет однолистной в области Е = (г : * < 1}.
Поскольку оценки, используемые при доказательстве, неточны, то при выполнении условий теоремы для функции (1) будет существовать такое число q < 1, что
/ '(? )
/'(?)
< qA(а)| а +
1 -а
! I |2 1 - 2
2 е Е.
Поэтому функция (1) будет однолистной в замкнутом круге
Е = (2 : < 1}.
Теорема доказана.
1
Если а е | 0;
3
то ограничения на величины й и Ц в силу
теоремы 1 принимают вид:
й < 1, 2
2а к
Ц <—,-тпк .
л(1 - а)
При этом наилучшей оценкой постоянной Ц в условии Липшица
т 1 к 1 будет Ц < — п , получаемая при значении а = —.
л 3
Если ае| 1; , то об ограничениях на величины й и Ц
можно судить, используя численные расчёты, полученные в решении системы уравнений (2) и приведённые в следующей таблице.
У
У
12
a 0,35 0,36 0,40 0,43 0,46 0,50 0,53 0,56 0,60 0,63
A(a) 1,54 1,56 1,65 1,71 1,78 1,87 1,93 2,00 2,08 2,15
a 0,66 0,70 0,73 0,76 0,80 0,83 0,87 0,90 0,94 0,98
A(a) 2,21 2,29 2,35 2,42 2,50 2,56 2,64 2,69 2,77 2,85
—
Величина A(l) вычисляется точно и равна — + ln4 = 2,886....
При приближении а к единице оценка на постоянную величину L в условии Липшица на производные функции po (б) улучшается, а величина (l — a)A(a) при этом уменьшается и, вследствие этого, уменьшается величина d, а углы (l — av)rc приближаются к развёрнутым углам.
Источники
1. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд., пе-рераб. и доп. Казань: Казан. ун-т. 1965. 330 с.
2. Аксентьев Л.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 18. С. 67-124.
3. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров А.М. Достаточные условия конечнолист-ности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 25. С. 3-121.
4. Т78 Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 14/ Казанское математическое общество. Геометрическая теория функций, краевые задачи и их приложения// Материалы международной научной конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2002. 370 с.
5. Арсланов Ф.Х., Насыров С.Р. Некоторые обобщения условий однолистности Бекке-ра для аналитических функций // Труды семинара по краев. задачам. Казан. ун-т, 1992, вып. 27, С. 37-47.
6. Авхадиев Ф.Г. К слабой и сильной проблемам однолистности в обратных краевых задачах // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казан ун-т, 1973. Вып.10. С. 3-10.
References
1. Tumashev G.G., Nuzhin M.T. Obratnye kraevye zadachi i ikh prilozheniya. 2-e izd., pere-rab. i dop. Kazan', Kazan. un-t, 330, (1965).
13
2. Aksent'ev L.A., Il'inskii N.B., Nuzhin M.T., Salimov R.B., Tumashev G.G. Teoriya obratnykh kraevykh zadach dlya analiticheskikh funktsii i ee prilozheniya, Itogi nauki i tekhniki, Matematicheskii analiz. M., VINITI, Vol. 18, pp. 67-124, (1980).
3. Avkhadiev F.G., Aksent'ev L.A., Elizarov A.M. Dostatochnye usloviya konechnolistnosti analiticheskikh funktsii i ikh prilozheniya, Itogi nauki i tekhniki, Matematicheskii analiz. M., VINITI, Vol 25, pp. 3-121 (1987).
4. T78 Trudy Matematicheskogo tsentra imeni N.I. Lobachevskogo. Vol. 14, Kazanskoe ma-tematicheskoe obshchestvo. Geometricheskaya teoriya funktsii, kraevye zadachi i ikh prilozheniya, Materialy mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii. Kazan', Izdatel'stvo Ka-zanskogo matematicheskogo obshchestva, 370, (2002).
5. Arslanov F.Kh., Nasyrov S.R. Nekotorye obobshcheniya uslovii odnolistnosti Bekkera dlya analiticheskikh funktsii. Trudy seminara po kraev. zadacham. Kazan. un-t, vyp. 27, pp. 37-47, (1992).
6. Avkhadiev F.G. K slaboi i sil'noi problemam odnolistnosti v obratnykh kraevykh zadachakh, Trudy seminara po kraevym zadacham. Kazan', Kazan un-t, Vyp.10, pp. 3-10, (1973).
Information
Arslanov F.Kh.
ON THE INTERNAL UNIVALENT SOL VABILITY OF INVERSE BOUNDARY VAL UE PROBLEMS WITH SINGULARITIES
A sufficient condition for the univalence of solutions of interior inverse boundary value problem when its derivative on the unit circle has a particular power character. Keywords: interior inverse boundary value problem, the regular functions of a complex variable, univalent functions, estimates for harmonic functions, sufficient conditions for the univalent solvability of inverse boundary value problems, the Lipschitz condition.
Дата поступления 17.03.2015.
14
