Некоторые достаточные условия однолистной разрешимости обратных краевых задач для двусвязных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517

Арсланов Ф.Х.

НЕКОТОРЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЛИСТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Получены точные оценки на мнимую часть регулярной в круговом кольце функции. С использованием этих оценок и известных критериев однолистности для регулярных в круговом кольце функций обоснованы достаточные условия однолистной разрешимости обратных краевых задач для двусвязных областей. Постоянные величины в предлагаемых условиях являются неулучшаемыми. Ключевые слова: двусвязные области, обратная краевая задача, регулярные функции комплексного переменного, однолистные функции, оценки гармонических функций, достаточные условия однолистной разрешимости обратных краевых задач.

Введение. Обратные краевые задачи для двусвязных областей.

Возникновение и дальнейшая история развития теории и методов решения обратных краевых задач, задач теории аналитических функций, тесно связанных с обратными краевыми задачами, приведены в работах [1-3]. Современное развитие теории обратных краевых задач и ее приложения в гидродинамике, теории фильтрации, электро- и магнитостатике, теории упругости, теории взрыва на выброс отражены в последующих многочисленных статьях механиков и математиках.

В кратком изложении приведем постановку и метод решения обратных краевых задач для двусвязных областей [1].

Обратной краевой задачей (внутренней) для двусвязной области является отыскание области в плоскости комплексного переменного г, ограниченной контурами , ЬХд, и регулярной в области функции м? = , если известны граничные значения искомой функции:

=и\ 0<5 </Ь 4~уІУд І , 0<5</д, (1)

где /| И 1д известные ДЛИНЫ контуров Ь2\ И Ьщ , производные Мр ^

\р 4'_, р = 1, ц, предполагаются гельдерывыми и ?/р2 С _+ \’р2 4'^ О,

О < 5 < /р.

Уравнения (1) можно понимать как параметрические задания (я -длина дуги или дуговая абсцисса) двух контуров , Ьм,^, которые являются граничными компонентами области Dw в плоскости комплексного переменного УУ .

Кольцо 1^= ^*{| </ < |£| < 1 с помощью однолистной (взаимно однозначной) функции м? - ф ^ отображается на известную область 1)н, так, что окружность Су — |£| = 1 переходит во внешний контур

М? = Ыу # /VI # ^ о < 5 < 1у .

Предположим, что функция г = / ^ осуществляет отображение кольца Е4/, 1 на искомую область 1)2. Рассмотрим вспомогательную функцию

хГ=1п^= 1п

ас

dC

• 4/4^ , г

+ /аге , СєЕігЛ

ас '

допускающую непрерывное продолжение на границу кольца Е4(, 1 . Используя известные соотношения

Щ О™! О ф(г° > иа О

/0

находят зависимости 5 = ^ ф ^ — я; < 9 < я;. Тогда становятся

известными функции: значения действительной части функции хК на граничных окружностях кольца Е4(, 1

1п

/ І

= 1п

СєСі

60

= рі, 9 , 1п

/ І

= 1п

60

= Р<1,в]

По известным функциям р(, 9 и р4[, 9 с применением оператора Шварца [4] восстанавливают функцию

Отсюда

С

/О^ + Со

Со

В дальнейшем можно считать, что Р — 0 и С = 0 .

Результат действия оператора Шварца можно записать так:

%ОхоОл1п<-С1.,

где целое число р\ связано с индексом кривой - образа окружности Сд, С і - произвольно зафиксированная точка внутри окружности Сд, %о ^ -

однозначная функция.

Достаточным условием того, чтобы окружность Сд отображалась

при г = / ^ во внутренний граничный контур, является равенство Р\= 0 или равенство

п п

\р < 9Зе = \р4, 9^9.

-п -п

Условием замкнутости граничных контуров является равенство

п У^е ^ п V іє

}яеех0 * *і9ё9 =д jR.eeх0 д Єі9ё9 .

-п -п

Имея функцию г = / ^ , можно найти обратную к ней функцию

С = / 1 ^ и, исключив в соотношении 14* = переменную С, искомую функцию

Эффектное решение обратной краевой задачи с применением оператора Шварца не всегда приводит однолистному решению ^ зада-

чи. Неоднолистные решения физически нереализуемы. Этим обусловлен поиск достаточных условий однолистной разрешимости задачи.

