О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №9

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ В

ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 02.10.2006 г.)

Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств аналитических в единичном круге функций

/(*) = X/Скгк ,* = ,0 <Р<1

к=0

в пространстве Бергмана В ,1 < q <ю с конечной нормой [1]

(іЦі/(і)<саа)* <», (1)

В ( III I (*

q її

Я |г|<1

где - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.

Совокупность алгебраических комплексных полиномов степени не более п обозначим

п

Рп = {Рп (*) : Рп (*) = Хак2к }

к=0

Величину

Еп (/)^ 1 1 1 - Рп-1 1 1 Вч : Рп-1 Є Рп-1 } (2)

назовем наилучшим приближением функции /(¿) є В подпространством РиЧ. Переходя к полярным координатам, норму (1) запишем в виде

12п 1

/і В=(^ Ц/ (ре" )| q ^)% =(2 fcмq (Р'/)р"“ < ”,

0 0 0

где

2п

Мч (р,/) = (^ ¡і/(ре1' )і“^)у“

0

В случае д = 2 легко доказать, что среди произвольных полиномов рп_х е наименьшее значение величины (2) в пространстве В2 составляет частная сумма Тейлора

n—\

t„JJ ; z) = , разложение f (z) в круге |z|<1. При этом

к = 0

\

E„ (f\ =||f - Т^(Л\ = {2jpM>, f - Т„ (f))dp)y\ (3)

0

Пусть f (z) - произвольная аналитическая функция, принадлежащая пространству B ,\ < q <ю. Полагая

2п

Mq =( Р*Л m ( f ;■>U J I Л m (f ;р* t *u )lq dt *

0

где

m

л m (f ;р, t, u )=£ (-\) 'cm/(Р(t+lu))

l=0

- разность m — го порядка функции f (z) по аргументу t, введем в рассмотрение модуль непрерывности

&m ( f; Р S)q = sup(Mq (р, Лт (f; ■,u)) :\ U \< S). (4)

Очевидно, что при каждом ре (0;\) функция (4) обладает всеми свойствами модуля непрерывности [2]. Всюду далее для целых положительных r производную r-го порядка функции f (z) по аргументу z обозначим f^) (z), а обычную производную r-го порядка обо-

def

значим f(r) (z) = dr f fdzr . Из (4) простым подсчетом получаем равенства

®mn(fa\ t)2 =2m SUP |j£ -k~-[ ■ \ Ck \2 (\ — C0S kUY :| U \< t| *

cot(zr f(r), t )2 =2m sup j £ ~^k~\ ■ I c \2 (\ — cos ku)m :| u |< t|

a1

I k = r+\

где положено = k!•{(k — г)!} 1,k > г.

Через Brq,(г = 0,1,2,...; 1 < q <да) обозначим множество аналитических в единичном круге функций /(г) е В ,1 < д < да, у которых г-я производная /(г)(z) е В ,1 < д < да, т. е.

B =1 f (z) е Bq :|f('IIв < .

Аналогичным образом введем обозначение

ВГ = j f (z) е Bq || f' >\B^ < »| .

Для выяснении аппроксимативных свойств функций f ( z ) е B^ и f ( z) е B^,a

введем экстремальные характеристики, которые в отличие от всех известных характеристик содержат модуль непрерывности m — го порядка не только под знаком интеграла, но также и вне интеграла:

n rE2( f )в

К,,m (t)= sup ---------------------------2--------------- , (5)

f “:'a Umm’ (f:). > \ + n J(t-^)®,m,m с e

,, a;X(f)

Mn,r,m(t) =sup ~r-----------------------;--2-------------rm , (6)

■',Br Lmm(zrf r),*)b2 + rr J^ — (z'f :,,г)„^Л

где 0 < t < ж/n.

Теорема 1. Пусть m, n, r е N, r < n. Тогда для любых чисел t, удовлетворяющих условию 0 < t < Жп, имеют место равенства

Kr ,m (t) = Mn r m ( t) = ( nt) —2 m , (7)

inf {M“rm(t): 0 < t < ж/n) = inf {Mnrm(t): 0 < t < ж/n) = и верхняя грань в равенствах (5) и (6), совпадающая с правой частью (7), реализует функция f0(z) = zn еB2fz) = zn еB2,a).