Поскольку в (2) функция м? = _ выбирается однолистной, то дос-

таточные условия однолистности получают для функции г = / 4^ .

Построение достаточных условий однолистной разрешимости обратных краевых задач специфично и в основном проводится по схеме: конкретное достаточное условие однослистности аналитических функций взаимодействует с оценками величин, связанных с граничными значе-

>

у, р = 1,д. В ре-

ниями плотностей оператора Шварца р^, 9^=1п

зультате этого взаимодеиствия порождается условие однолистной разрешимости в ограничениях на функции р ф, 9 , р = 1, д.

Во второй части данной работы будут получены оценки на гармонические в кольце функции, являющиеся обобщениями ранее известных; третья часть работы посвящена построению условий однолистной разрешимости обратных краевых задач в случае двухсвязных областей.

Оценки гармонических функций. Пусть функция регулярна

в кольце Е ф, 1 и непрерывна в замкнутом кольце Е 1,13=

Введем обозначения:

и & 9> Reg^eгQ , 9> Ьп^е'0 , р = 1, д.

В работе [5] получены точные оценки

(3)

0£< Вч Кд, д^т0|, (4)

где

Р & V 7^ £1+2дК(1 Р Ь V 7^ 2^1 + ^+^2^ т

Щ VI; Я^ 2 ’ Ч ^1’ ч’ У2 ’

1-q

при выполнении равенств

п п

\и([, 9^0 = \иК, 0^6 =0 (6)

-п -п

и двух неравенств

\и$, 01>г/^02^^р|со801 -С°302|, Р = 1, Ч-, О)

в которых 01 и 0 2 произвольные.

Оценки (3) и (4) достигаются одновременно для экстремальной функции

£ О + Кч з-1 .

1-Г '

Рассмотрим теперь условия вида

|«1б, 01 Уи& 02^р|со^01 -со^02|, р = 1, д, (8)

где п - целое положительное число. Этому условию удовлетворяют только 2п/п - периодические функции, поскольку

\иЦ, 0 + 27г//?3-0]>^ ^р|с°8С0 + 27г^-со8И0| - 0 и, следовательно,

иф, 0 + 2ж/п^и$, 0 .

Функции, удовлетворяющие (8), обозначим через ип 0 , р = 1, д,

а через ^ - функции, для которых ф, 0 Яе^„ |(ег0 , и пусть

ф, 0> 1ш^„ (ег0 .

Функции ип 0^ имеют разложение в ряд Фурье

С1 > 00 ^ ■> ^ ■>

0_^= Яд + +Ь$г-$тупв .

у=1

Тогда, используя формулу (10.3.14) [6], с. 119 и учитывая (6) для функций 1б, 0 , запишем для регулярной функции

53

ёп^Уип С бЭ" /у« С 6^ разложение в ряд Лорана

(4?"'-с7п-1Г,п , (9)

*пО 1-^ Ц?-'т-с&3Г- ('/'"'-сР} ™

у=11- д 2п

где г = ге'{), С%^= а%^+ /Ь$г.

Применим результат работы [5] и случай п > 1 сведем к случаю п = 1. Из (9) следует равенство gn С, 9 g\ С”, пв . Поэтому ип С, 9^= щ (^, пв . Тогда уп С, 9^= , пв .

Функции щ4с, 9 и ^ 9 определим в кольце 1 и рассмот-

рим оценки работы [5] для функций щ 4с, пВ^ и ^ и9 на части этого кольца, определенного неравенствами - л/и < аг§£ < л/и . Потребуем для функций щ С, и9 выполнения условий (7):

к & е1 з- м« & е21= ч С" > м1 С">«е

2

^ ^р|сОЗи91 - СО»^! .

В силу последнего неравенства последует оценки

К &01= у1 р = 1, ч-

Таким образом, с применением результатов работы [5] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть для регулярной функции gn4^ гармонические

функции ип С, В = ^,0 и уп С, 9 ^= 1т#,., допускают продол-

жение на граничные окружности кольца Е <1, 1> & <7 < |£| < 1 ; имеют место неравенства (8). Тогда при выполнении равенств (6) для функций ип И 9 , р = 1, д, справедливы точные оценки

\уп^,%\<Вр^ъКч,дп р = 1,д,

в которых величины В0 ^Г|, К(., дп определены равенствами (5).

Экстремальная функция gn ^ , на которой достигаются оценки в посылке и утверждении теоремы, получается с помощью функции §4

Действительно, имеем:

4^ , „и V „п 4^ 2п , п —п

~ /0^75- 4 /0 Кд ^ +К^ £

ип 1с, е > \е у -----------------—-------------со^е :

1-д

■^4^ , «г п , 4^ 2п , п —п

-ал'' т ~ / /0^ %\+Ч + ^1<7 +к^

уп |>, 6 _ = 1щ§-„ |е ^-------------------—---------------вшиб

\-д1п

Отсюда, к примеру, при р = д получаем

„П 7^ ""V ^ 2й , 7^ „л

^---------------------2-----------------СОЭЯб = -Кц СОБпв .

Неравенство в посылке теоремы получаем в виде равенства \и„ 01 Уип 02 £= Кд\с05Пв1 -СОЭ?02| •

Далее,

- 4 ^ К1+ дПКд дп + К1д2п + КддП д п

~п д 0^=----------- ---------^------ ----------81пп^

V*:,+ <+?’"£, .

=-----------;-------ъитв.

\-ч2п

Тогда оценку в утверждении теоремы получаем в виде равенства

>

\уп Ф, ©1= кд> ЧП ^ш0|.

Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач в двусвязных областях. В этой части работы получим достаточные условия однолистной разрешимости внутренней задачи для двусвязной области. Утверждения формулируются для функции г = / ^ , С £ Е4[, 1 . В силу условий на функции г/ф, 9 , р = 1, д, образ окружности С\ при отображении г = / ^ будет внешней границей области , обходимой против часовой стрелки. Образ окружности С? обходится по часовой стрелке. Приложения не исключают того, что образом окружности С? является разрез. Так же предположим, что функция г = / ^ локально однолистная в замкнутом кольце Е\, 1_. В утверждениях, по сути, устанавливается простата образов окружностей Су и Сд при отображении г = / ^ .В

силу принципа соответствия границ для многосвязных областей ([3]) этого достаточно для однолистности функции г = / ^ в замкнутом кольце Е\,1_. Оценки теоремы 1 в сочетании с известными критериями однолистности для регулярных функций позволяют установить простоту образов граничных окружностей кольца Е4[, 1 . Ими будут выпуклые или почти выпуклые кривые [3].

Теорема 2. Пусть функции 9^= Ке11/'|(ег0 , р = 1, д, диффе-

ренцируемы и их производные удовлетворяют условиям

Iр'Ц, 9^302 ^р|соэ?01 -СОЭ?02| (10)

с произвольным целым п> 1. Если К | и Кд удовлетворяют неравенствам

(+д2"}1 +2д"Кд <1-?2”, 2?% + (+д2"}д <1-<?2". (11)

то функция г = / ^ однолистно отображает кольцо Е^, 1 на некоторую область Ог, ограниченную выпуклыми кривыми. Условие выпуклости границ области И2 (11) является неулучшаемым.

Доказательство. Величина 97г/2 + 9 + аг^'|(ег® есть угол,

составленный касательной в точке

І Ре70 образа Ср

с положительным

направлением вещественной оси. Образы окружностей будут выпуклыми кривыми тогда и только тогда, когда производная у'ф, в > 0 (например, [3]). Применим это условие для доказательства теоремы.