Непосредственно из равенств (5) и (6) вытекает

Следствие 1. Для любых t удовлетворяющих неравенству 0 < t < Жп выполняются неравенства

\ E2n(f )B \ / \ U m

--- ---— < sup —-——2— < ——■ (------ + -) , (8)

(nt)2m ■ n2r Js шК/С>;t)b n2r '(nt)2 2’ ' ()

\ E,2(.f) B, \ \ 1 m

<sup ,, ,,(,Л <-r-(--T+T)m (9)

(nt)2" /4 ®,2,(/t)* V)2 2

Доказательство теоремы 1 повторяет схему доказательства аналогичных утверждений для других пространств, изложенных в [3], поэтому мы здесь ее не приводим. Неравенства (8) и (9) для функции f (z) = zn е Br2 выводятся из (5) и (6) благодаря свойствам модулей непрерывности m-го порядка.

Напомним необходимые определения и обозначения которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть S = |^е B2: ||^||в < \| - единичный шар в B2, Q — некоторое выпуклое центрально симметричное множество из B2, Ln с B2 — n мерное линейное подпространство, G(B2, Ln) — множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих B2 в Ln, G1 (B2, L ) — подмножество проекторов из G (B2, Ln).

Величины

bn (Q,B2 ) = sup{sup{& >0;SS ОLn+\ с Q): Ln+\ с B2)> dn ( Q, B2 ) = inf {sup{inf {\\ f — ф\\B2 :Фе Ln }: f е Q): Ln C B2b

Kn (Q, B2 ) = inf {inf {sup{\\ f ^ \\B2 : f е Q): Лс G (B2 , Ln )): Ln C B2),

Пn (Q,B2 ) = inf {inf {sup {\\ f — Л/ \\ B2 : f е Q) : Л с G1 (B2 ,Ln )) : Ln с B2 )

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным и проекционным поперечниками. Заметим, что в гильбертовом пространстве B2 между перечисленными n— поперечниками выполняются соотношения

bn(Q,B2) <dn(Q,B2) <Kn(Q,B2) <Пn(Q,B2).

Пусть 0(t) := tAmln , m е N,0 < t < ж заданная мажоранта, при помощи которой введем в B классы функций

»rw=і / е «•“: (/'). t v + (у)2 І(t - r)0,2;- \r) H dr < ф2'- (t ) 1

W&m = I / € B' : (z'f '),<)в + (ffJ(t - г)®Г(г'/'),r)„2 dr < Ф2'-(t) [-.

Аналогичные классы функций введены в работе [4]. Основной результат настоящей работы является следующая

Теорема 2. Для любых чисел т, п и г є М, г < п справедливы равенства

4m

2 \______r

Г,(WrB,(4>),B2) = "m(4" —l) • " ,

/ тл r т~> / /Гч \ d \ m (4/ж 1) —1 „—4 m/ж2

Yn (WmB2 (ФXB2) = " ’ ' n ,

где Yn(') — любой из поперечников bn (•), dn(Ж (') и Пп(•).

Доказательство теоремы 2 повторяет схему рассуждений аналогичной теоремы из работы [3], поэтому мы ее не приводим.

Хорогский государственный университет Поступило 02.10.2006 г.

им. М. Назаршоева

ЛИТЕРАТУРА

1. Horowitz Ch. - Bull. Amer. Math. Soc., 1974, 80, 4, p. 713-714.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения полиномами. М.:Наука, 1977.

3. Шабозов О.Ш. - ДАН РТ, 2006, т.49, №5, стр.401-408.

4. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. - Укр.мат.журн., 2004, т.56, №11, с.1458-1467.

М.Р.Лангаршоев

ОИДИ НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИНИ ФУНКСИЯ^О БО ЁРИИ БИСЁРАЪЗОГИ^О ДАР ФАЗОИ БЕРГМАН

Дар макола кимати хдники характеристиками экстремалие, ки дар тах,ти алома-ти интеграл модули бефосилагии тартиби m-умро дар бар мегиранд, х,исоб карда шуда, дар асоси онх,о кимати кутрх,ои синфи функсиях,ои аналитикй ёфта шудаанд.

M.R.Langarshoev

ON THE BEST APPROXIMATION FUNCTIONS BY POLYNOMIALS IN THE BERGMAN SPACE

In work the exact value of the extreme characteristics are found, which content the module of continuity in the place of integral and on their basis value of diameters of some classes analytical functions are calculated.