С использованием условий Коши-Римана имеем:

д д ,/ ,0 > аг§/'%в

,е'“ ^ 1 + Яе

ге

ГІ

І0

г¥0

Тогда в силу предположений о функции г = / ^ на граничных окружностях верно

, :П

у'Р 0^= 1 + Яе ре

І0

Г (еІв

Г (еІ0

По функциям 9 , р = 1, </, с применением оператора Шварца [5] восстановим функцию 1п('4^ :

+ 00

V — —со

ё0-

У0+Сд 2у~-

2*4Г " ^70-сд2у'-

а0

Дифференцируя это равенство по переменной £, получаем

1 п ^І0+Са2у 1 п ^І0+Са2у_1

- Р' 1,0 а . 40- — р'Ь, 0 й + Ь л

> еІ0-£ь2 2гс_; еІ0-£ь2у--

2п

-п

ё0

Несложные преобразования приводят к равенствам р Р 0^= Яе ,ре

хя ІІ0 І0 І ре

ГР0

;0

Р = 1,Я-

Найдем нижние оценки величин у'|), 0 , р = 1, д.

В силу (10) и с использованием утверждения теоремы 1 имеем:

Неравенства (12) можно переписать так: Вр ^, Кд, д” £ 1, р = 1, д. Тогда

Теорема доказана.

Условия (11) являются неулучшаемыми в следующем смысле. Если величины К\ и Кд не удовлетворяют одновременно двум неравенствам, то

обе граничные кривые области не являются выпуклыми кривыми, поскольку для каждой кривой нарушается необходимое условие выпуклости

У 0? 0>о.

Однако возможны значения К1 и Кд , удовлетворяющие только одному из неравенств в (11) и при которых одна из кривых будет выпуклой, а другая нет.

Если функции р 9 , р = 1, д, являются 2л;/п - периодическими, то решение обратной краевой задачи г - / 4^ будет п - симметрической функцией в кольце Е4[, 1 [7]. Оценки теоремы 1 применим с использованием следующего критерия однолистности.

Теорема 3 [8]. Пусть функция г = / 4^ является п - симметрической (п> 2) регулярной в кольце Е4[, 1 , а первая и вторая производные этой функции непрерывны в кольце Е\, 1_, причем /'4^у^ 0 в Е\, 1_. Если выполняется одно из следующих условий:

2п

2п

1) Цу'^, 9^9 < 271^-1^, ЦуЧ, 9]^9 < 2л:ф + 1 , п>2;

0

а так же равенство {у’С 63*3 = 2л:, то функция г = / ^ будет однолист-0

ной в замкнутом кольце Е\, 1

Выполнение каждого из условий теоремы 3 обеспечивает простоту частей граничных кривых £ = / |(ег0 , а < 9 < а + 2л/п, при любом а с граничным вращением большем, чем - л .

Теорема 4. Пусть функция г = / ^ регулярна в кольце 1^ и имеет непрерывные первую и вторую производные в замкнутом кольце

Е\, 1_, О в Пусть функции 9^= Ке11/'|(ег0 , р = 1, д,

удовлетворяют при и > 3 условиям

013Р&^р|соэ?91 -соэ?92| ,р = 1, </, (12)

п п

и верно равенство С 6 3® = ^ ® 3® •

-п -п

Если постоянные К\ и Кд таковы, что справедливы неравенства

<+^'к,+2^К<<^-с12\, 2?% +<+«->, (13)

то функция г - / 4^ однолистно отображает кольцо Е4[, 1 на область с почти выпуклыми граничными кривыми.

Доказательство. В силу условия (12) по теореме 1 имеем:

ЬШп/'^е'0 ^ аг^'Ре'0 |/ Вр (^1 Из (13) следует, что

£Вр%ъКч,дп ^ р = 1, д.

ЛъКд.ч"(14)

Условия 2) теоремы 3 равносильны соответственно неравенствам

<

2п

п> 3.

Тогда условия (14) обеспечивают выполнение условий 2) теоремы 3. Теорема доказана.

Установим верхние границы значений К1 и Кд , превышение которых влечет неоднолистную область .

Пусть функция г = /X , 1 , определена условиями

Б1е1пГ(;

/0

Тогда

гх^'^е10 - Вр Кд, дп - В^1ш%, р = 1, д.

Найдем отрезок |о, то 0 < 9д, тд ^ 27г/п, на котором изменение угла касательной к внешней граничной кривой образа кольца Е ф, 1 будет наименьшим.

Несложные вычисления приводят к тому, что

Ш1П

0, т

Ш1П

0, т

т т

^0 0

агсБт-

Бхп

и достигается при в0 = я/2п + ^п^хсътЦ8/1 , т0=37г/2п-4/п'агсът(/В1п .

Величину Вл определим из уравнения гшп [с1у 4, =-71, которое

0’т0 ^

> /-Л 'З - >

\П , -1 = 7г^ + 1^2 .

равносильно уравнению агсзт!, у

Относительно внутренней граничной кривой образа кольца решим аналогичную задачу. Значение величины Бд находим из условия

1

0

т

0 ^ min |dy^, ^ j= -7i С < T . Это значение является корнем уравнения

0, т

т

arcsinl/0gKj--J-1 = 7і|г-1^2.

Таким образом, постоянные величины K1 и Kq в (14) не могут превышать соответственно констант K~1 и K~q , которые определяются из системы уравнений

вЛіЛ,,,чпУв1, вч&Лч,ч”Увч-

Если хотя бы одно из значений K1, Kq превосходит соответствующего значения K~1 или K~q , то в силу неулучшаемости условий 2) теоремы 3 отображение кольца Е\, 1 _ будет неоднолистным.

Источники

1. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд., перераб. и доп. Казань: Казан. ун-т. 1965. 330 с.

2. Aксентьев ЛА., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1980. Т.18. С.67-124.

3. Aвхадиев Ф.Г., Лксентьев ЛА., Елизаров AM. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1987. Т.25. С.3-121.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-у изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1977. 640 с.

5. Aксентьев ЛА. Оценки для гармонических функций и их приложение к обратным краевым задачам // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т, 1970. Вып.7. С. 82-87.

6. Копенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963. 406 с.

7. Aксентьев ЛА., Гайдук В.Н., Микка В.П. Об однолистной разрешимости обратной краевой задачи для регулярной функции в двусвязной области // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т, 1975. Вып.12. С.3-7.

8. Aксентьев ЛА., Гайдук В.Н., Микка В.П. Критерии однолистности п - симметричных функций // Изв. вузов. Математика. 1974. №4. С.3-13.

References

1. Tumashev G.G., Nujin M.T. Obratny'e kraevy'e zadachi i ih prilojeniya. 2-e izd., pererab. i dop. Kazan': Kazan. un-t. 1965. 330 s.

2. Aksent'ev L.A., Il'inskiy N.B., Nujin M.T., Salimov R.B., Tumashev G.G. Teoriya obratny'h kraevy'h zadach dlya analiticheskih funkciy i ee prilojeniya // Itogi nauki i tehniki: Matematicheskiy analiz. M.:

61

VINITI, 1980. T.18. S.67-124.

3. Avhadiev F.G., Aksent'ev L.A., Elizarov A.M. Dostatochny'e usloviya konechnolistnosti analiticheskih funkciy i ih prilojeniya // Itogi nauki i tehniki: Matematicheskiy analiz. M.: VINITI, 1987. T.25. S.3-121.

4. Gahov F.D. Kraevy'e zadachi. 3-u izd., pererab. i dop. M.: Nauka, 1977. 640 s.

5. Aksent'ev L.A. Ocenki dlya garmonicheskih funkciy i ih prilojenie k obratny'm kraevy'm zadacham // Tr. seminara po kraevy'm zadacham. Kazan': Kazan. un-t, 1970. Vy'p.7. S. 82-87.

6. Kopenfel's V., SHtal'man F. Praktika konformny'h otobrajeniy. M.: IL, 1963. 406 s.

7. Aksent'ev L.A., Gayduk V.N., Mikka V.P. Ob odnolistnoy razreshimosti obratnoy kraevoy zadachi dlya regulyarnoy funkcii v dvusvyaznoy oblasti // Tr. seminara po kraevy'm zadacham. Kazan': Kazan. un-t, 1975. Vy'p.12. S.3-7.

8. Aksent'ev L.A., Gayduk V.N., Mikka V.P. Kriterii odnolistnosti - simmetrichny'h funkciy // Izv. vu-zov. Matematika. 1974. №4. S.3-13.

Зарегистрирована 11.09.2012.